08-09第二学期复变函数积分变换复习卷（答案）

2008-2009学年第二学期复变函数复习卷（本科）参考答案

一、填空题

1、复数z?1?i的三角表示式=2(cos?4?isin?4?)；复指数表示式=2e4。

i2、复数z?1?6?3i的z=2；Argz?5??3?2k?；argz??3；z?1?3i。

?1??1?i?23、?；?i??1???1??1?i??10??i3i?3。 ?e??3i??x?3y?1?454、?1?2i?x??3?5i?y?1?3i??，求解方程组可得，x?。 ,y?2x?5y??31111?5、f?z???3z2?z?1?,则f????i??6；函数6、Lnz?1z(z?1)2的奇点z?0,z??i。

?3?i?ln2??(??6?3ii?2k?i；ln(ie)?1??2i。

7、?i?i?1?2?ie?2k?),e1??e2(1?3i)；

8、3?8?2(cos??2k?3?isin??2k?3)；k?0,1,2。

1??4?2k?4?isin??4?2k?4),k?0,1,2,3；

方程z?1?i?0的根：z?e?1441?i?(2)4(cos?9、 sini??e2i；cos?2i?12?2?(e?e2)；

10 、

??z?1dzz?2z?42?0；

??z?1dzz?12?2?i。

11、设f(z)?1?coszz3，则z?0是（一级极点）；Res[1?coszz3,0]?12。

二、判断下列函数在何处可导？何处解析？在可导处求出导数。

（1）f?z??x?iy ；

2222解：u?x,v?y,?u?x?2x,?u?y?0,?v?x?0,?v?y?2y，一阶偏导连续，

因此当ux?vy,uy??vx 时，即x?y时可导，在z平面处处不解析。f?(z)?ux?ivx?2x。 （2）f?z??zRez ；

1

解：f(z)?zRez?(x?yi)x?x2?xyi，于是u?x2,v?xy,?u?x?2x,?u?y?0,?v?x?y,?v?y?x，

当ux?vy,uy??vx 时，即x?0,y?0时可导，在z平面处处不解析。f?(z)?ux?ivx?2x?yi,f?(0)?0 （3）f?z??z?2z2?1。

解：由解析函数的四则运算法则可知，函数f(z)除z??i外处处可导，处处解析。

三、求下列积分

1、?1?i30?z?1?2dz?13(z?1)31?i10?3[(2?i)?1] 。 （被积函数解析，找出原函数）

2、?3?izz??izedz??3?i??izde?zez3?iz??i??3?i??iedz?zez3?i?i??i?ez3??i??4?i。

z3、

??sinz?e

z?1(z?3)2dz解：因为被积函数f(z)?sinz?ez(z?3)2有奇点z?3，但不在z?1内，f(z)在z?1内解析，

z所以

??sinz?e0

z?1(z?3)2dz?4、?Rezdz 其中积分曲线c：点i?点2?ic的直线段；

2解：?cRezdz??20tdt?t220?2，其中c:?t??x?y?10?t?2?z?z(t)?t?i。

25、

??5z?3z?23

z?2z?z?1?dz2解：用留数基本定理。

??5z?3z?2?2?iz2?3z?2,0]?Res[5z2?3z?2,1]?

