4-3-1不规则图形的面积.题库教师版

不规则图形的面积

例题精讲

本讲主要通过求一些不规则图形的面积，体会一种转化思想，重点在于把不规则图形转化为规则图形的方法，包括平移、旋转、割补、差不变原理，通过这些方法的学习，让学生体会求面积的技巧，提高学生的观察能力、动手操作能力、综合运用能力．

【例 1】 你有什么好的方法计算所给图形的面积呢？(单位：厘米)

4993499349934993 图1 图2 图3 【解析】 (方法一)采用分割法，可给原图分成两个长方形，(图1或图2)两个长方形的总面积就是所求的

面积．图1的面积是： 4?(9?3)?9?3?75(平方厘米)．图2的面积是： (9?4)?3?9?4?75(平方厘米)．

(方法二)采用补图法，如果补上一个边长是9厘米的正方形(图3)，就成了一个面积是：

(4?9)?(9?3)?156(平方厘米)的大长方形．因此用这个长方形的面积减去所补正方形的面积，就是要求的图形面积(4?9)?(9?3)?9?9?75(平方厘米)．

【巩固】如图是学校操场一角，请计算它的面积(单位：米)

40303020

【解析】 这是一个不规则图形，怎样使它能转化为我们熟悉的基本图形呢？可以在图中添上一条辅助线，把

多边形切割成上下两个长方形或左右两个长方形；也可以把多边形补充完整，成为一个长方形；

403030202030204030303040 图一 图二 图三

（30?40）?1200?1400?2600(平方米) 方法一：如图一，30?40?20?（20?30）?600?2000?2600(平方米) 方法二：如图二，20?30?40?（40?30）?（20?30）?30?30?3500?900?2600(平方米) 方法三：如图三，

1

【巩固】如右图所示，图中的ABEFGD是由一个长方形ABCD及一个正方形CEFG拼成的，线段的长度如图

所示(单位：厘米)，求ABEFGD的周长和面积．

AD410AD410HFEGCFEGC

【解析】 方法一：如果求出长方形的宽及正方形的边长，则图形ABEFGD的周长和面积可以求出．

而正方形的边长GC?DC?DG?AB?DG?10?4?6(厘米)， 长方形的宽?BE?CE?10?6?4(厘米)，所求图形的周长?10?2?6?2?4?4?40(厘米) 面积?S长方形ABCD?S正方形CEFG?10?4?6?6?76(平方厘米)

方法二：可以将线段GF、DG向外平移，得一个新的图形ABEH，

因为DG?HF，GF?DH，所以图形ABEH的周长就是图形ABEFGD的周长．而AB?BE?10(厘米)，所以图形ABEH是边长为10厘米的正方形． 所求图形的周长?正方形ABEH的周长?10?4?40(厘米) 面积?S正方形ABEH?S长方形DGFH?10?10?6?4?76(平方厘米)

【总结】方法一是利用基本图形的周长及面积公式求解，因此首先要知道长方形的长、宽及正方形的边长．

方法二是利用转化的思想方法，将较复杂图形转化为基本图形，图形转化前后的周长不变，面积增加了，在计算时应减去增加的面积．

【巩固】求图中五边形的面积．

B10 B103645

【解析】 由图可见五边形为矩形切去一角得来，把切去的角补出来，它的一条直角边长6?3?3，斜边等于5，

1所以另一直角边为4，所以矩形的长为4?4?8，五边形面积6?8??4?3?42．

2

【例 2】 (第三届”华杯赛口试试题”)这是一个楼梯的截面图，高280厘米，每级台阶的宽和高都是20 厘

米．问，此楼梯截面的面积是多少？

【解析】 如果把楼梯截面补成右图所示的长方形，那么此长方形高280厘米．宽300厘米，它的面积恰好是

（280?300）?2?42000(平方厘米)． 所求截面的2倍．所以楼梯截面面积为

【巩固】如图是一个楼梯的截面图，每级台阶的宽和高都是20厘米．这楼梯的截面积是多少平方厘米？

2

【解析】 先求出大三角形的两条直角边都是20?8?160(厘米)，因此大三角形的面积为

160?160?2?12800(平方厘米)；8个小三角形的面积为20?20?2?8?1600(平方厘米)；因此这楼梯的截面积为12800?1600?14400(平方厘米)．

