2020年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学二模试卷

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2020年陕西省西安市碑林区西北工大附中中考数学二模

试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）

1. 下列实数中，无理数是( )

A. 3.14

B. 2.12122

C. √93

D. 227 2. 如图是一个大正方体切去一个小正方体形成的几何体，它的左视图

是( )

A.

B.

C.

D.

3. 下列计算正确的是( )

A. (a +b)2=a 2+b 2

B. (?2a)30=?6a 3

C. a 4?a 2=a 8

D. (?1+a)(?a ?1)=1?a 2

4. 如图所示，已知AB//CD ，EF 平分∠CEG ，∠1=80°，则

∠2的度数为( )

A. 20°

B. 40°

C. 50°

D. 60°

5. 若正比例函数y =kx 图象的经过一、三象限，且过点A(2a,4)和B(2,a)，则k 的值

为( )

A. ?2

B. 2

C. ?1

D. 1

6. 如图，△ABC 中，AB =AC ，∠C =70°，BD 是AC 边

上的高线，点E 在AB 上，且BE =BD ，则∠ADE 的度

数为( )

A. 20°

B. 25°

C. 30°

D. 35°

7. 将直线L ：y =1

2x ?1向左平移4个单位长度得到直线L ，则直线L 的解析式为( ) A. y =12x +1 B. y =12x +2 C. y =12x +3 D. y =?1

2x +1

8.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接

OE.若OB=6，菱形ABCD的面积为54，则OE的长为()

A. 4

B. 4.5

C. 8

D. 9

9.如图，四边形ABCD内接于半径为6的⊙O中，连接AC，若

AB=CD，∠ACB=45°，∠ACD=1

2

∠BAC，则BC的长度为

()

A. 6

√3

B. 6√2

C. 9√3

D. 9√2

10.已知抛物线W：y=x2?4x+c，其顶点为A，与y轴交于点B，将抛物线W绕原

点旋转180°得到抛物线W′，点A，B的对应点分别为A′，B′，若四边形ABA′B′为矩形，则c的值为()

A. ?√3

2B. √3 C. 3

2

D. 5

2

二、填空题（本大题共4小题，共12.0分）

11.分解因式：ax2?4ay2=______．

12.已知正六边形的周长为12，则这个正六边形的边心距是______．

13.如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与反比例函数y=?8

x

(x<0)交于点A，

与反比例函数y=k

x

(k>0)交于点B，过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两直线交于点C，若△ABC的面积为9，则k的值为______．

14.如图，正方形ABCD的边长为4，点P在AD上，连接BP、

CP，则sin∠BPC的最大值为______．

三、解答题（本大题共11小题，共88.0分）

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第3页，共19页 15. 计算：13×

(13)?2?|1?√3|+3tan30°

16. 化简：(1?x 2?x+2

x+1)÷x?1

x+1

17. 如图，已知△ABC ，点D 在AB 边上，且∠ACD =90°，请用尺规作图法在BC 边上

求作一点P ，使得∠APC =∠ADC.(保留作图痕迹，不写作法)

18. 如图，已知点A ，D ，C ，B 在同一直线上，AD =BC ，

DE//CF ，AE//BF ；求证：AE =BF ．

19.2021年高考方案与高校招生政策都将有重大的变化，我市某部门为了了解政策的

宣传情况，对某初级中学学生进行了随机抽样调查，根据学生对政策的了解程度由高到低分为A，B，C，D四个等级，并对调查结果分析后绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息完成下列问题：

(1)求被调查学生的人数，并将条形统计图补充完整；

(2)求扇形统计图中的D等对应的扇形圆心角的度数；

(3)已知该校有1500名学生，估计该校学生对政策内容了解程度为D等的学生有多

少人？

20.如图，在建筑物顶部有一长方形广告牌架CDEF，已知CD=2m，在地面上A处测

得广告牌上端C的仰角为α，且tanα

=3

4

，前进10m到达B处，在B处测得广告牌

架下端D的仰角为45°，求广告牌架下端D到地面的距离．

21.在抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情过程中，某医药研究所正在试研发一种抑制新

型冠状病毒的药物，据临床观察：如果成人按规定的剂量注射这种药物，注射药物后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间的关系近似地满足图中折线．

