理数学导数及其应用测试题附答案

2015-2016学年第二学期

高二理科数学 （导数及其应用单元测试）

一、选择题（共12小题；共60分） 1. 设

在点

处可导，且

C.

，则

D. 不存在

等于 ( )

A. B. 2. 已知f(x)?13x?3xf'(0) ，则 f'(1)等于 ( ) 3

C. D.

，导函数f'(x)在

内的图象如图所示，则

A. B.

3. 函数 函数

的定义域为开区间 在开区间

内有极大值点（ ）

A. 个 B. 个 C. 个 D. 个

在点

处的切线方程为

4. (14新课标2理)设曲线

，则

( )

A. B. C. D. 5.方程x?3x?c?0恰有两个根，则

3 ( ) C.

D.

A. B.

1

6. 已知 （ 为常数）在 上有最大值 ，那么此函数在

上的最小值是 ( )

A.

B.

C.

1x2 D. 以上都不对

27.（07新课标理）曲线y?eＡ.e2 Ｂ.4e2 8.若函数f(x)?lnx?在点(4，e)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）

Ｄ.e2

92Ｃ.2e2

12ax?2x存在单调递减区间，则a的取值范围是（ ） 2 A．(??,?1) B。(??,1) C。 [?1,??) D。(?1,??) 9. 一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知速度为 料费是每小时 元，而其他与速度无关的费用是每小时 费用和最小，则此轮船的速度为 ( ) A.

B.

C.

D.

时，燃

元．要使航行每千米的总

10.（08新课标理）由直线x?A.

15 4B.

17 411,x=2,曲线y?及x轴所围图形的面积是（ ） 2x1C.ln2 D.2ln2 211. （08广东理）设 ，若函数

f(x)?eax?3x ，

D.

有大于零的极值点，则 ( )

A. B. C.

12. (13安徽数学理)若函数 有极值点 ，且 ，则

关于 的方程 的不同实根个数是 ( )

A. B. C. D.

2

二、填空题（共4小题；共20分）

13. 函数f(x)?lnx?x的单调递增区间为_______________

14.若函数f(x)=x(x-c)在x?2处有极小值，则常数c的值为________. 15.（12新课标理改编）设点P在曲线y?x上,点Q在曲线y?ln(2x)上,则PQ最小值为_________

22bex?116.(14新课标1理改编)设函数f(x)?aelnx?,曲线y?f(x)在点（1,f(1)处

xx的切线方程为y?e(x?1)?2.则a?b?________ 三、解答题（共6小题；共70分） 17. （本题满分10分）

（07新课标改编）设函数f(x)?ln(2x?3)?x

（1）求f(x)的单调区间；（2）求f(x)在区间[?1,0]上的最值。

18.（本题满分12分）

已知曲线C: x?2y，记曲线C在x?1处的切线为l. (1)求直线l的方程

(2)设直线l0平行于直线l，且过点(0,)，求直线l0与曲线C围成的面积.

19. （本题满分12分）

2232x2已知函数f(x)?aln(1?x)?,g(x)?x

2(1)若a?1，求证：当x?0时，f(x)?g(x)。

（2）若函数f(x)在区间[1,2]上是单调递增的，求a的范围。

3

20. （本题满分12分）

统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量为y（升），关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y?两地相距100千米．

（1）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？ （2）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

21. （本题满分12分） 已知函数f(x)?ln(ax?1)?（1）求f(x)的单调区间；

（2）若f(x)的最小值为1，求a的取值范围。

22. （本题满分12分）

13x3?x?8(0?x?120).已知甲、乙

128000801?x,x?0，其中a?0 1?xa2已知函数f?x??x?，g?x??x?lnx，其中a?0．

x（1）若x?1是函数h?x??f?x??g?x?的极值点，求实数a的值；

（2）若对任意的x1,x2?1，e（e为自然对数的底数）都有f?x1?≥g?x2?成立，

求实数a的取值范围．

??

4

2015-2016学年第二学期

高二理科数学 （导数及其应用单元测试）参考答案

1. C 9. B 13. (0,2. D

3. B

4. D

5. A

6. A

7. D

8. D

10. D 11. B 12. A

22(1?ln2)14．2 15.16.3 )22

?3?2??17.解:f(x)的定义域为??，?∞?.

