大论文终稿 - 2010.3.28

工学硕士学位论文

薄壁箱形截面桥梁弯扭分析研究的半离散化

精细积分法

尹 磊

河 北 工 程 大 学

2010年4月

分类号：TU311 密 级： 公 开 UDC： 单位代码： 10076

工学硕士学位论文

薄壁箱形截面桥梁弯扭分析研究的半离散化

精细积分法

作者指导申请学学科所在授予学

姓教位级专单位单名 师 别 业 位 位

：尹 磊 ：胡 启平教授 ：工 学硕士 ：结 构工程 ：土 木学院 ：河 北工程大学

A Dissertation Submitted to Hebei University of Engineering

For the Academic Degree of Master of Engineering

Analysis for Thin-walled box-section Beam Bridge in bending and torsional Using the semi-discrete method of precise integration

Candidate ：Y in Lei Supervisor ：P rof. Hu Qiping

Academic Degree Applied for ：M aster of Engineering

Specialty ：S tructural Engineering

School/Department ：S chool of Civil Engineering

Hebei University of Engineering

April, 2010

独创性声明

本人郑重声明： 所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得河北工程大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。

学位论文作者签名： 签字日期： 年 月 日

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（保密的学位论文在解密后适用本授权说明）

学位论文作者签名： 导师签名：

签字日期： 年 月 日 签字日期： 年 月 日

摘 要

摘 要

薄壁箱形桥梁在一定的截面面积下能获得较大的抗弯惯性矩，抗扭刚度也特别大；在偏心荷载作用下各梁肋的受力比较均匀，且承重结构与传力结构相结合，使各部件共同受力，在达到经济效果的同时，截面利用效率也较高。由于箱形截面所具有的良好的结构性能，因而在现代各种桥梁中得到了广泛的应用。所以，深入研究箱形桥梁在各种外载作用下的力学性能具有较高的实用价值。

本文基于薄壁杆件的双向弯曲和约束扭转理论，建立了箱形截面桥梁的力学模型；摒弃了初等梁理论和乌曼斯基理论对纵向翘曲位移的假定，导出了基于线性插值函数的纵向翘曲位移函数表达式；通过对偶变量的引入导出了考虑剪力滞后效应的箱形截面桥梁弯扭和二阶问题的哈密顿对偶求解体系。对此求解体系，运用两端边值问题的精细积分法，通过MATLAB语言编制的程序求解结构的广义位移和广义力，分析箱形截面桥梁在弯扭作用及二阶作用下的竖向位移和翘曲应力，通过算例的求解并与其他方法对比，表明本文方法的合理性与可行性，并得到了影响箱形截面桥梁竖向位移和翘曲应力的主要因素，以及截面尺寸和跨度在相同外在条件下对竖向位移的影响程度，为箱形桥梁的设计提供一定的参考。

本文提供了一种新的分析箱形截面桥梁的理论方法，所编制的程序对于各种截面形式的桥梁都适用，能解决处于竖向荷载与水平荷载和扭矩共同作用下桥梁的位移和内力计算问题，并能很好体现箱形截面桥梁的实际受力状态。应用本课题的研究成果将对工程的设计等工作具有一定的指导意义。

关键词：箱形截面；剪力滞后；弯扭作用；哈密顿对偶求解体系；精细积分法

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目录

第1章 绪论 .................................................................................................................... 1

1.1桥梁工程的地位和国内外桥梁的发展概况 ..................................................... 1 1.2箱形截面桥梁结构简介 ..................................................................................... 3 1.3箱形截面桥梁结构分析方法的研究现状 ......................................................... 4

1.3.1薄壁梁的研究 ........................................................................................... 4 1.3.2箱形截面梁剪滞效应的研究 ................................................................... 4 1.3.3薄壁箱梁常用的研究理论和方法 ........................................................... 6 1.4哈密顿对偶体系的精细积分法 ......................................................................... 8 1.5本文的主要研究内容 ......................................................................................... 9 1.6 本文的研究目的和意义 .................................................................................. 10 第2章 哈密顿对偶体系及其精细积分法 .................................................................. 12

2.1 拉格朗日方程与哈密顿变分原理 .................................................................. 12 2.2哈密顿函数及哈密顿正则方程 ....................................................................... 13 2.3两端边值问题的精细积分法 ........................................................................... 16

2.3.1对偶变量与区段混合能 ......................................................................... 17 2.3.2求解黎卡提微分方程的精细积分法 ..................................................... 18 2.4 MATLAB程序设计介绍 ............................................................................... 21 2.5 本章小结 .......................................................................................................... 21 第3章 基于薄壁杆件理论的箱形截面桥梁结构弯扭分析 ...................................... 22

3.1 箱形截面桥梁的计算模型 .............................................................................. 22 3.2 箱形截面桥梁的剪力滞后效应 ...................................................................... 23 3.3 基于薄壁杆件理论的箱形截面桥梁弯扭分析 .............................................. 24

3.3.1 坐标系及基本假定 ................................................................................ 24 3.3.2薄壁箱形截面桥梁的位移场函数 ......................................................... 25 3.3.3 薄壁箱形截面桥梁在弯扭作用下的插值精细积分法 ........................ 25 3.3.4 薄壁箱形截面桥梁的哈密顿对偶求解体系 ........................................ 28 3.4 算例分析 .......................................................................................................... 36

3.4.1 算例一 .................................................................................................... 36 3.4.2 算例二 .................................................................................................... 37 3.5本章小结 ........................................................................................................... 41 第4章 基于薄壁杆件理论的箱形截面桥梁结构二阶分析 ...................................... 42

4.1 箱形截面桥梁的计算模型及基本假定 .......................................................... 42 4.2箱形截面桥梁弯扭耦合的二阶分析 ............................................................... 42

4.3 算例分析 .......................................................................................................... 44

4.3.1 算例一 .................................................................................................... 44 4.3.2 算例二 .................................................................................................... 45 4.3.3 算例三 .................................................................................................... 47 4.4 本章小结 .......................................................................................................... 49 第5章 基于薄壁杆件理论的槽形截面桥梁分析 ...................................................... 50

5.1 槽形截面桥梁的计算模型及基本假定 .......................................................... 50 5.2 槽形截面桥梁的弯扭作用下的插值精细积分法 .......................................... 50 5.3 薄壁槽形截面桥梁弯扭分析和二阶分析的哈密顿对偶求解体系 .............. 52 5.4 算例分析 .......................................................................................................... 54

5.4.1 弯扭分析算例 ........................................................................................ 54 5.4.2 二阶分析算例 ........................................................................................ 58 5.5 本章小结 .......................................................................................................... 59

第1章 绪论

1.1桥梁工程的地位和国内外桥梁的发展概况

桥梁工程是土木工程中属于结构工程的一个分支学科。它与房屋工程一样，也是用石、砖、木、混凝土、钢筋混凝土和各种金属材料建造的结构工程。按照其使用的功能区分为：公路桥梁、铁路桥梁、城市桥梁、管线桥梁等。

大力发展交通运输事业，建立四通八达的现代化交通网络，对于发展国民经济，加强全国各族人民的团结，促进文化交流，消除城乡差异和巩固国防等方面，都具有非常重要的作用。特别是我国实行改革开放政策以来，路、桥建设突飞猛进的发展，对创造良好的投资环境，促进地域性的经济腾飞，起到了关键性的作用。在经济上，桥梁工程不但在工程规模上约占公路总造价的10%~20%，而且往往也是交通运输的咽喉，是保证全线早日通车的关键。

现代桥梁的建设最早出现在资本主义发达国家。从20世纪六七十年代以来，西方发达国家在新材料、新结构、新工艺及桥梁设计理论和方法方面对现代桥梁的发展贡献了大部分创新技术，为现代桥梁的发展做出了突出的贡献。从19世纪中期钢材的出现到随后高强度钢材、钢丝的产生，钢结构得到了蓬勃发展，桥梁的跨度不断扩大，以至能修建几百米到千米以上的特大跨度的跨海大桥。

悬索桥是能充分发挥高强钢材优越性的独特桥型，在国外发展甚早。1937年美国建成的旧金山金门大桥，主跨达1280m，一直保持了27年的世界纪录。1988年日本利用首创新型的平行钢丝索代替传统的美国“空中纺线法”编织主缆，建造了跨度为1100m的南备赞悬索桥。目前世界上跨度最大的悬索桥是1999年日本建成的本四联络线上的明石海峡公铁两用桥跨度为1999m。

世界上第一座现代公路斜拉桥是1956年前联邦德国Dishinger在瑞典建成的斯特罗姆海峡钢斜拉桥，主跨为182.6m。1977年法国Mueller建造了世界上第一座单索面的混凝土斜拉桥——主跨320m的布鲁东桥。目前世界上已建成跨度最大的斜拉桥是日本的多多罗钢斜拉桥（l=890m，1999年），此桥为主跨用钢箱边跨为混凝土结构的混合式斜拉桥。

鉴于钢筋混凝土材料突出的受压性能，拱桥无论跨越能力、结构体系和主拱截面形式均有很大的发展。1930年法国建成了三孔186m的博浪加斯托桥， 1940年瑞典建造了跨径264m的桑独桥，1979年前南斯拉夫用无支架悬臂施工方法建成了跨度达到390m的克尔克大桥。

钢筋混凝土梁式桥，限于材料本身所固有的特性，其跨径远逊于拱桥。1928年法国Freyssinet首创了预应力混凝土的概念和设计理论，直到19世纪中期，预应力技术的渐趋成熟，又促进了预应力混凝土梁式桥的迅速发展。1977年奥地利建成了一座简支

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梁跨径达76m的阿尔姆桥。在莱茵河上沃伦姆斯桥（跨度为101.65m+114.20m+104.20m，具有跨中剪力铰的连续钢架桥）和跨度为208m的本道尔夫桥成功建造以后，平衡悬臂节段施工技术已更臻完善。随后，日本于1976年建成了跨度达240m的浜名大桥，美国于1980年在太平洋托管区的帕罗岛建成了主跨240.8m的斜勒—巴贝尔塞浦桥。目前在国外跨度最大的预应力混凝土连续梁桥是瑞士的莫塞尔桥（l=192m，1974年）；悬臂梁桥是英北爱尔兰的马丹桥（l=252m）；T型刚架桥是巴拉圭的亚松森桥（l=270m，1978年）。