【例 3】 有一块菜地长16米，宽8米，菜地中间留了宽2米的路，把菜地平均分成四块，每一块地的面积是

多少？

2米2米8米2米2米8米

【解析】 方法一：可以直接求出每小块菜地的长和宽，从而求出每小块菜地的面积；

[16?2）?2]?（[8?2）?2]?7?3?21(平方米) 每一块地的面积是：（方法二：也可以求出这块地的总面积，再减去道路的面积，然后把剩余的面积四等分求出每小块菜

地的面积；每一块地的面积是： [16?8?（2?16?8?2?2?2）]?4?（128?44）?4?21(平方米)

方法三：还可以运用平移的方法，将道路移到菜地的边沿，先求出四个小长方形组成的长方形面积，

再求出其中每一小块菜地的面积．如图所示： （[16?2）?（8?2）]?4?84?4?21(平方米)

【例 4】 有10张长3厘米，宽2厘米的纸片，将它们按照下图的样子摆放在桌面上，那么这10张纸片所盖

住的桌面的面积是多少平方厘米？

16米16米

【解析】 通过操作，一张一张的添加，可以发现每多盖一张，遮住的面积增加2?1平方厘米，所以这10张纸

片盖住的面积是：3?2?2?1?9?24(平方厘米)．

【例 5】 下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积.

20－55820820 【解析】 所求面积等于图中阴影部分的面积，为(20?5?20)?8?2?140(平方厘米)．

【巩固】两个相同的直角三角形如下图所示(单位：厘米)重叠在一起，求阴影部分的面积.

ADBO32ECF

【解析】 阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面

3

积.因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积.直角梯形OEFC的上底为10?3?7(厘米)，面积为(7?10)?2?2?17(厘米2). 所以，阴影部分的面积是17平方厘米。

【例 6】 如图，李大伯给一块长方形田地喷药，喷药器所能喷洒的范围是以李大伯的落脚点为中心，边长2

米的正方形区域，他从图中的A点出发，沿最短路线(图中虚线)走，走过88米到达B点，恰好把这块田地全部喷完，这块田地的面积是多少平方米？

A1米1米B

【解析】 从图中可以看出，李大伯每走1米，就能喷洒(2?1?)2平方米田地，李大伯一共走了88米，所以这

块田地的面积是2?88?176(平方米)．

【例 7】 (第六届”走进美妙的数学花园”中国青少年数学论坛趣味数学解题技能展示大赛初赛)右图中甲的

面积比乙的面积大__________平方厘米．

4厘米乙8厘米甲6厘米

【解析】 甲的面积?白色三角形的面积?(8?6)?2?24(平方厘米)，

乙的面积?白色三角形的面积?(8?4)?2?16(平方厘米)， 所以，甲的面积?乙的面积?24?16?8(平方厘米)

【例 8】 右图中，矩形ABCD的边AB为4厘米，BC为6厘米，三角形ABF比三角形EDF的面积大9平方

厘米，求ED的长．

AFED

EC?(4?6?9)?6?2?5(厘米)，ED?EC?DC?1(厘米)． 【解析】

【巩固】如图所示，CA?AB?4厘米，△ABE比△CDE的面积小2平方厘米，求CD的长为多少厘米？

DCEABBC

BC△ABE△CDE【解析】 连接两点，由比的面积小2平方厘米，

根据差不变原则可得2?S△CDE?S△ABE??S△CDE?S△CBE???S△ABE?S△CBE?

