函数的奇偶性、周期性和对称性的关系

函数的奇偶性、周期性和对称性

函数的奇偶性、周期性和对称性的关系

055350 河北隆尧一中 焦景会

函数的性质主要是指函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性，它们准确的刻画了函数自身的规律性。掌握函数的这四个性质对于解决函数问题很有帮助。现在探讨以下函数的对称性、奇偶性及周期性这三个方面的关系。由一道高考题目说起。

（2005年广东卷I）设函数f(x)在(??,??)上满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?f(7?x)，且在闭区间［0，7］上只有f(1)?f(3)?0。（1）试判断函数y?f(x)的奇偶性；

（2）试求方程f(x)?0在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。

分析：由f(2?x)?f(2?x),f(7?x)?f(7?x)可得：函数图象既关于x＝2对称，又关于x＝7对称，进而可得到函数周期，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。

命题1 函数y?f(x)的图像关于直线x＝a对称的充要条件是f(a?x)?f(a?x)或f(x)?f(2a?x)。

证明：设P(x0,y0)是y?f(x)上任一点，则y0?f(x0)。由P关于直线x＝a的对称点为

Q(2a?x0,y0)。（必要性）若y?f(x)关于直线x＝a对称，则Q也在y?f(x)上，故y0?f(2a?x0)，?f(x0)?f(2a?x0)。（充分性略）。

推论 函数y?f(x)的图像关于y轴对称的充要条件是f(x)?f(?x)。

命题2 函数y?f(x)的图像关于点A（a，b）对称的充要条件是f(x)?f(2a?x)?2b。证明（略） 推论 函数y?f(x)的图像关于原点O对称的充要条件是f(x)?f(?x)?0。 偶函数、奇函数分别是命题1，命题2的特例。

命题3 （1）若函数y?f(x)的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称（a?b），

则y?f(x)是周期函数，且2a?b是其一个周期。

证明：函数y?f(x)的图像同时关于点A（a，c）和点B（b，c）成中心对称，则f(2a?x)?f(?x)?2c，

f(2b?x)?f(x)?2c，所以f[2(a?b)?x]?f([2a?(?2b?x)]

?2c?f[?(?2b?x)]?2c?f(2b?x)?2c?[2c?f(x)]?f(x)，所以2a?b是它的一个周期。

（2）、 若一个函数的图象有两条不同的对称轴，分别为x=m，x=n，那么这个函数是周期函数。

证：因为函数的对称轴为x=m，x=n (m≠n)， 则 f(m?x)?f(m?x) (1) ， f(n?x)?f(n?x) (2) ， 分别将x=m-x，x=n-x代入(1) (2)，

则有f(2m?x)?f(x) ，f(2n?x)?f(x) ，则 f[x?2(m?n)]?f(2m?x?2n)? f(2n?x)?f(x)， 所以y?f(x)是周期函数，周期为2(m-n)。

（3）若函数y?f(x)的图像既关于点A（a，c）成中心对称又关于直线x＝b成轴对称（a?b），则y?f(x)是周期函数，且4a?b是其一个周期。

证明：因为函数y?f(x)的图像关于点A（a，c）成中心对称，

所以f(x)?f(2a?x)?2c,用2b?x代x得：f(2b?x)?f?2a?(2b?x)??2c(*)

又因为函数y?f(x)的图像关于直线x?b成轴对称，所以f(2b?x)?f(x)代入（*）得： ，用2(a?b)?x代x 得 f(x)?2c?f[2(a?b)?x] （**）

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函数的奇偶性、周期性和对称性

f?2(a?b)?x??2c?f?4(a?b)?x?代入（**）得：f(x)?f[4(a?b)?x]，故y?f(x)是周期函数，且4a?b是其一个周期。

例1 定义在R上的非常数函数满足：f(10?x)为偶函数，且f(5?x)?f(5?x)，则f(x)一定是（ ）

A. 是偶函数，也是周期函数；B. 是偶函数，但不是周期函数 C. 是奇函数，也是周期函数；D. 是奇函数，但不是周期函数

解：因为f(10?x)为偶函数，所以f(10?x)?f(10?x)。所以f(x)有两条对称轴x?5与x?10，因此f(x)是以10为其一个周期的周期函数，所以x＝0即y轴也是f(x)的对称轴，因此f(x)还是一个偶函数。故选（A）。

例2 设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1?x)?f(1?x)，当?1?x?0时，f(x)??f(8.6)?___________

12x，则

解：因为f(x)是定义在R上的偶函数，所以x?0是y?f(x)的对称轴；又因为f(x?1)?f(1?x)，所以x?1也是y?f(x)的对称轴，故y?f(x)是以2为周期的周期函数，所以f(8.6)?f(8?0.6)?f(0.6)?f(?0.6)?0.3。

例3 函数y?sin(2x??25?2)的图像的一条对称轴的方程是（ ）

A.x??B.x??5?2?4 C.x??8D.x?5?4

5?2?k??解：函数y?sin(2x?)的图像的所有对称轴的方程是2x??2，所以x?k?2??，显

然取k?1时的对称轴方程是x???2，故选（A）。

12例4 设f(x)是定义在R上的奇函数，且y?f(x)的图象关于直线x?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?_____________

，则：

解：函数y?f(x)的图像既关于原点对称，又关于直线x?像关于x?1212对称，所以周期是2，又f(0)?0，图

对称，所以f(1)?0，所以 f(1)?f(2)?f(3)?f(4)?f(5)?0

2例5 已知定义在R上的单调函数f(x)满足：f(x+y)=f(x)+f(y)，且f(1)=2。

(1)求证：f(x)为奇函数；(2)当t>2时，不等式f(k·log2t)+f(log2t-log2t-2)<0恒成立，求实数k的取值范围.

