2010年全国大学生数学建模竞赛A题获奖论文储油罐的变位识别与罐容表标定 2

承 诺 书

我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.

我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 江西师范大学 参赛队员 (打印并签名) ：1. 洪 情 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 教练组

日期： 2010 年 9 月 12 日

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摘要

本文通过对储油罐中油位高度及变位参数之间的不同情形的储油量进行分析并建立相应的数学模型，在该过程中先利用投影法、截面法及微元法得出储油量与油位高度及变位参数的函数关系。再由Matlab编程可知各高度储油量的理论数据，最后分析误差及评价模型的合理性。

对于问题一的任一种情形，我们均建立笛卡尔坐标系，当储油罐无变位时，利用微元法得到体积关于h的公式，当储油罐发生变位时，根据储油罐中油量的多少分成三种情形，就每一类利用微元法得到体积关于h的公式。代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布，再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。

对于问题二中的储油罐，我们先将问题进行简化考虑，得出了储油罐水平卧放时油量与浮油子高度的函数关系；再考虑储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）的一般情况，在该过程中，我们进行近似处理，利用投影法和截面法得出了储油量关于油位高度及变位参数的函数关系；并在固定的横向偏转角度 条件下，就纵向倾斜角度 的变化进行分成三类讨论，这三类又可以分成八种情形，得到了每一种情形下实际储油罐罐内储油量与油位高度的函数关系。

在模型的改进中，我们就问题二储油量与油位高度及变位参数的一般情况进行了仔细的考虑，将含油部分的体积分成四个部分，每一个部分将上述所提到的积分方法相结合，得到了各个部分的储油量与油位高度及变位参数的函数关系，从而可得总储油量与油位高度及变位参数的函数关系；并据此利用Matlab编程和实际测量的数据求得 和 值；与此同时我们可以得出在固定 、 值时各高度下的理论储油量；根据理论油量及实际油量得出误差，判断误差所服从的分布再利用相对误差进行误差分析并评价模型的合理性。由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们给出了罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。

【关键词】投影法 截面法 微元法 Matlab编程

§1 问题重述

通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的“油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。

请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。 （1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为 4.1 的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。

（2）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。（以上涉及的图1~4均在附录中）

§2 模型的假设与符号的约定

§2.1 模型的假设与说明

（1）在储油罐倾斜的情况下，忽略油浮子高度为0时油所占的体积； （2）在储油罐倾斜的情况下，假设当油浮子高度达到最大后不再进油； （3）油的挥发速度很慢，忽略因油的挥发而造成储油量的减少； （4）储油罐的材料为钢体，忽略因渗出油而造成储油量的减少； （5）储油罐管理妥当，不会因特殊情况而造成储油量的变化。

§2.2符号的约定与说明

V表示储油罐中油的体积; L表示储油罐圆柱体部分的长度;

a表示任一椭球截面的长半轴;

b表示任一椭球截面的短半轴;

a1表示油浮子在圆柱体高方向上投影至两端的较小值;

h表示油浮子到圆柱体高方向的距离;

h1表示储油罐接地一端油面到地面得距离;

表示纵向倾斜角度;

表示横向倾斜角度;

h0表示球冠高; b0表示球冠底半径;

§3 问题的分析

§3.1 问题一的分析

当储油罐无变位时，储油罐圆柱体的接地一端为原点，以圆柱体高方向为z轴，建立笛卡尔坐标系，利用微元法得到体积关于h的公式，代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。利用附件1实验数据中得到储油罐中的实际油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差，判断误差所服从的分布，利用相对误差进行误差分析。

当储油罐发生变位时，以储油罐圆柱体的接地一端为原点，圆柱体高方向为

z轴，建立笛卡尔坐标系。根据储油罐中油量的多少分成三类，然后就每一类利用微元法得到体积关于h的公式，代人附件1实验数据中的高度得到储油罐中的理论油量V。利用附件1实验数据中得到储油罐中的实际油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差，判断误差所服从的分布，利用相对误差进行误差分析。

由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式可以给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。

