机械工程测试原理与技术（第2版）（课后习题答案）

重大&西华大学

《测试技术与信号分析》

习题与题解

适用专业: 机械类、自动化 课程代码: 学 时: 42-48 编写单位:机械工程与自动化学院 编 写 人: 余愚 审 核 人: 审 批 人:

第二章 习题解答

2-1．什么是信号？信号处理的目的是什么？

2-2．信号分类的方法有哪些？

22-3．求正弦信号x?t??Asin?t的均方值?x。 解：

1T21T22???x?t?dt??Asin?tdtT0T022T222T21?cos2?t2?A?sin?tdt?A?dt

00TT222?Tsin?T?A2?A????T?44??22xA2也可先求概率密度函数：p(t)?则：???xp(x)dx?。

22??2?A?x12x?2

2-4．求正弦信号x?t??Asin(?t??)的概率密度函数p(x)。

xdt1??,?Adx?1Ax1?()2A?1解： ?t?arcsin?A?x22

代入概率密度函数公式得：

?t?12dt1?2?p(x)?limlim??????x?0?x?x?0T???TA2?x2??dxT

21??222??A2?x2?A?x?

2-5．求如下图所示周期性方波的复指数形式的幅值谱和相位谱

x

-T

解 在x(t)的一个周期中可表示为

t

-T1

T1

T

?1x(t)???0t?T1T1?t?T2

该信号基本周期为T，基频?0=2?/T，对信号进行傅里叶复指数展开。由于x(t)关于t=0对称，我们可以方便地选取-T/2≤t≤T/2作为计算区间。计算各傅里叶序列系数cn 当n=0时，常值分量c0：

c0?a0?当n?0时，

2T11T1 dt???T1TT1jn?0Te?jn?0tT1?T1cn?最后可得

1T?T1?T1e?jn?0tdt??

?ejn?0t?e?jn?0t?cn???n?0T?2j?2cn?其幅值谱为：cn?

注意上式中的括号中的项即sin (n?0 T1)的欧拉公式展开，因此，傅里叶序列系数cn可表示为

2sin(n?0T1)2??sinc(n?0T1)，n?0

n?0TT2T1sinc(n?oT1)，相位谱为：?n?0,?,??。频谱图如下： T

Cn 2T1/T

?/T1 ??00

Cn

2T1/T

?/T1

? 0?0 ?n ? ? 0??

2-6．设cn为周期信号x(t)的傅里叶级数序列系数，证明傅里叶级数的时移特性。 即：若有

FSx?t????cn

则 x?t?t0????eFS?j?0t0cn

证明：若x(t)发生时移t0（周期T保持不变），即信号x(t- t0)，则其对应的傅立叶系数为

'cn?1?j?0t??xtedt ?TT令??t?t0，代入上式可得

'cn?1x???e?j?0(??t0)d??TT1?e?j?0t0?x???e?j?0?d?

TT?e?j?0t0cn因此有

FSx?t?t0????e?j?0t0cn?e?j(2?/T)t0cn

同理可证 证毕！

FSx?t?t0????e?j?0t0cn?e?j(2?/T)t0cn

2-7．求周期性方波的（题图2-5）的幅值谱密度

解：周期矩形脉冲信号的傅里叶系数

Cn?2T11T?jn?0tedt?sinc(n?0T1) ??TT1T2T1sinc(n?0T1)?(??n?0)

n???T则根据式，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换，有

X(?)?2???此式表明，周期矩形脉冲信号的傅里叶变换是一个离散脉冲序列，集中于基频?0以及所有谐频处，其脉冲强度为4?T1/T0被sinc(t)的函数所加权。与傅里叶级数展开得到的幅值谱之区别在于，各谐频点不是有限值，而是无穷大的脉冲，这正表明了傅里叶变换所得到的是幅值谱密度。

2-8．求符号函数的频谱。

?1?解：符号函数为 x(t)???1?0?t?0t?0 t?0可将符号函数看为下列指数函数当a?0时的极限情况

??eatt?0解 x(t)?sgn(t)??at

t?0?e???0X?f???x?t?e?j2?ftdt?lim??e?at.e?j2?ftdt??eat.e?j2?ftdt??????a?0??0???11?lim?? ?a?0a?j2?fa?j2?f????j?f?1j?f2-9．求单位阶跃函数的频谱：

解：单位阶跃函数可分解为常数1与符号函数的叠加，即

t?0?1?(t)??1/2t?0

?0t?0?1?(t)??1?sgn(t)?

