立体几何基础题题库7(有详细答案)

高中数学总复习立体几何主题

119. 正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是BB1，CC1的中点，求异面直线AE和BF所成 角的大小．

解析：取DD1的中点G，可证四边形ABFG是平行四边形，得出BF∥AG， 则∠GAE是异面直线AE与BF所成的角．连GF，设正方体棱长为a，

D1

1E

C1

a． GE B1D1 2a，AE AG 2

在△AEG中，由余弦定理得

A1

GF

C

55 2222

AG AE GE1

cos GAE

2 AG AE55

2 22

∴ GAE arccos

A

B

1． 5

120. 矩形ABCD，AB=3，BC=4，沿对角线BD把△ABD折起，使点A在平面

BCD上的射影

A′落在

BC上，求二面角A-BD-C的大小的余弦值．

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在Rt

△AA

′O中，∠AA′O=90°，

121. 已知：如图12，P是正方形ABCD所在平面外一点，PA=PB=PC=PD=a

，AB=a． 求：平面APB与平面CPD相交所成较大的二面角的余弦值．

分析：为了找到二面角及其平面角，必须依据题目的条件，找出两个平面的交线．

解：因为 AB∥CD，CD 所以 AB∥平面CPD．

平面CPD，AB 平面CPD．

又 P∈平面APB，且P∈平面CPD， 因此 平面APB∩平面CPD=l，且P∈l．

所以 二面角B-l-C就是平面APB和平面CPD相交所得到的一个二面角． 因为 AB∥平面CPD，AB 所以 AB∥l．

过P作PE⊥AB，PE⊥CD． 因为 l∥AB∥CD， 因此 PE⊥l，PF⊥l，

所以 ∠EPF是二面角B-l-C的平面角．

平面APB，平面CPD∩平面APB=l，

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因为 PE是正三角形APB的一条高线，且AB=a，

因为 E，F分别是AB，CD

的中点，

所以 EF=BC=a． 在△EFP中，

122. 在四面体ABCD中，AB＝AD＝BD＝2，BC＝DC＝4，二面角A－BD－C的大小为60°，求AC的长． 解析：作出二面角A－BD－C的平面角

在棱BD上选取恰当的点

AB＝AD，BC＝DC

解：取BD中点E，连结AE，EC ∵ AB＝AD，BC＝DC ∴ AE⊥BD，EC⊥BD

∴ ∠AEC为二面角A－BD－C的平面角 ∴ ∠AEC＝60° ∵ AD＝2，DC＝4

∴ AE＝，

EC＝

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∴ 据余弦定理得：AC＝ 35．

123. 河堤斜面与水平面所成角为60°，堤面上有一条直道CD，它与堤角的水平线AB的夹角为30°，沿着这条直道从堤角向上行走到10米时，人升高了多少（精确到0.1米）？ 解析： 已知 所求

河堤斜面与水平面所成角为60° E到地面的距离

利用E或G构造棱上一点F 以EG为边构造三角形

解：取CD上一点E，设CE＝10 m，过点E作直线AB所在的水平面的垂线EG，垂足为G，则线段EG的长就是所求的高度．

在河堤斜面内，作EF⊥AB．垂足为F，连接FG，由三垂线定理的逆定理，知FG⊥AB．因此，∠EFG就是河堤斜面与水平面ABG所成的二面角的平面角，∠EFG＝60°． 由此得： EG＝EFsin60° ＝CE sin30°sin60°

＝10×

1×≈4.3（m） 22

答：沿着直道向上行走到10米时，人升高了约4.3米．

124. 二面角α—a—β是120°的二面角，P是该角内的一点．P到α、β的距离分别为a，b．求：P到棱a的距离． 解析：设PA⊥α于A，PB⊥β于B．过PA与PB作平面r与α交于AO，与β交于OB， ∵ PA⊥α，PB⊥β，∴ a⊥PA，且a⊥PB

∴ a⊥面r，∴ a⊥PO，PO的长为P到棱a的距离． 且∠AOB是二面角之平面角，∠AOB =120° ∴ ∠APB = 60°，PA = a，PB = b．

AB a2 b2 2abcos60

a2 ab b2

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∵

ABsin APB

PO，

∴ PO

23

a2 ab b2． 3

125. 如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线A1C与EF所成角的余弦值是 ( )

(A)

3

(B)

2 3

(C)

1 3

(D)

1 6

上选一点作AC的平行是正方体的对角面，在出了，这样，∠EFO即

解析：选哪一点，如何作平行线是解决本题的关键，显然在EF线要简单易行，观察图形，看出F与A1C确定的平面A1CC1恰这个面内，只要找出A1C1的中点O，连结OF，这条平行线就作为异面直线A1C与EF所成的角．容易算出这个角的余弦值是