§3.2 问题二的分析

对于实际储油罐，我们首先将问题进行简化考虑，得出了当实际储油罐水平卧放时实际储油罐中油量与浮油子高度的函数关系；

然后我们先考虑实际储油罐罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ）的一般情况，在该过程中，我们进行近似处理，利用投影法和截面法得出了储油量关于油位高度及变位参数的函数关系，再在固定的横向偏转角度 条件下，就纵向倾斜角度 的变化进行分类讨论，一共有三种情形，得到了每一种情形下实际储油罐罐内储油量与油位高度的函数关系。

最后我们先利用附件2中的少量实际数据得出了附件2所处状态下的纵向倾斜角度 和横向偏转角度 ，再利用附件2中给定各高度进行代人，得到实际储

油罐理论的储油量，与实际储油量进行比较，求出误差及相对误差。

由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式可以给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格）。

§4 模型的建立与求解

§4.1 问题一

§4.1.1 模型一

当储油罐体无变位时，储油罐圆柱体的接地一端为原点，以圆柱体高方向为

z轴，建立笛卡尔坐标系，如图4-1所示，在高度为h时，利用微元法过垂直z轴的方向做截面S(z)，对S(z)关于z进行积分，得到体积关于h的公式。

图

4- 1

x2y2由

2 2 1 x abS(z) 2

a 0b

a h b1 (h b2arcsin b2 b b2

dV

S(z)dz

V S(z)dz

L

a h b12 L (h b2arcsin b b b2

V

a h b12 L (h b2arcsin b b b2

利用Matlab中的命令subs代人附件1实验数据中的各高度得到储油罐中的理论油量V。

由附件1实验数据中进油量、出油量及储油罐罐内油量初值可以得到储油罐中的实际储油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差。

由附录中的程序youliang1，我们得到了理论储油量，误差及相对误差。 进油后理论储油量与实际储油量随高度的变化规律如图4-2所示：

图4- 2

出油后理论储油量与实际储油量随高度的变化规律如图4-3所示：

图4- 3

无变位进油和无变位出油的储油理论量和储油实际量及误差和相对误差的数据如表4-1所示：

表4- 1

2012 2062 2112 2162 2212 2262 2312 2315.8 2365.8 2367.1 2417.1 2467.1 2517.1 2567.1 2617.1 2667 2668.8 2718.8 2768.8 2818.8 2868.8 2918.8 2968.8 3018.8 3068.8 3118.8 3168.8 3168.9 3218.9 3268.9 3318.9 3368.9 3418.9 3468.9 3518.9 3568.9 3618.9 3668.9 3718.9 3768.9 3818.9 3868.9 3918.9 3968.9

2082.2 2134.0 2185.7 2237.4 2289.2 2340.9 2392.7 2396.6 2448.4 2449.6 2501.4 2553.1 2604.9 2656.6 2708.3 2760.0 2761.9 2813.7 2865.4 2917.2 2968.9 3020.7 3072.4 3124.1 3175.9 3227.6 3279.4 3279.5 3331.2 3382.9 3434.7 3486.4 3538.2 3589.9 3641.7 3693.4 3745.1 3796.9 3848.6 3900.4 3952.1 4003.9 4055.6 4107.4

70.20 71.95 73.67 75.43 77.16 78.89 80.67 80.78 82.54 82.56 84.34 86.05 87.82 89.53 91.28 93.03 93.11 94.83 96.59 98.34 100.09 101.84 103.58 105.31 107.06 108.80 110.55 110.55 112.27 114.03 115.76 117.52 119.26 121.01 122.76 124.51 126.23 127.98 129.74 131.48 133.23 134.95 136.70 138.45

3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37%—6—

2216.2 2166.2 2116.2 2066.2 2016.2 1966.2 1916.2 1866.2 1816.2 1766.2 1716.2 1666.2 1616.2 1566.2 1516.2 1466.2 1416.2 1366.2 1316.2 1266.2 1216.2 1166.2 1116.2 1066.2 1016.2 966.2 916.2 866.2 816.2 766.2 716.2 666.2 616.2 566.2 516.2 466.2 416.2 366.2 316.2 266.2