2所以：

?(f)???(f)?2?j?f??

2-10．求指数衰减振荡信号x1?1??t??e?atsin?0t的频谱。

1??at?j?tesin?t?edt0?02?1??(a?j?)t?esin?0td 解： ?02?jsin?0t?(e?j?0t?ej?0t)2X(?)?1j??(a?j??j?0)t()?e?e?(a?j??j?0)tdt2?20?1j?11?()??? 2?2?(a?j?)?j?0(a?j?)?j?0?X(?)????

?0122?(a?j?)2??0FTx?t????X?f? FTx?t?e?j2?f0t???X?f?f0?

2-11．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的频移特性 即：若 则

证明：因为 又因为

F[e?i2?f0t]??(f?f0)

FTx?t?e?j2?f0t???X?f0?*F[e?i2?f0t]

FTx?t?e?j2?f0t???X?f0?*?(f?f0)?X?f?f0?

证毕！

2-12．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的共轭和共轭对称特性

FT即：若 x?t????X?f? 则

式中x*(t)为x(t)的共轭。

FTx*?t????X*??f?

证明： x?t??*?????X(f)ej2?ftdf

*???X?f???x(t)e?j2?ftdt??????? 由于

??上式两端用 -f 替代 f 得

????x*(t)ej2?ftdtX*??f???????x*(t)e?j2?ftdt

上式右端即为x*(t)的傅里叶变换，证毕！

特别地，当x(t)为实信号时，代入x*(t)= x(t)，可得X(f)共轭对称，即

X??f??X*?f?

2-13．设X(f)为周期信号x(t)的频谱，证明傅里叶变换的互易性 即：若 x?t????X?f?

FT则 X?t????x??f? 证明：

FT由于 x(t)?

以 -t 替换 t 得

?????X(f)ej2?ftdf X(f)e?j2?ftdf

x??t???????

上式 t 与 f 互换即可得

x??f???证毕。

特殊情况,当x?t?为偶函数时，

????X(t)e?j2?ftdt

即 X?t??x??f?

FTX?t????x?f?

2-14．用傅里叶变换的互易特性求信号g(t)的傅里叶变换G(f)，g(t)定义如下：

g?t??且已知

?at2 21?t2a 22a??2?f?2j2?ftedf ???1?f2??x(t)?eFT???X(f)?解：当a=2?，不难看出g(t)与X(f)非常相似。代入a=2?，根据傅里叶变逆换有

e?2?t??2?2?1j2?ftedf???2??2??2??2?f?2??等式两端同时乘以2?，并用-t替代变量t得

2?e交换变量t和f得

?2?t??2?j2?ftedt

??1?f2??2?e上式正是g(t)的傅立叶变换式，所以

?2?f??2?j2?ftedt

??1?t2??g(t)?

2-15．所示信号的频谱

2?2?fFT???G(f)?2?e 21?tx(t)?1x1(t?2.5)?x2(t?2.5) 2 式中x1(t), x2(t)是如图2-31b），图2-31c）所示矩形脉冲。

解：根据前面例2-15求得x1(t), x2(t)的频谱分别为

X1(f)?sin?fsin3?f 和X2(f)??f?f根据傅里叶变换的线性性质和时移性质可得：

X(f)?e

x(t)?j5?f?12sin?f?sin3?? ???f??tx2(t)x1(t)tt

图2-31

2-16．求信号x(t)的傅里叶变换

x(t)?e解：由例2-16已知 e?at?ata?0

1

a?j2?f?atat注意到x(t)为实偶函数， t >0 时x(t)?eu(t)，t<0 时x(t)?eu(?t)，所以

x(t)?e?atu(t)?eatu(?t)，根据线性叠加特性

FTu(t)???X(f)?Fe?atu(t)?Featu(?t)

FT又根据时间比例特性有x??t????X??f?，所以

1FTeatu(?t)???

a?j2?f最后得

????112a??2

a?j2?fa?j2?fa??2?f?2在实际应用中，一般a为?0的实数

1?f?FT 则 x?at????X??

a?a?X(f)?

