小结--第十一章 真空中的恒定磁场

第十一章

真空中的恒定磁场 ──小结

2010年10月

一、基本物理量──与磁场的描述有关 1. 磁感应强度 大小:

Fmax B q0 v

方向: 小磁针在该点时N极的指向或者 F v max2.穿过磁场中任意曲面的磁通量

Φm B dS B cos dSS S

对封闭曲面, 规定外法向为正. 单位：韦伯(Wb)

2010年10月

二、磁场的基本定理 1. 磁场的高斯定理

S B d S 0

物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必 等于零(故磁场是无源的). 2、毕奥—萨伐尔定律(1) 定律 0 B dB 4 7 2

Idl r r3

0 4 π 10 N A2010年10月

──真空磁导率

*** 运动电荷的磁场

d B 0 qv r B d N 4 π r3

适用条件 v c

q

+

v r ×B

q

r

v B

2010年10月

(2) 计算步骤: ① 选取电流元或某些典型电流分布为积分元; ② 由毕-萨定律写出积分元的磁场dB; ③ 建立坐标系, 将dB分解为分量式, 对每个分量积分 (统一变量、确定上下积分限); ④ 求出总磁感应强度大小、方向, 对结果进行分析.

2010年10月

3、真空中恒定磁场的安培环路定理 (1) 定理 B dl 0 I内L

电流 I 正负的规定： I 与 L成右螺旋时，I 为正；反之为负.

2010年10月

(2) 解题步骤：(1)分析磁场的对称性； (2)过场点选择适当的路径，使得 B 沿此环路的积分

易于计算： 的量值恒定， 与 dl 的夹角处处相等； B B(3)求出环路积分； (4)用右手螺旋定则确定所选定的回路包围电流的 正负，最后由磁场的安培环路定理求出磁感应强

度 B 的大小。

2010年10月

三、场的作用1. 场对运动电荷的作用mv R qB2π R 2πm T v qB

(1) 洛仑兹力

运动半径: 运动周期:

Fm qv B

(2) 运动电荷在电场和磁场中受的力

F qE qv B

洛伦兹 关系式

2010年10月

(3) 应用──霍耳效应

U RH

BI d1 RH 霍耳系数 nq

霍耳电 势差

2010年10月

2. 场对载流导线的作用 (1)安培力 计算步骤: ① 在载流导线上取电流元

dF Idl B

F Idl BL

Id l ;Fx dFx Fy dFy Fz dFz

② 由安培定律得电流元所受安培力 dF Idl B ;③ 将电流元的受力 沿坐标方向分解，再对 各个分量积分。

2010年10月

(2) 磁力矩

M Pm B(3) 功

( Pm NISen )

Pm

en

I S

① 磁场力的功:

A IdΦA IdΦ

② 磁力矩的功:当电流恒定时:

A I dΦ IΔΦ

2010年10月

e (1) n 与 B

* 任意形状不变的平面载流线圈作为整体在 均匀外磁场中，受到的合力为零

,合力矩使线圈 的磁矩转到磁感应强度的方向。同向 (2)方向相反 (3)方向垂直 不稳定平衡×× ×

稳定平衡××

力矩最大

×I ×× × × × ×

×× × × ×

.. .

× × F× × × ×

I . . F . .

.

.. .

.. .

.. .

I

B

×

F

.

FB

0 ,M 0

π, M 0

. .B .

π , M M max 2

2010年10月

例1.载流圆线圈轴线上的磁场 解: 由于圆电流具有对称性，其电流元的 dB 逐对 抵消，所以P点 B 的大小为：

B dB//L

IdlR

r

dB dB

dB sin L

o

x

I

I dl L r 2 sin *p x dB// 0 I d l r dB 4 r3

0 4

2010年10月

0 B 4

I dl L r 2 sin

0 I sin 2 4 r2 2

2 R

02

0 I sin 2 R dl 2 4 r

R R r R x , sin 2 2 12 r (R x )

0 IS 2 2 2 ( R 2 x 2 ) 2( R x )23 2

0 IR

3

2

S R 2

2010年10月

讨 论

0 IS B 2 2 2 ( R 2 x 2 ) 2( R x )23 2

0 IR

3

2

(1)若线圈有 N 匝 (2)在圆心处, x 0

B

N 0 IR 2

(x R ) 2 22 2

3

B

0I2R

2010年10月

讨 论

0 IS B 2 2 2 ( R 2 x 2 ) 2( R x )23 2

0 IR

3

2

(3)在远离线圈处

0 IS 0 IS B 3 3 2 x 2 r 0 pm B 3 2 r

x R, x r 引入 pm ISen载流线圈 的磁矩

2010年10月

例2.长直圆柱形载流导线内外的磁场设圆柱电流呈轴对称分布，导 线可看作是无限长的，磁场对圆柱 形轴线具有对称性。I

R R

L

r

解

(1)对称性分析

B dB

(2) r R 0 I B d l 0 I B l 2π r与长直载流 导线激发的 磁场相同！2010年10月

I .dI B

(3)0 r R I B d l 0 2 π r 2 l πR 2 r B 2 π r 0 2 I R 0 Ir B 2 2π R在圆柱形载流导线 内部，磁感应强度 和离开轴线的距离r 成正比！2010年10月

I

R R

L

r

B dB

I .dI B

B 的方向与 I 成右螺旋0 r R, r R,

2π R 2 0 I B 2π r

B

0 Ir

IR

0 I2π R

B

o R

r

2010年10月

(4) 电流均匀分布在圆柱形导线表面 解 0 r R, B d l 0 B 0l

L1

r r

I R

0 I 2π R

B

L2

o R rB

r R, B d l 0 Il2010年10月

0 I2π r

例11-7:在磁感强度为B的均匀磁场中，通过一半 径为R的半圆导线中的电流为I。若导线所在平面与 B垂直，求该导线所受的安培力。 例3 解： F i dFx j dFy

dF dF x

dF y

y

dF y

由电流分布的对称 性分析导线受力的 对称性

I

dF dF x

x

F dF y2010年10月

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kye4.html