(1)求注射药物后每毫升血液中含药量y与时间t之间的函数关系式，并写出自变量

的取值范围；

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(2)据临床观察：每毫升血液中含药量不少于4微克时，对控制病情是有效的．如

果病人按规定的剂量注射该药物后，求控制病情的有效时间．

22.现有A，B，C，D四张不透明的卡片，除正面上的图案不同外，其他均相同，将这

四张卡片背面向上洗匀后放在桌面上．

(1)从中随机取出一张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率是______；

(2)若从四张卡片中随机拿出两张卡片，请用画树状图或列表的方法，求抽取的两

张卡片都是轴对称图形的概率．

23.如图，已知以Rt△ABC的边AB为直径作△ABC的外接圆⊙O，∠B的平分线BE交

AC于D，交⊙O于E，过E作EF//AC交BA的延长

线于F．

(1)求证：EF是⊙O切线；

(2)若AB=15，EF=10，求AE的长．

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24.如图，已知抛物线y=?x2+bx+c与直线AB交于点

A(?3,0)，点B(1,4)．

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M是x轴上方抛物线上一点，点N是直线AB上

一点，若A、O、M、N以为顶点的四边形是以OA为边

的平行四边形，求点M的坐标．

25.问题发现

(1)如图①，△ABC为边长为2的等边三角形，D是AB边上一点且CD平分△ABC

的面积，则线段CD的长度为______；

问题探究

(2)如图②，?ABCD中，AB=6，BC=8，∠B=60°点M在AD上，点N在BC

上，若MN平分平行四边形ABCD的面积，且MN最短，请你画出符合要求的线段MM，并求出此时MN与AM的长度．

问题解决

(3)如图③，某公园的一块空地由三条道路围成，即线段AB、BC、AC?，已知AB=160

米，BC=120米，∠ABC=90°，AC?的圆心在AB边上，现规划在空地上种植草坪，并从AC?的中点P修一条直路PM(点M在AB上).请问是否存在PM，使得PM平分该空地的面积？若存在，请求出此时AM的长度；若不存在，请说明理由．

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第8页，共19页 答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：无理数是√93，

故选：C ．

根据无理数的三种形式，结合选项找出无理数的选项．

本题考查了无理数的知识，解答本题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数．

2.【答案】B

【解析】【分析】

找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中． 本题考查了三视图的知识，左视图是从物体的左面看得到的视图．

【解答】

解：从几何体的左边看可得到一个正方形，正方形的右上角处有一个小正方形， 故选：B ．

3.【答案】D

【解析】解：A 、原式=a 2+2ab +b 2，不符合题意；

B 、原式=230a 30，不符合题意；

C 、原式=a 6，不符合题意；

D 、原式=1?a 2，符合题意，

故选：D ．

各项计算得到结果，即可作出判断．

此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键．

4.【答案】C

【解析】解：∵EF 平分∠CEG ，

∴∠CEG =2∠CEF

又∵AB//CD ，

∴∠2=∠CEF =(180°?∠1)÷2=50°，

故选：C ．

由角平分线的定义，结合平行线的性质，易求∠2的度数．

首先利用平行线的性质确定内错角相等，然后根据角平分线定义得出所求角与已知角的关系转化求解．

5.【答案】D

【解析】解：∵正比例函数y =kx 的图象经过一、三象限，

∴k >0．

∵正比例函数y =kx 的图象过点A(2a,4)和B(2,a)，

∴{2ak =42k =a

， 解得：{a =2k =1或{a =?2k =?1

(舍去)． 故选：D ．

由正比例函数的图象经过的象限，利用正比例函数的性质可得出k >0，由正比例函数的图象经过点A ，B ，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出关于k ，a 的方程组，解

之取其正值即可得出结论．

本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及正比例函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征，找出关于k，a的方程组是解题的关键．

