陈省身微积分讲义(五)：陈省身微积分讲义(五)_作者未知

曲面论(二)

YMÁX(®)

©Gauss-BonnetÚ*( )

2001511Û30

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曲面论(二)

2§ ¦ó{§Äu

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Þ',Gauss-BonnetÚB· yÒ ,ÄI· ²yÒ ê.{Gauss-BonnetÚBÒR:48ó8E°b $ÇwÁ,ÇR$wÁ,c748YÇwÁR½S{,ýÇ{ 4 $½{0S, GausswGKÒRwÁÞ{$Ç`j,·,I²YÇ`jé wÁÝÞpèI,YÇèIR$Ç2­èI,pÇèI , BYÇèÇ j(2π)ÆIwÁ{EulerCuj.ý

KdA=2πχ(M)

EulerCujÒR²wÁ5ÄfL ,U $ §l{0q,² ,Ùº Çj 0{Çj+Á{Çj,Yø3Çj{t { ÒwÁ{EulerCuj.hwÁRiÁ{ ,Ç{EulerCuj=2, BÁ,Ç{EulerCujR0.(¢,Ie$e,Ò!ztYÇ. Bw

2!I¯U,(öØ,,I ,ÄI, 5,§£§ø{Ù,I .Þ' rÇ{Yø¦,{Áè $(6.1)5q YÇwÇ¢Rǽ£ u·ÇRÞIÇAÇRÁ

曲面论(二)

SwÁ,YRÇ{ ${ À 5B.$Ä åu,48iÞ(¡Ç¢,¢{ÇjÒËEulerCuj ǧø:Y¢{ÇjÊGwwÁ{ZÂ(genus),YRwÁ3­§{ À 5B. c {R,YwÁ{u ,wÁÞb`j{u ËZ ·5{§ø,ÄIZÂR À 5B,ÇkGtwÁ{¡ u Ûu , : ­§{kG.ÄIrÇYt§øRiý£{,5hý£{.y$, R: § ,: c {.·Þ'yÒGauss-BonnetÚB,3§ {ÚBÒR

dω12= ω13∧ω23= Kω1∧ω2.(6.2)

·%ó­ $@.§ÏÄwÁX{ ,$½§ÏÄwÁÞ{A7.48 YÇA7,8A7{3Ç\ 7Þ 5 ,c7·¢4½ÇRÇ gø,ýóÜÇ E  $Ç gÝV8g,·¢48R gø.  ,é Yø¦A7,48( w $Ç7Þ ,ÙÇÜÇ7ÞÒh½ê.y ·¢4½ ®ÇRwÁ{\  7Þ,  $Ç, ®Ç½ê{ , Ç Ò½ê.G4Þ,·YR$Ç\ A7,Q0R gø( gA7),YÒq ½ê.ÄIé ó$Ç {Ä Y«ø¦{A7,$áY«A7 \kjø(oneparameterfamily),RÊâê$Ç5j.wÁR2 {,ò(ÞY {A7 $Çkj,ÄIwÁÄ A7R$Ç3 {8E.3 8E xYǺ ,½ÇówÁ{  ,Ç «ÜÇ ,l ò $Ç540S, $Ç ,y 54ó5Á°b,IÝ,ÄI õê$ .Yø¦ÒztÄ A7øÄÄ8E{3 {u . êA7ø, 1 ÿ ?y ê7Þ,(,I~ÚBuDCñu.7Þ IÞ,YIÞÒ j.·¢´j¦3§ {§ j.(§ j{ ,à Rïh{,c7 ~{0 (,I t{ÑRj.óì«cf¥ 1 èI§ ?·Fj¦Ì§{ø{RÏÄ`j,ÏÄÜÇøX{§ø.%óY§ø ,`j ´ê,ÄI èIR²Yǧø4u ,y$,I~Sj.7Þ,I(,üÇjøuÆ,ÄI èI̧{ÄÒR²8E{®X,²`j{®X4u ,Sj . êSjI ,(Ò,I®,ÄIÒ ~,y$ ­§.  êA7Äzt{ Û{G4R1 ?·²Y

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曲面论(二)

ÇA7wAxe1e2e3,

E={xe1e2e3|M½Se3R 7Þ,e1mbox4#%}(6.3)

e3R\ { 7Þ.x,e1,e2,e3ÑR7Þ,ÄIÇ¢{ I R$Ç7Þ. I R$' IB7Þ .y$,Ç¢,ID e1,e2,e3{$Ç4u( .·²dxD 4u( ,zt{øj·wAω1,ω2,

dx=ω1e1+ω2e2.