4

?S△CDB?S△ABC由于S△ABC?4?4?2?8(平方厘米)，所以 S△CDB?8?2?10，所以CD?10?2?4?5(厘米)

【巩固】如图，平行四边形ABCD种，BC?10cm，直角三角形ECB的边EC?8cm，已知阴影部分的总面

积比三角形EFG的面积大10cm2，求平行四边形ABCD的面积．

EAFGD

【解析】 三角形面积?底?高?2．

SSABCDABCDBC?S?SABFEBC?SCDG?S梯形FBCG?SEFG?10?S梯形FBCG?10?10?8?2?10?50（cm2）

【例 9】 如图，ABCD是7?4的长方形，DEFG是10?2的长方形，求BCO与EFO的面积差．

ABABDGCOEFDCOEF G【解析】 如右图所示，我们把BCO与EFO同时补上阴影部分，则它们的差是不变的，即有：

SSBCOBCO?S?SEFOEFO?（SBCO?S阴影）?（SEFO?S阴影）?SBHF?SCEFH?（4?2）?（10?7）?2?（10?7）?2?3

本题还可以按照下面添加辅助线的方法去解答，可以让学生自己试试看．

ABABABDGCOEFDGCOEFDGCOEF

【例 10】 有一个长方形菜园，如果把宽改成50米，长不变，那么它的面积减少680平方米，如果使宽为

60米，长不变，那么它的面积比原来增加2720平方米，原来的长和宽各是多少米？

5060680平方米2720平方米

【解析】 根据题意，可以用下图表示增减变化的情况，从图中可以看出，原来长方形的长为

(2720?680)?(60?50)?340(米)，宽为680?340?50?52(米)．

【巩固】有一个长方形，如果宽减少2米，或长减少3米，则面积均减少24平方米，求这个长方形的面积？

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【解析】 为了方便叙述，将某些点标上字母，如右上图。

3211大正方形的面积为????1，所以大正方形的边长应为1.上面两个长方形的面积之比为

105510324111:?3:4，所以LG?．下面两个长方形的面积之比为:?2:1，所以IG?．那么105751034155525． LI???，那么阴影小正方形的面积为??73212121441

【例 40】 长方形ABCD的周长是30厘米，以这个长方形的每一条边为边长向外画正方形．已知这四个正

方形的面积之和为290平方厘米，那么长方形ABCD的面积是多少平方厘米？

E1D1EDC1CBA1A

【解析】 从图形我们可以看出，A1B的长度恰好为长方形的长与宽之和，即为长方形ABCD周长的一半，可

以看出若以A1B和BC1为边能构成大正方形A1BC1E1(如右下图所示)，其中包含两个长方形和两个正

方形，而且两个长方形的面积是相等的，两个正方形的面积刚好是290平方厘米的一半．这样我们容易求出：大正方形A1BC1E1的边长为30?2?15厘米，面积为：15?15?225平方厘米，正方形

290?2?145(平方厘米)．CDD1C1与正方形ADEA1的面积之和为：长方形ABCD与长方形EDD1E1的

面积相等．所以，长方形ABCD的面积为：(225?145)?2?40(平方厘米)．

【巩固】(第四届华杯复赛试题)如图，长方形ABCD的周长是16厘米，在它的每一条边上各画一个以该边为

边长的正方形，已知这四个正方形的面积和是68平方厘米，求长方形ABCD的面积？

IADHDGFABCBCE

【解析】 利用”扩”的思想，将左图转化为右图，那么正方形IBEG的面积就等于长方形ABCD周长一半的

2（16?2）?64(平方厘米)，平方，即长方形ABCD与DFGH是完全一样的，而正方形IADH与DCEF

（64?68?2）?2?15(平的和等于题目种已给的四个正方形面积的一半，所以长方形ABCD的面积为：

方厘米)．

【例 41】 一条白色的正方形手帕，它的边长是18厘米，手帕上横竖各有二道黑条，黑条宽都是2厘米，

这条手帕白色部分的面积是多少？

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【解析】 方法一：由于手帕边长是18厘米，所以手帕的面积是18?18?324(平方厘米)．