6.【答案】B

【解析】解：∵AB=AC，∠C=70°，

∴∠ABC=∠C=70°，

∵BD⊥AC，

∴∠DBC=20°，

∴∠ABD=50°，

∵BE=BD，

∴∠EDB=∠DEB=180°?50°

2

=65°，

∴∠ADE=180°?65°?90°=25°，

故选：B．

首先利用等腰三角形的性质求得∠ABC的度数，然后求得∠ABD的度数，再次利用等腰三角形的性质求得等腰三角形的底角的度数，从而求得∠ADE的度数即可．

考查了等腰三角形的性质，解题的关键是了解等腰三角形的等边对等角的性质，难度不大．

7.【答案】A

【解析】解：将直线：y=1

2

x?1向左平移4个单位长度得到直线L，

则直线L的解析式是：y=1

2(x+4)?1，即y=1

2

x+1．

故选：A．

利用一次函数“左加右减”的平移规律即可得出答案．

此题主要考查了一次函图象与平移变换，正确记忆平移规律“左加右减，上加下减”是解题关键．

8.【答案】B

【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，

∴OA=OC，OB=OD=1

2

BD，BD⊥AC，

∴BD=2OB=12，

∵S

菱形ABCD ═1

2

AC×BD=54，

∴AC=9，

∵AE⊥BC，

∴∠AEC=90°，

∴OE=1

2

AC=4.5，

故选：B．

由菱形的性质得出BD=12，由菱形的面积得出AC=9，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出结果．

本题主要考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质；熟练掌握菱形的性质是解题的关键．

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9.【答案】A

【解析】解：连接OA、OB，作BH⊥AC于H，如图，∵AB=CD，

∴AB?=CD?，

∴∠CAD=∠ACB=45°，

∵∠BAD+∠BCD=180°，

∴∠ACD+∠ACB+∠CAD+∠BAC=180°，

∵∠ACD=1

2

∠BAC

∴1

2

∠BAC+45°+45°+∠BAC=180°，解得∠BAC=60°，

∵∠AOB=2∠ACB=90°，

∴△OAB为等腰直角三角形，

∴AB=√2OA=6√2，

在Rt△ABH中，∠BAH=60°，

∴AH=1

2

AB=3√2，BH=√3AH=3√6，

在Rt△BCH中，∵∠BCH=45°，

∴BC=√2BH=√2×3√6=6√3．

故选：A．

连接OA、OB，作BH⊥AC于H，如图，先证明AB?=CD?，则利用圆周角定理得到∠CAD=∠ACB=45°，再利用圆内接四边形的性质计算出∠BAC=60°，接着利用圆周角定理得到∠AOB=90°，所以AB=6√2，然后在Rt△ABH中求出BH，最后在Rt△BCH中求出BC．

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．推论：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

10.【答案】D

【解析】解：由y=x2?4x+c=(x?2)2+c?4，得A(2,c?4)，则A′(?2,?c+4)，由y=x2?4x+c，得B(0,c)，则B′(0,?c)．

因为四边形ABA′B′为矩形，

所以AA′=BB′，即√42+(c?4+c?4)2=√(c+c)．

解得c=5

2

．

故选：D．

由抛物线解析式得到点A、B的坐标；然后根据对称的性质得到点A′，B′的坐标；最后根据矩形的性质解答．

本题主要考查了矩形的性质，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，根据对称的性质求得点A′、B′的坐标是解题的关键．

11.【答案】a(x+2y)(x?2y)

【解析】解：ax2?4ay2

=a(x2?4y2)

=a(x+2y)(x?2y)．

观察原式ax2?4ay2，找到公因式a，提出公因式后发现x2?4y2符合平方差公式，利

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用平方差公式继续分解可得．

本题考查了提公因式法和公式法分解因式，难点在于提取公因式后继续利用平方差公式进行二次因式分解．

12.【答案】6√3

【解析】解：如图，连接OA、OB；过点O作OG⊥AB于点G．

在Rt△AOG中，OA=AB=12，∠AOG=30°，

∴OG=OA?cos30°=12×√3

2

=6√3．

故答案为：6√3．

根据正六边形的特点，通过中心作边的垂线，连接半径，结合解直角三角形的有关知识解决．

此题主要考查正多边形的计算问题，正确掌握正六边形的性质是解题关键．

13.【答案】?2

【解析】解：设直线AB的解析式为y=ax，A(m,am)，B(n,an)，

∵△ABC的面积为9，

∴1

2

×(n?m)(am?an)=9，

∴a(n?m)2=18，

∵A(m,am)在反比例函数y=?8

x (x<0)图象上，B(n,an)在反比例函数y=k

x

(x>0)图

象上，

∴m?am=?8，n?an=k，即a=?8

m2

，k=an2，

∴?8(n?m)2

m2

=18，

而m<0，

∴2(n?m)=?3m，

∴m=?2n，

∴a=?8

4n2=?2

n2

，

∴k=?2

n2

×n2=?2．

故答案为?2．

设直线AB的解析式为y=ax，A(m,am)，B(n,an)，利用三角形面积公式得到1

2

×(n?m)(am?an)=9，则a(n?m)2=18，再利用反比例函数图象上点的坐标特征得到m?

