山西省山大附中2015届高三12月月考数学(理)

山西大学附中2014年高三第一学期12月月考

数学试题（理科）

考试时间：120分钟 满分：150分

一．选择题（本大题共12题，每小题5分，共60分.）

2

1.设不等式x x 0的解集为M，函数f(x) lg1 x的定义域为N，则M N

A. -1,0 B. 0,1 C. 0,1 D. 0,1 2.若复数z满足 2-i z 2i，则z的虚部位

5

i C.1 D.i B.

55

3.命题“若a,b都是偶数，则a b是偶数”的逆否命题是

A.若a b不是偶数，则a,b都不是偶数 B.若a b不是偶数，则a,b不都是偶数 C.若a,b都不是偶数，则a b不是偶数 D.若a,b不都是偶数，则a b不是偶数

4.已知等差数列 an 且3 a3 a5 2 a7 a10 a13 48，则数列 an 的前13项和为

A.

A.24 B.39 C.52 D.104 5.若抛物线y ax的焦点坐标是（0,1），则a A.1 B.

2

11

C.2 D. 24

x bcosx(ab 0,x R)在x 6.已知函数f(x) asin

4

处取得最大值，则函数

y f x 是

4

3

0 ，

0 对称B.偶函数且它的图像关于点 2 对称 A.偶函数且它的图像关于点 ， 3

0 ，

C.奇函数且它的图像关于点 2 对称D.奇函数且它的图像关于点 ，0 对称

12

7.执行如图所示的程序框图，若f(x) 3x 1，取 ，则输出的

10

值为 A.

53199

B. C. D.

843216

8.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥，则不是该三棱锥的三视图是

9.已知A,B,C三点是某球的一个截面的内接三角形的三个中AB 18,BC 24,AC 30，球心到这个截面的距离的一半，则该球的表面积为

A.1200 B.1400 C.1600

顶点，其为球半径D.1800 区域D内

x 2y 1 0

10.已知约束条件 ax y 0表示的平面区域为D，若

x 1

至少有一个点在函数y ex的图像上，那么实数a的取值范围为 A. e,4 B. e, C. 1,3 D. 2， 11.已知函数f(x) kx,g(x) 数解，则实数k的取值范围是

lnx 1

，若关于x的方程f(x) g(x)在区间 ,e 内有两个实x e

11 1 1 11

,0, B. C. D., 22 2eee2eee

x2y2

12.已知椭圆C:2 2 1(a b 0)的左右焦点为F1,F2，若椭圆C上恰好有6个不同的

ab

点P，使得 F1F2P为等腰三角形，则椭圆C的离心率的取值范围是 12 1 2 11 1

1 C. ，1 D. ，A. B. ，1 2 3 33 32 2

A.

二．选择题（本大题共4题，每小题5分，共20分.）

13.已知向量a (4,3),b ( 2,1)，如果向量a b与b垂直，则2a b的值为14.有5种不同的颜色可供使用.将一个五棱锥的各个侧面涂色，五个侧面分别编有1,2,3,4,5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色则不同的涂色方法有 种.

15.圆x2 y2 2x 4y 1 0关于直线2ax by 2 0(a,b R)对称，则ab的取值范围是 16.函数y ()

13

x 1

4cos2

2

x 2( 3 x 5)，则此函数的所有零点之和等于

三．解答题（本大题共5题，每小题12分，共60分.） 17.如图，在 ABC中，B 为垂足．

(1)若

BCD的面积为(2)若ED

3

，BC 2，点D在边AB上，AD DC，DE AC，E

，求CD的长； 3

6

，求角A的大小． 2

18.已知函数f(x) x2

bx为偶函数，数列 an 满足an 1 2f(an 1) 1，且a1 3,an 1前n项和Sn

19.（1）设bn log2(an 1)，证明：数列 bn 1 为等比数列（2）设cn nbn，求数列 cn 的

（1（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角M PA C求BM的最小值.

20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于

B

y2x21

1的焦点. ，它的两个顶点恰好是双曲线

1532

（1）求椭圆C的方程；

（2）点P(2,3),Q(2, 3)，在椭圆上，A,B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点，

1，求四边形APBQ面积的最大值； 2

②当A,B运动时，满足于 APQ BPQ，试问直线AB

①若直线AB的斜率为

的斜率是否为定值，请说明理由.