要求白色部分的面积，只需减去红色部分的面积就可以了．

红色部分是四个长为18厘米，宽为2厘米的红色长条，所以这四个红色长条面积是：4?18?2?144(平方厘米)，但每个横红条与每个竖红条在交叉处重叠一个边长为2厘米的正方形，即多计算了2?2?4(平方厘米)，因此两个横红条与两个竖红条共重叠4?4?16(平方厘米)，所以两个横红条与两个竖红条覆盖的面积为144?16?128(平方厘米)，

所以这块白手帕白色部分的面积是324?128?196(平方厘米)

方法二：换个方式思考：把竖的两个红条平行移动一下，使它们紧贴在一起，再移到紧贴正方形的

左端边上，把横的两个红条也做同样的位置平移，使它们紧贴在正方形下端的边上，如图所示．

这样通过平移横、竖红条后使原来分散的白色部分集中起来了，而且所得图形的白色部分的面积不变．这时白色部分面积一目了然，它等于变成为14厘米的正方形面积，即14?14?196(平方厘米)

【例 42】 用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示．如

果铺满这块地面共用101块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？

图１ 图2

【解析】 我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过平移这种动态的处理，移到两条边上(如

图2)．在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成一个正方形．大正方形的边长上能放(101?1)?2?51(块)，白色瓷砖组成的正方形的边长上能放：51?1?50(块)，所以白色瓷砖共用了：50?50?2500(块)．

【例 43】 7个完全相同的长方形拼成了图中阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？

【解析】 由图可知，长方形的长是宽的4倍，宽的6倍是24厘米，则长方形的宽是4厘米，故图中空白部分

的面积是4?4?2?32(平方厘米)．

【巩固】如图所示，7个完全相同的长方形拼成了图中的阴影部分，图中空白部分的面积是多少平方厘米？

2422

【解析】 对长方形进行平移，如图可看出：长?4个宽，长?2个宽?24．

（4?2）?（4cm）易求出宽为24?． （cm）长为：4?4?16．

（cm2）空白部分面积为16?4?7?448．

【例 44】 (第五届”祖冲之杯”数学邀请赛)如右图所示，在长方形ABCD中，放入六个形状大小相同的

长方形(尺寸如图)，图中阴影部分的面积是__________．

DC6A14B

【解析】 由图中可以看出

小长方形的长?3?小长方形的宽?14，小长方形的长?小长方形的宽?6． 第二式乘以3再与第一式相加得 4?小长方形的长?14?6?3?32．

所以小长方形的长?8，小长方形的宽?2，

小长方形的面积8?2?16，大长方形的面积?14?(6?2?2)?140， 阴影面积?140?6?16?44．

【例 45】 若干同样大小的长方形小纸片摆成了如图所示的图形．已知小纸片的宽是12厘米，问阴影部分

的总面积是多少平方厘米？

【解析】 从图中可以看出5个长=3个长+3个宽，则得2个长=3个宽，所以长方形的长为：3?12?2?18(厘

米)，阴影小正方形的边长=长-宽，边长是18?12?6(厘米)，阴影部分面积是6?6?3?108(平方厘米)．

【例 46】 一个大长方形若能分割成若干个大小不同的小正方形，则称为完美长方形．下面一个长方形是

由9个小正方形组成的完美长方形．图中正方形A和B的边长分别是7厘米和4厘米，那么这个完美长方形的面积分别是多少平方厘米？

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DABEAHBFCG

【解析】 为了叙述方便，我们将图中各个小正方形分别用字母表示(如图)．

设最小的正方形边长为x厘米，

又因为小正方形A的边长为7厘米，小正方形B的边长为4厘米，所以小正方形C的边长可以表示为7?x(厘米)，小正方形D的边长可以表示为7?x?x?7?2x(厘米)，小正方形E的边长可以表示为7?x?4?11?x(厘米)，小正方形F的边长可以表示为11?x?4?15?x(厘米)，小正方形G的边长可以表示为15?x?4?19?x(厘米)，小正方形H的边长可以表示为7?x?7?14?x(厘米)，观察大长方形可知：小正方形D、C、H的边长之和等于小正方形F、G的边长之和，可以列方程为：(7?2x)?(7?x)?(14?x)?(15?x)?(19?x)解得x?1从而可得小正方形C、D、E、F、G、