我国现代桥梁建设的奠基当属茅以升先生和他的同事在1937年建成的钱塘江公铁双用桥，其主桥为16×65.8m简支钢桁梁。20世纪50年代～70年代，我国相继建成武汉长江大桥、南京长江大桥、枝城长江大桥，均为公路铁路两用桥。进入80年代以后，随着改革开放的不断深入，经济持续增长，交通基础设施建设规模越来越大，桥梁建设突飞猛进，取得了举世瞩目的成就。特别是近十多年来，在长江上修建的桥梁就有40多座，正在建设的有10多座。上海南浦、杨浦、徐浦、卢浦等跨黄浦江的大桥在不到10年时间相继建成，使浦东建设开发如虎添翼，对带动整个长江流域的经济发展起到了不可忽视的巨大作用。这十多年来，我国不仅建桥数量多，跨大江大河和海湾的大型桥梁多，在建桥技术上也取得了辉煌的成就，我国已处于世界建桥先进国家的行列。

悬索桥，是一种跨越能力最大的桥型。1990年以前我国还没有一座现代化悬索桥。可是，在短短的十多年里就建造了20多座连接高级公路的现代悬索桥，其中跨径在450m以上的就有12座，且桥宽多在30～40m之间。1999年建成的江阴长江大桥跨径达1385m，名列世界第四；2005年建成的运扬（镇江—扬州）长江大桥跨径为1490m，位居中国第一，世界第三。

斜拉桥，是一种跨径能力大的桥型，其跨径在300～700m左右。我国已是世界上斜拉桥最多的国家，跨径在400m以上的斜拉桥已有20多座。2000年建成的南京长江二桥南汊桥是一座钢箱梁斜拉桥，跨径为628m，名列世界同类桥梁第四；2005年建成的南京长江三桥，跨径648m，位居世界同类桥梁第三。在建的香港昂船洲斜拉桥和江苏苏通（苏州—南通）斜拉桥，跨径均超过1000m。

混凝土梁式桥，我国公路连续梁桥的跨径已达165m（南京长江二桥北汊桥），虎门珠江大桥辅航道桥是跨径为270m的连续钢构桥，建成时为全世界同类桥梁跨径中的最大者。2002年建成的上海卢浦钢箱拱桥跨径达550m，为同类桥梁世界第一。

虽然当前我国的建桥技术已赶上世界先进水平，但总的来说，我国的建桥技术还有待提高。随着经济社会的迅速发展和桥梁形式的多样化，城市人口的不断增多及建设用地日趋紧张和城市规划的需要，促使桥梁建设得以快速发展。另一方面由于轻质高强材料的开发及新的设计计算理论的发展，抗风和抗震理论的不断完善，加之新的施工技术和设备的不断涌现，特别是计算机的普及和应用以及结构分析手段的不断提高，为桥梁工程的迅速发展提供了必要的技术条件。新发展的城郊高速铁路桥与轻轨运输高架桥、几十公里长的海湾、海峡特大桥梁等宏伟建设工程也已摆在我们面前，等待去完成。广大桥梁工程技术人员正面临着不断设计和建造新颖、复杂桥梁结构的挑战，肩负着光荣

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而艰巨的任务。

1.2箱形截面桥梁结构简介

横截面呈一个或几个封闭箱形的梁桥简称为箱形梁桥。这种结构除了梁肋和上部翼缘板外，在底部尚有扩展的底板，具有较大的混凝土面积，能有效地抵抗正负弯矩，并满足配筋的要求，适应具有正负弯矩的结构，如连续梁等。并且箱形截面在一定的截面面积下能获得较大的抗弯惯性矩，抗扭刚度也特别大，在偏心荷载作用下各梁肋的受力比较均匀。此外，箱形截面桥梁的承重结构与传力结构相结合，使各部件共同受力，在达到经济效果的同时，截面利用效率也较高。对于宽桥，由于抗扭刚度大，跨中无需设置横隔板就能获得满意的荷载横向分布，适于修建曲线桥，具有较大的适用范围，能很好适应布置管线等公共设施的要求。因此箱形截面在较大跨径的桥梁工程中应用比较广泛。

显然，箱形截面也存在一些不足之处，需要引进设计者的充分重视。如箱形截面属薄壁结构，除受力钢筋外，还需配置大量构造钢筋，这对于中等跨径的桥梁，有时会导致用钢量比工字形或T形截面增多。而对于大跨径桥梁，由于箱形截面是实腹式梁，比起空腹式的桁架结构自重大。减轻自重是大跨径桥梁的重要课题，在设计时必须采取措施减轻自重，以节省材料，使造价经济。近年来由于三向（即纵向、横向、竖向）预应力的应用，可以采用薄壁、少肋的所谓宽箱截面，收到了良好的经济效果。

在实际工程中，有很多的结构或构件都不同程度地受到弯曲扭转作用，譬如由筒体组成的高层建筑中，当结构本身布置不对称时，常在风载或地震荷载作用下，结构产生弯曲扭转现象。即使是在对称布置的建筑结构中，当风载作用在表面粗糙程度不同的建筑物上时或风载的作用方向与结构的对称轴不一致时，结构也会发生弯曲扭转现象。再如在桥梁结构中，当桥跨在受到偏心力的作用或由于桥墩的不均匀沉降等原因，都会使桥跨受到弯扭作用。因此，有必要对这种普遍存在的现象进行深入的研究。

箱形梁在荷载作用下，按照初等梁理论，正应力在上、下翼缘上均匀分布。但事实并非如此,因为腹板传递的剪力在向翼缘中间传递时,将引起剪切变形，从而使得断面上的正应力逐渐减小。这种传力的滞后现象称为剪力滞效应。剪力滞效应将引起箱梁刚度降低，变形增大。

作用在箱形梁上的主要荷载是恒载与活载。恒载是对称作用的，只在采用顶推工艺时，可能出现所谓“三条腿”现象，它才是非对称的[1]。活载可以是对称作用，也可以是非对称偏心作用，必须分别加以考虑。在偏心荷载作用下，箱形截面梁桥既产生对称弯曲又产生扭转。在偏心荷载作用下，箱形截面梁桥将产生纵向弯曲、扭转、畸变及横向挠曲四种基本变形。因此，在计入剪力滞效应以后，作用于箱形截面梁桥的外力使其产生了弯、扭、剪力滞的耦合，增加了对此种情况下结构分析的难度。

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1.3箱形截面桥梁结构分析方法的研究现状

随着土木工程的飞速发展，尤其是大跨桥梁工程的建设，由于箱形截面具有良好的结构性能，因而在现代各种桥梁中得到了广泛的应用。在箱形截面形式和构件的材料应用有了新的发展的基础上，各种结构形式的预应力混凝土桥梁，采用箱形截面尤其能适应构造和施工要求。由于箱形截面的广泛应用，箱形结构的受力分析引起了国内外学者的普遍关注。

1.3.1薄壁梁的研究

二十世纪中叶，产生了经典的薄壁梁约束扭转理论，主要包括符拉索夫的开口薄壁梁约束扭转理论、乌曼斯基的闭口薄壁梁约束扭转理论和符拉索夫的广义坐标法。符拉索夫采用两个基本的假定，提出了满足工程需要的实用开口薄壁梁约束扭转理论体系。这一理论自建立以来，尽管本身并不是十分的完美，但因其具有较好的计算精度，仍然被世人所普遍接受，并为更深入的研究奠定了基础。虽然这一理论的计算精度很差，但是由于其方法简单适用性强，在尚无更好的计算方法下，此理论仍成为了经典计算方法中的一种。

此外，针对由平板围成的闭口薄壁梁，符拉索夫于1949年提出广义坐标法这一新的约束扭转计算方法，创立了广义坐标和广义位移的概念考虑了梁截面的外形轮廓线变形，成为对箱形梁分析的一种基础。虽然该理论自称具有较高的计算精度，但其理论推导和方程的求解都比较复杂，故并没有在实际工程中得到普遍应用。

以上这些经典的约束扭转理论都是建立在单纯的开口与闭口薄壁杆件的基础之上。针对这一情况，在八十年代初，我国的郭仲衡提出了将开口和闭口薄壁截面统一起来的混合型截面薄壁梁的约束扭转理论。在八十年代中期，我国的何福保、郭乙木将开口和闭口薄壁梁约束扭转理论统一在乌曼斯基假定之下，建立开口和闭口薄壁梁约束扭转的统一基本微分方程。与此相应，国外的A.Porkic在1993年和1996年相继发表了两篇文章，阐述了一种新的薄壁梁理论，主要针对的是有开口截面和闭口截面连续而成的薄壁梁。首先他将截面中线用多边形近似拟合，然后采用了刚周边假定和相邻节点间翘曲位移线性变化假定，同时考虑沿梁壁厚线性分布的圣维南剪应力的影响，从而推导出一套既适用于开口薄壁梁又适用于闭口薄壁梁的理论体系。从理论上讲，该理论只是对广义坐标法的一种理论推广，且其最终的微分方程组十分复杂，没有解析解，只能采用有限元的思想求其数值解。

1.3.2箱形截面梁剪滞效应的研究

剪力滞现象早期在航空机翼设计中就已经引起注意。近几十年来，许多国内外学者

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针对该课题的研究，分别从解析理论、数值解法和模型试验等方面对剪力滞问题提出了许多新设想和新理论，获得了许多研究成果，可以部分地解决实际桥梁中的问题。比较常用的有以下几种方法 [2][3]。 （1）卡曼理论(T.V.Karman’s theory)