am=?8，n?an=k，即a=?8

m2，k=an2，消去a得到?8(n?m)2

m2

=18，于是确定m

与n的关系为m=?2n，然后利用a=?2

n2

，k=an2求出k的值．

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．

14.【答案】4

5

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第12页，共19页 【解析】【分析】

本题主要考查了切线的性质，正方形的性质，解直角三角形等知识的，寻找点P 位置时有些难度，此问借助了圆周角定理以及外角的有关知识寻找到∠BPC 最大时点P 的位置，求∠BPC 的正弦值时巧妙的利用了三角形的面积的两种求解方程，减少了解直角三角形的步骤．作一个圆，使该圆经过B 、C 点且和AD 相切，由外角知识及圆周角定理可知∠BPC ≤∠BGC(P 、G 重合时取等号)，根据三角形的面积公式即可算出取最大值时sin∠BPC 的值．

【解答】

解：作一个圆，使该圆经过B 、C 点且和AD 相切，如图所示．

任取线段AD 上一点P ，连接BP 、CP ，令CP 与圆交于点G ，连接BG ．

∵∠BGC =∠BPC +∠PBG ，

∴∠BPC ≤∠BGC ．

当P 、G 两点重合时取等号，此时点P 为AD 的中点．

∵AD =AB =4，

∴AP =2，

由勾股定理得：BP =√AB 2+AP 2=√42+22=2√5，

∵△PBC 的面积S =12BP ?CP ?sin∠BPC =12×2√5×2√5sin∠BPC =12BC ?AB =12×4×4，

∴sin∠BPC =45

． 故sin∠BPC 的最大值为45．

故答案是45．

15.【答案】解：原式=13×9?(√3?1)+3×√33 =3?√3+1+√3

=4．

【解析】直接利用负整数指数幂的性质、绝对值的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．

此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

16.【答案】解：(1?x 2?x+2x+1)÷x?1x+1

=x +1?x 2+x ?2x +1?x +1x ?1

=?x 2+2x ?11?1x ?1

=

?(x ?1)2

x?1

=?(x?1)

=?x+1．

【解析】根据分式的减法和除法可以解答本题．

本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法．

17.【答案】解：如图，以AD为直径作圆交BC于点P．

点P即为所求．

【解析】用尺规作图法在BC边上求作一点P，使得∠APC=∠ADC即可．

本题考查了作图?复杂作图，解决本题的关键是掌握圆周角定理．

18.【答案】解：∵DE//CF，

∴∠CDE=∠FCD，

∴∠ADE=∠BCF，

∵AE//BF，

∴∠A=∠B，

在△ABE和△ADF中，

{

∠A=∠B

AD=BC

∠ADE=∠BCF

，

∴△ADE≌△BCF(ASA)，

∴AE=BF．

【解析】由DE//CF，得∠CDE=∠FCD，进而由补角性质得∠ADE=∠BCF，再由AE//BF，得∠A=∠B，再由“ASA”可证△ADE≌△BCF，最后由全等三角形的性质得结论．

本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，补角的性质，熟练运用全等三角形的判定方法是本题的关键．

19.【答案】解：(1)50÷25%=200人，

200×60%=120人，200?120?50?

20=10人，

答：调查人数为200人，补全条形统计图

如图所示：

(2)360°×10

200

=18°，

答：扇形统计图中的D等对应的扇形圆心

角的度数为18°；

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第14页，共19页 (3)1500×10200=75人， 答：该校1500名学生中对政策内容了解程度为D 等的学生大约有75人． 【解析】(1)从两个统计图中可得B 组的人数为50人，占调查人数的25%，可求出调查人数，从而计算出A 等人数和D 等人数，补全条形统计图，

(2)用360°乘以D 组所占的百分比即可，

(3)样本估计总体，用样本中D 组所占的百分比乘以总人数即可．

考查条形统计图、扇形统计图的制作方法，从两个统计图中获取有用的数据，理清统计图中各个数据之间的关系是解决问题的关键，用样本估计总体是统计中常用的方法．

20.