，若y 21.已知函数f(x)的定义域 0，

f(x)

上为增函数，则称f(x)为“一在 0，

x

f(x)

在 0，。把所有由 上为增函数，则称f(x)为“二阶比增函数”x2

“一阶比增函数”组成的集合记为A1，把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为A2 （1）已知函数f(x) x3 2hx2 hx，若f(x) A1且f(x) A2，求实数h的取值范围 （2）已知f(x) A2，且存在常数k，使得对任意的x 0， ，都有f(x) k，求k的

阶比增函数”；若y

最小值

请考生在22.23题中任选一题作答，如多做，则按所做的第一题计分.（10分）

x t

22.己知抛物线y x m的顶点M

到直线l: (t为参数)的距离为1

y 1

（1）求m；

（2）若直线l与抛物线相交于A,B两点，与y轴交于N点，求S MAN S MBN的值

2

23.设f(x) x a 2x，其中a 0

（1）当a 2时，求不等式f(x) x 3的解集

（2）若x ( 2, )时，恒有f(x) 0，求a的取值范围

BABCD BADAB AD

13.已知向量a (4,3),b ( 2,1)，如果向量a b与b垂直，则2a b的值为5

14.（理科）有5种不同的颜色可供使用，将一个五棱锥的各个侧面涂色，五个侧面分别编有1，2,3,4,5号，而有公共边的两个面不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法有种. （文科）在三棱锥P ABC中，侧棱PA,PB,PC两两垂直，PA 1,PB 2,PC 3，则三15.圆x2 y2 2x 4y 1 0关于直线2ax by 2 0(a,b R)对称，则ab的取值范围

141x 1

4cos2x 2( 3 x 5)，则此函数的所有零点之和等于16.函数y ()32

是 ( ,] 17.如图，在 ABC中，B 为垂足．

(1)若

BCD的面积为

3

，BC 2，点D在边AB上，AD DC，DE AC，E

，求CD的长； 3

1A的大小．【解析】(1)由已知得S△BCD＝BC·BD·sin B

BC

221＝2，sin B

BD＝，cos B＝.

32(2)若ED

在△BCD中，由余弦定理，得

CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos B＝22＋ 2－2×2×

2

3

2128×＝. ∴CD

＝. 3293

BCCD

DE

∵CD＝AD

＝，在△BCD中，由正弦定理，得sin BDCsinB，又∠BDC＝

sinA2 2A

，得sin2A2sinAsinB，解得cos A

＝，所以A＝

4 2

18.已知函数f(x) x bx为偶函数，数列 an 满足an 1 2f(an 1) 1，且a1 3,an 1

2

（1）设bn log2(an 1)，证明：数列 bn 1 为等比数列（2）设cn nbn，求数列 cn 的前n项和Sn

19.（理科）如图，在三棱锥

（1C

（2）求直线PA与平面PBC所成角的正弦值；

（3）若动点M在底面三角形ABC上，二面角的最小

值. （1）取AC中点O,因为AP=BP，所以OP⊥OC 由已知易得三角形ABC为直角三角形，∴OA=OB=OC,⊿POA≌⊿POB≌⊿POC,∴OP⊥OB

∴OP⊥平面ABC, ∵OP在平面PAC分

（2） 以O为坐标原点,OB、OC、OP分别为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系.

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由已知得

分

PBC∴分

∴直线PA与平面PBC（3）由题意平面PAC的法向量

∵分

， 设平面PAM的法向量为

又

因

为

∴分

∴B点到AM

（文科）如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱

AA1 底面ABC，AB BC，

D为AC的中点，A1A AB 2.

（1）求证：AB1//平面BC1D；

（2）过点B作BE AC于点E，求证：直线BE 平面AA1C1C

（3）若四棱锥B AA1C1D的体积为3，求BC的长度

【解析】(1) 连接B1C,设B1C BC1 O,连接OD,证明AB1//OD即可. （2）解本题的关键是证明BE AC和A1A BE,即可.