1924年，弗·卡曼利用解析地方法解决了无限宽翼缘板的应力分布及其有效分布宽度问题，明确了“有效分布宽度”的概念[4]。他把连续梁的跨径当做具有无限个等间距支承的连梁，以此作为分析对象，假定荷载对称的作用在各跨，翼缘板的厚度与梁高度相比相当小，因而可以忽略板的挠曲刚度(即：板在其自身中和轴的情况下，不承受弯矩，只承受轴力)，然后用逆解法求解应力函数，用最小势能原理确定各待定常数，从而导出了翼缘板的应力分布图像及其有效分布宽度的表达式。尽管他所考虑的是无限宽度翼缘板，但是实际上其解答也适用于有限宽度的翼缘板上。LEE J.A.N[5]在卡曼的基础上分析了无限宽翼缘简支T梁的有效分布宽度问题。SONG Qi-gen[6]根据一些合理的假定，用平面弹性应力为I型、T型以及箱形截面梁在翼缘中应力发展了一种调谐剪滞分析，并导出了简化的计算公式。EVANS H.R等[7]采用调谐函数法分析了单箱多室截面的剪力滞问题，并与有限元法和试验作了比较。 （2）比拟杆法

比拟杆法首先用于航空工程中飞机薄板的构造设计上。最早探讨该问题的是杨格(Yonger)，他提述了“加劲薄板理论”(Stiffener sheetTheory)，用等效连续等厚薄板来代替离散的纵向加劲肋，并假定由它承受所用的轴向荷载。从假定泊松比为零，可以导出用级数表示的纵向应力和剪应力。1970年马尔康(Malcolm)和瑞德乌特(Redwood)第一次把加劲薄板理论应用于土木工程的箱型梁研究中。加劲薄板理论的应用虽然局限于一端固定的梁，梁所承受的荷载用数学表达式表示其变化，但它的精度却毫不逊色，可与有限元的结果相媲美。1977年，英国学者H.R.伊文斯(Evans)及A.R.塔海伦(Taherian)提出了“比拟杆法”和“三杆比拟法”[8]，使之适用于箱型梁的剪力滞分析。国内学者程翔云教授等[9]在上述研究的基础上，提出了用样条函数逼近法求解高阶微分方程组，解决了带悬臂翼板等截面矩形箱形结构及T形梁剪力滞的计算问题。比拟杆法通过一些基本假设，简化了力学模型，但它一般适合于等截面箱梁，对于一些复杂力系和复杂结构的剪力滞分析仍然有一定的困难。 （3）能量变分法能

能量变分法是从假定箱梁翼板的纵向位移模式出发，以梁的竖向位移和描述翼板剪力滞的纵向位移转角差的广义位移函数为未知数，应用最小势能原理，建立控制微分方程，从而获得应力和挠度的闭合解。能量变分法最早由Reisser[10]提出，他假设翼板的纵向位移沿横向按二次抛物线分布，然后根据最小势能原理，导出了梁的微分方程，第一次成功地应用能量变分法分析了双轴对称矩形箱梁剪力滞问题。20世纪80年代，Kuzmanovic等采用Reisser方法[11]分析了带对称伸臂的矩形箱梁的剪力滞。国内学者郭

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金琼教授等在Reisser微分方程[12]的基础上，将翼板纵向位移沿横向分布函数修改为三次抛物线，并用模型试验和数值分析加以验证。文献[13]采用余弦函数作为翼板剪滞翘曲位移函数，并考虑了轴力自身平衡条件，分析了槽型宽梁和箱形梁的剪力滞。文献[14]应用能量变分法进一步研究了压弯箱形结构的剪力滞，并探讨了轴向力对剪力滞的影响。近几年来，能量变分法又被推广应用于曲线箱梁[15-16]和复合材料箱梁[38]的剪滞效应分析，并获得了良好结果。

1.3.3薄壁箱梁常用的研究理论和方法

早期修建的箱形梁一般为中等跨径，采用多箱或单箱多室截面，分析方法沿用荷载横向分布的概念，考虑结构的整体作用。即将箱形截面分割成若干工字形梁来进行计算，不考虑箱形截面的整体抗扭刚度，显然是粗糙的近似方法。后来由于大跨径单箱薄壁箱形梁的修建才将箱形梁作为受弯受扭的薄壁杆件来进行分析。近年来由于有限元法的发展，又将箱形梁作为折板或壳体来进行分析。长期以来，国内外学者为解决箱形梁的计算问题，发表了数以百计的学术论文，指出了精确的或实用的计算方法。概括起来，这些计算方法可分两大类，即解析法和数值法。

（1）解析法

箱形截面梁的受力是一个复杂的结构空间分析问题。为了把问题简化，在解析法中往往采用一些假定和近似方法处理。如将上述作用于箱形梁的偏心荷载分解成对称荷载与反对称荷载。对称荷载作用时，按梁的弯曲理论求解；反对称荷载作用时，按薄壁杆件扭转理论分析；然后将两者计算结果叠加。扭转分析又根据截面的刚度区分为截面不变形（刚性扭转）和截面变形（畸变）两种情况。通过这些荷载分解，使很多学者可就单项问题进行比较深入的探讨。采用若干假定，是解析法的另一特点，如对位移模式的假定等。解题的一般步骤是：先假定位移模式；有了位移后，可求得截面上各点的应变和应力；在此基础上，或用力的平衡条件和变形协调条件，或根据变分原理建立控制微分方程；解微分方程便得位移和应力。

关于箱形梁的扭转分析，前苏联学者符拉索夫和乌曼斯基在这方面建立了完整的理论。乌曼斯基于1939~1940年基于周边不变形而提出的闭口截面刚性扭转实用理论，武断地假定表示翘曲程度的函数?与扭转角?相同，一次推导理论公式，即所谓乌氏第一理论。乌曼斯基发表这个理论不久，便发现对于有些杆件会产生相当可观的误差，于是放弃了???这个假定，认为?是一个待求的函数，含在?、?的公式中，从而建立有关公式，即所谓乌氏第二理论。它比第一理论显著地提高了准确度。

刚性扭转的第三种理论是1948年詹涅里杰和巴诺夫柯根据变分原理提出的一种解法。该法微分方程的解比较精确，但不便实用，几何特征计算较繁，边界条件物理概念不明显，因此人们仍多采用乌氏第二理论。

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刚性扭转的第四种理论是符拉索夫的广义坐标法。符氏从周边可变性闭口截面扭转分析出发，根据虚功原理，并令周边变形参数为零导出了周边不变形闭口截面的刚性扭转解析法，将复杂的空间受力转化为一维问题求解。这是一个适用范围很广的分析法，适用于任何支承形式的边界条件，亦可应用与变截面箱形梁的分析。这个方法与有限元相结合的有限段法，可分析薄壁空间曲箱梁，是箱形梁分析方法的新发展。广义坐标法中所需的边界条件不够明确，同时其全部剪应力按胡克定律求得，沿周边按直线分布，是该法的缺点。

对于箱形梁的畸变应力分析，国内外学者做了不少工作，有广义坐标法、等代梁法、Kupfer法等。各种方法立论互异、繁简不同，计算结果亦颇有出入。近年来精确而是用的弹性地基梁比拟法的出现，使等截面箱形梁的畸变分析得到初步完善。该法应用能量原理导得一个和弹性地基梁理论挠曲微分方程类似的畸变微分方程，从而可以应用弹性地基梁理论分析箱形梁畸变。由于这种方法具有物理概念清晰、受力分析明确、计算简便登特点，所以得到普遍推广应用。对于变截面箱形梁的畸变应力计算，目前可应用的分析方法很少且不完善。

对于荷载作用在箱形梁顶板任意位置，必须考虑局部何在影响，即上述箱形梁的横向弯曲。分析方法有影响面法和框架分析法。影响面法（Homberg法）是以弹性变形理论为基础，特别适用于集中荷载的计算。对于腹板间的桥面板，由于所谓的影响面的两端固结的板端点影响面，所以应计算不同位置上荷载所引起的局部影响，因此该法计算较为繁琐。而美国当前所推荐的框架分析方法是一种颇为简便的方法，仅限于无伸臂板的双对称箱形梁，文献[1]中加以推广，使其可应用于带伸臂板的矩形、梯形箱梁，以及变截面箱形梁的横向内力计算。

（2）数值法

电子计算机在工程上应用日益广泛，为箱形梁的结构分析提供了有利的工具。目前使用的有有限元法、有限条法、有限差分法和伽辽金法等。其中有限元法根据采用的单元类型的不同，可细分为空间有限元法、板梁单元法和有限梁段单元法。较简单的有限梁段单元法属于一维梁单元，是由我国学者罗旗帜于1991年提出的在普通梁单元节点位移模式中增加考虑剪滞效应的翼板纵向位移参数[17]，并写入其梁段单元的基本位移。有限条法是从有限元法发展出来的一种半解析方法。虽然与有限元法相比，它具有简单、精度高、计算量小的优点，但将其用于变截面箱梁仍存在一定的困难。后两种方法是变分法中变系数微分方程式的两种半数值解析法。因为变高度箱梁剪滞基本方程为变系数微分方程，直接求取该方程的解析解比较困难，于是可以把变量表示为差分格式[18]或三角函数形式[19]，得到变量的近似解。

借助计算机的有限元分析，可以得到箱形截面上全部应力，诸如纵向弯曲应力、扭转翘曲应力、畸变翘曲应力、畸变横向应力以及剪力滞影响和局部荷载应力等。根据这些数据输出结果，可以精确地把握结构各部分的变形和应力状态。但是，由于计算时刚

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度矩阵大，输入数据多，需要机器油较大的内存量，所以除了大型计算机外，一般较难满足要求。为此，许多学者不断探求需要内存量较少而便于在微机上实现的分析方法，如有限条法、有限段法等。有限条法乃根据折板理论，把箱形梁三维空间问题简化成二维问题，具有内存量少、节省机时等优点，可应用于等截面箱形梁的结构分析。而根据广义坐标原理得到的有限段法，将箱形梁的空间分析简化成一维问题，使结构分析得到进一步简化，可应用于变截面箱形梁，以及空间曲箱梁的应力分析。Martti.J.M.将有限段法推广到能用来计算除了剪力滞效应外几乎所有的力学特征，从而使有限段法得到进一步的完善。