2-17．已知信号x(t)试求信号x(0.5t) ，x(2t)的傅里叶变换

?1,x(t)???0,解：由例可知x(t)的傅里叶变换为

t?T1 t?T1X(f)?2T1sinc2?fT1

根据傅里叶变换的比例特性可得

如图2-32所示,由图可看出，时间尺度展宽(a<1.0)将导致其频谱频带变窄,且向低频端移动,

F?x(0.5t)??F?x(2t)??1f??2T1sinc?2?T1??4T1sinc?4?fT1?0.50.5??1f??2T1sinc?2?T1??T1sinc??fT1?22??这种情况为我们提高设备的频率分析范围创造了条件,但是以延长分析时间为代价的;反之,时间

尺度压缩(a>1.0)会导致其频谱频带变宽,且向高频端扩展,这种情况为我们提高信号分析速度提供了可能。

2Tx(t/2)1a=0.5-1/2T1/2T-Tx(t/2)Tta=1.0-1/Tf1T1/T-T/2T/2x(t/2)t1 f1a=2.0-2/TT/22/T-T/4T/4t1 f

题图2-17 时间尺度展缩特性示意图

2-18．求同周期的方波和正弦波的互相关函数

解：因方波和正弦波同周期，故可用一个周期内的计算值表示整个时间历程的计算值，又根据互相关函数定义，将方波前移τ秒后计算：

3T??T?1?T4??4Rxy(?)????1?sin?tdt??T1?sin?tdt??3T?1?sin?tdt?????T?044?3T??T??1??T4?cos?t0?cos?tT4?cos?t3T????4?4?T?????12??????3??????3??? cos????1?cos????cos????1?cos?????????????2222??????????1?4sin??2?2?sin??

?2-19．求信号x(t)?e?atu(t)的自相关函数。 解：由定义

Rx(?)?????x(t)x(t??)dt??e?atu(t)e?a(t??)u(t??)dt??????

?e?a??e?2atu(t)u(t??)dt其中积分的被积函数的非零区间为t?0与t???0的交集，即t?max(0,??)。因此，当??0时，上式为

Rx(?)?e当??0时，则有

?a???a???0e?2atdt?e?at?(1?2at?1?ate)0?e ?2a2aRx(?)?e综合有

???e?2atdt?e?a??(1?2at?12a?1a?e)???e?a?(0?e)?e ?2a?2a2aRx(?)?

1?a?e 2a2-20．下面的信号是周期的吗？若是，请指明其周期。 （1）f(t)?asint?bcost （30） 53t?（2）f(t)?asint?bcost （12?）

633?8（3）f(t)?asin(t?) （?）

433（4）f(t)?acos(t????

2-21．如图所示，有N?2n?1个脉宽为?的单位矩形脉冲等间隔（间隔为T??）地分布在原点两侧，设这个信号为x(t)，求其FT。

解：由题意，

4? 8

（）)5x(t)?m??n?xn0(t?mT)

其中x0(t)?G?(t)，其FT为X0(?)??sinc(??2)。根据FT的时移特性，可以求得

ejm?T?e?j(n?1)?T?n?jm?T?X(?)?X0(?)??e??X0(?)?1?e?j?T?m??n?ej?T/2(ejN?T/2?e?jN?T/2)?X0(?)??j?T/2j?T/2e(e?e?j?T/2)(ejN?T/2?e?jN?T/2)?X0(?)?(ej?T/2?e?j?T/2)N?Tsin()2?X0(?)??Tsin()2下面分析一下所求的结果。

N?T)2m?2当??时，由罗彼塔法则可以求得?N，因此X(?)?NX0(?)，是单

?TTsin()22m?个矩形脉冲频谱X0(?)的N倍，这是N个矩形脉冲的谱相互叠加的结果；而当??（m不

NTN?Tsin()2是N的倍数）时，。 ?0，这是N个谱相互抵消的结果。见图（b）?Tsin()2sin(可以看出，如果N不断增大，这些等间隔分布的矩形脉冲的频谱能量逐渐向离散点

2m?处集中，而且幅度也越来越大。特别地，当N??时，时域信号变成了周期矩形脉T2m?冲信号，而频域则变成了只在离散点??处有值的离散谱，在这些点处的频谱幅度变成

T??了冲激信号（因为能量趋于无穷大）。这也应验了：借助于冲激信号，周期信号也存在FT。

2-22．“时域相关性定理”可描述如下

F[Rxy(?)]?X(f)?Y(f)

试证明。

下面给出两种证明方法。 证明1：

??F[Rxy(?)]???x(t)?y*(t??)dt?e?j2?f?d?????????????????x(t)??y*(t??)e?j2?f?d??dt???????????y*(t??)e?j2?f(??t)d(??t)?dt?e?j2?ftx(t)????????????????

