第一轮复习自己整理绝对经典2016二项式定理--第一轮

二项式定理常见题型总结

1．二项式定理：

0n1n?1rn?rrnn(a?b)n?Cna?Cnab???Cnab???Cnb(n?N?)，

2．基本概念：

①二项式展开式：右边的多项式叫做(a?b)n的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数Cn(r?0,1,2,???,n). ③项数：共(r?1)项，是关于a与b的齐次多项式

rn?rrrn?rr④通项：展开式中的第r?1项Cnab表示。 ab叫做二项式展开式的通项。用Tr?1?Cnr3．注意关键点：

①项数：展开式中总共有(n?1)项。

②顺序：注意正确选择a,b,其顺序不能更改。(a?b)n与(b?a)n是不同的。

③指数：a的指数从n逐项减到0，是降幂排列。b的指数从0逐项减到n，是升幂排列。各项的次数和等于n.

012rn④系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn,Cn,Cn,???,Cn,???,Cn.项的系数是a与b的系

数（包括二项式系数）。

4．常用的结论：

令a?1,b?x,(1?x)?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???Cnx(n?N) 令a?1,b??x,(1?x)?Cn?Cnx?Cnx???Cnx???(?1)Cnx(n?N)

n0122rrnnn?n0122rrnn?5．性质：

kk?10n①二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即Cn，···Cn ?Cn?Cn

②二项式系数和：令a?b?1,则二项式系数的和为Cn 变形式Cn1012rn?Cn?Cn???Cn???Cn?2n，

2rn?Cn???Cn???Cn?2n?1。

③奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和： 在二项式定理中，令a?1,b??1，则:Cn从而得到：C

1

0n2n4n2rn0123n?Cn?Cn?Cn???(?1)nCn?(1?1)n?0，

1n3n2r?1n?C?C????C?????C?C???C1n??????2?2n?1

2

④奇数项的系数和与偶数项的系数和：

(a?x)n?C0nx0?C1n?12n?22n0n1nanax?Cnax???Cnax?a0?a1x?a2x2???anxn(x?a)n?C00n?C122n?2nn0naxnaxn?1?Cnax???Cnnax?anx???a2x2?a1x1?a0令x?1, 则a0?a1?a2?a3??an?(a?1)n?????????①令x??1,则a0?a1?a2?a3???an?(a?1)n????????②

(a?1)n?(a?1)n①?②得,a0?a2?a4??an?2(奇数项的系数和)?②得,a(a?1)n?(a?1)n①1?a3?a5??an?2(偶数项的系数和)n⑤二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2取得最大值。n?1n?1如果二项式的幂指数n是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn2,Cn2同时取得最大值。

⑥系数的最大项：求(a?bx)n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别 为A1,A2,???,An?1，设第r?1项系数最大，应有??Ar?1?ArA，从而解出r来。

?r?1?Ar?2题型一：求二项展开式

例1：求(3x?1x)4的展开式；

例2：求(3x?14x)的展开式；

题型二：二项式定理的逆用

例3：C1C2362???Cnn?n?6?Cn?n?6n?1? .

例4：计算1?3C1C23nnnn?9n?27Cn?....?(?1)3cn；

例5：C123nn?3Cn?9Cn???3n?1Cn? .

题型三：利用通项公式求xn的系数

2

例6：(x2?192x)展开式中x9的系数是（ ）

例7：在二项式(41?3x2)n的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有x3x的项的系数？ 例8：求(x2?12x)9展开式中x6的系数是 例9：??1?18的展开式中含x15的项的系数为 ?x?3x??真题：

【2015高考陕西，理4】二项式(x?1)n(n?N2?)的展开式中x的系数为15，则n?（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【2015高考广东，理9】在(x?1)4的展开式中，x的系数为 . 【2015高考四川，理11】在(2x?1)5的展开式中，含x2的项的系数是 （用数字作答）.

6【2015高考天津，理12】在???x?1?4x?? 的展开式中，x2的系数为 . 10【2015高考上海，理11】在???1?x?1?x2015??的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．题型四：利用通项公式求常数项

例10：求二项式(x2?12x)10的展开式中的常数项

例11：求二项式(2x?12x)6的展开式中的常数项

例12：若(x2?1x)n的二项展开式中第5项为常数项，则n?____.

题型五：二项式系数和问题（奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和）

例13：若(x2?1n3x2)展开式中偶数项系数和为?256，求n.

3

例14：若(3

例15：设二项式(33x?少？

151n?2)的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024，求它的中间项 xx1n)的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s,若p?s?272,则n等于多x?1?例16：若?3x????的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？

x??

【2015高考湖北，理3】已知(1?x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式 系数和为（ ） A.212

nB．211 C．210 D．29

题型六：最大系数，最大项；

例17：在二项式(x?1)的展开式中，系数最小的项的系数是

例18：求(x?

n例19：已知(?2x)，若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最

11124x)8展开式中系数最大的项

12大项的系数是多少？

例20：在(?

n例21：若展开式前三项的二项式系数和等于79，求(?2x)的展开式中系数最大的项？

x21n)的展开式中，只有第5项的二项式最大，则展开式中的常数项是多少？ 3x12 4

题型七：含有三项变两项或两个二项式相乘

1例22：(x??2)3的展开式中，常数项是 x

例23：(1?ax?by)展开式中不含x的项的系数绝对值的和为243，不含y的项的系数绝对值的和为32，则a,b,n的值可能为（ ）

A．a?2,b??1,n?5 B．a??2,b??1,n?6 C．a??1,b?2,n?6 D．a?1,b?2,n?53n例24：（x2?1)(x?2)7的展开式中，x项的系数是

例25：(x?

例27：求(1?2x)3(1?x)4展开式中x2的系数.

例28：求(1?3x)6(1? 真题：

【2015高考新课标1，理10】(x?x?y)的展开式中，xy的系数为( )（A）10 （B）20 （C）30 （D）60 【2012年高考安徽卷理科7】(x?2)(

21?2)9的展开式中，常数项是 x110)展开式中的常数项. 4x255215?1)的展开式的常数项是（ ） x25

(A)?3 (B)?2 (C)? (D)?

【2015高考新课标2，理15】(a?x)(1?x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a?__________．

题型八：赋值法

例29：设(2x?1)6?a6x6?a5x5?...?a1x?a0，则a0?a1?a2?...?a6?

例30：若(1?2x)

例31：若(x?2)5?a5x5?a4x4?a3x3?a2x2?a1x1?a0,则a1?a2?a3?a4?a5?____.

例32：若(x＋1)4(x＋4)8＝a0(x＋3)12＋a1(x＋3)11＋a2(x＋3)10＋?＋a11(x＋3)＋a12，则log2(a1＋a3＋a5＋?＋a11)＝_

2009?a0?a1x1?a2x2?a3x3???a2009x2009(x?R),则aa1a2?2?????2009的值为 2222009

真题：

【2012年高考湖北卷理科5】设a∈Z，且0≤a≤13，若51

2012

+a能被13整除，则a=

A.0 B.1 C.11 D.12

例36：求(x?

3

例37：在(3x－2x)11的展开式中任取一项，则所取项为有理项的概率P＝________.

6

13x)10的展开式中有理项共有 项

7

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