尽管计算机分析方法是精确而有效的，但也有它的不足之处。设计者面对输出的一大群综合数据，很难分门别类地分析各项因素的影响程度，以便有可能变更设计或采取构造措施来减少某个因素的影响。尤其是在初步设计时，设计者所关心的是整个结构的工作状态。所以各种力学概念清晰、满足工程精度要求的解析法相对来说是比较受欢迎的。

（3）连续梁的其他使用方法

当等截面连续梁跨数较多时，如斜拉桥主梁,叠加原理法计算工作量较大，可采用近似计算的解肢法[20]。它利用连续梁纵向弯矩分布中的反弯点把连续梁解肢成若干简支梁，以便分段按简支梁进行求解。文献[21]介绍了一种新的近似计算法：当量截面法，即先根据连续梁所受的荷载及约束特性，通过结构分析分别取弯矩为零的两邻近点区域作为等效简支梁，然后计算原截面梁的惯性矩及翼板与全箱梁的惯矩比值的当量值，并代替原截面梁的惯性矩及翼板与全箱梁的惯矩比值，得到当量截面简支梁相应的微分方程并解之。

1.4哈密顿对偶体系的精细积分法

继牛顿力学体系之后，拉格朗日－哈密顿的分析力学[22-24]体系是经典力学发展史上的又一成功建树。1788年，拉格朗日出版了《分析力学》，成书之前二十年，拉氏依据J.伯努力、达朗伯的工作成果，便已从两条重要的力学原理——虚位移原理和达朗伯原理出发，得出了动力学普遍方程。拉氏等人选取广义坐标作为独立变量，引入所谓的拉格朗日函数(拉氏量)，而由动力学普遍方程导出二阶微分形式的拉格朗日方程。

又过了将近五十年，哈密顿进一步扩展了拉格朗日分析力学。他添入相应于广义坐标的广义动量，将其也作为独立变量，由拉氏量转变成哈氏量——哈密顿函数。从拉格朗日体系到哈密顿体系的过渡，意义在于从传统的欧几里得几何形态进入到了辛几何的形态之中，突破了传统观念，从而使对偶混和变量进入到应用力学的广大领域。于是，他就将二阶微分形式的拉格朗日方程(组)转化成个数增加一倍的一阶微分方程(组)，此方程形式更为简洁、对称，被称作哈密顿正则方程[25,26]。

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分析力学有微分和积分两种形式，拉氏方程和哈氏正则方程属于微分形式，它们可以通过最小作用量原理转化为积分形式。所谓哈密顿作用量，就是拉氏量对时间的积分；对应于实际发生的运动，其变分[27]为零，即作用量取作极值，这就是哈密顿原理。哈密顿体系理论研究的发展，使其在数值求解方面上的应用得到了前所未有的大发展。

1983年国外出现了第一篇对特定哈密顿方程构造差分格式的文章。1984年中科院院士冯康[28-30]教授首次提出了哈密顿的辛几何算法，开创了将计算物理、计算力学和计算数学相结合的先河。唐立民[31,32]教授提出的弹性力学的混合方程也是哈密顿正则方程，并指出即使是对弹性力学静力问题也应有它的哈密顿正则方程，这使得哈密顿体系在弹性力学领域得到了迅速发展。

哈密顿对偶求解体系[33-36]采用多变量一阶常微分方程组描述计算模型的状态，开辟了一条新的道路，由于低阶微分方程有利于数值求解，发展了一系列简便高效的数值求解方法，对偶变量体系与数值方法的结合，更充分地体现出对偶变量体系的优点，充分发挥计算机的优势，解决更多的工程问题。

近年来钟万勰提出了计算指数矩阵的精细积分法即2N类算法，该方法的思想是先分再合，通过2N运算的思想达到对矩阵指数的求解，算法十分简单，且接近于计算机的精度，为计算提供了十分便利的工具。由于精细积分法[37-39]的出色表现，它在各个方面得到了广泛的应用。除了应用于自动控制理论中，还在其他一些领域，如动力学响应求解、瞬态热传导等问题得到了很多的研究与应用。此外很多学者对工程领域中的精细积分的应用效率以及实用性进行了研究。

汪梦甫[40]等研究了精细积分法的稳定性；徐明毅[41]等对精细辛几何算法进行了误差估计；王一凡在精细积分法的基础上，实现了精细积分法与单步houblolt法的结合[42]；胡启平教授对考虑剪切变形的梁进行了简化计算并运用状态空间法对高层建筑结构进行了分析[43~50]，建立了考虑楼板变形的分段并联连续化的计算模型，导出了模型的状态空间表达式，用精细积分法求出结构内力和位移；钟万勰又将精细积分法扩展到用于求解偏微分方程中，这种半解析法与传统的有限元方法、有限差分法相比有很大的优势，自由度降低且保持了数值精度高的优点，稳定性和收敛性较好，具有较广泛的应用前景。

1.5本文的主要研究内容

本文以薄壁杆件结构双向弯曲理论和应用力学的辛数学方法为基础，结合哈密顿对偶体系，对薄壁箱形截面梁桥结构考虑剪力滞效应影响下的弯扭耦合、二阶及稳定情况进行分析研究，提出一种新的分析方法。主要研究内容包括：

（1）收集薄壁箱形截面梁桥研究的相关资料并进行系统分析，总结当前箱形截面梁桥分析方法的研究现状，明确研究方向和目标；

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（2）建立薄壁箱形截面梁桥结构半离散化的力学计算模型，选取模拟翘曲的插值函数，即用纵向结线将结构划分成若干纵向条形单元，结线位移为基本位移函数，结线间翘曲用插值函数模拟，拟建立一个等截面箱形薄壁梁结构的计算模型，研究考虑剪力滞后影响的箱形梁结构在弯扭作用下结构弯扭耦合、弯扭二阶及稳定问题的分析方法；

（3）应用在截面内离散纵向连续的方法，从能量变分原理出发，利用分析力学的方法建立整个结构的拉格朗日方程，通过勒让德变换引入对偶变量，将分析问题从拉格朗日体系导向哈密顿体系，导出问题的哈密顿对偶方程；

（4）采用两端边值问题的精细积分法，结合编制的计算机程序，求解相应问题的哈密顿对偶方程，得到其高精度数值解；

（5）选择合适的算例，并用算例方法的结果与本文方法计算结果相比较，验证本文方法的精度，进而讨论弯扭作用对薄壁箱形截面梁桥结构考虑剪滞效应时弯扭耦合、二阶、稳定特性的影响。

（6）指出本文方法的适用性，提出相应的分析结论。

1.6 本文的研究目的和意义

本文的研究工作旨在针对薄壁箱形截面这种在桥梁工程中应用比较广泛的截面结构形式，因其在外载作用下截面应力存在剪力滞后现象，故抛弃初等梁理论中的平截面假定，采用简化模型，建立等截面箱形截面薄壁梁结构的计算模型，选取上下翼缘板纵向位移沿翼缘横向分布时半离散化的插值函数，提出一种在纵向弯曲中计入剪力滞效应的弯扭耦合、弯扭二阶和稳定分析的通用的计算模型和新的计算方法，在此基础上提出弯扭作用对薄壁箱形截面桥梁结构内力和翘曲的影响，同时得出各相关分析的有益结论。

目前，国内外学者对箱形截面梁桥弯扭作用的理论分析已进行了很多年的研究，对剪力滞效应的数值分析也做了不少工作，但从数值分析的精细积分法这一角度去分析研究这一问题的还较少，鉴于理论研究的发展及实际工程的需要，对此课题的研究也就有着十分重要的意义。

本文在国内外研究薄壁箱形截面梁桥弯扭分析方法的基础上，对此类结构的分析提出了一种新的计算模型和方法。其意义主要体现在：

（1）建模时，摒弃初等梁理论中的平截面假定，采用翘曲函数来描述结构的纵向位移，在箱形截面上采用翘曲函数的插值来描述截面各点的位移，在此基础上建立的计算模型，更加接近于实际，具有很好的现实研究价值；

（2）为结构设计人员了解箱形截面梁桥的计算模型和方法提供了参考资料，为他们解决此类结构在外载作用下弯扭耦合的工作原理、二阶分析的意义及稳定性研究提供了借鉴；

（3）整个过程物理概念清晰，易于用计算机编程计算，且精度满足要求。为箱形

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截面梁桥结构在方案的确定和初步设计阶段，提供了一种简单的计算方法。开阔了此类问题的求解思路，在工程计算中有一定的实用价值和发展前景。

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第2章 哈密顿对偶体系及其精细积分法

2.1 拉格朗日方程与哈密顿变分原理

牛顿力学是解决力学问题的基本方法，而拉格朗日力学[51]更适合解决较复杂的非自由质点系的力学问题。无论是在牛顿力学、麦克斯韦电动力学、波尔兹曼统计力学方面，还是在狭义相对论和广义相对论、量子场论等方面，拉格朗日方程都要比牛顿力学体系的方程优越许多，都可以从哈密顿原理出发，由拉格朗日分析力学的方法导出它们的核心方程。几乎所有的物理学理论都可以归结于最小作用量原理，并利用变分法把彼此统一起来。哈密顿原理这种体现各个不同物理学理论统一性的普遍适应性，使其成为物理学中最基本的原理。

自然界的物质之间都存在着相互作用，这种相互作用促使物质之间产生运动状态的变化，由此而产生物质的能量。标识这种共性的哈密顿函数或拉格朗日函数满足相应的哈密顿正则方程或拉格朗日方程，体现了自然界的和谐统一。哈密顿原理的这种优越性，使以拉格朗日方程为基础的拉氏力学体系成为场论和近代物理得以发展的前提条件。