2

，答案选B． 3

面N的距离分别为1和

126．在60°的二面角M－a－N内有一点P，P到平面M、平2，求P点到直线a的距离．

解析：本题涉及点到平面的距离，点到直线的距离，二面角的平面角等概念，图中都没有表示，按怎样的顺序先后作出相应的图形是解决本题的关键．可以有不同的作法，下面仅以一个作法为例，说明这些概念的特点，分别作PA⊥M，M是垂足，PB⊥N，N是垂足，先作了两条垂线，找出P点到两个平面的距离，其余概念要通过推理得出：于是PA、PB确定平面α，设α∩M=AC，α∩N=BC，c∈a．由于PA⊥M，则PA⊥a，同理PB⊥a，因此a⊥平面α，得a⊥PC．这样，∠ACB是二面角的平面角，PC是P点到直线a的距离，下面只要在四边形ACBP内，利用平面几何的知识在△PAB中求出AB，再在△ABC中利用正弦定理求外接圆直径2R＝

221221

，即为P点到直线a的距离，为． 33

127. 已知空间四边形ABCD中，AB = BC =CD= AD = BD = AC, E、F分别为AB、CD的中点，

（1）求证：EF 为AB和CD的公垂线 （2）求异面直线AB和CD的距离

解析：构造等腰三角形证明EF 与AB、CD垂直，然后在等腰三角形中求EF 解；①连接BD和AC，AF

和

BF，DE和CE

设四边形的边长为a

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∵ AD = CD = AC = a ∴ △ABC为正三角形 ∵ DF = FC

∴ AF DC 且AF =

a 2

同理 BF =

A 2

BF FA

即△ AFB为等腰三角形 在△ AFB中， ∵ AE = BE ∴ FE AB 同理在 △ DEC中 EF DC

∴ EF为异面直线AB和CD的公垂线

②在 △ AFB中

∵ EF AB且 AF

311a,AE AB a a22

∴ EF

AF2 AE2

2

a

2

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∵ EF DC,EF AB

∴ EF为异面直线AB和CD的距离

∴ AB和CD的距离为

2a 2

128. 正方形ABCD中，以对角线BD为折线，把ΔABD折起，使二面角Aˊ-BD-C 为60°，求二面角B-AˊC-D的余弦值 解析：要求二面角B-AˊC-D的余弦值，先作出二面角的ˊB=BC，AˊD=DC的关系，采用定义法作出平面角∠BED利用余弦定理求解 解：连BD、AC交于O点 则AˊO⊥BD，CO⊥BD

∴∠AˊOC为二面角Aˊ-BD-C的平面角 ∴∠AˊOC=60°

设正方形ABCD的边长为a

平面角，抓住图形中A（E为AC的中点）然后

∵A′O=OC=1/2AC=

2a 2

∠A′OC=60°

∴ΔA′OC为正三角形则A′C=

2a 2

取A′C的中点，连DE、BE ∵A′B=BC ∴BE⊥A′C 同理DE⊥A′C

∴∠DEB为二面角B-A′C-D的平面角在ΔBA′C中

BE=BA2 AE2

a2 (

22a) a 44

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同理DE=

4

a 在ΔBED中，BD=2a

cos∠BED=BE2 DE2 BD2

∴2BE DE

2

2

4a

2

=

4a 2a

2 4a 4

a

=--1

7

∴二面角B-A′C-D的余弦值为-

17

129. 如图平面SAC⊥平面ACB，ΔSAC是边长为4的等边三角形，∠ACB=90°，BC=42，求二面角S-AB-C的余弦值。 解析：先作出二面角的平面角。由面面垂直可得线面垂直，作利用三垂线定理作出二面角的平面角

解：过S点作SD⊥AC于D，过D作DM⊥AB于M，连SM ∵平面SAC⊥平面ACB ∴SD⊥平面ACB ∴SM⊥AB 又∵DM⊥AB

∴∠DMS为二面角S-AB-C的平面角

在ΔSAC中SD=4×

2

23 在ΔACB中过C作CH⊥AB于H

ΔACB为直角三角形，

SD⊥平面ACB，然后

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∵AC=4，BC=42

∴AB=4

∵S=1/2AB·CH=1/2AC·BC

∴CH=

AC BCAB 4 4243

42

∵DM∥CH且AD=DC

∴DM=1/2CH=

223

∵SD⊥平面ACB DM 平面ACB ∴SD⊥DM 在RTΔSDM中

SM=SD2 DM2

23

2

=

2

22

=2

3

∴cos∠DMS=

DMSM

22

=

3 23

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=

22 11

130. 已知等腰 ABC中，AC = BC = 2， ACB = 120 ， ABC所在平面外的一点P到三角形三顶点的距离都等于4，求直线PC与平面ABC所成的角。

解析：解：设点P在底面上的射影为O，连OB、OC，

则OC是PC在平面ABC内的射影，

∴ PCO是PC与面ABC所成的角。

∵ PA = PB = PC，

∴点P在底面的射影是 ABC的外心， 注意到 ABC为钝角三角形， ∴点O在 ABC的外部， ∵AC = BC，O是 ABC的外心， ∴OC⊥AB

在 OBC中，OC = OB， OCB = 60 ， ∴ OBC为等边三角形，∴OC = 2 在Rt POC中，cos PCO ∴ PCO = 60 。

OC1

PC2

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kz9m.html