z?2z?z?1?3dz?Res[521) 由于z?0一级极点，于是Res[5z2?3z?2,0]?lim5z?3z?2z?0z???2；

z?z?1?322）由于z?1三级极点，于是Res[5z2?3z?2,1]?135z?3z?22!lim[(z?0z?1)?z?z?1?3]???2。

2所以

??5z?3z?2es[5z2?3z?2,0]?Res[5z2?3z?2,1]??2?i[?2?2]?0。

z?2z?z?1?3dz?2?i?R另解：用复合闭路定理、柯西积分公式和高阶导数公式。 2被积函数

5z?3z?2z?z?1?3在z?2内有奇点z?0,z?1；于是以z?0,1为圆心作两个适当大小的圆，

2

所以

5z?3z?22??z?25z?3z?2z?z?1?232dz???c1?z?1?z235z?3z?2dz?2??c2z?z?1?3dz

?2?i[5z?3z?2?z?1?3z?015z?3z?2?()??2!zz?1]?2?i[?2?2]?0。

16、

??zz?13ezdz

1解：由于z?0是本性奇点，于是zez?z3[1?131z?112!z2?113!z3?114!z4??]，所以c?1?14!；

所以

??z?1zezdz?2?ic?1?z23?i12。

7、

??z?re?z?2??z?1?dz

1）z?1，被积函数

ez2?z?2??z?1?ez有c内解析，所以

??z?rez2?z?2??z?1?dz?0。

2）1?z?2，被积函数

?z?2??z?1?ez2在c内只有一个奇点z?1，于是

??z?rez2?z?2??z?1?dz??z?2???z?12?z?r?ez2dz?2?i[ez?z?2?]?z?1?0。

3）z?2，被积函数

?z?2??z?1?在c内有二个奇点z?1,z??2，于是

z2ezedz???z?rez2?z?2??z?1?dz?z?2??2?i[?2?z?r?z?1?ez2?z?1???z?2?z?r?dz]

z?e]? ?2?i?[??z?2??z?1?[?z?1?]z??2??2ee?2?2?i?2??(2e?e)。 ??2?i???9?9?9?8、

??z?2tan?zdz

sin?zcos?z 由于tan?z?，故奇点：cos?z?0??z?k??1232?2?z?k?12k?0,?1,?2,?

而在z?2内，有奇点?,?，而且是一级极点，于是Res(tan?z,z0)?sin?z(cos?z)?z?z0??1?。

3

因此，

??z?2ztan?zdz?2?i[Res(tan?z,?12)?Res(tan?z,?32)]?2?i[4?(?1?)]??8i 。

zezzezz9、

??z?2ze2z?1dz???z?2z?1dz?z?1??z?2z?1?2?i[zez?1z?1z?1?zezz??1z?1]??i(e?e)。

?1四、级数展开

1、将f?z??12?z?1?12展开成z的幂级数；并求收敛域；

解：f?z???z?1?z?1z?2??(1z?1??nn)???[?(?1)z]??n?0?(?1)n?0n?1nzn?1，z?1。

2、求f?z??在点z0??1处的泰勒展开式；并求收敛域； z?2?3z?23z?23211?z2(?1)?2n?0解：f?z??z?1z?2??1??1???1?3?nn(z?1)， z?1?1。

3、将f?z??洛朗级数。

1?z?1??z?2?在（1）0?z?1?1，（2）1?z?1??（3）1?z?2??邻域内展开为

解：1）0?z?1?1，有

f?z??1?z?1??z?2??1(z?1)(z?1)?1?1??1z?11?(z?1)?1???(z?1)z?1n?01?n????(z?1)n?0n?1。

2）1?z?1??，有

1111(z?1)2f?z???z?1??z?2??(z?1)(z?1)?1???1?11z?1?1(z?1)2??(z?1)n?01?n??(z?1)n?01n?2。

3）1?z?2??，有

1111(z?2)2f?z???z?1??z?2??(z?2)(z?2)?1???1?11z?2?1(z?2)2??(?1)n?0n1(z?2)n???(z?2)n?0(?1)nn?2五、问是否存在这样的解析函数以v?yx?y22为虚部？若有，求满足f(2)?0的解析函数f(z)。

4

?2xy?v??x(x2?y2)222x?yy?解：由于v?2，而f(z)解析， 故C-R条件成立，即vy?ux?2， ,??22222(x?y)x?y?v?x?yy222?(x?y)?于是f?(z)?ux?ivx?x?y2222(x?y)2?i?2xy(x?y)222x?z,y?0????1zz22(z)122?1z2，对f?(z)积分，得f(z)??1z?c。

代入初始条件f(2)?0，得c?12，所以f(z)???。

六、求下列函数在孤立奇点处的留数

1、f(z)?1?ez42z；

解：z?0是孤立奇点，并且是三级极点。可以把它看成四级极点求留数更为方便些。

Res[f(z),0]?13!lim[z?z?041?ez42z]?????86??43；

或可以将函数在z?0的去心邻域内洛朗展开， f(z)?1?ez42z?1z4(1?1?11!?2z?12!?4z?213!?8z??)，于是c?1??383!??43。

2、f(z)?ln(1?z)z；

ln(1?z)z?1，所以z?0为可去奇点，故Res[f(z),0]?0。

解：由于limf(z)?limz?0z?03、f(z)?sin1z?1。

1z?1解：由于limf(z)?limsinz??z??不存在，所以z?1为本性奇点，于是

115f(z)?sin1z?1?1z?1?13!(z?1)?13?5!(z?1)???，所以Res[f(z),1]?c?1?1。

2008-2009学年第二学期积分变换（本科）复习卷参考答案

一、填空题 1、??????(t??6)cost　dt?cos?6?32；??????(t??)t　dt?t22t????。

22、F[?(t?2)]?e?2jw； F?1??1????(w)??u(t；) jw??

