离散数学习题

离散数学复习题

16 设p、q的真值为0；r、s的真值为1，求下列各命题公式的真值。 （1）p∨(q∧r)? 0∨(0∧1) ?0

（2）（p?r）∧(﹁q∨s) ?（0?1）∧(1∨1) ?0∧1?0.

（3）（?p∧?q∧r）?(p∧q∧﹁r) ?（1∧1∧1） ? (0∧0∧0)?0 (4)（?r∧s）→(p∧?q) ?（0∧1）→(1∧0) ?0→0?1

17．判断下面一段论述是否为真：“?是无理数。并且，如果3是无理数，则2也是无理数。另外6能被2整除，6才能被4整除。”

答：p:

?是无理数 1

q: 3是无理数 0 r:

2是无理数 1

s: 6能被2整除 1

t: 6能被4整除 0

命题符号化为： p∧(q→r)∧(t→s)的真值为1，所以这一段的论述为真。 19．用真值表判断下列公式的类型： （4）(p→q) →(?q→?p) （5）(p∧r) ?(?p∧?q) （6）((p→q) ∧(q→r)) →(p→r)

答： （4）

p q p→q ?q ?p ?q→?p (p→q)→(?q→?p) 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 所以公式类型为永真式

（5）公式类型为可满足式（方法如上例） （6）公式类型为永真式（方法如上例）

第二章部分课后习题参考答案

3.用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值. (1) ?(p∧q→q) (2)(p→(p∨q))∨(p→r) (3)(p∨q)→(p∧r)

答：(2)（p→(p∨q)）∨(p→r)?(?p∨(p∨q))∨(?p∨r)??p∨p∨q∨r?1 所以公式类型为永真式

1

(3) P q r p∨q p∧r （p∨q）→(p∧r)

0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 所以公式类型为可满足式 4.用等值演算法证明下面等值式： (2)(p→q)∧(p→r)?(p→(q∧r))

(4)(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨q) ∧?(p∧q) 证明（2）(p→q)∧(p→r)

? (?p∨q)∧(?p∨r) ??p∨(q∧r))

?p→(q∧r)

（4）(p∧?q)∨(?p∧q)?(p∨(?p∧q)) ∧(?q∨(?p∧q)

?(p∨?p)∧(p∨q)∧(?q∨?p) ∧(?q∨q) ?1∧(p∨q)∧?(p∧q)∧1 ?(p∨q)∧?(p∧q)

5.求下列公式的主析取范式与主合取范式，并求成真赋值

(1)(?p→q)→(?q∨p) (2)?(p→q)∧q∧r (3)(p∨(q∧r))→(p∨q∨r) 解：

（1）主析取范式

(?p→q)→(?q?p)

??(p?q)?(?q?p)

?(?p??q)?(?q?p)

? (?p??q)?(?q?p)?(?q??p)?(p?q)?(p??q) ? (?p??q)?(p??q)?(p?q)

?m0?m2?m3

?∑(0,2,3)

主合取范式：

(?p→q)→(?q?p)

??(p?q)?(?q?p)

2

?(?p??q)?(?q?p)

?(?p?(?q?p))?(?q?(?q?p)) ?1?(p??q) ?(p??q) ? M1 ?∏(1) (2) 主合取范式为：

?(p→q)?q?r??(?p?q)?q?r ?(p??q)?q?r?0 所以该式为矛盾式.

主合取范式为∏(0,1,2,3,4,5,6,7) 矛盾式的主析取范式为 0 (3)主合取范式为：

(p?(q?r))→(p?q?r)

??(p?(q?r))→(p?q?r)

?(?p?(?q??r))?(p?q?r)

?(?p?(p?q?r))?((?q??r))?(p?q?r))

?1?1 ?1

所以该式为永真式.

永真式的主合取范式为 1 主析取范式为∑(0,1,2,3,4,5,6,7)

第三章部分课后习题参考答案

14. 在自然推理系统P中构造下面推理的证明： (2)前提：p?q,?(q?r),r

结论：?p

(4)前提：q?p,q?s,s?t,t?r 结论：p?q

证明：（2）

①?(q?r) 前提引入 ②?q??r ①置换

③q??r ②蕴含等值式 ④r 前提引入

3

⑤?q ③④拒取式 ⑥p?q 前提引入 ⑦￢p（3） ⑤⑥拒取式

证明（4）：

①t?r 前提引入 ②t ①化简律 ③q?s 前提引入 ④s?t 前提引入 ⑤q?t ③④等价三段论 ⑥（q?t）?(t?q) ⑤ 置换 ⑦（q?t） ⑥化简 ⑧q ②⑥ 假言推理 ⑨q?p 前提引入 ⑩p ⑧⑨假言推理 (11)p?q ⑧⑩合取