(3)设BC x,然后把高BE用x表示出来,再根据VAACD 3,利用体积公式建立关于x的方

11程即可解出x的值

(1)证明:连接B1C,设B1C BC1 O,连接OD, 1分

四边形BCC1B1是平行四边形, 点O是B1C的中点,

D是AC的中点, OD是 AB1C的中位线,

AB1//OD 2分

又AB1 平面BC1D,OD 平面BC1D

AB1//平面BC1D 4分

(2) A1A 平面ABC,BE 平面ABC,

A1A BE, 6分,

又BE AC,AC A1A A 7分

直线BE 平面AA1C1C 8分

(2)的解法2:

A1A 平面ABC,A1A 平面AA1C1C, 平面AA1C1C 平面ABC 5分 又平面AA1C1C 平面ABC AC,BE AC,BE 平面ABC,

直线BE 平面AA1C1C 8分

(3)由(2)知BE的长度是四棱锥B—AA1C1D的体高

A2x

1A AB 2.设BC x 0,Rt ABC中,AC BE AB BC, BE

AC

9 S1AA1C1D

2 A1331C1 AD A1A 22AC 2 2AC, 10分 V1132x

AA1C1D 3SAA1C1D BE 3 2AC

AC

3, 11分 x 3, BC 3 分

20.已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率等于

1

，它的一个顶点恰好是抛物线2

x2 的焦点.（1）求椭圆C的方程；

（2）点P(2，3)， Q（2，-3）在椭圆上，A，B是椭圆上位于直线PQ两恻的动点， ①若直线AB的斜率为

1

，求四边形APBQ面积2

的最大值；

②当A、B运动时，满足于∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由.

试题解析：解：(1）设椭圆C的方程为

，

则b .由

c12

,a c2 b2，得a 4∴椭圆C的方程a2

x2y2

1. 为

1612

x2y21

1， （2）①解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，直线AB的方程为y x t， 代入

21612

22

得x tx t 12 0 由 0，解得 4 t 4

由韦达定理得

x1 x2 t,x1x2 t2 12. 四边形APBQ的面积

S

1

6 x1 x2 348 3t2∴当t

0，Smax 分 2

②解：当 APQ BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k

y 3 k(x 2)

则PB的斜率为 k，PA的直线方程为y 3 k(x 2) 由 x2y2

1(2)

1612

（1）代入（2）整理得

(1)

( 3k24x2 )

8k(3k x2

) 2

k4 (3 2)

x1 2

8(2k 3)k

2

3 4k

同理PB的直线方程为y 3 k(x 2)，可得x2 2

8k( 2k 3)8k(2k 3)

3 4k23 4k2

16k2 12 48k

,x x ∴x1 x2

12

3 4k23 4k2

kAB

y1 y2k(x1 2) 3 k(x2 2) 3k(x1 x2) 4k1

x1 x2x1 x2x1 x22

1

. 12分. 2

f(x)

在 0， 上为增函数，则称f(x)为“一x

所以AB的斜率为定值

22.已知函数f(x)的定义域 0， ，若y 阶比增函数”；若y

f(x)

在 0，。把所有由 上为增函数，则称f(x)为“二阶比增函数”x2

“一阶比增函数”组成的集合记为A1，把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为A2 （1）已知函数f(x) x3 2hx2 hx，若f(x) A1且f(x) A2，求实数h的取值范围 （2）已知f(x) A2，且存在常数k，使得对任意的x 0， ，都有f(x) k，求k的最小值

x t22.己知抛物线y x m的顶点M

到直线l: (t为参数)的距离为1

y 1 2

（1）求m；

（2）若直线l与抛物线相交于A，B两点，与y轴交于N点，求S MAN S MBN的值 试题解析：（1）M(0，m),直线l

y 1 0

错误！未找到引用源。M到直线l的距离为

m 12

1，解得m 1或3错误！未找到引用源。

4分

(2)直线与抛物线相交于A、B两点，故错误！未找到引用源。．

将直线l的一个标准参数方程为错误！未找到引用源。代入抛物线错误！未找到引用源。得错误！未找到引用源。，

故错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 10分 24.设f(x) x a 2x，其中a 0

（3）当a 2时，求不等式f(x) x 3的解集

（4）若x ( 2, )时，恒有f(x) 0，求a的取值范围 （1）x

5

(2)a 2 2

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