《概率与统计》习题答案(复旦大学)

习题二

1.一袋中有5只乒乓球，编号为1，2，3，4，5，在其中同时取3只，以X表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量X的分布律. 【解】

故所求分布律为 X 3 4 5 P 0.1 0.3 0.6

2.设在15只同类型零件中有2只为次品，在其中取3次，每次任取1只，作不放回抽样，以X表示取出的次品个数，求： （1） X的分布律；

（2） X的分布函数并作图； (3) .

【解】

故X的分布律为 X 0 1 2 P

（2）当x<0时，F（x）=P（X≤x）=0

当0≤x<1时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)=

当1≤x<2时，F（x）=P（X≤x）=P(X=0)+P(X=1)= 当x≥2时，F（x）=P（X≤x）=1 故X的分布函数 (3)

3.射手向目标独立地进行了3次射击，每次击中率为0.8，求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数，并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】

设X表示击中目标的次数.则X=0，1，2，3.

故X的分布律为 X 0 1 2 3

P 0.008 0.096 0.384 0.512 分布函数

4.（1）设随机变量X的分布律为 P{X=k}= ，

其中k=0，1，2，?，λ＞0为常数，试确定常数a. （2）设随机变量X的分布律为 P{X=k}=a/N， k=1，2，?，N， 试确定常数a. 【解】（1）由分布律的性质知 故

(2) 由分布律的性质知

即 .

5.甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6,0.7,今各投3次，求： （1）两人投中次数相等的概率; （2）甲比乙投中次数多的概率.

【解】分别令X、Y表示甲、乙投中次数，则X~b（3，0.6）,Y~b(3,0.7) (1) +

(2)

=0.243

6.设某机场每天有200架飞机在此降落，任一飞机在某一时刻降落的概率设为0.02，且设各飞机降落是相互独立的.试问该机场需配备多少条跑道，才能保证某一时刻飞机需立即降落而没有空闲跑道的概率小于0.01(每条跑道只能允许一架飞机降落)？

【解】设X为某一时刻需立即降落的飞机数，则X~b(200,0.02)，设机场需配备N条跑道，则有 即

利用泊松近似

查表得N≥9.故机场至少应配备9条跑道.

7.有一繁忙的汽车站，每天有大量汽车通过，设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过，问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？

【解】设X表示出事故的次数，则X~b（1000，0.0001）

8.已知在五重贝努里试验中成功的次数X满足P{X=1}=P{X=2}，求概率P{X=4}. 【解】设在每次试验中成功的概率为p，则

故

所以 .

9.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3，当A发生不少于3次时，指示灯发出信号， （1）进行了5次独立试验，试求指示灯发出信号的概率； （2）进行了7次独立试验，试求指示灯发出信号的概率. 【解】（1）设X表示5次独立试验中A发生的次数，则X~6（5，0.3）

(2) 令Y表示7次独立试验中A发生的次数，则Y~b（7，0.3）

10.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为（1/2）t的泊松分布，而与时间间隔起点无关（时间以小时计）.

（1）求某一天中午12时至下午3时没收到呼救的概率；

（2）求某一天中午12时至下午5时至少收到1次呼救的概率. 【解】（1） (2) 11.设P{X=k}= , k=0,1,2 P{Y=m}= , m=0,1,2,3,4

分别为随机变量X，Y的概率分布，如果已知P{X≥1}= ，试求P{Y≥1}. 【解】因为，故 . 而 故得 即 从而

12.某教科书出版了2000册，因装订等原因造成错误的概率为0.001，试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.

【解】令X为2000册书中错误的册数，则X~b(2000,0.001).利用泊松近似计算,

得

13.进行某种试验，成功的概率为，失败的概率为 .以X表示试验首次成功所需试验的次数，试写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 【解】

14.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： （1）保险公司亏本的概率;

（2）保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率. 【解】以“年”为单位来考虑.