15在自然推理系统P中用附加前提法证明下面各推理： (1) 前提：p?(q?r),s?p,q

结论：s?r 证明

①s 附加前提引入 ②s?p 前提引入 ③p ①②假言推理 ④p?(q?r) 前提引入 ⑤q?r ③④假言推理 ⑥q 前提引入 ⑦r ⑤⑥假言推理

16在自然推理系统P中用归谬法证明下面各推理：

(1)前提：p??q,?r?q,r??s 结论：?p 证明：

①p 结论的否定引入 ②p?﹁q 前提引入

4

③﹁q ①②假言推理 ④￢r?q 前提引入 ⑤￢r ④化简律 ⑥r?￢s 前提引入 ⑦r ⑥化简律 ⑧r?﹁r ⑤⑦ 合取

由于最后一步r?﹁r 是矛盾式,所以推理正确.

第四章部分课后习题参考答案

3. 在一阶逻辑中将下面将下面命题符号化,并分别讨论个体域限制为(a),(b)条件时命题的真值: (1) 对于任意x,均有(2) 存在x,使得x+5=9. 其中(a)个体域为自然数集合. (b)个体域为实数集合. 解：

F(x):

2=(x+

)(x

). 2=(x+

)(x

).

G(x): x+5=9.

(1)在两个个体域中都解释为?xF(x)，在（a）中为假命题，在(b)中为真命题。 (2)在两个个体域中都解释为?xG(x)，在（a）(b)中均为真命题。

4. 在一阶逻辑中将下列命题符号化: (1) 没有不能表示成分数的有理数. (2) 在北京卖菜的人不全是外地人. 解:

(1)F(x): x能表示成分数 H(x): x是有理数

命题符号化为: ??x(?F(x)?H(x)) (2)F(x): x是北京卖菜的人 H(x): x是外地人

命题符号化为: ??x(F(x)?H(x)) 5. 在一阶逻辑将下列命题符号化: (1) 火车都比轮船快.

(3) 不存在比所有火车都快的汽车. 解:

(1)F(x): x是火车; G(x): x是轮船; H(x,y): x比y快

5

命题符号化为: ?x?y((F(x)?G(y))?H(x,y)) (2) (1)F(x): x是火车; G(x): x是汽车; H(x,y): x比y快 命题符号化为: ??y(G(y)??x(F(x)?H(x,y))) 9.给定解释I如下:

(a) 个体域D为实数集合R. (b) D中特定元素=0.

(c) 特定函数(x,y)=xy,x,y?D.

(d) 特定谓词(x,y):x=y,(x,y):x

答:(1) 对于任意两个实数x,y,如果x

(2) 对于任意两个实数x,y,如果x-y=0, 那么x

（a） 个体域D=N(N为自然数集合). （b） D中特定元素=2. （c） D上函数

=x+y,(x,y)=xy.

（d） D上谓词(x,y):x=y.

说明下列各式在I下的含义，并讨论其真值. (1) xF(g(x,a),x)

(2) xy(F(f(x,a),y)→F(f(y,a),x) 答:(1) 对于任意自然数x, 都有2x=x, 真值0.

(2) 对于任意两个自然数x,y,使得如果x+2=y, 那么y+2=x. 真值0. 11. 判断下列各式的类型:

(1) (3)

yF(x,y).

解:(1)因为 p?(q?p)??p?(?q?p)?1 为永真式； 所以

(3)取解释I个体域为全体实数 F(x,y)：x+y=5

所以,前件为任意实数x存在实数y使x+y=5，前件真； 后件为存在实数x对任意实数y都有x+y=5，后件假，]

为永真式；

6

此时为假命题

再取解释I个体域为自然数N， F(x,y)：:x+y=5

所以,前件为任意自然数x存在自然数y使x+y=5，前件假。此时为假命题。

此公式为非永真式的可满足式。 13. 给定下列各公式一个成真的解释，一个成假的解释。

(1)

(F(x)

(2) x(F(x)G(x)H(x)) 解:(1)个体域:本班同学

F(x)：x会吃饭, G(x)：x会睡觉.成真解释 F(x)：x是泰安人,G(x)：x是济南人.（2）成假解释 (2)个体域:泰山学院的学生

F(x)：x出生在山东,G(x):x出生在北京,H(x):x出生在江苏,成假解释. F(x)：x会吃饭,G(x)：x会睡觉,H(x)：x会呼吸. 成真解释.