解 (1)令x=y=0?f(0)=2f(0)?f(0)=0，又令y=-x得f(0)=f(x)+f(-x)故f(-x)=-f(x)，即f(x)为奇函数.

2(2)∵f(0)=0，f(1)=2，知f(x)在R上单调增，故由f(k·log2t)<-f(log2t-log2t-2)得：

222

k·log2t0?Δ=(k+1)-8<0?-1-22

点评 对某些含有两个变量的抽象函数问题，常考虑“特殊值”的函数值，即从其特殊值x=y=0入手解之。

链接练习

1 、f(x)是奇函数，当x∈R+时，f(x)∈???,m?(m<0)，则f(x)的值域可能是 ( )

A.［m，-m］ B.???,m? C.??m,??? D.???,m?∪??m,???

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函数的奇偶性、周期性和对称性

2、设f(x)是R上的奇函数，且x∈R+时，f(x)=log2(2x+1)，则当x∈R- 时，f(x)= ( )

A.log2(2x+1) B.-log2(2x+1) C.log2(1-2x) D.-log2(1-2x)

3、已知奇函数f(x)在区间［-b，-a］上单调减且最小值为2004，则g(x)=-|f(x)|在［a，b］上 ( )

A.单调减且最大值为-2004 B.单调增且最小值为-2004 C.单调减且最小值为-2004 D.单调增且最大值为-2004

4、已知f(x)=x3+bx2+cx是R上的奇函数，动点P(b，c)描绘的图形是 ( )  A.椭圆 B.抛物线 C.直线 D.双曲线

5、若y=g(x)是偶函数，那么f1(x)=g(x)-1和f2(x)=g(x-1) ( )

A.都不是偶函数 B.都不是奇函数 C.都是偶函数 D.只有一个是偶函数

6、已知f(x)是R上的函数，f(x)?f(x?1)?f(x?1)，且f(1)=2008，f(2)?0， 则f(2008)= .

7、判断下列函数的奇偶性与周期性.  (1) f(x)=log7(1?x-x)；(2) f(x)=

.

(|x?2|?2)8、是否存在实数m，k，使下列函数都为奇函数，若存在，确定m或k值，若不存在，说明 理由. (1) f(x)=

m?2?m?2(2?1)2

21?x2xx；(2) g(x)=loga

x221?kxx?1 (a>1).

9、已知函数f(x-3)=loga

6?x(a>0，a≠1).(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)解不等式：f(x)≥

loga(2x).

x-x

10、 若f(x)=3-3·log3a为奇函数，求实数a的值.

参考答案

1、D 若x=0不在定义域内为??m,???∪［-m，+∞］，若x=0在定义域内为(-∞，m)∪??m,???∪{0}. 2、D 由x<0?-x>0?f(-x)=log2(1-2x)=-f(x)?f(x)=-log2(1-2x).

3、A ∵f(x)在［-b，-a］上单调减，∴x∈［-b，-a］时，f(-b)≥f(x)≥f(-a)，∴f(-a)=2004，又∵

f(x)为奇函数，故f(x)在［a，b］上单调减，由x∈［a，b］知f(b)≤f(x)≤f(a)，f(a)=-2004.

4、C 由f(x)=-f(-x)?x3+bx2+cx=-(-x3+bx2-cx)?b=0.

5、D f1(-x)=g(-x)-1为偶函数，f2(-x)=g(-x-1)=g(x+1)≠±f(x)故非奇非偶. 6、f(x?3)??f(x)，T=6，f(2008)=f(4)=-f(1)=-2008.

7、 (1) x∈R，-x∈R，∵f(x)+f(-x)=0，∴f(x)是R上的奇函数，但不是周期函数.

(2) 定义域为??1,0?∪(0，1)且f(x)=

1?xx2，故为奇函数，但不是周期函数.

1?kxx?18、(1)令f(x)+f(-x)=0?m=1.(2)由f(-x)=-f(x)?loga验证知k=-1.

9、(1) 令x2-3=t?f(t)=loga

(2) 由loga［1，

323?x3?x3?t3?t(a>1)= -loga

1?kxx?1?kx=x?k=1

2222

(-3

3?x3?x≥loga(2x)，若a>1则

≥2x>0?x∈(0，1)∪?,3?，若0

?2??3?］.

10、 由条件知：3x-3-x·log3a+3-x-3x·log3a=0?(3x+3-x)=(3x+3-x)·log3a?log3a=1，∴a=3.

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kza3.html