5

3、F[u(t)]?1jw???(w)；F?1[2]?2?(t)；

4、F[?]?2?2?(w)； L[?]??s；

5、设F[f(t)]?F(w)，则F[f(?t)]?F(?w)； 6、L[?(t)]?1；L[u(t)]?3s?921st；L[2]?2?(t)；

?17、L[sh3t]?t4；L[e]?1s?1；

8、L[t]?45!；L[t]?121s2；

9、L[sintcost]?10、L[

?1L[sin2t]?1s?42； L?1[2s?1s?32]?2cos3?33sin3t；

1s?42]?12sh2t。

二、求下列函数的付氏变换

?e??t,t?0(??0)，求F?1．设e?t????e???t???,F??e?t?1???,F??e??t???。

?0,t?0解：e(t)?1??jw2，于是

F??e???t????(jw)1??jw??w2??jw,F??e?t?1????ejw?1??jw,F??e??t????1??jw

?jt2． F?eu?t?1???u?t?1??????F?w?w?1?e?jw[1jw???(w)]w?w?1?e?j(w?1)[1j(w?1)???(w?1)]

3． F?sin?0t??12j[2??(w?w0)?2??(w?w0)]。

5?jw??5??13u3t?5?Fut??e(???(w))。 ?4．F?????????3jw????5．F??tu?2t????F??tu?t????jF???jtu?t????j[1jw???(w)]???1w2??j??(w)

?jw?jw6．F? 。 ????t?1????jwF????t?1????jweF????t????jwe?jwjw?jwjw7．F? ?t???t?1?eF[?t]?eF[?t]?e?e??????????? 6

8．F[e?3jt]?F[1]w?w?3?2??(w?3)

[F(w?w0)?F(w?w0)]

9．F?cos?0t?u(t)?? ?1[1122j(w?w0)???(w?w0)?1j(w?w0)???(w?w0)]。

???jw1??j?e(???(w))?

jw??10．F?t?u(t?1)??jF??jt?u(t?1)??j?F?u(t?1)??1jw1w2??e?jw??e?jw?(w)?e?jw??je?jw??(w)。

三、计算积分

1．???????t?sin?t????????dt?sint????3?3??t?03???。 ?sin???32??2．???????t??e?ete?3tt?????????sin?tdt?sin?t?????4??2??2??0t?2t?0t??4?sin3?4?22。

3．???0?2tdt??L[e?e]ds??(1s?12?1s?2)ds?lns?1s?2?0?ln2

4、???0?t?sin2tdt?L[tsin2t]s?3??(s?42)?s?3?4s(s?4)22s?3?12169。

四、求卷积

1、设f1?t????t,0?t?1?0,t?0，f2?t????t,0?t?2?0,t?0，求：f1?t??f2?t?。

解：f1?????,0???1??，f2?t??0,??0???t??,0?t???2??， 0,t???0?f1?t??f2?t???????f1(?)f2(t??)d?t?0?0,?23?t?t??,0?t?10?t?1?26 ??t11?t?2???,1?t?223?32?t?3??t?15t?18,2?t?3?6t?3?t?3??0,t?0?0,?t???(t??)d?,0??1????(t??)d?,0?1??(t??)d?,??t?2?0,??e?t,2、设f1?t????0,

