合肥工业大学2008矩阵理论试卷

矩阵理论试卷（A）（2008级） (共1页) 成绩

学院班级＿＿ ＿; 姓名＿＿＿ ＿＿； 学号＿ ＿＿ ＿＿

1 （15分）给定 R

2 2

{A (aij)2 2|aij R}（数域R上二阶实方阵按通常矩阵的加法与数乘构成的线

性空间）的子集 V {A (ai j)2 2|a11 a22 0, ai j R}

（1）证明V是R2 2的子空间；（2）求V的维数和一组基；（3）求A

3 5

2

在所求基下的坐标。 3

2 （15分）设 为n维欧氏空间V中的单位向量，对V中任意一向量x, 定义线性变换

T: T(x) x 2( ,x) , （1）证明：T为正交变换； （2）证明 T对应特征值1有n-1 个线性无

关的特征向量；（3）问T能否在某组基下的矩阵为对角阵，说明理由。 0

3 （15分）设矩阵A 1

1

121

0 0 0

（1）求A的若当标准形；（2）求A的最小多项式；（3）计算g(A) A5 4A3 5A2 E。 4（10分）设R3中的线性变换T如下：T(x1,x2,x3) (2x1 x2,x2 x3,x2 x3) ; (xi R)

TTT

(1) 写出T在基 1=(1, 1, 0), 2=(0, 1, 1), 3=(0, 0, 1)下的矩阵；(2) 求T(R3)及Ker(T)。

5 （10分）已知多项式矩阵 1

7

A( )

0 0

0( 2)

00

42

00( 1)0

2

，求A( )的初等因子及史密斯标准形。 0

( 1)( 5)

TT

6（10分）在欧氏空间R中， 对任意两个向量 (a1,a2,a3,a4) , (b1,b2,b3,b4),定义内积

)a1b1 ( , 2a2b 2a3 b3a 4b

2x1 x2 x3 x4 0

求齐次方程组 的解空间的一组标准正交基。

x1 x2 x3 = 0

7 （10分）(1) 设A为可逆矩阵, 证明对任何矩阵的算子范数, 都有||A

4

（2）设A 3

12 5i

2

8（15分）已知A 1

1

1

|| ||A||。

1

8 6i61

11

3 , 利用(1)的结论分别估计||A 1||1和||A 1|| 的下界。 2

01 1

0

At

1, 求矩阵函数f(A) e。 3

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