ω1∧ω2ÒRwÁ{ÁèÝÞ,R$Ç2' IB,Çhl,I~

I{èI`j(integral),ÄI²ÇèI{ ,ÒztYÇwÁ

{§ wÁ{®X{Yt B,(ó I¡ ÞI t.

zs, !q Ã{ , §ø.y Yt L RÊG

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̧R·óÏÄ3 8E{Euclid¡ .Euclid¡ 3 R~

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§ ,²Á Û¡ ,( ~t A7,({ÜÇCA

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A7,ÑR c{A7.Æ~ c{A7üuÿ®Y«¡ {

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{A7Rxe1e2e3,Y4ÇÑR7Þ.Ç¢{ I zt7Þ

I $Ç,ID e1,e2,e3{4u( . ·¢Ró$Ç3

YÒRÞÁ {YÇÚB(6.4) ¥Á{ÚB:

dei=ωijej.

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4(6.4)uAÇ­è{Áè.· ( !q I¡ ,I .Ç{ t A7,y.  ,$ÄFG{ ¦.,¤ Ç . R ,! w,CAø Rt ¯ . w7.ÄI,·$' I,Ä{8E,  (6.5)( ,Ç{4u( {B7§ 0A{Ç

曲面论(二)

øjR`j,%ó,øjR$' IB,Yt$' IB­§zi.y Çà $ÇA7ËÇø£A7{§ø:Çø£A7Ä$ ,ËÆu5 õè?5 R$Ç I,ÒR·¢{ωiËωij.Y¡Ç IB Y\{§ø,3§ {Rωij,( Çif&,i,j,1t3,bRy A7Rt {\ 7Þ,ÄIωijé i,jR'éÁ{.y$,(²ωij Ä$Ç3×3{0j{ ,YÇ0jR'éÁ{,Ç{én4{ãÑR0,c7é én4ÇR'éÁ{,ÄI 3Ç]t§ÿ®{$' IB.(§~A7uÏÄ¡ {Y«`Y,óŦi§l.Ŧ $ÇÔ ó  5Ä,  Ç{  ÒR0E{`j,y$,YA7R0E{`j.Y«`jóŦÞR$Ç5j{`j.y óŦÞ,óÄŦÞ,]t{5jR0E, $Ç.bR§ÏÄ¡ { ,`Yuz ì,,!YÇA7RËõ $Ç5j §ø,,IRõ5j{`j.y$Y EÒ t§ø,Y§øÒR(pd(dei).· D,(~Þd{ ,d~Ü'R0.ÄI(²Yǧø ñu{ ,ÒztdωijR$ÇB¦,,I~ÙÆ{ωuDC,YB¦R

dωij=ωik∧ωkj.(6.6)

(ztYø¦$(0Ç,YR cf{.y ωijR$' IB,(²Ç I{ R2' IB, ó 0RÜÇ$' IB5Æ,ÄI R2' IB,y$Y(0Ç ¯Ø.Y(0Ç: § ,Ç¢SDäÄkrÇ{u .Y(0Ç ø ì,Ù4: Y\,y YtωijR'éÁ{,ÄI Bi=j{ ,¾ , Bi=1,j=2,  k=3.YRy k§R 1, R ω11=0, §Rk 2,  ω22=0.ÄIY(0ÇB ø ì, 0 $I.iY\ ,(¤,Izt$Ç¡G`o,Òzt

dω12=ω13∧ω32= ω13∧ω23.(6.7)