（1）在1月1日，保险公司总收入为2500×12=30000元. 设1年中死亡人数为X，则X~b(2500,0.002)，则所求概率为

由于n很大，p很小，λ=np=5，故用泊松近似，有

(2) P(保险公司获利不少于10000)

即保险公司获利不少于10000元的概率在98%以上 P（保险公司获利不少于20000）

即保险公司获利不少于20000元的概率约为62% 15.已知随机变量X的密度函数为 f(x)=Ae?|x|, ?∞

故 . (2)

(3) 当x<0时， 当x≥0时， 故

16.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X的密度函数为 f(x)=

求：（1）在开始150小时内没有电子管损坏的概率； （2）在这段时间内有一只电子管损坏的概率； （3） F（x）. 【解】 （1）

(2)

(3) 当x<100时F（x）=0 当x≥100时 故

17.在区间［0，a］上任意投掷一个质点，以X表示这质点的坐标，设这质点落在［0，a］中任意小区间内的概率与这小区间长度成正比例，试求X的分布函数. 【解】由题意知X~∪[0,a]，密度函数为

故当x<0时F（x）=0 当0≤x≤a时

当x>a时，F（x）=1 即分布函数

18.设随机变量X在[2，5]上服从均匀分布.现对X进行三次独立观测，求至少有两次的观测

值大于3的概率. 【解】X~U[2,5]，即

故所求概率为

19.设顾客在某银行的窗口等待服务的时间X（以分钟计）服从指数分布 .某顾客在窗口等待服务，若超过10分钟他就离开.他一个月要到银行5次，以Y表示一个月内他未等到服务而离开窗口的次数，试写出Y的分布律，并求P{Y≥1}. 【解】依题意知，即其密度函数为

该顾客未等到服务而离开的概率为

,即其分布律为

20.某人乘汽车去火车站乘火车，有两条路可走.第一条路程较短但交通拥挤，所需时间X服从N（40，102）；第二条路程较长，但阻塞少，所需时间X服从N（50，42）. （1）若动身时离火车开车只有1小时，问应走哪条路能乘上火车的把握大些？ （2）又若离火车开车时间只有45分钟，问应走哪条路赶上火车把握大些？ 【解】（1）若走第一条路，X~N（40，102），则

若走第二条路，X~N（50，42），则 ++

故走第二条路乘上火车的把握大些. （2）若X~N（40，102），则

若X~N（50，42），则

故走第一条路乘上火车的把握大些. 21.设X~N（3，22），

（1）求P{2

(2) c=3

22.由某机器生产的螺栓长度（cm）X~N（10.05,0.062）,规定长度在10.05±0.12内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率. 【解】

23.一工厂生产的电子管寿命X（小时）服从正态分布N（160，σ2），若要求P{120＜X≤200}≥0.8，允许σ最大不超过多少？ 【解】

故

24.设随机变量X分布函数为 F（x）=

（1）求常数A，B；

（2）求P{X≤2}，P{X＞3}； （3）求分布密度f（x）. 【解】（1）由得 （2）

(3)

25.设随机变量X的概率密度为 f（x）=

求X的分布函数F（x），并画出f（x）及F（x）. 【解】当x<0时F（x）=0 当0≤x<1时

当1≤x<2时

当x≥2时 故

26.设随机变量X的密度函数为 （1） f(x)=ae??|x|,λ>0; (2) f(x)=

试确定常数a,b，并求其分布函数F（x）. 【解】（1）由知 故

即密度函数为 当x≤0时 当x>0时

故其分布函数

(2) 由

得 b=1 即X的密度函数为

当x≤0时F（x）=0 当0

当1≤x<2时

当x≥2时F（x）=1 故其分布函数为

27.求标准正态分布的上分位点， （1） =0.01，求 ; （2） =0.003，求， . 【解】（1） 即 即 故

（2）由得

即 查表得 由得 即 查表得

28.设随机变量X的分布律为

X ?2 ?1 0 1 Pk 1/5 1/6 1/5 1/15 求Y=X2的分布律.