【答案】解：延长CD 交AB 的延长线于H ，则CD ⊥AB ， 设DH =xm ，则CH =(x +2)m ，

在Rt △DHB 中，tan∠DBH =DH BH ，

∴BH =DH

tan∠DBH =xm ，

则AH =AB +BH =(x +10)m ，

在Rt △CAH 中，tan∠CAH =tanα=CH AH ，即x+2x+10=34，

解得x =22．

答：广告牌架下端D 到地面的距离为22m ．

【解析】延长CD 交AB 的延长线于H ，设DH =xm ，利用正切的定义用x 表示出BH ，根据正切的定义列式计算即可．

本题考查的是解直角三角形的应用?仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．

21.【答案】解：(1)当0≤t ≤1时，设y =k 1t ，则6=k 1×1，∴k 1=6，∴y =6t ； 当1

∴{k 2+b =610k 2+b

， 解得{k 2=?23b =203

， y =?23t +20

3，

∴y ={6t(0≤t ≤1)?23t +203(1

；

(2)当0≤t ≤1时，令y =4，即6t =4，

∴t =23(或6t ≥4，∴t ≥23)

当1

203=4， ∴t =4．

∴注射药液23小时后开始有效，有效时间长为：4?23=

103(小时)．

【解析】(1)观察函数的图象可知，本题的函数是个分段函数，应该按自变量的取值范围进行分别计算．

当0?1小时的时候，函数图象是个正比例函数，可根据1小时的含药量用待定系数法进行求解；

当1?10小时时，函数的图形是个一次函数，可根据1小时和10小时两个时间点的含药量用待定系数法求函数的关系式．

(2)在0?1小时的时间段内，当含药量上升到4微克时，控制病情开始有效，那么让这个区间的函数值=4求出这个时间点．

同理，可在1?10小时的时间段内求出另一个时间点，他们的差就是药的有效时间．本题主要考查了分段函数的应用，要注意的是不同的自变量的取值范围内，函数意义的不同．

22.