YÇÚB§ ôê.·¢óYÇ`oÒ t$Ç {`Y:Qø(¢9 èI{0 ,$Ä $Ç8E,L $Ä R²ÁÒR3 8E,,R·¢%ó ÜÇ8E,$ÇRA7 jÄ{8E,R3 {; $ÇR·¢2 {wÁ,ÄI· $Ç2 wÁ¤ $Ç3 {8E,Y3 8ERÇA7.y$

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曲面论(二)

B$ÇA7,( ÇÆ { ,·¢ ÇÒaktwÁÞ ê,Yø¦Ò Çak.%óÇ ÇÖ#wA -.%óR˱-ê, R˱, $²Ë±, rÇ{˱ÄÄ{8EÒR·Æu{wÁ,·¢wÆu{wÁ 8E.üQ$ÇÆ {Ä \ 57ÞÒÄ , RèÄ -.ÇÒT·¢1q {, $0$0{4.3Y\{ -RÇ{ R 4,  ÇR 4-.·eø²Ç§0Ä$²M¦,( õM¦, $ÊM¦R0 4,  õM¦,rÇM¦Ä$Ç8E,YÒR·¢{ -,YR 4{`Y.·¢%óA{`YR˱-.YÇ 9R èI°b$Ç { 9,ÒR ,( RÿX$Ç8E, R(óÿXÜÇ8E,c7YÜÇ8E E ·5{§ø.$ÇR˱ÄÄ{8E,$ÇR·¢{ 8E, ÒRÆu{wÁ.YÜÇ8E E ·Ä {Yǧø,Yǧø c ôê,­§ôê,y ¥Á{§ø

dω12= Kω1∧ω2.(6.8)

0RwÁÞ{B¦,YRy KRGausswG,ω1∧ω2RÁèÝÞ,ÄI 0RwÁÞ{u .80R$ÇÀÜ{ I.ω12Ró -E°b{$' IB,YÇ$' IB{i I 0{B¦.YÇyÒ ÒGausswG ËRiemannÝÞ §,y §R êRiemannÝÞÒ ω12.  ·¢ 0{B¦ ËRiemannÝÞ §,YRGaussh5izc{$Ç B,ËGuassÑúzi zê Y ø¦$ǧø.Gauss-BonnetÚBÒR·¢§p 0YÇB¦{èI.·¢%ó $ÇU {wÁ,ÇR½S{,§p 0{èI,pñÇ{ u.  h0· $«FØ,y 0YÇB¦ lRd$ÇÀÜ{ ,ó$ÇU wÁÞ{èI R0.G4Þ,Ç ω12×øYÇwÁ{0 {èI, BwÁRU {,Ç 0 ,ÄI R0.Y#lRF{. 1 Ç 0?·¢¯l dω12= Kω1∧ω2,bYǧø Ró$Ç2 8EÞ,ÇRóEYÇ3 8EÞ.ÄI·¢ !êó3 8E¼~Stokes½®. ó3 8E{ ,YÇwÁó3 8E°bÒ 0 ê.(§²YÇwÁ t3 8E , ?ÒR §É$ÇüY AÆ {57Þ.¦é ,YÒRÄ¢{7

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曲面论(二)

Þ .ÄIYÇwÁ § Ç7Þ , Ç57Þ, YÇ57ÞRE°b{$Ç ,Ò²YÇwÁ tE°b .48 $ÇwÁ,R R$½ Ç7Þ ?Y Y\ê.óÛ {0 ,hliY\.( ¥CA,±4 t7Þ,Ò ê.R R!êórÇwÁÉ$Ç7Þ ,YR¡ °bÄ¢r {¯ ,ÊG ÀÒ´Yǯ . ÒR ,Û #l,I 7Þ{,( Û CA,(

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7 {,ø{b ,²DÆ 7 © ñÞ AÇ. {0¾¦i -° YÒ Þ ,A(.ÄA IÒ , 0{²ÛYÇ°¦ RÄÆ,{I 7( ñ t ÁR I±hâI7Ç { §ÄB{

曲面论(二)