?x(t)e?j2?f?dt???y*(?(??t))e?j2?f(??t)d(??t)??????????X(f)?Y*(f)这里利用式：F[y*(?t)]?Y*(f)，是FT的“反褶共轭”性质。

证明2：

根据相关运算与卷积运算之间的关系

Rxy(?)?x(?t)?y(t)

利用FT的“反褶共轭”性质，可以直接得到结论。

在式中，令x?y，则可得

自相关的傅里叶变换

2F[Rx(?)]?X(f)?X*(f)?X(f)

式中说明，“函数相关的FT是其幅度谱的平方”，换句话说，“函数的自相关函数与其幅度谱的平方是一对傅里叶变换对”。

利用FT的奇偶虚实性，若y(t)是实偶函数，那么Y(f)也是实偶函数。这样我们就得到了一个特例结论，

F[Rxy(?)]?X(f)?Y*(f)?X(f)?Y(f)

即当y(t)是实偶函数时，相关性定理与卷积定理是一致的。 2-24．帕斯瓦尔定理

?证明：

???x(t)dt??2???2X(f)df

????f(t)dt??2????x(t)x*(t)dt*????x(t)?X(f)ej2?ftdf?dt????????(IFT定义)????????

?*?j2?ftx(t)??X(f)edf???dt????????j2?ft?X*(f)??x(t)edt??df????????????????

(交换积分次序)(FT定义)X*(f)X(f)dfX(f)df2

第三章 习题及题解

1

试说明二阶装置的阻尼比ζ多采用ζ＝（0.6~0.7）的原因

答： 二阶系统的阻尼比ζ多采用ζ＝（0.6~0.7）的原

因，可以从两个主要方面来分析，首先，根据系统不失真传递信号的条件，系统应具有平直的幅频特性和具有负斜率的线性的相频特性，右图所示为二阶系统的幅频特性和相频特性曲线，严格说来，二阶系统不满足上述条件，但在一定的范围内，近似有以上关系。在特性曲线中可以看出，当ω﹤0.3ωn时，ζ对幅频特性影响较小，φ(ω)－ω曲线接近直线。A(ω)在该范围内的变化不超过10％，可作为不失真的波形输出。在ω﹥(2.5～3.0)ωn范围内φ(ω)接近180?，且

A(?)543210?(?)0????????????????????????????????????1122??????-90?????????????????????????????????????3?????n3?????n-180?差值甚小，如在实际测量或数据处理中用减去固定相位差的方法，则可以接近不失真地恢复被测输入信号

二阶系统的幅频特性曲线和相频特性波形。若输入信号的频率范围在上述两者之间，由于系统的频率特性受ζ的影响较大，因而需作具体分析。分析表明，当ζ＝0.6～0.7时，在ω＝(0～0.58)ωn 的频率范围中，幅频特性A(ω)的变化不超过5％，此时的相频特性曲线也接近于直线，所产生的相位失真很小。

其次其他工作性能综合考虑，单位阶跃信号输入二阶系统时，其稳态输出的理论误差为零。阻尼比将影响超调量和振荡周期。ζ≥1，其阶跃输出将不会产生振荡，但需要经过较长时间才能达到稳态输出。ζ越大，输出接近稳态输出的时间越长。ζ﹤1时，系统的输出将产生振荡。ζ越小，超调量会越大，也会因振荡而使输出达到稳态输出的时间加长。显然，ζ存在一个比较合理的取值，ζ一般取值为0.6～0.7。

另外，在斜坡输入的情况下，ζ俞小，对斜坡输入响应的稳态误差2ζ/ωn 也俞小，但随着ζ的减小，超调量增大，回调时间加长，当ζ＝0.6～0.7时,有较好的响应特性。