第五章部分课后习题参考答案

5.给定解释Ｉ如下:

(a)个体域D={3,4};

(b)f(x)为f(3)?4,f(4)?3

(c)F(x,y)为F(3,3)?F(4,4)?0,F(3,4)?F(4,3)?1. 试求下列公式在Ｉ下的真值. (1)?x?yF(x,y)

(3)?x?y(F(x,y)?F(f(x),f(y))) 解:(1) ?x?yF(x,y)??x(F(x,3)?F(x,4))

? (F(3,3)?F(3,4))?(F(4,3)?F(4,4)) ?(0?1)?(1?0)?1

(2) ?x?y(F(x,y)?F(f(x),f(y)))

??x((F(x,3)?F(f(x),f(3)))?(F(x,4)?F(f(x),f(4))))

??x((F(x,3)?F(f(x),4))?(F(x,4)?F(f(x),3))) ?((F(3,3)?F(f(3),4))?(F(3,4)?F(f(3),3)))

?((F(4,3)?F(f(4),4))?(F(4,4)?F(f(4),3)))

?((0?F(4,4))?(F(3,4)?F(4,3)))?((1?F(3,4))?(0?F(3,3)))

7

?(0?0)?(1?1)?(1?1)?(0?0)?1 12.求下列各式的前束范式。

(1)?xF(x)??yG(x,y)

(5)?x1F(x1,x2)?(H(x1)???x2G(x1,x2)) (本题课本上有错误)

解:(1) ?xF(x)??yG(x,y)??xF(x)??yG(t,y)??x?y(F(x)?G(t,y)) (5) ?x1F(x1,x2)?(H(x1)???x2G(x1,x2))

??x1F(x1,x2)?(H(x3)??x2?G(x3,x2)) ??x1F(x1,x4)??x2(H(x3)??G(x3,x2)) ??x1?x2(F(x1,x4)?(H(x3)??G(x3,x2)))

15.在自然数推理系统F中,构造下面推理的证明:

(1) 前提: ?xF(x)??y((F(y)?G(y))?R(y)),?xF(x)

结论: ?xR(x)

(2) 前提: ?x(F(x)→(G(a)∧R(x))), xF(x)

结论:x(F(x)∧R(x)) 证明(1)

①?xF(x) 前提引入 ②F(c) ①EI

③?xF(x)??y((F(y)?G(y))?R(y)) 前提引入 ④?y((F(y)?G(y))?R(y)) ①③假言推理 ⑤(F(c)∨G(c))→R(c)) ④UI ⑥F(c)∨G(c) ②附加 ⑦R(c) ⑤⑥假言推理 ⑧?xR(x) ⑦EG (2)

①?xF(x) 前提引入 ②F(c) ①EI

③?x(F(x)→(G(a)∧R(x))) 前提引入 ④F(c)→(G(a)∧R(c)) ③UI ⑤G(a)∧R(c) ②④假言推理 ⑥R(c) ⑤化简 ⑦F(c)∧R(c) ②⑥合取引入

8

⑧?x(F(x)∧R(x)) ⑦EG

第六章部分课后习题参考答案

5.确定下列命题是否为真：

（1）??? 真 （2）??? 假 （3）??{?} 真 （4）??{?} 真 （5）｛a,b｝?｛a,b,c,｛a,b,c｝｝ 真 （6）｛a,b｝?｛a,b,c,｛a,b｝｝ 真 （7）｛a,b｝?｛a,b,｛｛a,b｝｝｝ 真 （8）｛a,b｝?｛a,b,｛｛a,b｝｝｝ 假

6．设a,b,c各不相同，判断下述等式中哪个等式为真: （1）｛｛a,b｝，c,?｝ =｛｛a,b｝,c｝ 假 （2）｛a ,b,a｝=｛a,b｝ 真 （3）｛｛a｝，{b}｝=｛｛a,b｝｝ 假 （4）｛?，｛?｝，a,b｝=｛｛?,｛?｝｝,a,b｝ 假 8．求下列集合的幂集：

（1）｛a,b,c｝ P(A)={ ?,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} （2）｛1，｛2，3｝｝ P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } （3）｛?｝ P(A)={ ?, ｛?｝ }

（4）｛?，｛?｝｝ P(A)={ ?, {1}, {{2,3}}, {1，{2，3}} } 14．化简下列集合表达式： （1）（A?B）?B ）-（A?B） （2）（（A?B?C）-（B?C））?A 解:

(1)（A?B）?B ）-（A?B）=（A?B）?B ）?～（A?B）

=（A?B）?～（A?B）)?B=??B=?

（2）（（A?B?C）-（B?C））?A=（（A?B?C）?～（B?C））?A =（A?～（B?C））?（（B?C ）?～（B?C））?A =（A?～（B?C））???A=（A?～（B?C））?A=A

18．某班有25个学生，其中14人会打篮球，12人会打排球，6人会打篮球和排球，5人会打篮球和网球，还有2人会打这三种球。已知6个会打网球的人都会打篮球或排球。求不会打球的人数。

9

解: 阿A={会打篮球的人}，B={会打排球的人}，C={会打网球的人} |A|=14, |B|=12, |A?B|=6,|A?C|=5,| A?B?C|=2, |C|=6,C?A?B 如图所示。

25-(5+4+2+3)-5-1=25-14-5-1=5 不会打球的人共5人

21.设集合A＝{{1，2}，{2，3}，{1，3},{?}},计算下列表达式： （1）?A （2）?A （3）??A （4）??A 解:

（1）?A={1，2}?{2，3}?{1，3}?{?}={1，2，3,?}

（2）?A={1，2}?{2，3}?{1，3}?{?}=?