èI, 0èIÊý 7Þ ,ÄI¦7Þ {  ç. 1 YÇjø EulerCuj ?%ó lÇË7Þ   ç,(Ò $Ç7Þ ,§0 ,48 ÇwÁ,(²wÁI¿ê,I¿ÄfL, ÇfLR®no.é Y®no, Ç0 Ç{¥ ,®no Ç{­e,(Ò,I½$Ç7Þ ,ÒT·Ä {.,º ñ ,l t®no{­eÒ .é Yø¦½{7Þ i R ñu,¦(ó0Þ{Y« { A 1. RÇóº { AR1,ó®no­e{ AÑR1,bRó0Þ Ç A 1.ÄI²Y A(åu{ ,Ò º {Çj+Á{Çj 0{Çj,y$ÒREulerCuj.Yø¦yÒêGauss-BonnetÚB.

4Gauss-BonnetÚ*{M ùa~

Gauss-BonnetÚB]t ~{0 RwÁ 0 .ówÁ 0 {0 ,Gauss-BonnetÚBRº +º {in+0{ wG(geodesiccurva-ture),ò(ÞóÁ{GausswG.¥ÁR$Ä{Gauss-BonnetÚB (π α)( )+kg(s)ds(0)+KdA(Á)=2πχ(M)(6.9)é 0 {wÁ,b$ IR0 º { wG,Ù'R0 {0{4wG,l rÇ{YÇÀÜ{ÁwG,ÄI( $Ç 0 {wÁ,(Ò 0 { wG+0 {4wG+ÁwG,REulerCuj.yÒR$ø{.]tGauss-BonnetÚB3 ~{R 0 {`Y.§0 ,ó$ÇEuclid²Á,48 $Ç®no,YÇ®no 4ÄÄ. 8EREuclid8E,GausswG=0;480ÑR 4,ÄI wG R0.y$YÇÒR (π α) 2π.YRy §R®no,EulerCujR1. 0§ 2π,ÄIYÒ Ò®no®n óEuclid²ÁÞ π.Gauss-BonnetÚBR®no®n ÚBó$Ä`o{w .YÇ 9­§ôê,ÇÒRrÇ -{ 9.· , YÇ -,Maxwell0ÇÒRYÇ`Y{w .(tÔ®Þ ~{0 ,({8ER4 ,R3 8E+1 0E,R4 {bUû o.  §DMaxwell0Ç{ ,(§~$Ç˱-,4 ÞR$Ç {

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曲面论(二)

4-.Ç ÇwG,·¢{wGRGausswGÆIÁèã, YÇwGRÇ2' IB,²DCYÇwGRU {0q ñuÒRMaxwell0Ç.ÄI,Maxwell0Ç{¡ òµR: Y\{,ÒRy E R4 {8E,ÄIR,2 8Ejßt4 .  YÇwGy R$Ç2' IB,¤R'éÁ{,y$ó4 8E°R$Ç4×40j:

E1 = E2 0E10B0

B2E2 B00B1E3 (Fαβ E3 . B1 B2 0(6.10)

YÇ0j°bE1,E2,E3RElectricPotential,B0,B1,B2RMagneticPoten-tial, ÒR QË Q,YtÑR0j°b{`j.DC YÇ0jÄDC{2' IBRU {,ýdYÇB¦{ I 0,ÒRMaxwell0Ç

d(Fαβdxα∧dxβ)=0.(6.11)

Gauss-BonnetÚBR$Ç»6ÞiõÜ5{.]t· {ÚB Gauss, Bonnet.Gauss Aê®no{`Y, ®noAt®no.Bonnet A À{ ~.Bonnet²®now t cw4,Ʋ cw4{ wGèID Gauss-BonnetÚB{èI.h5BonnetR A3§ {¡ ¦',Æó I¡ Aê: äý{à&.· (¢ê õè,·æ (¢ê Y$ I{j¦: § .Maxwell0ÇRÇ{¡G`Y,YÇ: ~ÿ.· $ ©9ó 5{ )¦ Þ D, øw Gauss-BonnetÚB¦Maxwell0Ç ,· { õ§ óY ©9°b .

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