【解】Y可取的值为0，1，4，9

故Y的分布律为

Y 0 1 4 9

Pk 1/5 7/30 1/5 11/30 29.设P{X=k}=( )k, k=1,2,?,令

求随机变量X的函数Y的分布律. 【解】

30.设X~N（0，1）.

（1）求Y=eX的概率密度； （2）求Y=2X2+1的概率密度； （3）求Y=｜X｜的概率密度. 【解】（1）当y≤0时， 当y>0时， 故 (2)

311/30 当y≤1时 当y>1时

故

(3)

当y≤0时 当y>0时 故

31.设随机变量X~U（0,1），试求： （1） Y=eX的分布函数及密度函数； （2） Z=?2lnX的分布函数及密度函数. 【解】（1） 故 当时

当1

当y≥e时 即分布函数

故Y的密度函数为

（2）由P（0

当z≤0时， 当z>0时，

即分布函数

故Z的密度函数为

32.设随机变量X的密度函数为 f(x)=

试求Y=sinX的密度函数. 【解】

当y≤0时， 当0

当y≥1时，

故Y的密度函数为

33.设随机变量X的分布函数如下：

试填上(1),(2),(3)项. 【解】由知②填1。

由右连续性知，故①为0。 从而③亦为0。即

34.同时掷两枚骰子，直到一枚骰子出现6点为止，求抛掷次数X的分布律. 【解】设Ai={第i枚骰子出现6点}。（i=1,2）,P(Ai)= .且A1与A2相互独立。再设C={每次抛掷出现6点}。则

故抛掷次数X服从参数为的几何分布。

35.随机数字序列要多长才能使数字0至少出现一次的概率不小于0.9? 【解】令X为0出现的次数，设数字序列中要包含n个数字，则 X~b(n,0.1) 即

得 n≥22 即随机数字序列至少要有22个数字。 36.已知 F（x）=

则F（x）是（）随机变量的分布函数. （A）连续型；（B）离散型； （C）非连续亦非离散型.

【解】因为F（x）在（?∞,+∞）上单调不减右连续，且 ,所以F（x）是一个分布函数。

但是F（x）在x=0处不连续，也不是阶梯状曲线，故F（x）是非连续亦非离散型随机变量的分布函数。选（C）

37.设在区间[a,b]上，随机变量X的密度函数为f(x)=sinx，而在[a,b]外，f(x)=0，则区间 [a,b]等于（）

(A) *0,π/2+; (B) *0,π+; (C) [?π/2,0+; (D) *0, +. 【解】在上sinx≥0，且 .故f(x)是密度函数。 在上 .故f(x)不是密度函数。 在上，故f(x)不是密度函数。

在上，当时，sinx<0，f(x)也不是密度函数。 故选（A）。

38.设随机变量X~N（0，σ2），问：当σ取何值时，X落入区间（1，3）的概率最大？ 【解】因为

利用微积分中求极值的方法，有

得 ,则 又

故为极大值点且惟一。

故当时X落入区间（1，3）的概率最大。

39.设在一段时间内进入某一商店的顾客人数X服从泊松分布P（λ），每个顾客购买某种物品的概率为p，并且各个顾客是否购买该种物品相互独立，求进入商店的顾客购买这种物品的人数Y的分布律. 【解】

设购买某种物品的人数为Y，在进入商店的人数X=m的条件下，Y~b(m,p)，即

由全概率公式有

此题说明：进入商店的人数服从参数为λ的泊松分布，购买这种物品的人数仍服从泊松分布，但参数改变为λp.

40.设随机变量X服从参数为2的指数分布.证明：Y=1?e?2X在区间（0，1）上服从均匀分布.

