2011年高考数学试题分类汇编 专题几何证明选讲 理

2011年高考试题数学（理科）选修系列：几何证明选讲

一、选择题:

1．(2011年高考北京卷理科5)如图，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F， 延长AF与圆O交于另一点G。给出下列三个结论：

①AD+AE=AB+BC+CA； ②AF·AG=AD·AE ③△AFB ～△ADG 其中正确结论的序号是 A．①②

B．②③

C．①③ D．①②③

【答案】A

【解析】由切线长定理得AD=AE,BD=BF,CE=CF,所以AB+BC+CA=AB+BD+CE=AD+AE，故①正确； 由切割线定理知，AD= AF·AG，故②正确，所以选A. 二、填空题:

1. (2011年高考天津卷理科12)如图,已知圆中两条弦AB与CD相交于点F,E是AB延长线上一点,且

若CE与圆相切,则线段CE

2

2

【解析】设AF=4x,BF==2x,BE=x,则由相交弦定理得:DF AF FB,

172222

即8x 2,即x ,由切割线定理得:CE EB EA 7x ,44

CE

. 2. (2011年高考湖南卷理科11)如图2，A,E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则的AF长为 .

23答案：

3

解析：如图2中，连接EC，AB,OB,由A,E是半圆周上的两个三等分点可知：∠EBC=30°,且

2323

⊿ABO是正三角形，所以EC=2,BE=2,BD=1,且AF=BF=.故填

33

评析：本小题主要考查平面几何中直线与圆的位置关系问题，涉及与圆有关的定理的运用.3. (2011年高考广东卷理科15)（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A,B。且PB 7，C是圆上一点使得

BC 5， BAC APB，则AB

【答案】.

【解析】由题得 PAB ACB PAB～

ABC

PBAB7AB

AB ABBCAB5

4．(2011年高考陕西卷理科15)（几何证明选做题）如图 B D,AE BC,

ACD 900,且AB 6,AC 4,AD 12,则BE

【答案】【解析】：

ACD 90,AD 12,AC 4

CD

又Rt ABE Rt ADC所以三、解答题:

1．(2011年高考辽宁卷理科22)（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且

EC=ED.

ABBEAB DC

，即BE ADDCAD

（I）证明：CD//AB；

又CD//AB，∠EDC=∠ECD，所以∠FAB=∠GBA.

所以∠AFG+∠GBA=180°. 故A，B，G，F四点共圆

2. (2011年高考全国新课标卷理科22)（本小题满分10分） 选修4-1几何证明选讲 如图，D，E分别是AB,AC边上的点，且不与顶点重合，已知AE m,AC n,AD,AB 为方程x 14x mn 0的两根， （1） 证明 C,B,D,E四点共圆；

（2） 若 A 90 ,m 4,n 6，求C,B,D,E四点所在圆的半径 分析：（1）按照四点共圆的条件证明；（2）运用相似三角形与圆、四边形、方程的性质及关系计算。

解析：（I）连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，

D

CE

2

第22题图

AD AB mn

即

AE AC

ADAE

.又∠DAE=∠CAB,从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB ACAB

所以C,B,D,E四点共圆。

（Ⅱ）m=4, n=6时，方程x-14x+mn=0的两根为x1=2,x2=12.故 AD=2，AB=12.

取CE的中点G,DB的中点F，分别过G,F作AC，AB的垂

线，两垂线相交于H点，连接DH.因为C，B，D，E四点共圆，所以C，B，D，E四点所在圆的圆心为H，半径为DH.

由于∠A=90，故GH∥AB, HF∥AC. HF=AG=5，DF=

2

1

(12-2)=5. 2

故C,B,D,E四点所在圆的半径为52

点评：此题考查平面几何中的圆与相似三角形及方程等概念和性质。注意把握判定与性质的作用。

3.(2011年高考江苏卷21)选修4-1：几何证明选讲（本小题满分10分）

如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1 r2)，

圆O1的弦AB交圆O2于点C（O1不在AB上）， 求证：AB:AC为定值。

解析：考察圆的切线的性质、三角形相似的判定及其性质，容易题。 证明：由弦切角定理可得 AOAB2C AO1B, AC O1BO r1

2Cr

第

21-A图

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