【答案】1

4

【解析】解：(1)从中随机抽取1张卡片，卡片上的图案是中心对称图形的概率为1

4

；

故答案为：1

4

；

(2)画树状图如下：

由树状图知，共有12种等可能结果，其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果，

则两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为6

12=1

2

．

(1)直接利用概率公式求解可得；

(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．

本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．

23.【答案】(1)证明：连接OE，

∵∠B的平分线BE交AC于D，

∴∠CBE=∠ABE．

∵EF//AC，

∴∠CAE=∠FEA．

∵∠OBE=∠OEB，∠CBE=∠CAE，

∴∠FEA=∠OEB．

∵∠AEB=90°，

∴∠FEO=90°．

∴EF是⊙O切线．

(2)解：在ΔFEA与ΔFBE中

∵∠F=∠F，∠FEA=∠FBE

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第16页，共19页 ∴ΔFEA ∽ΔFBE

∵AF ?FB =EF ?EF ，

∴AF ×(AF +15)=10×10．

∴AF =5．

∴FB =20． ∴1020=AE

BE ，

∴BE =2AE ，

∵AE 2+BE 2=15×15．

∴AE =3√5．

【解析】(1)要证EF 是⊙O 的切线，只要连接OE ，再证∠FEO =90°即可；

(2)证明△FEA∽△FBE ，得出AE ，BF 的比例关系式，勾股定理得出AE ，

BE 的关系式，求出AE 的长．

本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点(即为半径)，再证垂直即可．

24.【答案】解：(1)把点A(?3,0)，点B(1,4)代入y =?x 2+

bx +c ，得

{?9?3b +c =0?1+b +c =4

． 解得{b =?1c =6

． 故该抛物线解析式是：y =?x 2?x +6；

(2)设直线AB 解析式是：y =kx +t(k ≠0)，则把点A(?3,0)，点B(1,4)代入，得 {?3k +t =0k +t =4

． 解得{k =1t =3

． 则直线AB 的解析式为y =x +3．

设N(a,a +3)．

①如图，

当四边形AONM 是平行四边形时，AO =MN 且AO//MN ，则M(a ?3,a +3)． ∵点M 在抛物线y =?x 2?x +6上，

∴a +3=?(a ?3)2?(a ?3)+6．

解得a 1=3，a 2=1．

∴点M 的坐标是(0,6)或(?2,4)；

②如图，

当四边形AOMN 是平行四边形时，AO =NM 且AO//MN ，则M(a +3,a +3)． ∵点M 在抛物线y =?x 2?x +6上，

∴a +3=?(a +3)2?(a +3)+6．

整理，得a 2?4a +9=0．

∵△=16?36=?20<0．

∴该方程无解．

综上所述，点M 的坐标是(0,6)或(?2,4)．

【解析】(1)把点A 、B 的坐标分别代入抛物线解析式，列出方程组，通过解方程组求得b 、c 的值即可；

(2)需要分类讨论：四边形AONM 是平行四边形和四边形AOMN 是平行四边形两种情况，根据平行四边形的对边相互平行且相等和函数图象上点的坐标特征列出方程，借助于方

程解答即可．

考查了二次函数综合题，难度不大，掌握待定系数法确定函数关系式，二次函数和一次函数图象上点的坐标特征，平行四边形的性质等知识点即可解题．

25.【答案】

√3

【解析】解：(1)如图①中，

∵CD平分△ABC的面积，

∴AD=CD，

∵CA=CB=2，

∴CD⊥AB，AD=BD=1，

∴CD=√AC2?AD2=√22?12=√3．

故答案为：√3．

(2)如图②中，连接AC、BD，交于O，过O作直线MN，交AD于M，交BC于N，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴OA=OC，AD//BC，

∴∠CAD=∠ACB，

∵∠AOM=∠CON，

∴△AOM≌△CON(ASA)，

∴S△AOM=S△CON，

同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD，

∴S△OMD=S△ONB，S△AOB=S△COD，

∴S△AOM+S△AOB+S△BON=S△CON+S△COD+S△OMD，即MN将四边形ABCD分成面积相等的两部分，

当MN⊥BC时，MN是最短，如图②?1中，

过A作AE⊥BC于E，

在Rt△ABE中，∵∠ABC=60°，

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∴sin60°=AE

AB

，

∴AE=√3

2

×6=3√3，

∵AD//BC，AE⊥BC，MN⊥BC，

∴MN=AE=3√3，

∴此时MN的长度为3√3．

(3)如图③中，过点P作PO⊥AC交AC于H，交AB于O，作PQ⊥AB于Q，连接OC．

由题意，点O是AC?所在圆的圆心，

∵AP?=PC?，

∴OP⊥AC，AH=HC，

在Rt△ABC中，AC=2+BC2=√1602+1202=200，

∵∠AOH=∠POQ，∠AHO=∠PQO，OA=OP，

∴△OAH≌△OPQ(AAS)，

∴AH=PQ=100，

∵AP?=PC?，

∴S

扇形OAP

=S

扇形OPC

，

∴当S△OPM=1

2

S△OCB时，PM平分该空地的面积，

设OA=OC=x，

在Rt△OCB中，∵OC2=BC2+OB2，

∴x2=1202+(160?x)2，

解得x=125，

设OM=y，

则有1

2

?y?100=1

4

×35×120，

解得y=21，

∴OM=21，AM=OA+OM=125+21=146．

(1)根据题意，CD是△ABC的中线，利用等腰三角形的性质推出CD⊥AB，利用勾股定理求解即可解决问题．

(2)如图②中，连接AC、BD，交于O，过O作直线MN，交AD于M，交BC于N，首先证明MN将四边形ABCD分成面积相等的两部分，当MN⊥BC时，MN是最短．(3)如图③中，过点P作PO⊥AC交AC于H，交AB于O，作PQ⊥AB于Q，连接OC.由

AP?=PC?，推出S扇形OAP=S扇形OPC，推出当S△OPM=1

2

S△OCB时，PM平分该空地的面积，利用参数构建方程解决问题即可．

本题属于四边形综合题，考查了等腰三角形的性质，解直角三角形，扇形的面积，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会；利用参数构建方程解决问题，属于中

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考压轴题．

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