08-09第二学期复变函数积分变换复习卷(答案)
更新时间:2024-05-04 16:32:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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2008-2009学年第二学期复变函数复习卷(本科)参考答案
一、填空题
1、复数z?1?i的三角表示式=2(cos?4?isin?4?);复指数表示式=2e4。
i2、复数z?1?6?3i的z=2;Argz?5??3?2k?;argz??3;z?1?3i。
?1??1?i?23、?;?i??1???1??1?i??10??i3i?3。 ?e??3i??x?3y?1?454、?1?2i?x??3?5i?y?1?3i??,求解方程组可得,x?。 ,y?2x?5y??31111?5、f?z???3z2?z?1?,则f????i??6;函数6、Lnz?1z(z?1)2的奇点z?0,z??i。
?3?i?ln2??(??6?3ii?2k?i;ln(ie)?1??2i。
7、?i?i?1?2?ie?2k?),e1??e2(1?3i);
8、3?8?2(cos??2k?3?isin??2k?3);k?0,1,2。
1??4?2k?4?isin??4?2k?4),k?0,1,2,3;
方程z?1?i?0的根:z?e?1441?i?(2)4(cos?9、 sini??e2i;cos?2i?12?2?(e?e2);
10 、
??z?1dzz?2z?42?0;
??z?1dzz?12?2?i。
11、设f(z)?1?coszz3,则z?0是(一级极点);Res[1?coszz3,0]?12。
二、判断下列函数在何处可导?何处解析?在可导处求出导数。
(1)f?z??x?iy ;
2222解:u?x,v?y,?u?x?2x,?u?y?0,?v?x?0,?v?y?2y,一阶偏导连续,
因此当ux?vy,uy??vx 时,即x?y时可导,在z平面处处不解析。f?(z)?ux?ivx?2x。 (2)f?z??zRez ;
1
解:f(z)?zRez?(x?yi)x?x2?xyi,于是u?x2,v?xy,?u?x?2x,?u?y?0,?v?x?y,?v?y?x,
当ux?vy,uy??vx 时,即x?0,y?0时可导,在z平面处处不解析。f?(z)?ux?ivx?2x?yi,f?(0)?0 (3)f?z??z?2z2?1。
解:由解析函数的四则运算法则可知,函数f(z)除z??i外处处可导,处处解析。
三、求下列积分
1、?1?i30?z?1?2dz?13(z?1)31?i10?3[(2?i)?1] 。 (被积函数解析,找出原函数)
2、?3?izz??izedz??3?i??izde?zez3?iz??i??3?i??iedz?zez3?i?i??i?ez3??i??4?i。
z3、
??sinz?e
z?1(z?3)2dz解:因为被积函数f(z)?sinz?ez(z?3)2有奇点z?3,但不在z?1内,f(z)在z?1内解析,
z所以
??sinz?e0
z?1(z?3)2dz?4、?Rezdz 其中积分曲线c:点i?点2?ic的直线段;
2解:?cRezdz??20tdt?t220?2,其中c:?t??x?y?10?t?2?z?z(t)?t?i。
25、
??5z?3z?23
z?2z?z?1?dz2解:用留数基本定理。
??5z?3z?2?2?iz2?3z?2,0]?Res[5z2?3z?2,1]?