综上所述，从系统不失真传递信号的条件和其他工作性能综合考虑，只有ζ＝0.6～0.7时，才可以获得最佳的综合特性。

2 试述信号的幅值谱与系统的幅频特性之间的区别 （1）对象不同，前者对象是信号；后者的对象是系统；（2）前者反映信号的组成，后者反映系统对输入信号不同频率成分的幅值的缩放能力（3）定义不同：处理方法各异：前者是对信号付氏变换的模，后者是输出的付氏变换与输入的付氏变换之比的模

3 已知信号

x(t)=5sin10t+5cos(100t-π/4)+4sin(200t+π/6)，通过传递函数为

H(s)?1的测试系统，试确定输出信号的频率成分并绘出输出信号的幅值谱。

0.005s?1解： 将输入信号的各次谐波统一写成Xisin(ωit+φxi)的形式 x(t)=5sin10t+5sin(100t+π/4)+4sin(200t+π/6)

信号x(t)由三个简谐信号叠加而成，其频率、幅值、相位分别为

频率 ω1=10 ω2=100 ω3=200 幅值Xi A1=5 A2 =5 A3=4 相位φxi φx1=0 φx2=π/4 φx3=π/6 设输出信号为y(t)，根据频率保持特性，y(t)的频率成分应与x(t)的频率成分相同，各频率成分的幅值和相位可由输入信号的幅值和相位与测试系统频率响应特性H(ω)确定，根据题设条件，可得系统的频率响应函数 H(?)?系统的幅频特性

1

0.005?j?1A(?)?

11?(0.005?)2

?(?)??arctg0.005?

幅值Yi= A (ωi) Xi Y1=4.99 Y2 =4.47 Y3=2.83 相位φyi=φ(ωi)+φxi φy1=－0.05 φy2=0.32 φy3=－0.26 输出信号y(t)的频率、幅值、初相位分别为

频率 ω1=10 ω2=100 ω3=200

绘出y(t)的幅值谱如右图。

?)Y(5432104080120160200?4 ω 在对某压力传感器进行校准时，得到一组输入输出的数据如下：

正行程平均值 反行程平均值 0.1 220.2 221.3 0.2 480.6 482.5 0.3 762.4 764.2 0.4 0.5 0.6 1532.8 1534.1 0.7 0.8 0.9 2211.6 2212.1 992.3 1264.5 993.9 1266.1 1782.5 2012.4 1784.1 2013.6 试计算该压力传感器的最小二乘线性度和灵敏度。

解 由校准数据得知，该压力传感器近似线性特性，迟滞误差较小，可用平均校准曲线来计算 根据3－14式

数据序号 1 0.1 220.75 0.01 2 0.2 481.55 0.04 3 0.3 763.3 0.09 4 0.4 993.10 0.16 5 0.5 1265.30 0.25 6 0.6 1533.45 0.36 7 0.7 1783.3 0.49 8 0.8 9 0.9 ∑ 4.5 xi yi 2013.0 2211.85 11265.6 0.64 0.81 2.85 xi2xiyi 22.08 96.31 228.99 397.24 632.65 920.07 1248.31 1610.4 1990.66 7146.71

x?y?n14.5x??4.5＝0.5 ?in9111265.6y??1251.73 ?in9n2Lxx??(xi?x)(xi?x)??xi?nx2?2.85?9?0.52?0.6

i?1i?1Lxy??xiyi?nxy?7146.71?9?0.5?1251.73?1513.93

i?1n1513.93?2523.2

Lxx0.6b?y?mx?1251.73?2523.2?0.5??9.87

m??最小二乘拟合直线方程式为

y=2523.2x－9.87-

再将各个输入值xi代入上式，依次找出输出－输入校正值与拟合直线相应点数值之间的最大偏差（见表？？？？），根据式(3-10)，

线性度＝ ?Lxy?LmaxA?100%??49.16?100%??2.2%

2211.850.4 993.10 0.5 1265.30 0.6 1533.45 0.7 1783.3 0.8 2013.0 0.9 2211.85 压力传感器的平均灵敏度用输出量和输入量的测量范围之比表示，

xi yi yi?y 0.1 220.75 0.2 481.55 0.3 763.3 242.45 494.77 -21.7 -13.22 747.09 999.41 1251.73 1504.05 16.21 -6.31 13.57 29.4 1756.37 2008.69 2261.01 26.93 4.31 -49.16 yi

S?y2211.85?220.75?mv?(kPa)?1?2488.88mv/kPa x0.9?0.1S=k=2523.2mv/kPa

也可以由拟合直线方程的斜率得到

5 试证明由若干个子系统串联而成的测试系统的频率响应函数为

H(?)??Hi(?)

i?1n由若干个子系统并联而成的测试系统的频率响应函数为

H(?)??Hi(?)

i?1n证明：图示为两个频率响应函数各为H1(?)和H2(?)串联而成的测试系统，假设两个子系统之间没有能量交换，系统在稳态时的输入和输出分别为x(t)、y(t)，显然，根据频率响应函数的定义，有

H(?)?即

Y(?)Y(?)Z(?)?? X(?)Z(?)X(?)H(?)?H1(?)?H2(?)