2293.5 2241.7 2190.0 2138.3 2086.5 2034.8 1983.0 1931.3 1879.5 1827.8 1776.1 1724.3 1672.6 1620.8 1569.1 1517.3 1465.6 1413.8 1362.1 1310.4 1258.6 1206.9 1155.1 1103.4 1051.6 999.9 948.2 896.4 844.6 792.9 741.2 689.4 637.7 585.9 534.2 482.5 430.7 379.0 327.2 275.5

77.32 75.55 73.84 72.08 70.32 68.60 66.85 65.12 63.35 61.61 59.88 58.12 56.37 54.64 52.87 51.14 49.42 47.65 45.91 44.18 42.42 40.68 38.94 37.19 35.43 33.71 31.96 30.20 28.45 26.71 24.99 23.25 21.51 19.74 18.02 16.28 14.50 12.77 11.02 9.28

3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.

37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37% 3.37%

由上述的表格可以得出相对误差稳定，不会随高度发生变化。

当储油罐体发生变位时，我们就油面及油浮子的位置与倾斜角度的变化情况分成将该问题三类，然后就每一类进行分析，找出了储油罐中油的体积与油浮子位置的函数关系，其立体图如图4-4所示：

图4- 4

（1）当油浮子的高度在0 h h1 ztan 时，如图4-5所示，截面图如图4-6所示

图4- 5

截面面积为：

h1 ztan

S(z) 0a

h1 ztan( ) b ba h ztan( ) b 12 b2arcsin 1 b b b 2

图4- 6截面图

所以油罐体积为：

V f(h1) 0

h1tan

h1tan 0

S(z)dz

a

h1 ztan( ) b （1.1） b

a 2 h1 ztan( ) b 12 barcsin b b b 2

0

h1tan

将h h1 atan 代入公式（1.1）

令

h a1tan ztan b

t，则公式（1.1

）

b

b 11V ab h atan b(arcsint )dt

tan 12

b

h a1tan bh a1tan b ab2 arcsin tan bb 23/2 ab 1 h a1tan( ) b 1 h a1tan( ) b 1 tan( ) 2 b3b

2

（2）当油浮子的高度在ltan h 2b a1tana时，如图4-7所示，

图4- 7

截面面积为：

h1 ztan

S(z) 0a

h1 ztan( ) b (0.1) ba h ztan( ) b 12 b2arcsin 1 b b b 2

所以油罐装油的体积为；

V S z dz

0L

ab

0

L

h+a1tan( )-ztan( )-b h+a1tan( )-ztan( )-b 1

arcsin dz 2

bb 2

(0.2)

将h=h1-a1tan( )公式(0.3)，令

公式(2.2)化为 ：

h+a1tan( )-ztan( )-b

t

b

-ab2 1

V(h)=

tan( ) (h+a1tan(a)-b)/b

(h+atan(a)-Ltan(a)-b)/B

1 arcsin(t) dt

2

将积分下限令为p,积分上限令为q，则

h a1tan( ) b

,

b

h+a1tan( )-Ltan( )-b

b

p=q

ab2 1

V(h)

tan( ) 3

2

3

1

qsin(q)

3

psin(p)

3

3

ab 1 tan( ) 3

（3）当油浮子的高度Ltan h 2b时，如图4-8所示，

图4- 8

h h1 h h1 2b atan ,

其中， ，此时截面面积为：

h ltan h. 2

h2 ztan

S(z) 0a

h (z a1)tan( ) bba h (z a1)tan( ) b 12 b2arcsin b b b 2

所以油罐装油的体积为

V(h)

Ltan( ) h 2b a1tan( )

tan()

L

s(z)dz

h (z a1)tan( ) bh (L a1)tan( ) b2h 2a1tan( ) 3b Ltan( )

,p ,q

bbb

则上式公式变为：

令t=

ab2 1 V(h) arcsin(t) dt

tan( ) p 2

ab2 1

tan( ) 3

q

3

1

qsin(q)