z?2z?z?1?3dz?Res[521) 由于z?0一级极点,于是Res[5z2?3z?2,0]?lim5z?3z?2z?0z???2;
z?z?1?322)由于z?1三级极点,于是Res[5z2?3z?2,1]?135z?3z?22!lim[(z?0z?1)?z?z?1?3]???2。
2所以
??5z?3z?2es[5z2?3z?2,0]?Res[5z2?3z?2,1]??2?i[?2?2]?0。
z?2z?z?1?3dz?2?i?R另解:用复合闭路定理、柯西积分公式和高阶导数公式。 2被积函数
5z?3z?2z?z?1?3在z?2内有奇点z?0,z?1;于是以z?0,1为圆心作两个适当大小的圆,
2
所以
5z?3z?22??z?25z?3z?2z?z?1?232dz???c1?z?1?z235z?3z?2dz?2??c2z?z?1?3dz
?2?i[5z?3z?2?z?1?3z?015z?3z?2?()??2!zz?1]?2?i[?2?2]?0。
16、
??zz?13ezdz
1解:由于z?0是本性奇点,于是zez?z3[1?131z?112!z2?113!z3?114!z4??],所以c?1?14!;
所以
??z?1zezdz?2?ic?1?z23?i12。
7、
??z?re?z?2??z?1?dz
1)z?1,被积函数
ez2?z?2??z?1?ez有c内解析,所以
??z?rez2?z?2??z?1?dz?0。
2)1?z?2,被积函数
?z?2??z?1?ez2在c内只有一个奇点z?1,于是
??z?rez2?z?2??z?1?dz??z?2???z?12?z?r?ez2dz?2?i[ez?z?2?]?z?1?0。
3)z?2,被积函数
?z?2??z?1?在c内有二个奇点z?1,z??2,于是
z2ezedz???z?rez2?z?2??z?1?dz?z?2??2?i[?2?z?r?z?1?ez2?z?1???z?2?z?r?dz]
z?e]? ?2?i?[??z?2??z?1?[?z?1?]z??2??2ee?2?2?i?2??(2e?e)。 ??2?i???9?9?9?8、
??z?2tan?zdz
sin?zcos?z 由于tan?z?,故奇点:cos?z?0??z?k??1232?2?z?k?12k?0,?1,?2,?
而在z?2内,有奇点?,?,而且是一级极点,于是Res(tan?z,z0)?sin?z(cos?z)?z?z0??1?。
3
因此,
??z?2ztan?zdz?2?i[Res(tan?z,?12)?Res(tan?z,?32)]?2?i[4?(?1?)]??8i 。
zezzezz9、
??z?2ze2z?1dz???z?2z?1dz?z?1??z?2z?1?2?i[zez?1z?1z?1?zezz??1z?1]??i(e?e)。
?1四、级数展开
1、将f?z??12?z?1?12展开成z的幂级数;并求收敛域;
解:f?z???z?1?z?1z?2??(1z?1??nn)???[?(?1)z]??n?0?(?1)n?0n?1nzn?1,z?1。
2、求f?z??在点z0??1处的泰勒展开式;并求收敛域; z?2?3z?23z?23211?z2(?1)?2n?0解:f?z??z?1z?2??1??1???1?3?nn(z?1), z?1?1。
3、将f?z??洛朗级数。
1?z?1??z?2?在(1)0?z?1?1,(2)1?z?1??(3)1?z?2??邻域内展开为
解:1)0?z?1?1,有
f?z??1?z?1??z?2??1(z?1)(z?1)?1?1??1z?11?(z?1)?1???(z?1)z?1n?01?n????(z?1)n?0n?1。
2)1?z?1??,有
1111(z?1)2f?z???z?1??z?2??(z?1)(z?1)?1???1?11z?1?1(z?1)2??(z?1)n?01?n??(z?1)n?01n?2。
3)1?z?2??,有
1111(z?2)2f?z???z?1??z?2??(z?2)(z?2)?1???1?11z?2?1(z?2)2??(?1)n?0n1(z?2)n???(z?2)n?0(?1)nn?2五、问是否存在这样的解析函数以v?yx?y22为虚部?若有,求满足f(2)?0的解析函数f(z)。
4
?2xy?v??x(x2?y2)222x?yy?解:由于v?2,而f(z)解析, 故C-R条件成立,即vy?ux?2, ,??22222(x?y)x?y?v?x?yy222?(x?y)?于是f?(z)?ux?ivx?x?y2222(x?y)2?i?2xy(x?y)222x?z,y?0????1zz22(z)122?1z2,对f?(z)积分,得f(z)??1z?c。
代入初始条件f(2)?0,得c?12,所以f(z)???。
六、求下列函数在孤立奇点处的留数
1、f(z)?1?ez42z;
解:z?0是孤立奇点,并且是三级极点。可以把它看成四级极点求留数更为方便些。
Res[f(z),0]?13!lim[z?z?041?ez42z]?????86??43;
或可以将函数在z?0的去心邻域内洛朗展开, f(z)?1?ez42z?1z4(1?1?11!?2z?12!?4z?213!?8z??),于是c?1??383!??43。
2、f(z)?ln(1?z)z;
ln(1?z)z?1,所以z?0为可去奇点,故Res[f(z),0]?0。
解:由于limf(z)?limz?0z?03、f(z)?sin1z?1。
1z?1解:由于limf(z)?limsinz??z??不存在,所以z?1为本性奇点,于是
115f(z)?sin1z?1?1z?1?13!(z?1)?13?5!(z?1)???,所以Res[f(z),1]?c?1?1。
2008-2009学年第二学期积分变换(本科)复习卷参考答案
一、填空题 1、??????(t??6)cost dt?cos?6?32;??????(t??)t dt?t22t????。
22、F[?(t?2)]?e?2jw; F?1??1????(w)??u(t;) jw??