用广义坐标表示的完整系统的拉格朗日方程为：

d???T?jdt???q??T???Qj,?j?1,2,???,n? （2-1） ??qj??j所表示的系统的动能，Qj为对应于qj的广义式中T为用广义坐标qj和广义速度q力，n为系统的质点数，s为方程完整约束的个数。该方程组中方程式的数目等于质点系的自由度数。

如果作用在质点系上的主动力都是保守力，则对于此保守系统存在着势能函数

V?q1、q2、?、qn?，其广义力Qj写成质点系势能表达的形式为

Qj???? （2-2） ?qj式中?为势能的函数。由此，保守系中的拉格朗日方程为

d???T?jdt???q??T??????,?j?1,2,???,n? （2-3） ??q?qjj?式中L即为拉格朗日函数或动势，为系统动能函数T与势能函数?的差，即

?j的函数，故而 L?T??。又因势能函数?不是广义速度q 12

???0 （2-4） ?j?q这样，此保守体系中的拉格朗日方程可用L表示为

d???L?jdt???q??L???0,?j?1,2,???,n? （2-5） ??qj?哈密顿原理在分析力学中，借助变分运算对质点系及体系内质点的运动情况进行精确的描述，此高度概括性的原理有着十分重要的地位。它的优点在于用该原理对质点系进行力的分析时，与所选广义坐标的参数的选取无关，而且它不仅适用于有限自由度的质点系，还适用于无限自由度的质点系。

由t0时刻的广义位移q0出发，将会有很多条轨迹通往终点，但一般来说只有一条满足拉格朗日方程的轨迹通往tf时刻的广义位移qf，这条轨迹称为正轨。

引入作用量

?,t?dt (2-6) S??L?q,qt0tf式中q?t?是时间t的函数，而变量S是函数q?t?的函数，所以S就成为函数的函数，称之为泛函，即作用量S是广义位移q的泛函。

哈密顿原理表明，此泛函S取驻值时正是沿正规的积分。由此哈密顿原理可表示为

?S?0 (2-7)

作用量S的变分为零即为哈密顿原理，表明其真解将使作用量取驻值。由于作用量

S中只有广义位移q这一类变量，故哈密顿原理是单类变量的变分原理。

将式(2-6)展开变分并作分部积分，得

T???L?T???L???dt??S??????q??q????q????q?????t0?????tf??Ld?L?????()???qdt?0???qdt?qt0?在t0及tf时刻，?q?0；在t0?t?tf时间区段内，?q是任意变分的。由式(2-8)即可推导得出式(2-5)。

tfT (2-8)

2.2哈密顿函数及哈密顿正则方程

在拉格朗日体系中，由广义位移q描述的未知量，对应于位移空间中的一系列点，描述这种点的空间形式称为位空间。其相应的拉格朗日方程(2-5)是一个包含n个关于广

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义位移q的二阶常微分方程的微分方程组，求解此方程组需要2n个边界条件。这些边界条件的提供可以是初始时刻的位移和速度，或者初始与终点的位移等。

在哈密顿体系中，我们采取增加一类广义位移p的方式，使基本未知量的数量增至

2n个，而相应的微分方程则降低至一阶。随之方程个数增至2n个，方程个数与基本未

知量个数相同。拉格朗日体系之中，n个基本未知量选用广义位移q，而另外n个基本未知量则引入广义动量

?i,t??L?qi,q (2-9) pi??i?q变量?q,p?即称为正则变量，由于q与p互为对偶，故也称为对偶变量。描述此种空间位移的方式称为相空间。

哈密顿体系中含有两类变量——q与p组成的对偶变量。由拉格朗日体系向哈密顿

?,t?向变量?q,p,t?的转化，由二阶微分方程组向一阶微分体系的过渡，相当于由变量?q,q?三者的关系由式(2-9)可得，这种变量的转换称为勒让德方程组的转化。变量p,q,q(Legendre)变换。

此时，引入哈密顿函数

??L?q,q?,t? (2-10) H?q,p,t??pTq由式(2-10)推导可得哈密顿正则方程

T??H?????q?L?L?q?L??pT?????????q?q??q??q??q??q (2-11) ?T???L??q??q??H?q??pT?????q????p???p?p??q?由式(2-9)和式(2-11)可得

???Hq＝???p (2-12) ??H?p?＝???q?此即为哈密顿正则方程，其中采用了两类独立变量：广义位移q和广义动量p。 哈密顿正则方程是由数学家W.R.哈密顿(Hamilton)于1834年提出的，它的正式引入，进一步扩展了拉格朗日分析力学。所引入的相应于广义坐标的广义动量，也作为独立变量，使拉氏量转变为哈氏量。从拉格朗日体系到哈密顿体系的过渡，使传统的欧几里得几何形态进入到辛几何的形态，意义在于此举突破了传统的观念，使对偶混合变量进入到应用力学的广大领域。

哈密顿将二阶微分形式的拉格朗日方程(组)转化成个数增加一倍的一阶微分形式

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的哈密顿正则方程(组)，使得此方程(组)形式更为简洁、对称。分析力学的形式有微分和积分两种，而拉格朗日方程和哈密顿正则方程属于前者，它们可以通过哈密顿原理的推导转化为积分形式，使得分析力学的微分形式和积分形式相互等价、易于转化。

下面我们将推导哈密顿正则方程的辛表述。

由哈密顿正则方程表达式(2-12)可见，其对偶变量q、p并不完全对称。将q、p共同组成一个状态向量

?q?v??? (2-13)

?p?于是哈密顿函数可以表述为H(q,p,t)?H(v,t)，则可得

???H??H???????v?i?qi??H??H?????????v?n?i?pi?1?i?n? (2-14)

为将哈密顿正则方程(2-12)表示为较简洁的形式，现引入辛矩阵

?0J????In即可将式(2-12)写成一阶微分方程的形式

In? (2-15) ?0?n?n??H???J?v? (2-16)

??v?式(2-16)即为对哈密顿正则方程的辛表示。辛矩阵J在辛表示中所具有的特殊意义，体现在它具有以下性质：

①J2??I2n，即辛矩阵J的像是其对应的虚数； ②JTJ?I2n，即辛矩阵J是正交阵；

③JT?J?1??J，即辛矩阵的转置矩阵、逆矩阵、反号矩阵仍然是辛矩阵； ④det(J)?1，即辛矩阵的行列式值等于1或－1；

⑤对于任意的向量v恒有vTJv?0，因为辛矩阵J是反对称矩阵。 由式(2-5)可将拉格朗日函数写成矩阵的形式

???q?TK22q?2?q?TK21q?qTK11q2?gTq (2-17) L?q,q将式(2-17)带入式(2-9)可得

??K21q (2-18) p?K22q由上式可解得

1?1???K? q22K21q?K22p (2-19)

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?，整理得 把式(2-19)代入式(2-10)消去q11TTH?q,p??pTAq?qTBq?pTDp?hqp?hpq (2-20)

22由式(2-20)可求得其对偶方程组为

??q?H?Aq?Dp?hq?p (2-21a)

?HT???p?Bq?Ap?hp?q1?1?1式中D?K?22，A??K22K21，B?K11?K12K22K21，hq?0，hp??g

将式(2-21a)写成向量形式

???AD??q??hq??q???? (2-21b) ?p??T???????B?A??p??hp?至此式(2-21a)可合并写成一阶微分方程形式的哈密顿正则方程

??Hv?f (2-21c) v?hq?D??A式中H??，f???。矩阵H称为哈密顿矩阵，它本身并非对称阵，但JH是T?hB?A???p?对称阵，它具有辛矩阵的特点。

?B?AT??0I?T J??，JH???，?JH??JH (2-22) ???A?D???I0?辛的这个性质与哈密顿体系是分不开的，凡是保守体系均可纳入哈密顿体系的轨道，因此都是具有辛的性质的。如果工程力学和现代控制理论中的保守体系，采用用对偶变量来表述并划归到哈密顿体系，就有望在辛体系的框架下建立一套统一方法论，这对于不同学科间的相互沟通是很有利的。

2.3两端边值问题的精细积分法

哈密顿正则方程的求解大体上区分为两种：本征向量展开法和两端边值问题的逐步积分法。前者的方法需将哈密顿矩阵的全部本征值和本征向量都求出，此条件的满足需要在本征解中不出现约当型才可有可靠的算法，而约当型出现时就会出现数值的不稳定性，这又是理论本身所致。对于精细积分法而言，则无论在求解的过程中是否会出现约当型，都会得出具有计算机精度的数值结果。

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2.3.1对偶变量与区段混合能

在此引入纯位移法中的区段变性能。所谓纯位移法就是全部采用位移作为基本未知量。上节中介绍了拉格朗日函数和哈密顿原理及其正则方程，其中拉格朗日函数的物理意义实质上就是体系的势能密度。现将时间坐标t换成纵坐标z，取其中一个区段?za,zb?作为基本区段，则哈密顿原理变分式(2-8)中的积分上下限相应的也该换成相应的变量

(za,zb)。可求得基本区段的的变形能（即势能密度在区段(za,zb)上的积分）为

?)dzU?za,zb,qa,qb???L(q,qzazb1?1?T??q?TK21q?qTK11q?gTq????qK22q?dz22?za?现将区段两端的边界条件（均为位移）qaz?zazb (2-23a)

、qbz?zb带入上式，可得

11TTTUf?qa,qb??qTKq?qKq?qbKbbqb?faqa?fbTqb (2-23b) aaaaaabb22T式中fa、fb分别为基本区段a端与b端的外力，可认为是已知量；KTaa?Kaa、Kbb?Kbb、