【证】X的密度函数为

由于P（X>0）=1，故0<1?e?2X<1，即P（0

即Y的密度函数为

即Y~U（0，1）

41.设随机变量X的密度函数为 f(x)=

若k使得P{X≥k}=2/3，求k的取值范围. (2000研考) 【解】由P（X≥k）= 知P（X6,则P（X

故只有当1≤k≤3时满足P（X≥k）= . 42.设随机变量X的分布函数为 F(x)=

求X的概率分布. （1991研考） 【解】由离散型随机变量X分布律与分布函数之间的关系，可知X的概率分布为 X ?1 1 3 P 0.4 0.4 0.2

43.设三次独立试验中，事件A出现的概率相等.若已知A至少出现一次的概率为19/27，求A在一次试验中出现的概率.

【解】令X为三次独立试验中A出现的次数，若设P（A）=p,则 X~b(3,p)

由P（X≥1）= 知P（X=0）=（1?p）3= 故p=

44.若随机变量X在（1，6）上服从均匀分布，则方程y2+Xy+1=0有实根的概率是多少？ 【解】

45.若随机变量X~N（2，σ2），且P{2

【解】 故 因此

46.假设一厂家生产的每台仪器，以概率0.7可以直接出厂；以概率0.3需进一步调试，经调试后以概率0.8可以出厂，以概率0.2定为不合格品不能出厂.现该厂新生产了n(n≥2)台仪器（假设各台仪器的生产过程相互独立）.求 （1）全部能出厂的概率α；

（2）其中恰好有两台不能出厂的概率β；

（3）其中至少有两台不能出厂的概率θ. 【解】设A={需进一步调试}，B={仪器能出厂}，则 ={能直接出厂}，AB={经调试后能出厂} 由题意知B= ∪AB，且

令X为新生产的n台仪器中能出厂的台数，则X~6（n，0.94）, 故

47.某地抽样调查结果表明，考生的外语成绩（百分制）近似服从正态分布，平均成绩为72分，96分以上的占考生总数的2.3%，试求考生的外语成绩在60分至84分之间的概率. 【解】设X为考生的外语成绩，则X~N（72，σ2） 故

查表知 ,即σ=12 从而X~N（72，122） 故

48.在电源电压不超过200V、200V~240V和超过240V三种情形下，某种电子元件损坏的概率分别为0.1，0.001和0.2（假设电源电压X服从正态分布N（220，252））.试求： （1）该电子元件损坏的概率α;

(2) 该电子元件损坏时，电源电压在200~240V的概率β 【解】设A1={电压不超过200V}，A2={电压在200~240V}， A3={电压超过240V}，B={元件损坏}。 由X~N（220，252）知

由全概率公式有

由贝叶斯公式有

49.设随机变量X在区间（1，2）上服从均匀分布，试求随机变量Y=e2X的概率密度fY(y). 【解】

因为P（1

当y≥e4时， 即 故

50.设随机变量X的密度函数为 fX(x)=

求随机变量Y=eX的密度函数fY(y). (1995研考) 【解】P（Y≥1）=1 当y≤1时， 当y>1时， 即 故

51.设随机变量X的密度函数为 fX(x)= , 求Y=1? 的密度函数fY(y). 【解】 故

52.假设一大型设备在任何长为t的时间内发生故障的次数N（t）服从参数为λt的泊松分布. （1）求相继两次故障之间时间间隔T的概率分布； （2）求在设备已经无故障工作8小时的情形下，再无故障运行8小时的概率Q.（1993研考）

【解】（1）当t<0时，

当t≥0时，事件{T>t}与{N(t)=0}等价，有 即

即间隔时间T服从参数为λ的指数分布。 （2）

53.设随机变量X的绝对值不大于1，P{X=?1}=1/8，P{X=1}=1/4.在事件{?1

当x=?1时， 故X的分布函数

54. 设随机变量X服从正态分N（μ1,σ12),Y服从正态分布N(μ2,σ22)，且P{|X-μ1|<1}>P{|Y-μ2|<1}，试比较σ1与σ2的大小. (2006研考) 解：依题意，，则 ， .

因为，即 ，

所以有，即 .

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