18?15?33(厘9厘米、10厘米、14厘米、18厘米、15厘米．大长方形的长为：H的边长分别为8厘米、

米)，宽为：14?18?32(厘米)，大长方形的面积为：33?32?1056(平方厘米)．

【巩固】(2008年中国台湾小学数学竞赛选拔赛)如图：有一个矩形可以被分割为11个正方形，其中最小的正

方形(阴影部分)面积为81cm2，请问这个矩形之面积为多少平方厘米？

jgehcabifd

【解析】 因为阴影部分的边长是9厘米，我们假设标号是a的正方形的边长是a，那么标号为b的正方形的边

第，2题标号是的正方形的边长是9?a?9?18?a，标号是的正方形的边长是长是9?ace18?a?9?2?7a，标号是d的正方形的边长是a?9?a?9?2a，标号是f的正方形的边长是a?9?2a?9?3a，标号是h的正方形的边长是27?a?18?a?45?2a，于是标号是g的正方形边长是9?3a?(27?a)?(a?9)?3a?27，于是标号是j的正方形边长是3a?27?9?3a?6a?18，于

（3a?27）?45?2a?9a?45，由是标号是i的正方形边长是3a?27?6a?18?9a?45，于是27?a?a?176此解出a?16．于是矩形的长是6a?18?9a?45?177，宽是9a?45?45?2，所以面积是

177?176?31152(cm2)．

【巩固】图中的长方形被分割成6个正方形，已知中央小正方形的面积是1平方厘米，求原来长方形的面积．

【解析】 由于中央的小正方形的面积为1平方厘米，所以这个小正方形的边长为1厘米．为了求出长方形的面

积，必须知道其它四个正方形的边长，这样就必须探究各个正方形边长之间的关系了．

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x+2x+3③④③④11①x⑤⑤①②x+1②xj

如左上图所示，把其余5个正方形依次编号，那么①号与②号正方形大小、形状完全相同．

不妨设①号正方形的边长为x，那么有：⑤号正方形的边长为x?1，④号正方形的变成为(x?2)；③号正方形边长为(x?3)．

另一方面，从右上图可以看出，③号正方形的边长也等于①号与②号正方形边长的和减去中央阴影正方形的边长1，即等于(x?x?1)． 所以x?3?x?x?1，由此可得x?4．

原长方形的面积为：1?1?4?4?4?4?5?5?6?6?7?7?143(平方厘米)

【巩固】9个边长分别为1、4、7、8、9、10、14、15、18的正方形拼成一个长方形，问这个长方形的长和

宽是多少？并请画出这个长方形的拼接图．

15187102281941422

【解析】 长方形的面积为1?4?7?8?92?102?142?152?182?1056．

长方形的宽显然大于等于18，而1056?22?48?24?44?32?33，但18只有与4相加得22， 多出的18?4?14无法与其他数相加得出22，所以宽不能是22．

同理，宽不是24，因而长方形的宽是32，长是33，具体的拼法如图．

【例 47】 图中数字分别表示两个长方形和一个直角三角形的面积，另一个三角形的面积是 ．

？15125A15125

12?15?（2?5）?（2?A）【解析】 设这个三角形的面积为A，则如右图添加虚线后有，得A?9．

【例 48】 如图，一个矩形被分成八个小矩形，其中有五个矩形的面积如图中所示(单位：平方厘米)，问

大矩形的面积是多少平方厘米？

G36A1612G36S1CBF20E30DA16S212CBF20E30S3D

【解析】 方法一：通过分析题目中的已知条件可以看出，面积为16平方厘米和面积为20平方厘米的两个长方

形的宽相等，即BC相等，不妨假设BC?2厘米，可以算得：AC?8厘米，CD?10厘米．于是可

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