对于n个子系统串联而成的测试系统，可以将前(n-1)个子系统视为一个子系统，而把第n个子系统视为另一个子系统，应用两个子系统串联时频率响应函数的结论并递推可得 H(?)?n?H(?)

ii?1对于n个子系统并联而成的测试系统，如图所示，系统的稳态输出

y(t)?y1(t)?y2(t)?...?yn(t)

nY(?)Y1(?)?Y2(?)?...?Yn(?)???Hi(?) ∴ H(?)?X(?)X(?)i?1证毕。

6 某一阶温度传感器，其时间常数τ=3.5 (s)，试求：(1) 将其快速放入某液体中测得温度误差

在2％范围内所需的近似时间。2 ) 如果液体的温度每分钟升高5?C，测温时传感器的稳态误差是多少？

解：(1) 将温度传感器快速放入某液体中测量温度，属于其实质是阶跃输入

根据阶跃输入状态下，一阶系统的响应特征，当t约为4τ时，其输出值为输入值的98.2%，

(2) 如果液体的温度每分钟升高5?C，传感器的输入信号为斜坡输入

x(t)=5t/60 其拉氏变换为 X(s)=5/60s2 一阶系统的传递函数

H(s)?Y(s)1?X(s)?s?151?2 60s(?s?1)Y(s)?H(s)?X(s)?∴ y(t)?L[Y(s)]? 测温时传感器的稳态误差

e =5τ/60=0.29

7 试述线性系统最主要的特性及其应用

?15?[t??(1?e?t?)] 60线性系统最主要的特性是线性特性频率保持特性。

根据式3-2，线性特性表明，对于线性系统，如果输入放大，则输出将成比例放大；同时作用于线性系统的两个输入所引起的输出，等于两个输入分别作用于该系统所引起的输出的和，当多个输入作用于线性系统时，也有类似的关系。据此，在分析线性系统多输入同时作用下的总输出时，人们常常将多输入分解成许多单独的输入分量，先分析各分量单独作用于系统所引起的输出，然后将各分量单独作用的输出叠加起来便可得到系统总输出。

频率保持特性指线性系统的稳态输出y(t)，将只有和输入频率相同的频率成份，既

若 x(t)? 则 y(t)??Xi?1nii?1ni?ej?it

j(?it??i)?Y?e

也就是说，输出y(t)与输入x(t)保持相同的频率成分，由线性系统的叠加特性可知，多个

简谐信号叠加的输入，其输出必然有也只能有有与输入频率相同的频率成分。在测试工作中，人们常利用该性质，判断输出信号的信源，分析系统的传递特性，改善系统的信噪比，例如，一个系统如果处于线性工作范围内，当其输入是正弦信号时，它的稳态输出一定是与输入信号同频率的正弦信号，只是幅值和相位有所变化。若系统的输出信号中含有其他频率成份时，可以认为是外界干扰的影响或系统内部的噪声等原因所至，应采用滤波等方法进行处理，予以排除。

28?n2.48 试求由两个传递函数分别为 和2的两个子系统串联而成的测

3.6s?0.4s?1.3?ns??n2试系统的总灵敏度（不考虑负载效应）

解：在不考虑负载效应的条件下，由题给传递函数的两个子系统串联而成的测试系统的频率响应函数为

228?n2.4 H(?)??223.6?j＋0.4-??1.3?n?j??n系统的总灵敏度为

2S＝H(?)??02.428?n??0.4?n22?22.4

9 对某静态增益为3.0的二阶系统输入一单位阶跃信号后，测得其响应的第一个峰值的超调量

为1.35，同时测得其振荡周期为6.28s，试求该测试系统的传递函数和系统在无阻尼固有频率处的频率响应。

解：据题意，被测二阶系统是一个欠阻尼二阶系统，其最大超调量M1和阻尼比ζ的关系式

?＝（1

)2?1?lnM1将M1＝1.35/3.0＝0.45 代入上式，可得ζ＝0.24 其有阻尼固有频率为 ?d?2???n1??2 Td式中Td为振荡周期，由题设条件Td＝6.28，解出ωn＝1.316 该系统的传递函数为