5
3、F[u(t)]?1jw???(w);F?1[2]?2?(t);
4、F[?]?2?2?(w); L[?]??s;
5、设F[f(t)]?F(w),则F[f(?t)]?F(?w); 6、L[?(t)]?1;L[u(t)]?3s?921st;L[2]?2?(t);
?17、L[sh3t]?t4;L[e]?1s?1;
8、L[t]?45!;L[t]?121s2;
9、L[sintcost]?10、L[
?1L[sin2t]?1s?42; L?1[2s?1s?32]?2cos3?33sin3t;
1s?42]?12sh2t。
二、求下列函数的付氏变换
?e??t,t?0(??0),求F?1.设e?t????e???t???,F??e?t?1???,F??e??t???。
?0,t?0解:e(t)?1??jw2,于是
F??e???t????(jw)1??jw??w2??jw,F??e?t?1????ejw?1??jw,F??e??t????1??jw
?jt2. F?eu?t?1???u?t?1??????F?w?w?1?e?jw[1jw???(w)]w?w?1?e?j(w?1)[1j(w?1)???(w?1)]
3. F?sin?0t??12j[2??(w?w0)?2??(w?w0)]。
5?jw??5??13u3t?5?Fut??e(???(w))。 ?4.F?????????3jw????5.F??tu?2t????F??tu?t????jF???jtu?t????j[1jw???(w)]???1w2??j??(w)
?jw?jw6.F? 。 ????t?1????jwF????t?1????jweF????t????jwe?jwjw?jwjw7.F? ?t???t?1?eF[?t]?eF[?t]?e?e??????????? 6
8.F[e?3jt]?F[1]w?w?3?2??(w?3)
[F(w?w0)?F(w?w0)]
9.F?cos?0t?u(t)?? ?1[1122j(w?w0)???(w?w0)?1j(w?w0)???(w?w0)]。
???jw1??j?e(???(w))?
jw??10.F?t?u(t?1)??jF??jt?u(t?1)??j?F?u(t?1)??1jw1w2??e?jw??e?jw?(w)?e?jw??je?jw??(w)。
三、计算积分
1.???????t?sin?t????????dt?sint????3?3??t?03???。 ?sin???32??2.???????t??e?ete?3tt?????????sin?tdt?sin?t?????4??2??2??0t?2t?0t??4?sin3?4?22。
3.???0?2tdt??L[e?e]ds??(1s?12?1s?2)ds?lns?1s?2?0?ln2
4、???0?t?sin2tdt?L[tsin2t]s?3??(s?42)?s?3?4s(s?4)22s?3?12169。
四、求卷积
1、设f1?t????t,0?t?1?0,t?0,f2?t????t,0?t?2?0,t?0,求:f1?t??f2?t?。
解:f1?????,0???1??,f2?t??0,??0???t??,0?t???2??, 0,t???0?f1?t??f2?t???????f1(?)f2(t??)d?t?0?0,?23?t?t??,0?t?10?t?1?26 ??t11?t?2???,1?t?223?32?t?3??t?15t?18,2?t?3?6t?3?t?3??0,t?0?0,?t???(t??)d?,0??1????(t??)d?,0?1??(t??)d?,??t?2?0,??e?t,2、设f1?t????0,
?t,t?0,f2?t???,求:f1?t??f2?t?。
0,t?0t?0?t?07
?e??,??0?t??,解:f1?????,f2?t???????0?0,?0,t???0t???0;
f1?t??f2?t????????0,?f1(?)f2(t??)d???t??e(t??)d?,???0?0,??t?0?t?e?t?1,t?0t?0t?0。
五、求下列函数的拉氏变换
1、L[e3tsin5t]?L[sin5t]s?s?3?5(s?3)?252