（3）??A=1?2?3??=?

（4）??A=?27、设A,B,C是任意集合，证明 (1)(A-B)-C=A- B?C (2)(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明

(1) (A-B)-C=(A?～B) ?～C= A?( ～B?～C)= A?～(B?C) =A- B?C (2) (A-C)-(B-C)=(A?～C) ?～(B ?～C)= (A?～C) ?(～B?C)

=(A?～C?～B) ? (A?～C?C)= (A?～C?～B) ?? = A?～(B?C) =A- B?C 由（1）得证。

第七章部分课后习题参考答案

7.列出集合A={2,3,4}上的恒等关系I A,全域关系EA,小于或等于关系LA,整除关系DA. 解：IA ={<2，2>,<3,3>,<4,4>}

EA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,4>,<4,4>,<3,2>,<3,3>,<4,2>,<4,3>}

LA={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>} DA={<2,4>}

13.设A={<1,2>,<2,4>,<3,3>} B={<1,3>,<2,4>,<4,2>}

求A?B,A?B, domA, domB, dom(A?B), ranA, ranB, ran(A?B ), fld(A-B).

10

解：A?B={<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>} A?B={<2,4>}

domA={1,2,3} domB={1,2,4} dom(A∨B)={1,2,3,4}

ranA={2,3,4} ranB={2,3,4} ran(A?B)={4}

A-B={<1,2>,<3,3>}，fld(A-B)={1,2,3} 14.设R={<0,1><0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>,<2,3>}

求R?R, R-1, R?{0,1,}, R[{1,2}] 解：R?R={<0,2>,<0,3>,<1,3>}

R-1,={<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}

R?{0,1}={<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>} R[{1,2}]=ran(R|{1,2})={2,3}

16．设A={a,b,c,d}，R1，

R2为A上的关系，其中

R1=

?a,a,a,b,b,d?

R2??a,d,b,c,b,d,c,b求R1?R2,R2?R1,R1,R2。 解: R1?R2={,,} R2?R1={}

23?

R1=R1?R1={,,} R2=R2?R2={,,} R2=R2?R2={,,}

36．设A={1，2，3，4}，在A?A上定义二元关系R，

?,A?A ，〈u,v> R ?u + y = x + v. (1) 证明R 是A?A上的等价关系. (2)确定由R 引起的对A?A的划分. （1）证明：∵R ?u+y=x-y

∴R?u-v=x-y

3

2

2

2

???A?A

11

∵u-v=u-v ∴R ∴R是自反的

任意的,∈A×A 如果R ，那么u-v=x-y ∴x-y=u-v ∴R ∴R是对称的

任意的,,∈A×A 若R,R 则u-v=x-y,x-y=a-b ∴u-v=a-b ∴R ∴R是传递的 ∴R是A×A上的等价关系

(2) ∏={{<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>}, {<2,1>,<3,2>,<4,3>}, {<3,1>,<4,2>}, {<4,1>}, {<1,2>,<2,3>,<3,4>}, {<1,3>,<2,4>}, {<1,4>} }

41.设A={1，2，3，4}，R为A?A上的二元关系, ?〈a，b〉，〈c，d〉 A?A , 〈a，b〉R〈c，d〉?a + b = c + d

(1) 证明R为等价关系. (2) 求R导出的划分. (1)证明：?

a+b=a+b ∴R ∴R是自反的

任意的,∈A×A 设R，则a+b=c+d ∴c+d=a+b ∴R ∴R是对称的

任意的,,∈A×A 若R,R 则a+b=c+d,c+d=x+y ∴a+b=x+y ∴R ∴R是传递的

∴R是 A×A上的等价关系

12

??(2)∏={{<1,1>}, {<1,2>,<2,1>}, {<1,3>,<2,2>,<3,1>}, {<1,4>,<4,1>,<2,3>,<3,2>}, {<2,4>,<4,2>,<3,3>}, {<3,4>,<4,3>}, {<4,4>}}

43. 对于下列集合与整除关系画出哈斯图:

(1) {1,2,3,4,6,8,12,24}

(2) {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 解:

24884211263126319511

107

42 (1) (2)

45.下图是两个偏序集的哈斯图.分别写出集合A和偏序关系R?的集合表达式.