H(s)?S?n22s2?2??ns??n?5.20 2s?0.63s?1.73

斯特频率fN的800Hz和1200Hz的谱线以fN为界向低频方向折叠，分别变为700Hz和300Hz，产生频混。此时离散信号的频谱如下：

5-6. 已知某信号的截频fc＝125Hz，现要对其作数字频谱分析，频率分辨间隔?f＝1Hz。问： 1)采样间隔和采样频率应满足什么条件？2)数据块点数N应满足什么条件？3)原模拟信号的记录长度T＝? 解:

1) 信号的带宽为125Hz，采样频率应该大于等于它的两倍，所以 fs?250Hz ， ??10 200 300 700 fN=750Hz f Hz

2 1.8A(f) 2.8fs?4ms。

2) 频率分辨间隔?f＝1Hz，所以N??1 s。如果取??4ms，则 N?250

若N 值取基2数，则N＝256。

3) 模拟信号记录长度T?N?理论上至少应在1.024秒以上。.

第八章题解

8-1 拟用固有频率fn=100Hz，阻尼比ξ= 0.7的惯性式测振装置（如图）测频率为f = 45Hz的加

速度时，其振幅误差为多少？又，若用此装置所记录频率为5Hz之振动位移的振幅范围为±0.1mm，则可测试的最大加速度为多少？

kmcxmxg 题图 8-1

8-1解：系统的振幅比为：

xom?n=??xog21[1?(?22?)]?4?2()2?n?n1=

[1?(50?222250?222)]?4?0.72?()100?2?100?2?2

=0.9747

x?所以 振幅误差为 omn?1?(0.9747?1)%??2.543%

??ogx由上式（1）可得：

??????og?xom.?n2??1?()2??4?2()2 x?n??n?对xom?0.1mm

52?52??og?0.1?(100x?220)2??1?()??4?0.72?()=39.5 (m/s2) ?100?100??og=39.5 (m/s2) xxom??0.1mm,?答: (1)振幅误差约为?2.543%

(2)可测试的最大加速度为 39.5 m/s2 .

8-2 如果有两只惯性式测振传感器，其固有角频率和阻尼率分别为ωn1 =250弧度/秒，ζ1 = 0.5；

ωn2 = 100弧度/秒，ζ2 = 0.6，现在要测量转速为n = 3500转/分电机的简谐振动位移，应当选用哪只传感器，为什么？

8-2解:n=3500转/分钟=366.5 弧度/秒=?

22?366.5?366.5==1.47<==3.67 ?1250?2100又由惯性式位移传感器的正确相应条件

?>> 1 ??0.6 ~ 0.7 ?1因此可选用?n2=100弧度/秒 ?2=0.6 的传感器

?()2x?n也可由 A(?)x?o1?

22x1[1?(?/?n)]?[2?(?/?n)] 对（1） ：

xo11.472＝＝１.15

222x1[1?1.47]?[2?0.5?1.47] 所以： xo1＝１.15 对（2） ：

xo23.67＝＝１.02=A(?)x?1

222x2[1?3.67]?[2?0.6?3.67] 所以： xo2＝１.02x2 又?2=0.66 较好

因此根据以上比较选用第二只．

8-3 应变式加速度传感器如图所示。加在弹簧悬臂上的质量m = 1.25kg，弹簧悬臂具有均匀的矩形横截面b=2cm，h=0.4cm，悬臂材料的弹性模量E=210GN/m2，悬臂和支座的质量忽略不计。在悬臂上对称的贴有四片相同的电阻应变片，并采用全桥连接的方式，应变片的灵敏系数K=2，电阻值R1 = R2 = R3 = R4 =120Ω，质量m的质心到应变片中心的距离L = 8cm。问： ⑴ 当应变仪读数为200微应变（με）时，每片应变片的电阻变化为多少？这时的水平加速度a又为多少？