KTba?Kab。当不考虑动力作用时，Kaa、Kbb皆为正定。

为求得结构内各点的状态向量，现将结构长度l划分为n份，得一系列首尾相连的子区段，各区段的长度可以任意选取，但通常都是等长的，每段长度记为?，即

?＝zk?zk?1，与k的选取无关。整个结构区间内各点处的位移、内力，可通过将其区间

内部的位移q转换为用qa、qb表示的函数来确定，特别是与两端位移qa、qb对应的内力pa、pb。

鉴于哈密顿体系的优越性，此节我们仍沿用哈密顿对偶体系，引入广义动量，使其与广义位移组成对偶变量混合能体系。

引入内力向量

pb??U?Kbaqa?Kbbqb?fa (2-24a) ?qb将上式代入式(2-23b)得

?1?Kbaqa?pb?fb? (2-24b) qb??Kbb基本区段变形能的全变分形式可表示为

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T?U?qa,qb???pTa?qa?pb?qb (2-25)

上式为纯位移法的表示形式，将其转化成混合能的形式可表示为

V?qa,pb??pTbqb?U?qa,qb? (2-26)

由勒让德变换可得

T??V?U??U??qbT?qb???pb????pa???q?q?q?q?q?aaaa?b? (2-27) ?T??U??qb??VT?qb???q?p?bb???p?qb??p?p?qbbb?b??为使上式中仅含有qa和pb两个独立变量，现将式(2-24b)代入区段混合能的表达式(2-27)，消去qb并简化得

11T1TTTTV?qa,pb??pTGp?pFq?qQq?qr?pr?fbGfb (2-28a) bbbaaaaabb222式中F、G、Q称为区段混合能矩阵，分别为：

?1?1?1、F??Kbb、ra?fa?FTfb、rb?Gfb。ra、rb分别为基G?KbbKba、Q?Kaa?KabKbb本区段混合能a端与b端的非齐次项。

将式(2-28)代入(2-27)可得对偶方程组为

qb?Fqa?Gpb?rbpa??Qqa?Fpb?raT (2-28b)

哈密顿矩阵中的A、B、D是已知的，可以是坐标轴z的函数，而区段混合能可由哈密顿函数积分得出，故区段混合能表达式中的矩阵F、G、Q也应当可由A、B、D积分得出，它们的关系满足黎卡提微分方程。为此，下面我们介绍求解黎卡提微分方程的精细积分法。

2.3.2求解黎卡提微分方程的精细积分法

基本区段中的混合能矩阵F、G、Q与哈密顿矩阵中的A、B、D应当满足关系

?dFd???A?GB?F＝F?A?DQ??TT?dGd??D?AG?GA?GBG＝FDF?dQd??FTBF＝B?ATQ?QA?QDQ (2-29) ?方程(2-29)即为黎卡提微分方程，可用精细积分法对其进行数值求解。精细积分法

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有两个要点：①运用2类算法，将区段长度分割得特别小，再对此运用非常精密的方法将误差排除在计算机字长之外；②计算中只考虑其待求矩阵、向量的增量，以免除舍入误差的干扰[52]。 (1)区段?的混合能矩阵

根据要点①，将积分步长（即划分的区段长）?再细分为2N段，通常选择

N?20,2N?1048576,??N?2N (2-30)

运用泰勒级数展开，可将区段混合能矩阵F、G、Q按幂级数形式展开为

F????I?F????,F??????1???2?2??3?3??4?4?O?54G????γ1??γ2?2?γ3?3?γ4?4?O?5Q????θ1??θ2?2?θ3?3?θ4?45???O????? (2-31)

式中?i、?i、?i（i?1,2,3,4）均为幂级数泰勒展开时的n?n阶系数矩阵。上式展开到第四阶，所略去的相对误差为O?4??4/1024，是非常小的量，已超出了当前计算机所能达到的计算精度[39]。

将式(2-31)代入(2-29)，用待定系数法比较?的各阶次幂，可求得待定系数矩阵为

γ1?D,γ4γ3?Aγ2?γ2AT?γ1Bγ1/33?????Aγγ2?Aγ1?γ1AT/2??? (2-32a)

?γ3AT?γ2Bγ1?γ1Bγ2/4??1?A,?2??A?1?γ1B?/2 (2-32b) ?3??A?2?γ2B?γ1B?1?/3?4??A?3?γ3B?γ2B?1?γ1B?2?/4θ1?B,θ4Tθ3??2B?B?2??1TB?1/3T3????θ2??1TB?B?1/2??? (2-32c)

TB?B?3??2B?1??1TB?2/4?(2)两区段混合能的合并消元 相邻区段上的混合能分别为

TTTT(1)T(1)V1(qa,pb)?pbG1pb/2?qaQ1qa/2?pbF1qa?qara?pbrbV2(qb,pc)?pG2pc/2?qQ2qb/2?pF2qb?qr合并后区段混合能用下标c表示

TcTbTcT(2)ba?prT(2)cb (2-33)

Vc?qb,pc??staV1?qa,pb??V2?qb,pc??pTbqb (2-34a)

?? 19

式中sta表明对qb和pb都应当取驻值予以消元，即

T???V1?qa,pb??V2?qb,pc??pbqb?qb?0 ? (2-34b) T???V1?qa,pb??V2?qb,pc??pbqb?pb?0????将式(2-28)代入式(2-34b)得：

??qb?G1pb?F1qa?0 (2-35) ?T?p?Qq?Fp?01b2c?b由式(2-35)可求得

Tqb??I?G1Q2?F1qa?G1F2pc?G1rb(2)?rb(1)?1?1pb???I?QG??F21T2pc?Q2F1qa?Qr?1(1)2b?r(2)b? ? (2-36)

将式(2-36)代入式(2-28)，可合并导出区段的合并公式为

Fc?F2?I?G1Q2?F1?1Gc?G2?F2G1?Q2Qc?Q1?F1T??Q?12??G?1?1TF2?1ra(c)?ra(1)?F1T?I?Q2G1?ra(2)?Q2rb(1)?1rb(c)?rb(2)?F2?I?G1Q2???r?1F1

(1)b (2-37)

?G1rb(2)??当?很小时，F???趋于单位阵，运用式(2-37)直接计算Fc得到的也近乎是单位阵。重要的是o???部分，因此将I部分从F???中分离出来，在数值计算时若?很小，则应当计算F?。这一步正是精细积分法的第二个要点：关注F阵的增量F?而剥离掉单位阵部分。由于在计算时外荷载加在区段?的两端，每小段?上的混合能矩阵F、G、Q均相同，且合并过程中可以不用考虑ra、rb，所以，当2个?段合并为一个2?段时，式(2-37)应修改为

Fc???F??GQ/2??I?GQ???I?GQ??F??GQ/2??F??I?GQ?F??1?1?1Gc?G??I?F??G?1?QQcT?1??I?F???Q??I?F???Q?G??I?F???1T?1? (2-38)

Fc?I?Fc?公式(2-38)适用于区段长度很小时，尤其适用于2N算法生成长为?的区段的混合能。

20

2.4 MATLAB程序设计介绍

MATLAB是Matrix Laboratory（矩阵实验室）的缩写。当今的科学研究和工程应用，需要进行大量的数学计算，其中包括矩阵运算，这些计算一般来说难以用手工精确、快捷的求出，而需要借助于计算机编制相应的程序来辅助计算。MATLAB提供了一种人机交换的数学系统环境，该软件具有强大的矩阵计算功能，可利用一般的符号和函数就可以对矩阵进行加、减、乘、除运算以及转置和求逆等运算，而且可以处理稀疏矩阵等特殊的矩阵。它的指令表达式与数学、工程中常用的形式十分相似，用其来解决矩阵问题要比其他语言软件如C语言、FORTRAN语言等完成相同的事情简捷的多。

下面简要介绍一下MATLAB的优点：

1. 语言简洁紧凑，使用方便灵活，库函数极其丰富且有功能丰富的工具箱。 2. 运算符丰富，程序的编制没有严格的限制，程序设计自由度大。

3. MATLAB既具有结构化的控制语句（如for循环、while循环、break语句和if语句），又有面向对象编程的特性。

4. 程序的可移植性好：用MATLAB编制的程序基本上不做修改就可以在其他型号的计算机或操作系统上运行。

5. MATLAB的图形功能强大。在FORTRAN语言和C语言里，不容易绘制图形，而在MATLAB里，数据的图形化转化则非常简单。

本课题所做的研究中运算多为矩阵之间的计算，计算复杂且工作量大，鉴于MATLAB软件在矩阵运算及数值计算精度等方面的优异表现，故选其进行编程计算。

2.5 本章小结

本章首先简要介绍了拉格朗日方程与哈密顿变分原理及两者之间的关系，通过广义位移q得出系统的拉格朗日方程，而后引入广义动量p，建立了哈密顿函数及哈密顿正则方程。从区段总势能从发，以黎卡提微分方程为切入点，推导了区段混合能矩阵，介绍了两端边值问题的精细积分法，最后简单介绍了MATLAB语言的基本知识和特点，为论文的下一步展开做好铺垫。

21

第三章 基于薄壁杆件理论的箱形截面桥梁结构弯扭分析

3.1 箱形截面桥梁的计算模型

箱形截面桥梁的类型很多，根据其截面形式的不同，还可再分为T形截面桥梁、槽形截面桥梁、箱形截面桥梁等结构体系。箱形截面早期应用于普通钢筋混凝土悬臂梁桥和连续梁桥，一般采用在支架上现浇施工。近代由于预应力混凝土的发展及现代施工技术的进步，箱形截面更加广泛应用于各种现代桥梁，而且一般采用无支架施工，尤其是在梁式桥梁上的应用最为普遍。据统计，在已建成的预应力混凝土桥梁中，当跨径超过60m后，除极少数外，其横截面大多为箱形截面，其结构形式有简支、悬臂、T形刚构、连续梁等。截面形式如图3-1。在城市高架桥中，则常采用梯形单箱单室截面与单柱墩

BB B?12~18m?

B?22~32m? B?22m?