?t,t?0,f2?t???，求：f1?t??f2?t?。

0,t?0t?0?t?07

?e??,??0?t??,解：f1?????,f2?t???????0?0,?0,t???0t???0；

f1?t??f2?t????????0,?f1(?)f2(t??)d???t??e(t??)d?,???0?0,??t?0?t?e?t?1,t?0t?0t?0。

五、求下列函数的拉氏变换

1、L[e3tsin5t]?L[sin5t]s?s?3?5(s?3)?252

2、L[tcos2t]??L[?tcos2t]??{L[cos2t]}???(222ss?42)??s?4(s?4)222

3、L[tu?t?1?]?L[(t?1?1)u(t?1)]?L[(t?1)u(t?1)]?2L[(t?1)u(t?1)]?L[u(t?1)] ?e?s2s3?2e?s1s2?e?s1s?1。

5s?23s?324、L[5e2t???t?2??sin1s3t?1]??e?2s??1s 。

?t??5、L?1?te???L[te]??t1s?1s2s?s?1?1s?1(s?1)2。

6、L[(t?1)2et]?L[(t?1)2]s?s?1?L[t?2t?1]2s?s?1?(2s3?2s2?1s)s?s?1?2(s?1)3?2(s?1)2?1s?1)

7、L??sint????t?1?costt??0L[sint]ds???021s?1?0ds?arctans?0??2 。

8、L[]???0L[1?cost]ds??(1s?ss?12)ds?lnss?12?0??lnss?12 。

t1139、L??e?2tsin3tdt??L[e?2tsin3t]??(2)?0?s??ss?9s?s?2?1s(s?2)?9?32。

?s1???10、L?u(t?)??e4?

4?s??11、L?sin(t???????21s)??L[sintcos?costsin]?(2?2) 。 4?442s?1s?1?4s?????12、L?u(t?)sin(t?)??e44??L[sintu(t)]?e??4sL[sint]?e??4s21s?1。

8

?5,1?t?213、设f?t????2,2?t?4,试用单位阶跃函数及延迟了的单位阶跃函数表示f?t?，并求L?f(t)?。

??1,t?4?5,1?t?2解：f?t????2,2?t?4?5[u(t?1)?u(t?2)]?2[u(t?2)?u(t?4)]?u(t?4)；

??1,t?4?s?2s?4sL[f(t)]?5L[u(t?1)?u(t?2)]?2L[u(t?2)?u(t?4)]?L[u(t?4)]?5es?3es?es。

六、求下列函数的拉氏逆变换

1、L?1?1?????L?1?1?1???e?t?e?2t。

??s?1??s?2????s?1??s?2??2、L?1?s?1??L?1?s?1??t?1s?t??s2?2s?5??(s?1)2?22??eL[s2?22]?ecos2t 。 ????73、L?11????e?tL?1?1???e?t?t ???s?1?8???s8??7! ??4、L?1?s?1?1?1?s?1???L?9s2?1??9???1[cost?3sint] ?1?s2?9?933?5、L?1?1???L?1[1?1]?sht?t ?s2(s2?1)??s2?1s2 6、L?1?e?s??s??f(t?1)u(t?1)f(?11L?1?e??s2?1? ，其中t)?L[]?sint，于是?s2?1?2??sin(t?1)u(t?1)?s?1?stst7、L?1??s?s??1?se??s?1??s?2?(s?3)??sest??s?2?(s?3)?s?1?(s?3)s??2?se?s?1?(s?2)s??3

??1t2e??2e?2t?33t2e?。

七、求解微分方程组

1、 y??y?u?t?,y?0??0

解：设L[y(t)]?Y(s)，L[y?(t)]?sY(s)?y(0)?sY(s)，于是

L[y?]?L[y]?L[u?t?]?sY(s)?Y(s)?1?(s?1)Y(s)?1?Y(s)?1?1?1ss(s?1)ss?1s；

所以y(t)?L?1[Y(s)]?et?1。

9

。2、 y???2y??3y?e?t,y?0??0,y??0??1

22解： 设L[y(t)]?Y(s)， L[y?(t)]?sY(s)?y(0)?sY(s),L[y??(t)]?sY(s)?sy(0)?y?(0)?sY(s)?1；

于是，L[y??]?2L[y?]?3L[y]?L[e?t]?s2Y(s)?1?2sY(s)?3y(S)?故，(s2?2s?3)Y(s)?1s?1s?2s?1s?2(s?1)(s?3)(s?1)1s?1；

?1??Y(s)?