⑵ 若用此加速度计测量振动频率为80次/秒的加速度是否合适，为什么？

解：该加速度计的固有频率

h向L向ba向向 题图 8-3

1 fn?2?1 ＝

2?

k1?m2?3EJ1?ml32?3Ebh3

12ml33?210?105?2?0.43?51.6HZ ?2312?1.25?10?8因惯性式加速度计用于测量加速时的条件是：

f＜＜１ 即 f＜＜fn fn而现在 f＝80 HZ > fn=51.6 HZ ,故不合适．

若一定要采用就必须对测试结果进行非线性修正．又，在设备工矿监测工作中，当采用相对的比较判据时，由于是进行相对比较判据，因而在一定的范围（不超过传感器能产生相应的频率范围）内，尤其当监测对象的特征频率在传感器线性程度所允许的工作频率范围内时，仍然可以使用．

(2) 因全桥连接，故?m?4?，??

1?m 4?R?k? R11?600.01?2 所以 ?R?k?R?k?mR??2?200?10?12?44Mma?l??E???2

Wbh/6E?bh2210?105?50?10?6?2?0.425602?所以：a?＝560 = cm/s6ml9816?1.25?10?2?8 =0.57g

Ns2?1.25?10?2 Ns2/cm 式中单位换算：m?1.25kg?1.25m29252 Ｅ＝210GN/m?210?10N/m?210?10N/cm

8-4 用于自动检验表面波纹的杠杆电触点位移传感器（如图）由与被检验表面接触的测量杆1

和增大测量杆位移L / l倍的杠杆3组成。测量杆由刚度为c 1 的弹簧2压向被检验表面，杠杆3固接在具有角刚度c 2 的板弹簧5上。当零件表面波纹超出许可范围时，触点4中的一个闭合——发出检测出废品的信号。检验工作的生产率与零件相对传感器移动的速度V成正比，然而，速度过大可能在B1点处破坏接触。若零件表面的数学方程为x = a sin 2πZ / A（式中A为粗造度波长），测量杆1的质量为m，杠杆3对饺链O的转动惯量为J，忽略摩擦力，测量杆安装在被检验表面时弹簧2有预张紧x 0，饺链处弹簧5有预张紧φ0，求零件移动的极限速度V*。

8-4解：杆1移动某值x引起的杠杆转动角度??x/l，在这种情况下当向上运动时弹簧2的力增大，而弹簧5中的减小。这

c1

B2

c2

B1

?，弹簧2的阻力c(x?x)，支座反力R和杠杆3的作用力等x时样在杆1上作用有惯性力—m?10???c2(???0)]/l。 于[J?这时杆1的运动微分方程为：

??(c1?c2/l2)x?(c1x0?c2?0/l)?R(m?J/l2)?x令：

杆的运动微分方程为：

2m?J/l2?M；c1?c2/l?c；c1x0?c2?0l?P0

（a）

恒定接触时的条件在于点B1处的反力不改变符号，也即R?0

因为表面轮廓用下列方程描述： 测量杆的运动方程具有形式

??cx?P0?RM?xx?asin2?z/A

x?asin?t (b)

式中 ?t?2?z/A?(2?/A)vt (c)

把（b）待入（a），并考虑到条件R?0，得到

(p0??2)asin?t?P0/M?0 (d) 式中p0?2c/M为仪表杆杆的移动频率。

22有两种可能破坏接触的情况。在状态p0??2，当?2?p0?P0/aM时接触可能破坏。

(c1l2?c2)a?p0Ma成立，则将不会发生接触的如果系统的参数这样选择，使条件P0?l2破坏。

当工作时?值在范围?2?p0，在该?值时接触可能破坏，由关系式（d）等于零（当

2sin?t1?1时）求得，于是

或者考虑到（d）得到极限速度值

?2?p02?P0/aM

2 V*?(A/2?)p0?P0/(am)

8-5 液位传感器（测量液体水平面的敏感构件）如图题8-5所示。由沉没在液体中的浮标（直径

为d，质量为m1），杠杆系统，刚度为c的弹簧和质量为m2的平衡重组成。当液面H0变化时，超过的推力移动浮标，通过杠杆系统带动自动记录器或操纵机构。设液体密度为ρ，忽略液体的惯性，试写出浮标的传递函数（先列出浮标微幅自由振动微分方程，然后求其传递函数）。

l1 l3 c m1m2 d

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