debafgbc

cfdeag

(a) (b) 解: (a)A={a,b,c,d,e,f,g}

R?={,,,,,,,,,}?IA

(b) A={a,b,c,d,e,f,g}

R?={,,,,,,}?IA

46.分别画出下列各偏序集的哈斯图,并找出A的极大元`极小元`最大元和最小元. (1)A={a,b,c,d,e}

R?={,,,,,,}?IA. (2)A={a,b,c,d,e}, R?={}?IA. 解:

13

edbcadeabc

(1) (2) 项目 (1) (2) 极大元: e a,b,d,e 极小元: a a,b,c,e 最大元: e 无 最小元: a 无 第八章部分课后习题参考答案

1． 设f :N?N,且

?1，若x为奇数? f (x)=?x

若x为偶数?2，?求f (0), f ({0}), f (1), f ({1}), f ({0,2,4,6,?})，f ({4,6,8}), f -1({3,5,7}). 解：f (0)=0, f ({0})={0}, f (1)=1, f ({1})={1},

f ({0,2,4,6,?})=N，f ({4,6,8})={2,3,4}, f -1 ({3,5,7})={6,10,14}. 4. 判断下列函数中哪些是满射的?哪些是单射的?哪些是双射的? (1) f:N?N, f(x)=x2+2 不是满射，不是单射

(2) f:N?N,f(x)=(x)mod 3,x除以3的余数 不是满射，不是单射 (3) f:N?N,f(x)=?

(4) f:N?{0,1},f(x)=?

(5) f:N-{0}?R,f(x)=lgx 不是满射，是单射 (6) f:R?R,f(x)=x2-2x-15 不是满射，不是单射

5. 设X={a,b,c,d},Y={1,2,3},f={,,,}判断以下命题的真假: (1)f是从X到Y的二元关系,但不是从X到Y的函数; 对 (2)f是从X到Y的函数,但不是满射,也不是单射的; 错 (3)f是从X到Y的满射,但不是单射; 错

14

?1，若x为奇数?0，若x为偶数 不是满射，不是单射

?0，若x为奇数?1，若x为偶数 是满射，不是单射

(4)f是从X到Y的双射. 错

第十章部分课后习题参考答案

4．判断下列集合对所给的二元运算是否封闭： （1） 整数集合Z和普通的减法运算。

封闭,不满足交换律和结合律，无零元和单位元 （2） 非零整数集合

普通的除法运算。不封闭

（R）和矩阵加法及乘法运算，其中n2。

（3） 全体n?n实矩阵集合

封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律； 加法单位元是零矩阵，无零元； 乘法单位元是单位矩阵，零元是零矩阵；

（4）全体n?n实可逆矩阵集合关于矩阵加法及乘法运算，其中n2。不封闭 （5）正实数集合

和运算，其中运算定义为：

不封闭 因为 1?1?1?1?1?1??1?R （6）n关于普通的加法和乘法运算。

?封闭，均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 加法单位元是0，无零元；

乘法无单位元（n?1），零元是0；n?1单位元是1 （7）A = {a1,a2,?,an} n

运算定义如下：

封闭 不满足交换律，满足结合律， （8）S =

关于普通的加法和乘法运算。

封闭 均满足交换律，结合律，乘法对加法满足分配律 （9）S = {0,1},S是关于普通的加法和乘法运算。 加法不封闭，乘法封闭；乘法满足交换律，结合律 （10）S =

,S关于普通的加法和乘法运算。

加法不封闭，乘法封闭，乘法满足交换律，结合律

5．对于上题中封闭的二元运算判断是否适合交换律，结合律，分配律。 见上题

7．设 * 为Z上的二元运算?x,y?Z，

?? 15

X * Y = min ( x，y ),即x和y之中较小的数.

(1) 求4 * 6，7 * 3。 4, 3

(2)* 在Z上是否适合交换律，结合律，和幂等律？ 满足交换律，结合律，和幂等律

(3)求*运算的单位元，零元及Z?中所有可逆元素的逆元。 单位元无，零元1, 所有元素无逆元

8．S?Q?Q Q为有理数集，*为S上的二元运算，,

< a，b >* =

（1）*运算在S上是否可交换，可结合？是否为幂等的？ 不可交换：*= ?< a，b >*

可结合：(*)*=*= *(*)=*= (*)*=*(*) 不是幂等的

（2）*运算是否有单位元，零元？ 如果有请指出，并求S中所有可逆元素的逆元。 设是单位元，

S ，*= *=

S有

? 则==，解的=<1,0>，即为单位。

设是零元，

S ，*= *=

则==，无解。即无零元。

S，设是它的逆元*= *=<1,0>

==<1,0> a=1/x,b=-y/x

所以当x?0时，?x,y???11y,? xx分别有表10.8确定。

10．令S={a，b}，S上有四个运算：*，

(a) (b) (c) (d)