所以 L?1[Y(s)]?L?1[s?2(s?1)(s?3)(s?1)(s?2)ests??1]

?L[14?1(s?3)(s?1)e?t?(s?2)ests??3(s?1)(s?1)?(s?2)ests?1(s?1)(s?3)]

???18e?3t?38e。

t

3、 x???2x??5x?0,x?0??1,x??0??5 解：设L[x(t)]?X(s),2L[x?(t)]?sX(s)?x(0)?sX(s)?1,

2L[x??(t)]?sX(s)?sx(0)?x?(0)?sX(s)?s?5

于是，L[x??]?2L[x?]?5L[x]?0?s2X(s)?s?5?2(sX(s)?1)?5X(S)?0， 得，X(s)?s?7s?2s?52?s?1?6(s?1)?222?L[X(s)]?x(t)?eL[?1?t?1s?6s?22]?e[cos2t?3sin2t]。 2?t

10

要求背出下列公式：

?

F[e(t)]?1??j?1；F[u(t)]?1j????(?)；F[?(t)]?1；F[1]?2??(?)。

?(m?1)sm?1? ? ? ?

L[e]?kts?k； L[tm]?1s2?m!sm?1(m是自然数)；

L[u(t)]?L[1]?L[sinkt]?L[shkt]?k；L[?(t)]?1

,,L[coskt]?L[chkt]?ss?ks2222s?kks?k222,

s?k,

附：积分变换的主要公式： ? ? ? ?

F[f(t)]?F?1?????f(t)e1?jwtdt?F(w)

j?t[F(?)]?2??????F(?)ed??f(t)

F[f(t?t0)]?e?jwt0F[f(t)]

?F(w?w0)

F[ejw0tf(t)]?F(w)w?w?w0?

F[sinw0tf(t)]?12j12[F(w?w0)?F(w?w0)]

? ? ? ? ? ?

F[cosw0tf(t)]?[F(w?w0)?F(w?w0)]

F[f?(t)]?(jw)F(w) （t???,f(t)?0）

F[(?jt)f?t?]?F??w?,F[(?jt)f(t)]?Fn(n)(w)

L[f(t)]????0f(t)e?stdt?F(s)

2L[f??t?]?sF?s??f?0?,L[f??(t)]?sF(s)?sf(0)?f?(0)

L[(?t)f?t?]?F??s?，L[(?t)f?t?]?Fnt(n)?s?

?

L[?f?t?dt]?0F?s?s

? L[f?t?tat]???sF?s?ds（收敛）

? ?

L[ef?t?]?F?s?a??s?

L[f?t???]?eF?s?（??0,t?0,f(t)?0）

11

要求背出下列公式：

?

F[e(t)]?1??j?1；F[u(t)]?1j????(?)；F[?(t)]?1；F[1]?2??(?)。

?(m?1)sm?1? ? ? ?

L[e]?kts?k； L[tm]?1s2?m!sm?1(m是自然数)；

L[u(t)]?L[1]?L[sinkt]?L[shkt]?k；L[?(t)]?1

,,L[coskt]?L[chkt]?ss?ks2222s?kks?k222,

s?k,

附：积分变换的主要公式： ? ? ? ?

F[f(t)]?F?1?????f(t)e1?jwtdt?F(w)

j?t[F(?)]?2??????F(?)ed??f(t)

F[f(t?t0)]?e?jwt0F[f(t)]

?F(w?w0)

F[ejw0tf(t)]?F(w)w?w?w0?

F[sinw0tf(t)]?12j12[F(w?w0)?F(w?w0)]

? ? ? ? ? ?

F[cosw0tf(t)]?[F(w?w0)?F(w?w0)]

F[f?(t)]?(jw)F(w) （t???,f(t)?0）

F[(?jt)f?t?]?F??w?,F[(?jt)f(t)]?Fn(n)(w)

L[f(t)]????0f(t)e?stdt?F(s)

2L[f??t?]?sF?s??f?0?,L[f??(t)]?sF(s)?sf(0)?f?(0)

L[(?t)f?t?]?F??s?，L[(?t)f?t?]?Fnt(n)?s?

?

L[?f?t?dt]?0F?s?s

? L[f?t?tat]???sF?s?ds（收敛）

? ?

L[ef?t?]?F?s?a??s?

L[f?t???]?eF?s?（??0,t?0,f(t)?0）

11

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