2014年初中数学奥赛专题复习 知识梳理+例题精讲 第十讲 因式分解、分式和根式（拔高篇，适合八年级使用）

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因式分解、分式和根式

【知识梳理】 一、因式分解： 1、常用的公式：

平方差公式：a2?b2??a?b??a?b?； 完全平方公式：a2?2ab?b2??a?b?2；

a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?2；

a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?2；

a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca??a?b?c?2；

立方和（差）公式：a3?b3??a?b??a2?ab?b2?； a3?b3??a?b??a2?ab?b2?；

2、许多多项式分解因式后的结果在解题中经常用到，我们应熟悉以下的常用结果：（1）ab?b?a?1??a?1??b?1?； （2）ab?a?b?1??a?1??b?1?； （3）a4?4??a2?2a?2??a2?2a?2?； （4）4a4?1??2a2?2a?1??2a2?2a?1?； （5）a2?b2?c2?2ab?2bc?2ac??a?b?c?2；

（6）a3?b3?c3?3abc??a?b?c??a2?b2?c2?ab?bc?ac?。

二、分式： 1、分式的意义

形如

AB（A、B为整式），其中B中含有字母的式子叫分式。 当分子为零且分母不为零时，分式的值为零，而当分母为零时，分式没有意义。2、分式的性质 （1）分式的基本性质：

1

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AA?MA?M??（其中M是不为零的整式）。 BB?MB?M（2）分式的符号法则：

分子、分母与分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。 （3）倒数的性质：

111?1?； a??1?a?0?，a??1?a?0?；若a??1，则an????1（a?0，n是整数）

aaa?a?na?1?2?a?0?。 a3、分式的运算 分式的运算法则有：

aba?bacad?bc??，??； cccbdbdnacacacad?a?an。 ??，??，???（n是正整数）

bdbdbdbc?b?bn4、分式的变形

分式的基本性质是分式变形的理论根据之一，分式变形的常用方法有：设参法（主要用于连比式或连等式），拆项法（即分离变形），因式分解法，分组通分法和换元法等。 三、二次根式：

1、当a?0时，称a为二次根式，显然a?0。 2、二次根式具有如下性质： （1）

?a?2?a，当a?0时，?a?a?0?； （2）a2?a??

??a，当a?0时；a?b?a?0，b?0?； （4）

aa?a?0，b?0?。 ?bb（3）ab?3、二次根式的运算法则如下： （1）ac?bc??a?b?c?c?0?； （2）

?a?n?an?a?0?。

4、设a，b，c，d，m?Q，且m不是完全平方数，则当且仅当a?c，b?d时，

a?bm?c?dm。

【例题精讲】

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 【例1】分解因式：x2?xy?6y2?x?13y?6

【巩固】分解因式：

1、x2?xy?2y2?x?5y?2； 2、3x2?5xy?2y2?x?9y?4；

【例2】已知a、b、c是一个三角形的三边，则a?b?c?2ab?2bc?2ca的值是（ ）

444222222A.恒正 B.恒负 C.可正可负 D.非负

3、k为何值时，多项式x?2xy?ky?3x?5y?2能分解成两个一次因式的积？

【例3】已知a、b是实数，且请推导。

3

22?1?a?a??1?b?b??1，问a、b之间有怎样的关系？

22文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 【专题训练】

1、已知ab?a?b?1?13，求a?b的值为_____________；

2、多项式x2?axy?by2?5x?y?6的一个因式是x?y?2，试确定a?b的值为_____________；

3、设3b?a?2c，求a2?9b2?4c2?4ac的值。

4、若abc?0，且设a?b?a?b??b?c??c?a?c?b?cc?aa?b，则abc?___________

5、已知1?xyx?y，2?yzzxy?z，3?z?x，则x?_______________；

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6、已知a?x2?1991，b?x2?1992，c?x2?1993，且abc?24，则

abc?bca?c111ab?a?b?c?______________________

7、当x变化时，分式3x2?6x?51的最小值为______________

2x2?x?1

8、设xx3x2?mx?1?1，则x6?m3x3?1?____________________；

9、已知实数a满足1992?a?a?1993?a，则a?19922?__________________； 10、化简262?3?5?____________________；

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11、已知x?

12、设39?

1a?a，则4x?x2?__________________

432的整数部分为a，小数部分为b，则

1111??_____________； a?ba?4?b13、设等式a?x?a??a?y?a??其中a，x，y两x?a?a?y在实数范围内成立，

3x2?xy?y2两不同，则2?__________________； 2x?xy?y

14、使等式x?

15、设正整数a，m，n满足a2?42?组；

则这样的a，m，n的取值有______m?n，

y?99成立的整数对?x，y?的个数为__________________；

12222n?????16、求和：S? 241?x1?x1?x1?x2n

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文档来源：弘毅教育园丁网数学第一站www.jszybase.com 17、已知a?b?c?0，化简

111??。

b2?c2?a2c2?a2?b2a2?b2?c2?1?b??1?c???1?a??1?c???1?a??1?b?的值。

18、若a?b?c?abc?0，计算

222222bcacab

19、计算：

20、设M?4?23，它的小数部分为P，求M?1?P?的值。

13?3?153?35?175?57???14947?4749

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