2、L[tcos2t]??L[?tcos2t]??{L[cos2t]}???(222ss?42)??s?4(s?4)222
3、L[tu?t?1?]?L[(t?1?1)u(t?1)]?L[(t?1)u(t?1)]?2L[(t?1)u(t?1)]?L[u(t?1)] ?e?s2s3?2e?s1s2?e?s1s?1。
5s?23s?324、L[5e2t???t?2??sin1s3t?1]??e?2s??1s 。
?t??5、L?1?te???L[te]??t1s?1s2s?s?1?1s?1(s?1)2。
6、L[(t?1)2et]?L[(t?1)2]s?s?1?L[t?2t?1]2s?s?1?(2s3?2s2?1s)s?s?1?2(s?1)3?2(s?1)2?1s?1)
7、L??sint????t?1?costt??0L[sint]ds???021s?1?0ds?arctans?0??2 。
8、L[]???0L[1?cost]ds??(1s?ss?12)ds?lnss?12?0??lnss?12 。
t1139、L??e?2tsin3tdt??L[e?2tsin3t]??(2)?0?s??ss?9s?s?2?1s(s?2)?9?32。
?s1???10、L?u(t?)??e4?
4?s??11、L?sin(t???????21s)??L[sintcos?costsin]?(2?2) 。 4?442s?1s?1?4s?????12、L?u(t?)sin(t?)??e44??L[sintu(t)]?e??4sL[sint]?e??4s21s?1。
8
?5,1?t?213、设f?t????2,2?t?4,试用单位阶跃函数及延迟了的单位阶跃函数表示f?t?,并求L?f(t)?。
??1,t?4?5,1?t?2解:f?t????2,2?t?4?5[u(t?1)?u(t?2)]?2[u(t?2)?u(t?4)]?u(t?4);
??1,t?4?s?2s?4sL[f(t)]?5L[u(t?1)?u(t?2)]?2L[u(t?2)?u(t?4)]?L[u(t?4)]?5es?3es?es。
六、求下列函数的拉氏逆变换
1、L?1?1?????L?1?1?1???e?t?e?2t。
??s?1??s?2????s?1??s?2??2、L?1?s?1??L?1?s?1??t?1s?t??s2?2s?5??(s?1)2?22??eL[s2?22]?ecos2t 。 ????73、L?11????e?tL?1?1???e?t?t ???s?1?8???s8??7! ??4、L?1?s?1?1?1?s?1???L?9s2?1??9???1[cost?3sint] ?1?s2?9?933?5、L?1?1???L?1[1?1]?sht?t ?s2(s2?1)??s2?1s2 6、L?1?e?s??s??f(t?1)u(t?1)f(?11L?1?e??s2?1? ,其中t)?L[]?sint,于是?s2?1?2??sin(t?1)u(t?1)?s?1?stst7、L?1??s?s??1?se??s?1??s?2?(s?3)??sest??s?2?(s?3)?s?1?(s?3)s??2?se?s?1?(s?2)s??3
??1t2e??2e?2t?33t2e?。
七、求解微分方程组
1、 y??y?u?t?,y?0??0
解:设L[y(t)]?Y(s),L[y?(t)]?sY(s)?y(0)?sY(s),于是
L[y?]?L[y]?L[u?t?]?sY(s)?Y(s)?1?(s?1)Y(s)?1?Y(s)?1?1?1ss(s?1)ss?1s;
所以y(t)?L?1[Y(s)]?et?1。
9
。2、 y???2y??3y?e?t,y?0??0,y??0??1
22解: 设L[y(t)]?Y(s), L[y?(t)]?sY(s)?y(0)?sY(s),L[y??(t)]?sY(s)?sy(0)?y?(0)?sY(s)?1;
于是,L[y??]?2L[y?]?3L[y]?L[e?t]?s2Y(s)?1?2sY(s)?3y(S)?故,(s2?2s?3)Y(s)?1s?1s?2s?1s?2(s?1)(s?3)(s?1)1s?1;
?1??Y(s)?