图3-1 箱形截面形式

配合；在现代斜拉桥中，也广泛应用箱形截面；在拱式桥梁中，大跨径的钢筋混凝土拱桥也大都采用箱形截面。

箱形截面桥梁结构实际上属于薄壁杆件，目前国内外建成的钢筋混凝土箱形截面桥梁结构，其跨度(l)、截面宽度(b)、壁厚(?)大多均可满足薄壁杆件的条件。薄壁杆件一般是指截面厚度较薄的等截面直杆，其在一个方向上的尺度远大于另外两个方向的尺度，即薄壁杆件是长条形的，其长度远大于截面尺度，且壁厚又远小于截面的宽度或高度[54]，通常满足下列关系：

??s?l?0.1bl?0.1~0.2 (3-1)

式中壁厚??s?是截面轮廓曲线s的函数，b为截面宽度或高度的最大值，l为杆件的长度。

22

除此之外，箱形截面桥梁中的横隔板起着分段加肋的作用，应用薄壁杆件约束扭转理论分析箱形截面桥梁结构时，恰能保证“符拉索夫刚周边假定”(3.3将详述)。故箱形截面桥梁实质上可以看作是薄壁杆件结构的一种模型，采用薄壁杆件约束扭转理论分析其在竖向荷载和扭转荷载共同作用下的受力情况，计算模型与实际结构吻合较好，分析方法切实可行。

3.2 箱形截面桥梁的剪力滞后效应

剪力滞现象的产生是由于箱梁翼板的剪切变形使翼板远离肋板处的纵向位移滞后于肋板根部处，从而使得的弯曲应力的横向分布呈曲线形状。

如图3-2的悬臂箱形梁，在平行于AB截面处，应用初等梁的弯曲理论，顶板上应该得到均匀分布的弯曲拉应力。但实际上，腹板传递的剪力流在腹板与翼缘板的交接处要大，而向板内传递的过程，由于翼缘板存在着剪切变形，故向板内传递的剪力流要逐渐的变小。以顶板为例，其拉应力在顶板宽范围内分布是不均匀的，呈现板的中间小而两边大的分布状态。很明显，肋处的剪力流向板中传递过程，有滞后现象，所以工程界称之谓“剪力滞效应”。如果翼缘板与腹板交接处的法向应力大于按照初等梁理论的计算值，称为“正剪力滞”，反之，

P P 图3-2 悬臂箱梁的剪力滞后现象

A B ?0 初等梁理论值

?a?

?a?正剪力滞效应；?b?负剪力滞效应

则称为“负剪力滞”，如图3-3所示。

?b?

图3-3 考虑剪力滞效应的非均匀弯曲应力分布

对称荷载作用下，箱梁的上下翼缘板，考虑剪切变形后，它的弯曲应力是不均匀

23

的。在研究工作中，这种应力不均匀分部的程度通常用翼板计算点的法向应力与按照初等梁理论所求得的法向应力的比值，即剪力滞系数λ来表示。剪力滞系数是衡量剪力滞影响程度的主要指标，当λ越大于1时，则表示剪力滞越严重；当λ等于1时，说明截面内没有剪力滞现象的发生。很明显，上下翼板愈宽，梁高愈低，梁跨径愈小，剪力滞效应就愈突出。

3.3 基于薄壁杆件理论的箱形截面桥梁弯扭分析

薄壁杆件在外荷载作用下主要将发生弯曲和扭转，若当某些外荷载达到一定数值时，杆件还有可能发生失稳。所以，对薄壁杆件的研究主要集中在研究薄壁杆件的弯曲、扭转和稳定性问题。

薄壁杆件的弯曲与扭转在早期的研究中是分别考虑的。薄壁梁的弯曲理论建立在平截面假定的基础上，因此除了闭口薄壁梁的弯曲剪应力计算外，一般可用材料力学的方法进行求解。薄壁杆件的扭转分为自由扭转和约束扭转两种。自由扭转指杆件在扭转时不受任何约束，截面可以自由翘曲。自由扭转理论是18世纪中叶由圣维南(St.Venant)提出的，故自由扭转又可称为圣维南扭转。约束扭转时，杆件截面的翘曲受到约束，在杆件内引起翘曲应力的同时，使杆件又发生了弯曲，因此约束扭转又可称为弯曲扭转。

工程中常见的箱形截面桥梁大多采用两端扭转固定的线形支承、一端固定另一端自由等支承形式，在竖向和扭转荷载作用下，结构将发生约束扭转，在此先对乌曼斯基提出的闭口薄壁杆件的约束扭转理论进行简单介绍。

乌曼斯基闭口薄壁杆件约束扭转理论是乌曼斯基于1939年提出的，采用如下基本假定：在小变形条件下，杆件截面外形轮廓线在其自身平面内保持刚性即不变形，在截面外方向(杆轴z方向)可以任意翘曲即扭转前后截面在与纵轴垂直的截面上的投影不变。此即为符拉索夫刚周边假定。此理论方法简单且适用性强，是分析闭口薄壁杆件约束扭转问题的常用方法。

进一步的研究表明,闭口薄壁杆件受截面周边变形的影响实际上是不大的,而且箱形截面桥梁内分布的横隔板起到对截面的约束作用，更使其周边变形可忽略不计，恰好迎合了符拉索夫刚周边假定。所以应用乌曼斯基闭口薄壁杆件约束扭转理论分析箱形截面桥梁结构，是一种较为合理的方法。

3.3.1 坐标系及基本假定

建立如文献[6]中的直角坐标系，其中O为截面形心、S为截面扭心，x轴和y轴为截面的形心主惯性轴，z轴与杆件的母线平行，且通过截面形心。曲线坐标s沿杆件外形轮廓线量取，杆件截面上任一点P可由坐标z和s完全确定。现规定，位移u、v、

w分别沿x、y、z轴正向为正，转角?x?z?、?y?z?及扭角??z?分别按右手法则绕x、y、

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z轴正向转动为正。

在薄壁杆件的弯扭作用问题中，不失一般性，我们考虑杆件在xoz平面内的弯曲，在yoz平面内的弯曲及绕z轴的扭转。在以下的薄壁杆件弯扭作用分析中，我们采用如下基本假定：

①研究薄壁杆件绕z轴扭转时，将符拉索夫刚周边假定应用于截面的切向位移

??s,z??h?s???z? (3-2)

式中h?s?为截面上任一点P的切线到扭心的距离，??z?为截面z的扭转角。 ②此外，沿曲线坐标s方向的环向应力?s和法向应力?n远比横截面的轴向应力?z小，可忽略不计。

③只在竖向弯曲中计入剪力滞效应。

3.3.2薄壁箱形截面桥梁的位移场函数

在研究薄壁杆件截面的切向位移函数时，我们同时考虑双向弯曲和扭转所带来的切向位移函数。假设薄壁杆件逐次经过绕x轴弯曲、绕y轴弯曲以及绕扭心S的扭转三个过程，然后将它们向切向?轴投影求和，即可求得薄壁杆件截面的切向位移函数。然后，用形心和扭心的位移所表示的任意点P的切向位移函数，可得

dy?s?dx?s??＝?1＋?2＋?3＝?v0?z??xs??z????u0?z??ys??z???h?s???z? (3-3) dsds式中u0?z?、v0?z?——分别为形心沿x轴、y轴的位移； xs、ys——扭心的坐标；

x?s?、y?s?——断面上任意点P的坐标； h?s?——截面上任一点P的切线到扭心的距离；

??z?——截面z的扭转角。

3.3.3 薄壁箱形截面桥梁在弯扭作用下的插值精细积分法

为了描述箱形桥梁的实际受力状态，体现其在横隔板的作用下存在的正（负）剪力滞后效应，现摒弃传统理论研究中采用的对结构变形前后的平截面假定，而寻找一种近似方法能逼近结构变形后的实际位移。如图3-5所示，把箱形截面桥梁沿纵向划分为若干个有限宽度的条形单元，单元的纵向边界线为结线，条形单元通过结线连接在一起，全部的条形单

图3-5 条元划分 Fig.3-5 Strip element division 元组合成箱形截面梁。取一方向（沿结构的纵向）的位移为基本广义位移，另一方向（可沿横截面的法线方向）的翘曲位移用关于基本广义位移的函数的差值来表示，这样求出的位移是逼近真实荷载情况下的翘曲位移，它反映了结构在弯扭作用下的剪力滞后现

25

象。

在薄壁杆件的弯扭作用问题中，为了更真实的表示薄壁杆件结构的实际变形，我们应用函数的插值描述杆件的纵向翘曲位移，利用插值函数的思想达到逼近杆件实际变形的效果；对于杆件的切向位移，仍采用3.2.1中的符拉索夫刚周边假定。为此，我们采用如下假定：

将箱形截面桥梁沿纵向划分为若干个有限宽度的条形单元，沿条形单元的纵向是真实的连续函数(广义位移)，沿箱形截面的横向则用函数的插值来模拟翘曲位移：

w?s,z???wi?z??i?s? （3-6）

i?1n式中：wi?z?——截面所分条单元交界线处的纵向翘曲位移；

s1?

sn1

?

si

sn2 ? sn3

?i?s?——关于各交界线处纵

向翘曲位移的插值函数。可以选取线性、二次、三次或其他高次插值函数来模拟杆件的实际纵向翘曲位移。此处，我们只求清晰的介绍理论，故选用较简单的分段线性插值函数来描述薄壁杆件的纵向翘曲位移：

我们按照图3-6所示依次写出

sn5

?