24x2?6x?22(2x?1)(x?1)?2x??（Ⅰ）f?(x)?. 2x?32x?32x?3当?311?x??1时,f?(x)?0；当?1?x??时,f?(x)?0；当x??时,f?(x)?0. 222从而,f(x)分别在区间??，?1?,??，?∞?单调增,在区间??1，??3?2??1??2????1??单调减. 2?（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)在区间[?1,0]的最小值为f????ln2??1??2?1. 4f(?1)?ln1?1?1,f(0)?ln3?0?ln3，因为ln3?1，

所以f(x)在区间[?1,0]的最大值为f(0)?ln3

1x2',y?18、解：（1）y?所以y?x，当x=1时，k?y’, ?1x?12211 2233（2）依题意可得：l0过点(0,)且斜率为1，所以l0:y?x?

22所以直线l斜率为1，过点(1,)，所以l：y?x?3?y?x???22x?2x?3?0，解得x1??1或x2?3 ，得?2?y?x??2

5

3x216故直线l0与曲线C围成的面积为?(x??)dx?

?12233x21x2'?x，h(x)??1?x??0 19.(1) 设h(x)?ln(1?x)?21?xx?1∴ y?h(x)为(0,??)上? 且h(0)?0。

∴ x?(0,??) h(x)?0 恒成立 ∴ f(x)?g(x) （2）因为函数f(x)在区间[1,2]上是单调递增

aa?x2?x?x??0在[1,2]恒成立。 所以f'(x)?1?x1?x即x?x??a在[1,2]恒成立。

所以[x2?x]min??a，即2??a，即a??2 20.

2 6

ax2?a?221. （1）f?(x)?， (ax?1)(1?x)2 ∵x?0，a?0，∴ax?1?0．

①当a?2时，在区间(0,??)上，f?(x)?0，∴f(x)的单调增区间为(0,??)． ②当0?a?2时，

2?a2?a，由f?(x)?0解得x?， aa2?a2?a∴f(x)的单调减区间为(0,)，单调增区间为(,??)．

aa（2）当a?2时，由（1）①知，f(x)的最小值为f(0)?1； 当0?a?2时，由（1）②知，

2?a2?af(x)在x?处取得最小值f()?f(0)?1，不合题意舍去

aa由f?(x)?0解得x?综上可知，若f(x)的最小值为1，则a的取值范围是[2,??)．

a222.已知函数f?x??x?，g?x??x?lnx，其中a?0．

x（1）若x?1是函数h?x??f?x??g?x?的极值点，求实数a的值；

（2）若对任意的x1,x2?1，e（e为自然对数的底数）都有f?x1?≥g?x2?成立，

求实数a的取值范围．

??a2?lnx，其定义域为?0，(1) （1）∵h?x??2x? ???， xa21∴h??x??2?2?．

xx2∵x?1是函数h?x?的极值点，∴h??1??0，即3?a?0．

∵a?0，∴a?3． 经检验当a?3时，x?1是函数h?x?的极值点， ∴a?3．

(2）解：对任意的x1,x2??1，e?都有f?x1?≥g?x2?成立等价于对任意的

x1,x2??1，e?都有??f?x???min≥??g?x???max．

7

当x?［1，e］时，g??x??1?1?0． x∴函数g?x??x?lnx在?1，e?上是增函数． ∴??g?x???max?g?e??e?1．

a2?x?a??x?a?∵f??x??1?2?，且x??1,e?，a?0．

xx2?x?a??x?a??0，

①当0?a?1且x?［1，e］时，f??x??x2a2∴函数f?x??x?在［1，e］上是增函数，

x2fx?f1?1?a?∴?. ??????min由1?a≥e?1，得a≥e，

又0?a?1，∴a不合题意． ②当1≤a≤e时， 若1≤x＜a，则f??x??2x2?x?a??x?a??0．

若a＜x≤e，则f??x??x2a2∴函数f?x??x?在?1,a?上是减函数，在?a，e?上是增函数．

x∴??f?x???min?f?a??2a.

由2a≥e?1，得a≥又1≤a≤e，∴

?x?a??x?a??0，

e?1， 2e?1≤a≤e． 2③当a?e且x?［1，e］时，f??x???x?a??x?a??0，

x2a2∴函数f?x??x?在?1，e?上是减函数．

xa2∴??f?x???min?f?e??e?e.

a2

由e?≥e?1，得a≥e，

e

又a?e，∴a?e． 综上所述，a的取值范围为?

?e?1?,???． ?2?8

9

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kwvd.html