3

3

psin(p)

利用Matlab中的命令subs代人附件1实验数据中的各高度得到储油罐中的理论油量V。

由附件1实验数据中进油量、出油量及储油罐罐内油量初值可以得到储油罐

中的实际油量，根据理论油量及实际油量就可以得出误差。

由附录中的程序youliang2，我们得到了理论油量，误差及相对误差。 倾斜时进油后理论储油量与实际储油量随高度的变化规律如图4-9所示：

图4- 9

倾斜时出油后理论储油量与实际储油量随高度的变化规律如图4-10所示：

图4- 10

将倾斜进油和倾斜变位出油的储油理论值和储油实际值及误差和相对误差的数据如表4-2所示：

表4- 2

由上述的程序还可以描绘出倾斜时储油量的误差随罐内油位高度的变化情况，如图4-11所示：

图4- 11

由上述图我们可以知道倾斜时不管是进油后储油量的误差还是出油后储油量的误差均随罐内油位高度的变化呈正态分布，说明该模型建立得贴合实际。

由上述得到储油罐发生变位时体积关于h的公式我们可以给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值（即进/出油量与罐内油位高度的表格），如表4-3所示：

表4- 3罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值

§4.2 问题二

我们一开始考虑当储油罐水平放置时油量与浮油子高度的函数关系。 当储油罐水平放置无横向与纵向倾斜时，设油高为h，所建立的空间直角建立坐标系如图4-12所示：

图4- 12

储油罐中储油的体积可分为两部分，圆柱体中储存油的体积与两端的球罐体中油的体积，根据对称性，两端的球罐体中油的体积相等。用垂直于z轴 的平面截储油罐，根据截面法求体积公式可求出储油的体积。

第一种情况：当0 h b0时

1、对于圆柱体部分：截面圆的方程为x

2 (y b0)2 b02

由x

2 (y b0)2 b02 x 截面

s(z) 2

h

2

y b0 1b2 2 arcsin b0 2 b0 4 0

h b0 12

(h b0b02arcsin b0

b0 2

体积 v1 s(z)dz

0L0

h b0 12

L0(h b0L0b0arcsin b0L0

b 0 2

2

2、对于两端的球冠体，根据对称性，两端的球冠体储油体积相等，如图4-13所示：

图4- 13

由图4-13可看出，根据几何关系：

2

2

2

图4- 14

R=(R h3) b0

h32 b02

R

2h3

用平面z z截球罐体，设截得小圆半径为r1，所图4-14所示，根据几何关

系得：

r12 R2 (d' z)2

d' r R-

21

2

z

2

r1 截面圆的油高为h'，h' r1

(b0

h)

h截面

S(z) 2

'

h' r1 12

(h r1rarcsin r1

r1 2

21

h3 R

V2 2

h3 h3

hb0

0h3 h3

S(z)dz(h b0h3 h3

hb0

2 0

hb0

2 0

2 R

h3 h3

hb0

2

z arcsin

dz 0

积分解得：

V2

R-

2

zdz

2

hR2

2

h33 3h32R 2R3

h3 R

arctan63 h3

hR h23

Rarctan3

V V1 2V2

hR

4

hL33

222 L0b0

2R b0 arctan 2

h3

43

Rarctan3

第二种情况：当b0 h 2b0时 对于圆柱体的部分同第一种情况

V1 S(z)dz

0L0

h b0 12

L0(h b0L0b0arcsin b0L0

b0 2

2

对于球罐体体积 截面圆的油高为h'

S(z) 2

h'

h' r1 (h

b0)

'

h r121

(h' r1r12arcsin r1

r1 2

这种情况与第一种情况相同，因此与第一种情况相同。 模型的建立： V与h的函数关系为：

V V1 2V2

L0b02

2R2 b02 arctan hR

我们就油所占的体积进行初步讨论,建立笛卡尔坐标系如图4-15,可以得出球冠体的球面方程为:

b02 h02 b02 h02 22

x y z (h3 )

2h0 2h0

2

2

4 R3arctan32

h3

4

hL33

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kxx1.html