图3-6 截面线性插值

Fig.3-6 Linear interpolation for section

sn

… sn3?1

… sn4

?i?s?：

?1?s??1?s?s1d?s1?s?s2? （3-7a）

?s?sn1?1?d??1?s?sn1?n1?s???d?s?sn??d0??s?sn1?1?s?sn1??n1?s?sn1?1 （3-7b）

?sn?s?sn?1?其他?0?s?si1???d?i?s???s?si?1?d???0?si?1?s?si??i?2,3,?,n1?1,n1?1,?n2?1,??? ? （3-7c）?si?s?si?1??n?1,?,n?1,n?1,?,n233???s?si?1??s?si?1? 26

?s?sn2?1?d?s?sn2??1??n2?s???d?s?sn?12??d??0??s?sn2?1?s?sn2??n2?s?sn2?1 （3-7d） ?s?sn3?1其他?s?sn3???n?s??1?3s?sn3?1dn3?1?s?sn3 （3-7e）

式中：si——表示第i点的曲线坐标，设箱形截面左上角点为初始坐标s1，顺时针依次为s2,?,sn1,?,sn2,?,sn3,?,sn4,?,sn5,?,sn（如图3-6所示）；

d——表示薄壁杆件截面各分段间距，其值等于d?si?1?si。

将公式（3-7）求导，得

?1?s????1d?s1?s?s2? （3-8a）

?1?d?1??n1?s????d??1?d?0??0?1????i?s???d1???d??0?s?sn1?1?s?sn1?? （3-8b）

n1?s?sn1?1?sn?s?sn?1?其他?si?1?s?si??si?s?si?1??s?si?1??s?si?1??i?2,3,?,n1?1,n1?1,?n2?1,?? ?n?1,?,n?1,n?1,?,n?? （3-8c）

33?2??1sn2?1?s?sn2?d?1?sn2?s?sn2?1?n2?s????d （3-8d） ??1sn3?s?sn3?1??d?0其他?1?n3?s???sn3?1?s?sn3? （3-8e） ?d??????引用向量w(z)??w1?z?,w2?s?,?,wn?s??、??s????1?s?,?2?s?,?,?n?s??，

TT则纵向翘曲位移函数用向量的形式可表示为

27

w?s,z???wi?z??i?s? （3-9）

i?1n3.3.4 薄壁箱形截面桥梁的哈密顿对偶求解体系

由弹性力学可知，薄壁杆件结构的应变能可写为：

t?＝????z?z??sz?sz?dsdz (3-10)

2由几何方程可知：

?w(s,z)?z (3-11a)

??(s,z)?w(s,z)???z?s?z??sz由物理方程可知：

?z?E?z,?sz?G?sz (3-11b)

则用位移表示的体系总势能可表示为：

22H???w?211????w???d???＝????E???G????dAdz?GJd?????qxu0?qyv0?T??dz(3-12)

2?z?z?s2dz?????0?????式中：E、G——分别为材料的弹性模量和剪切模量；

1 Jd——圣维南扭转常数，其值等于Jd??t3ds；

3??z?——截面z的扭转角；

qx?z?、qy?z?——分别为箱形截面桥梁受到沿纵向变化的分布荷载；

T——箱形截面桥梁受到的扭矩。

将式(3-7) 、(3-9)代入式(3-11a)，即可得轴向应变和剪应变，分别为：

??x?????? (3-13a) ?z?y?xy?sz?dydxd?dydx????u???h?? (3-13b) ?0?xs??0?ys??x??y????vdsdsdsdsds由轴向应变产生的应变能： 1??x??????2dAdz?z????Ey?xy2 (3-14) E2?22?2?2?2xy????????????y2?xxy?x?y????2y??x??2xw?y?dAdz2??????由于x轴和y轴为截面的形心主惯性轴，?为以扭心为极点的主扇性坐标，则有：

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?xdA??AAydA??xydA???dA???xdA???ydA?0 (3-15)

AAAA简化式(3-14)，可得

?z＝E?2?I??2?I??2dz (3-16) I?xxyy?2?AA??式中：Ix、Iy——分别为截面绕x、y轴的惯性矩，其值分别为Ix??y2dA、Iy??x2dA；

I?——扇性惯性矩，其值等于I????2dA。

A 由闭口薄壁杆件理论可知，对于闭口薄壁杆件而言，将扭转函数表示的扇性坐标代入剪应变公式(3-13b)，得

?sz?dydxdydx???????u???h???0?xs??0?ys??x??y??h?????vdsdst?dsds? (3-17)

?dxdy????????u???y???v???x??0?ys??0?xs??h??tdsds由剪应变产生的应变能：

G?dxdy?????y???v???x???0?ys??0?xs??sz?????h?????????udAdz (3-18a) ?2tdsds??简便起见，将式(3-18a)作如下简化

2G??dxdy??sz?????[h?X????Y??Z?dAdz (3-18b)

2tdsds?????；Y?u???x。 ???y；Z?v?0?xs??0?ys?式中：X??2 于是将(3-18b)展开，得

22?22??dxdy???2?dx?2YZ??hX?2h?X???????Y?2?ttdsdsdsG?????dAdz (3-18c) ?sz?????2?dy?2dxdy?dx?dy??2???Z?2hXY＋2hXZ?2?Y?2?Z?dsdstdstds???ds???同样，由于x轴和y轴为截面的形心主惯性轴，?为以扭心为极点的主扇性坐标，也可以证得：

???xt?sAdA????yt?sAdA?0 (3-19)

则可将式(3-18c)积分并简化为：

222G?IpX?2JB?X?JB??AxxY???sz????dAdz (3-20) 22??2AxyYZ?AyyZ?2SsxXY＋2SsyXZ??式中：Ip——绕扭心的极惯性矩，其值等于Ip??h2dA；

A 29

???其值等于JB??hdA????dA； JB——与布雷特剪应力对应的扭转惯性矩，

AAtt????x?Axx????dAA?sAxx——沿x方向的剪切面积，其值等于??；

2?2Axy——混合剪切面积，其值等于

Axy???x?ydAA?s?s；

2??y?Ayy????dAA?sAyy??——沿y方向的剪切面积，其值等于；

?xdA； A?s?ySsy——y方向的剪切静矩，其值等于Ssy??AhdA。

?sSsx——x方向的剪切静矩，其值等于Ssx??h现将公式（3-9）代入应变表达式(3-11a)，可得用包含描述纵向位移的插值函数的向量表示的轴向应变和剪应变，分别为

?w?T?z??z??w??s? (3-21a) ?z?w??dx?s?dy?s???s????z? (3-21b) ?sz???wT(z)??J??K?h?s???s?zdsds??z?，K?v??z?。 ?0?z??ys??0?z??xs?式中：J?u则体系的总势能可表示为

EG?T?z?Mw?z?dz??＝?w202HH??w0T??z?2?2???z?Ssψw?z??z?Nw(z)??Ip?Jd????z?JSsx??AxxJ2?2AxyJK?AyyK2?2JSxψw?z??2KSy?w?z??2???z?KSsydz???qxu0?qyv0?T??dz2? （3-22）

式中：M??A??s??T?s?dA，为箱形截面桥梁所产生的轴向应变能；

??s?ψ?T?s?dA； N??ψA?T?s?dA； Ssψ??h?s?ψASxψ??Syψ?x?s?T??s?dA； ψA?s?y?s?T??s?dA。 ??ψA?s2b下面我们以图3-7所示箱形截面桥梁为例，计算以上积分：

30

t1t1oykcut2xhcl2ay图3-7箱形截面尺寸

??1?s?????s??ψ?s?]ψT?s???2????s??2?s???n?s?????1?????s?n???1?s??1?s??2?s???1?s??2?s??22?s????????n?s??2?s??n?s????1?s?22??1?s??n?s?????2?s??n?s????????n2?s???2 （3-23a）

将式（3-7）代入式（3-23a），由于对矩阵的积分等于分别对各项进行积分：

si?1?si?s?si??1??ds?d??si?1?si?s?si??s?si?2?1???1??ds?d??d??si?1?sid?s?si? ??ds? （3-23b）

3?d?求得式（3-23a）可积分简化为

[M]??A??s??T?s?dA?M1*??0?0??0?0??0??0??0??0?0??0?0??0???0?000000000000000?0000000000000000???000000*30000000000?000000000000000000000?0000000000000*M60000000000000?0??000000000*M80*M2???M???000000?*M90?M??*M40000000*T9??????0*M50000??0??0?*T?M8?0?0??0?0?d?0??0?0??0?0??*M7??

??（3-23c）

?t1?式中：M1*??3t?1?6???2t1?3t1??t**6?； M2?M3??1?2t1?6??03??2?2???????t162t1?t23t16?0?t1??； 6?2t1?3???3?3? 31

??2t1t1?3600???2ttt20???1M4??t1*??6300???2?t3?t?；?M*?2t61?t2t1??； ?002t22?5???6?t31??26?t?126t?2???063???3?3??00t3263???4?4???2t1t10??t?000??2?M*??t31t?61t2t?2??；?M*?2t26???67???326????0?t；M*009?0?；?t326tt??22????0t2?22??2?2??06??63?3???6??3?3??000????4?3??M*8????0t2?0?6??。 ?1?3?????1(s)?ψ??s?ψ?T?s??????2(s)????1?s???2?s????????n?s??????n(s)????2?1?s???1?s???2?s???? 1?s???n?s??????1?s???2?s???22?s????s??????2?n????????????1?s???n?s???2?s???n?s????2s??n???将式(3-8)代入式(3-24a)并积分得

32

(3-24a)

?(s)??T(s)dAN??A??N1*??0?0??0?0??0???0?00000000?000000000??000000000000000000000000000000000??0000*N2???N?*30?N??0*T9?0??0?*T?N8?0?0??0?1 ???0000?N*9???N*4?000000??0000000??00000??d?00000000N*5?0000????000000000?00?0000000000?N*6?0?00????00?0?00000000?0???00N*8000000000?N*??7???t10?式中：?N*????t1?t?2t11?1??t2t1?t2?t?1； 12t?； ?N*2???N*??3?1??2?2???t1??0?t12t?1???3?3???2t1?t100??N*??t1t100??2t20?4????t?；?N*??t2??5t?1?t2?t1； ?002t22???t2?00?t?t12t?1??22t???02???3?3?4?4??000????2t1?t10?N*6????t1t1?t2?t??*??2t2?t2；N7????2?0???0?t2t?；N*?009?2?22t????t22????2?2??3?3??0?t20??； ?000???4?3??N*8???0?t20??1?3?。

对于如图4-6所示的薄壁箱形结构，其截面形心的位置为：

Ch?2et1?2at1?ht2?l?2et1?4at1?2ht2 Cu?h?Cl则其截面扭心至形心的距离[55]

yA14ahA3k?A? 2A4 33

(3-24b)(3-25)

(3-26)

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