(1)这4个运算中哪些运算满足交换律，结合律，幂等律？ (a) 交换律，结合律，幂等律都满足， 零元为a,没有单位元；

16

(b)满足交换律和结合律，不满足幂等律，单位元为a,没有零元

a?1?a,b?1?b

(c)满足交换律,不满足幂等律,不满足结合律 a?(b?b)?a?a?b, a?(b?b)?(a?b)?b 没有单位元, 没有零元

(d) 不满足交换律，满足结合律和幂等律 没有单位元, 没有零元

(2) 求每个运算的单位元，零元以及每一个可逆元素的逆元。 见上

16．设V=〈 N，+ ，〉，其中+ ，分别代表普通加法与乘法，对下面给定的每个集合确定它是否构成V的子代数，为什么？

（1）S1=（2）S2=

是

不是 加法不封闭

(a?b)?b?a?b?a

（3）S3 = {-1，0，1} 不是，加法不封闭

第十一章部分课后习题参考答案

8.设S={0，1，2，3}，

为模4乘法，即

y=(xy)mod 4

\?x,y∈S, x

问〈S，

〉是否构成群？为什么？

y=(xy)mod 4?S,

是S上的代数运算。

解：(1) ?x,y∈S, x

(2) ?x,y,z∈S,设xy=4k+r 0?r?3

(x

y)

z =((xy)mod 4)

z=r

z=(rz)mod 4

=(4kz+rz)mod 4=((4k+r)z)mod 4 =(xyz)mod 4 同理x

(y

z) =(xyz)mod 4 y)

z = x1)=(1

(y

z)，结合律成立。

所以，(x(3) ?x∈S, (x(4)1?1x)=x,，所以1是单位元。

?1,3?1?3, 0和2没有逆元

〉不构成群

所以，〈S，

9.设Z为整数集合，在Z上定义二元运算。如下： \?x,y∈Z,xoy= x+y-2

17

问Z关于o运算能否构成群？为什么？

解：(1) ?x,y∈Z, xoy= x+y-2?Z,o是Z上的代数运算。 (2) ?x,y,z∈Z,

(xoy) oz =(x+y-2)oz=(x+y-2)+z-2=x+y+z-4 同理(xoy)oz= xo(yoz)，结合律成立。

(3)设e是单位元，?x∈Z, xoe= eox=x,即x+e-2= e+x-2=x, e=2 (4) ?x∈Z , 设x的逆元是y, xoy= yox=e, 即x+y-2=y+x-2=2, 所以，x?1?y?4?x

所以〈Z，o〉构成群 11.设G=?????10??10???,?,?????01??0?1???10???10????01??,??0?1???，证明G关于矩阵乘法构成一个群． ?????解：(1) ?x,y∈G, 易知xy∈G,乘法是Z上的代数运算。

(2) 矩阵乘法满足结合律 (3)设???10??是单位元， ??01?(4)每个矩阵的逆元都是自己。 所以G关于矩阵乘法构成一个群．

14.设G为群，且存在a∈G,使得 G={a∣k∈Z} 证明：G是交换群。 证明:?x,y∈G，设x?a, xy?aa?a所以，G是交换群

17.设G为群，证明e为G中唯一的幂等元。

22证明:设e0?G也是幂等元，则e0?e0，即e0?e0e，由消去律知e0?e

k

ky?al，则

klk?l??al?k?alak?yx

18.设G为群，a,b,c∈G,证明

∣abc∣=∣bca∣=∣cab∣ 证明：先证设(abc)?e?(bca)?e

kk 18

设(abc)?e,则(abc)(abc)(abc)?(abc)?e， 即 a(bca)(bca)(bca)?(bca)a左边同乘a?1，右边同乘a得

?1k?e

(bca)(bca)(bca)?(bca)?(bac)k?a?1ea?e

反过来，设(bac)?e,则(abc)?e.

由元素阶的定义知，∣abc∣=∣bca∣，同理∣bca∣=∣cab∣

19.证明：偶数阶群G必含2阶元。

证明：设群G不含2阶元，?a?G，当a?e时，a是一阶元，当a?e时，a至少是3阶元,因为群G时有限阶的，所以a是有限阶的，设a是k阶的,则a?1也是k阶的，所以高于3阶的元成对出现的，G不含2阶元，G含唯一的1阶元e,这与群G是偶数阶的矛盾。所以，偶数阶群G必含2阶元

20.设G为非Abel群，证明G中存在非单位元a和b,a≠b,且ab=ba. 证明：先证明G含至少含3阶元。

若G只含1阶元,则G={e},G为Abel群矛盾；

若G除了1阶元e外,其余元a均为2阶元，则a2?e，a?1?a

kk?a,b?G,a?1?a,b?1?b,(ab)?1?ab,所以ab?a?1b?1?(ba)?1?ba，

与G为Abel群矛盾；

所以，G含至少含一个3阶元，设为a，则a?a2，且a2a?aa2。 令b?a2的证。

21.设G是Mn(R)上的加法群，n≥2，判断下述子集是否构成子群。 （1）全体对称矩阵 是子群 （2）全体对角矩阵 是子群

（3）全体行列式大于等于0的矩阵. 不是子群 （4）全体上（下）三角矩阵。 是子群

22.设G为群，a是G中给定元素，a的正规化子N（a）表示G中与a可交换的元素构成的集合，即 N（a）={x∣x∈G∧xa=ax} 证明N（a）构成G的子群。 证明：ea=ae,e?N(a)??