所以 L?1[Y(s)]?L?1[s?2(s?1)(s?3)(s?1)(s?2)ests??1]
?L[14?1(s?3)(s?1)e?t?(s?2)ests??3(s?1)(s?1)?(s?2)ests?1(s?1)(s?3)]
???18e?3t?38e。
t
3、 x???2x??5x?0,x?0??1,x??0??5 解:设L[x(t)]?X(s),2L[x?(t)]?sX(s)?x(0)?sX(s)?1,
2L[x??(t)]?sX(s)?sx(0)?x?(0)?sX(s)?s?5
于是,L[x??]?2L[x?]?5L[x]?0?s2X(s)?s?5?2(sX(s)?1)?5X(S)?0, 得,X(s)?s?7s?2s?52?s?1?6(s?1)?222?L[X(s)]?x(t)?eL[?1?t?1s?6s?22]?e[cos2t?3sin2t]。 2?t
10
要求背出下列公式:
?
F[e(t)]?1??j?1;F[u(t)]?1j????(?);F[?(t)]?1;F[1]?2??(?)。
?(m?1)sm?1? ? ? ?
L[e]?kts?k; L[tm]?1s2?m!sm?1(m是自然数);
L[u(t)]?L[1]?L[sinkt]?L[shkt]?k;L[?(t)]?1
,,L[coskt]?L[chkt]?ss?ks2222s?kks?k222,
s?k,
附:积分变换的主要公式: ? ? ? ?
F[f(t)]?F?1?????f(t)e1?jwtdt?F(w)
j?t[F(?)]?2??????F(?)ed??f(t)
F[f(t?t0)]?e?jwt0F[f(t)]
?F(w?w0)
F[ejw0tf(t)]?F(w)w?w?w0?
F[sinw0tf(t)]?12j12[F(w?w0)?F(w?w0)]
? ? ? ? ? ?
F[cosw0tf(t)]?[F(w?w0)?F(w?w0)]
F[f?(t)]?(jw)F(w) (t???,f(t)?0)
F[(?jt)f?t?]?F??w?,F[(?jt)f(t)]?Fn(n)(w)
L[f(t)]????0f(t)e?stdt?F(s)
2L[f??t?]?sF?s??f?0?,L[f??(t)]?sF(s)?sf(0)?f?(0)
L[(?t)f?t?]?F??s?,L[(?t)f?t?]?Fnt(n)?s?
?
L[?f?t?dt]?0F?s?s
? L[f?t?tat]???sF?s?ds(收敛)
? ?
L[ef?t?]?F?s?a??s?
L[f?t???]?eF?s?(??0,t?0,f(t)?0)
11
要求背出下列公式:
?
F[e(t)]?1??j?1;F[u(t)]?1j????(?);F[?(t)]?1;F[1]?2??(?)。
?(m?1)sm?1? ? ? ?
L[e]?kts?k; L[tm]?1s2?m!sm?1(m是自然数);
L[u(t)]?L[1]?L[sinkt]?L[shkt]?k;L[?(t)]?1
,,L[coskt]?L[chkt]?ss?ks2222s?kks?k222,
s?k,
附:积分变换的主要公式: ? ? ? ?
F[f(t)]?F?1?????f(t)e1?jwtdt?F(w)
j?t[F(?)]?2??????F(?)ed??f(t)
F[f(t?t0)]?e?jwt0F[f(t)]
?F(w?w0)
F[ejw0tf(t)]?F(w)w?w?w0?
F[sinw0tf(t)]?12j12[F(w?w0)?F(w?w0)]
? ? ? ? ? ?
F[cosw0tf(t)]?[F(w?w0)?F(w?w0)]
F[f?(t)]?(jw)F(w) (t???,f(t)?0)
F[(?jt)f?t?]?F??w?,F[(?jt)f(t)]?Fn(n)(w)
L[f(t)]????0f(t)e?stdt?F(s)
2L[f??t?]?sF?s??f?0?,L[f??(t)]?sF(s)?sf(0)?f?(0)
L[(?t)f?t?]?F??s?,L[(?t)f?t?]?Fnt(n)?s?
?
L[?f?t?dt]?0F?s?s
? L[f?t?tat]???sF?s?ds(收敛)
? ?
L[ef?t?]?F?s?a??s?
L[f?t???]?eF?s?(??0,t?0,f(t)?0)
11
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