奥数：第10讲 组合问题第02讲

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第10讲 组合问题第02讲

构造与论证之一

【内容概述】

各种形式的构造问题．解题时要不断地调整设计方案以满足全部要求，有时应从简单情形人手寻找规律．奇数与偶数在各种运算下的关系，运用奇偶性或数的整除性进行简单的论证． 【典型问题】

1.有一把长为9厘米的直尺，你能否在上面只标出3条刻度线，使得用这把直尺一可以量出从1至9厘米中任意整数 厘米的长度?

2.一个三位数，如果它的每一位数字都不超过另一个三位数对应数位上的数字，那么就称它被后一个三位数“吃掉”．例如，241被352吃掉，123被123吃掉(任何数都可以被与它相同的数吃掉)，但240和223互相都不能被吃掉．现请你设计6个三位数，它们当中任何一个都不能被其他5个数吃掉，并且它们的百位数字只允许取1，2；十位数字只允许取1，2，3；个位数字只允许取1，2，3，4．问这6个三位数分别是多少? 3.盒子里放着红、黄、绿3种颜色的铅笔，并且规格也有3种：短的、中的和长的．已知盒子里的铅笔，3种颜色和3种规格都齐全.问是否一定能从中选出3支笔，使得任意2支笔在颜色和规格上各不相同?

4．一个立方体的12条棱分别被染成白色和红色，每个面上至少要有一条边是白色的，那么最少有多少条边是白色的?

5．国际象棋的皇后可以沿横线、竖线、斜线走，为了控制一个4×4的棋盘至少要放几个皇后?

6．在如图10—1所示表格第二行的每个空格内，填人一个整数，使它恰好表示它上面的那个数字在第二行中出现的次数，那么第二行中的5个数字各是几?

7．在100个人之间，消息的传递是通过电话进行的，当甲与乙两个人通话时，甲把他当时所知道的一切信息全部告诉乙，乙也把自己所知道的全部信息告诉甲．请你设计一种方案，使得只需打电话196次，就可以使得每个人都知道其他所有人的信息．

8．有一张8×8的方格纸，每个方格都涂上红、蓝两色之一．能否适当涂色，使得每个3×4小长方形(不论横竖)的12个方格中都恰有4个红格和8个蓝格?

9．桌上放有1993枚硬币，第一次翻动1993枚，第二次翻动其中的1992枚，第三次翻动其中的1991枚，??，依此类推，第1993次翻动其中的一枚．能否恰当地选择每次翻 动的硬币，使得最后桌上所有的硬币原先朝下的一面都朝上?

10．能否在5×5方格表的各个小方格内分别填人数1，2。?，24，25，使得从每行中都可以选择若干个数，这些数的和等于该行中其余各数之和? 11．把图10—2中的圆圈任意涂上红色或蓝色．问：能否使 得在同一条直线上的红圈数都是奇数?

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12．在99枚外观相同的硬币中，要找出其中的某些伪币．已知每枚伪币与真币的重量相差奇数克，而所给硬币的总量恰等于99枚真币的重量．今有能标明两盘重量之差的天平，证明：只要称一次即可辨别出预先选择的一枚硬币是否为伪币．

13．在象棋比赛中，胜者得1分；败者扣1分；若为平局，则双方各得0分．今有若干名学生进行比赛，每两人之间都赛一局．现知，其中有一个学生共得7分，另一个学生共得20分．试说明，在比赛过程中至少有过一次平局． 14．如图10—3，在3×3的方格 表中已经填人了9个整数．如果将 表中同一行或同一列的3个数加上 相同的整数称为一次操作：问：你能 否通过若干次操作使得表中9个数 都变为相同的数?

15．今有长度为1，2，3，?，198，199的金属杆各一根，能否用上全部的金属杆，不弯曲其中的任何一根，把它们焊接成

(1)一个正方体框架?(2)一个长方体框架?

【参考答案】

1．1，2，6；1，4，7；2，5，8或3，7，8. 2.114,123,132,213,222,231.

3．不能．例如盒子里只有规格和颜色分别为断红、短黄短绿、中冬、长红的5支铅笔. 4.3条. 5.2个. 6.5个数字从左到右依次是2，1，2，0，0.

7．4个人通话4次可互相传递全部信息；之后每增加1个人，在最初和最后各增加1次通话即可.

8.能．如图 10-4，标注“红”字的格染红色，其余的格染蓝色. 9. 能.注意1993=1+1991=2+1991=?=996+997.

10.不能.因为表中所有各数之和为奇数.

11．不能．因为五条线上的红圈数之和等于图中红圈数的2倍，是偶数.

12.将余下的98枚硬币任意分放在天平两侧，重量差为奇数则说明事先选定的硬币是伪币. 13.若无平局，则所有人的总得分奇偶性相同. 14.不能．因为表中各数人之和不能被3除尽．

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15.(1)不能.因为所有金属杆的长度之和不能被12除尽．

（2）能.注意199=l+198=2+197=?=99+100，故可焊接成一条长、宽、高分别为199×12，199×12，199的长方体框架． 【难度等级】

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