?x,y?N(a),则ax?xa,ay?ya

a(xy)?(ax)y?(xa)y?x(ay)?x(ya)?(xy)a,所以xy?N(a)

19

由ax?xa，得xaxx?1?1?x?1xax?1,x?1ae?eax?1，即x?1a?ax?1，所以x?1?N(a)

所以N（a）构成G的子群

31.设?1是群G1到G2的同态，?2是G2到G3的同态，证明?1??2是G1到G3的同态。 证明：有已知?1是G1到G2的函数，?2是G2到G3的函数，则?1·?2是G1到G3的函数。 ?a,b?G1,(?1??2)(ab)??2(?1(ab))??2(?1(a)?1(b)) ?(?2(?1(a)))(?2(?1(b)))?(?1??2)(a)(?1??2)(b) 所以:?1·?2是G1到G3的同态。

33.证明循环群一定是阿贝尔群，说明阿贝尔群是否一定为循环群，并证明你的结论。 证明：设G是循环群,令G=,?x,y?G,令x?a,y?a,那么

klxy?akal?ak?l?al?k?alak?yx,G是阿贝尔群

克莱因四元群,G?{e,a,b,c}

?eeabeabececcaeaabbc36.设?,?是5元置换，且

cb

cba是交换群,但不是循环群,因为e是一阶元，a,b,c是二阶元。

?12345??12345?????21453??，????34512??

????(1)计算??,??,?(2)将??,??1?1,??1,??1??；

,??1??表成不交的轮换之积。

(3)将（2）中的置换表示成对换之积，并说明哪些为奇置换，哪些为偶置换。 解：(1) ?????4??12345??12345??1?12345???????? ??? ?????5321??43125??45123??12345??1???1??????? ?21534??54132??

?????12345??1(2) ???(1425) ??(14253) ??1???(143)(25)

(3) ???(14)(12)(15) 奇置换， ??1?(14)(12)(15)(13) 偶置换

????(14)(13)(25) 奇置换

?1 20

第十四章部分课后习题参考答案

5、设无向图G有10条边，3度与4度顶点各2个，其余顶点的度数均小于3，问G至少有多少个顶点？在最少顶点的情况下，写出度数列、?(G)、?(G)。 解：由握手定理图G的度数之和为：2?10?20

3度与4度顶点各2个，这4个顶点的度数之和为14度。 其余顶点的度数共有6度。

其余顶点的度数均小于3，欲使G的顶点最少，其余顶点的度数应都取2, 所以，G至少有7个顶点, 出度数列为3,3,4,4,2,2,2,?(G)?4,?(G)?2.

7、设有向图D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，求D的入度列，并求?(D),?(D)，

??(D),??(D),??(D),??(D).

解：D的度数列为2，3，2，3，出度列为1，2，1，1，D的入度列为1,1,1,2.

?(D)?3,?(D)?2,??(D)?2,??(D)?1,??(D)?2,??(D)?1

8、设无向图中有6条边，3度与5度顶点各1个，其余顶点都是2度点，问该图有多少个顶点？

解：由握手定理图G的度数之和为：2?6?12

设2度点x个，则3?1?5?1?2x?12，x?2，该图有4个顶点.

14、下面给出的两个正整数数列中哪个是可图化的？对可图化的数列，试给出3种非同构的无向图，其中至少有两个时简单图。

(1) 2,2,3,3,4,4,5 (2) 2,2,2,2,3,3,4,4 解：(1) 2+2+3+3+4+4+5=23 是奇数，不可图化； (2) 2＋2+2+2+3+3+4+4=16, 是偶数，可图化；

18、设有3个4阶4条边的无向简单图G1、G2、G3，证明它们至少有两个是同构的。

证明：4阶4条边的无向简单图的顶点的最大度数为3，度数之和为8，因而度数列为2，2，2，2；3，2，2，1；3，3，1，1。但3，3，1，1对应的图不是简单图。所以从同构的观点看，4阶4条边的无向简单图只有两个：

21

所以，G1、G2、G3至少有两个是同构的。

20、已知n阶无向简单图G有m条边，试求G的补图G的边数m?。

解：m??n(n?1)?m 221、无向图G如下图

(1)求G的全部点割集与边割集，指出其中的割点和桥； (2) 求G的点连通度k(G)与边连通度?(G)。

ae2be3解：点割集: {a,b},(d)

e1de5ee4c

边割集{e2,e3},{e3,e4},{e1,e2},{e1,e4}{e1,e3},{e2,e4},{e5}

k(G)=?(G)=1

23、求G的点连通度k(G)、边连通度?(G)与最小度数?(G)。

解：k(G)?2、?(G)?3 、?(G)?4

28、设n阶无向简单图为3-正则图，且边数m与n满足2n-3=m问这样的无向图有几种非同构的情况？

解：??3n?2m 得n=6,m=9.

?2n?3?m

31、设图G和它的部图G的边数分别为m和m，试确定G的阶数。

解：m?m?

?1?1?8(m?m)n(n?1) 得n?

2222

45、有向图D如图

(1)求v2到v5长度为1，2，3，4的通路数；

(2)求v5到v5长度为1，2，3，4的回路数； (3)求D中长度为4的通路数； (4)求D中长度小于或等于4的回路数； (5)写出D的可达矩阵。

v1v4v5v2v3

解：有向图D的邻接矩阵为：

??00001?010??220?10100??01???00002???0?0202A???00001?，A2??01010?A3??2020??10100????002????02?01010???00?20200???02?0000??00004?215??40400??01???52522??A4???00004? A?A2?A3?A4??21215?

??40400????42522???04040????25254??(1)v2到v5长度为1，2，3，4的通路数为0,2,0,0； (2)v5到v5长度为1，2，3，4的回路数为0,0,4,0； (3)D中长度为4的通路数为32； (4)D中长度小于或等于4的回路数10；

??11111??11111??(4)出D的可达矩阵P???11111?

??11111???11111??第十六章部分课后习题参考答案

23

0?0??0?0??4??

1、画出所有5阶和7阶非同构的无向树.

2、一棵无向树T有5片树叶，3个2度分支点，其余的分支点都是3度顶点，问T有几个顶点? 解：设3度分支点x个，则

5?1?3?2?3x?2?(5?3?x?1)，解得x?3

T有11个顶点

3、无向树T有8个树叶，2个3度分支点，其余的分支点都是4度顶点，问T有几个4度分支点？根据T的度数列，请至少画出4棵非同构的无向树。

解：设4度分支点x个，则

8?1?2?3?4x?2?(8?2?x?1)，解得x?2

度数列111111113344

4、棵无向树T有ni (i=2，3，?，k)个i度分支点，其余顶点都是树叶，问T应该有几片树叶? 解：设树叶x片，则

ni?i?x?1?2?(ni?x?1)，解得x?(i?2)ni?2 评论：2，3，4题都是用了两个结论,一是握手定理，二是m?n?1 5、n(n≥3)阶无向树T的最大度解：2，n-1

6、若n(n≥3)阶无向树T的最大度解：n-1

24

至少为几？最多为几？

=2，问T中最长的路径长度为几？

7、证明：n(n≥2) 阶无向树不是欧拉图. 证明：无向树没有回路，因而不是欧拉图。 8、证明：n(n≥2) 阶无向树不是哈密顿图. 证明：无向树没有回路，因而不是哈密顿图。 9、证明：任何无向树T都是二部图.

证明：无向树没有回路，因而不存在技术长度的圈，是二部图。 10、什么样的无向树T既是欧拉图，又是哈密顿图? 解：一阶无向树

14、设e为无向连通图G中的一条边， e在G的任何生成树中，问e应有什么性质?

解：e是桥

15、设e为无向连通图G中的一条边， e不在G的任何生成树中， 问e应有什么性质?

解：e是环

23、已知n阶m条的无向图 G是k(k≥2)棵树组成的森林，证明：m = n-k.；

证明：数学归纳法。k=1时, m = n-1，结论成立；

设k=t-1(t-1?1)时，结论成立，当k=t时, 无向图 G是t棵树组成的森林,任取两棵树，每棵树任取一个顶点，这两个顶点连线。则所得新图有t-1棵树，所以m = n-（k-1）.

所以原图中m = n-k 得证。

24、在图16.6所示2图中，实边所示的生成子图T是该图的生成树.

(1)指出T的弦，及每条弦对应的基本回路和对应T的基本回路系统.

(2) 指出T的所有树枝， 及每条树枝对应的基本割集和对应T的基本割集系统.

(a) (b) 图16.16 解：(a)T的弦：c,d,g,h

T的基本回路系统: S={{a,c,b},{a,b,f,d},{e,a,b,h},{e,a,b,f,g}} T的所有树枝: e,a,b,f

T的基本割集系统: S={{e,g,h},{a,c,d,g,h},{b,c,d,g,h},{f,d,g}}

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