孙宝莲论文

关于级数敛散性判别法的探讨

数学学院数学与应用数学专业 2012级 孙宝莲

指导教师 吴春

摘 要：数项级数是数学分析和微积分中的主要内容之一，而级数的敛散性是我们研究级数的前提，所以我们有必要对级数敛散性判别法进行深入的研究。我们研究过的数项级数敛散性的判别法有很多种，比如比较判别法、柯西判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法、拉贝判别法、高斯判别法、狄立克雷判别法、莱布尼兹判别法等。本文将对各种数项级数敛散性判别法进行归纳。使之系统化。

关键词：正向级数；交错级数；敛散性；判别法

Abstract：The number of series is one of the main contents of mathematical analys

is and calculus, The convergence and divergence of series is the premise of our research series, so we have the necessity to study the series convergence criterion deeply. The several series of convergence and divergence criterion that we havestudied has a lot of kinds, such as comparison criterion,Cauchy criterion, D'Alembert discriminant method, integral criterion, John rabe discriminant method, Gauss criterion, Dirichlet criterion, Leibniz discrimination method and so on.Thisarticle will summarizes on divergence criterion about kinds of several.

Key words：positiveseries; alternating series; convergence and divergence; discriminance.

级数是数学分析中的一个基本而又重要的知识点，是数学分析的主要研究对象之一，也是数学研究和应用的一个重要工具。级数敛散性判断的方法虽然较多，但使用起来仍有一定的技巧，该论文在正项级数、交错级数的敛散性判别方法及其应用以及各种敛散性判别法之间的比较及使用范围进行了研究，该论文通过归纳总结级数收敛性判断的一些典型方法，比较这些方法的不同特点，总结出一些典型的级数，根据不同的题目特点分析、判断选择适宜的方法进行了判断。

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1 敛散性定义

我们要研究级数从而正确的应用级数，首先就得对级数的性质有所掌握，在级数的性质里级数的敛散性是研究级数首要解决的问题，下面我们先来了解一下级数敛散性的定义。

定义1.1[1]设数项级数

?an?1?n?a1?a2???an??

的前n项部分和为

Sn?a1?a2??+an??ai.

i?1n若n项部分和数列?Sn?收敛于有限值S，即存在一个实数S, 使

limSn?S,

n??则称这个级数是收敛的，否则我们就说级数是发散的。在收敛的情况下，我们称S为级数的和。可见，无穷级数是否收敛，取决于limSn是否存在。

n??

2 正向级数的敛散性判别法

级数分为正向级数和任意项级数，而正向级数是一种特殊的级数，更是一种中最基本的级数，研究正向级数的敛散性是我们首要任务，下面我们将研究正向级数的一些判别法进行归纳总结。也为研究其他级数敛散性提供研究思路。

定义2.1[1]每一项都是非负的级数称为正向级数。

设正向级数?un(un?0，n=1,2,3，…)的部分和为Sn,显然部分和数列?Sn?为

n?1?单调增加的，如果这个数列具有上界，那么它的极限必存在。如果这个数列没有

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上界，那么它发散??。根据这一基本事实，便得到正向级数收敛的充要条件。 定理2.1[1]如果正向级数的部分和数列具有上界，则此级数收敛；如果正向级数的部分和数列无上界，则此级数发散到??。 2.1 比较判别法

2.1.1 比较判别法及其极限形式

定理2.2（比较判别法） 设有两个正项级数?un和?vn，存在常数c?0及

[1]??n?1n?1正整数N，当n?N时有

un?cvn

则

（i）若级数?vn收敛，则级数?un也收敛；

n?1n?1??（ii）若级数?un发散，则级数?vn也发散。

n?1n?1??下面给出比较判别法的极限形式，它在判别级数敛散性时更为方便。 定理2.3（比较判别法极限形式） 设两个正项级数?un和?vn，有

[1]??n?1n?1limun?? n??vn（i）若0＜?＜＋?时，则两个级数同时敛散；

（ii）若?＝0时，若级数?vn收敛，则级数?un也收敛；

n?1n?1??（iii）若??＝??时，若级数?vn发散，则级数?un也发散。

n?1n?1??2.1.2 比较判别法的应用

级数比较判别法使用范围较广泛，适用于大部分无法通过其它方法判别敛散性的正向级数。下面列出几种选取不同的级数作为比较对象的级数敛散性判别法，选取恰当的级数作为比较对象会使解决级数判别敛散性事半功倍。 （1）当所判别的级数中出现有理式时,则比较级数常常选取p?级数或调和

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级数。

注2.1 p?级数判别法：?1(p?0) pn?1n?①当0?p?1时，级数发散； ②当p?1时，级数收敛。 例2.1判别级数?1的敛散性。

n?1n(n?1)??111?2,又由于?2收敛（p?2）,则由比较判别法,得原级解因为

n(n?1)nn?1n数?1也收敛。

n?1n(n?1)?（2）当所求级数通项中出现正弦函数或对数函数时,适当的放缩函数，从而选取恰当的级数作为比较对象。 例2.2设an??tanxdx，证明级数?40n??n?1an(??0)收敛。 n?证明 由an??tanxdx??4tannxsec2xdx

n0?40????401??tann?1xtanxdtanx?n?1??n?40???1?1 ?n?1n??an11得0???1??，因为1???1，所以?1??收敛，

nnn?1n?则由比较判别法知?n?1ann?收敛。

(3) 当所求级数的通项难以放缩为其他函数时,可采用比较判别法的极限形式来判别级数的敛散性。 例2.3

[7]判别级数?4n?1的敛散性。 2n?1n?114n2?n]?lim?4,又因为nn??n2?1?解由于lim[n??4n?1n2?11是发散的,由比较判别法极?nn?1?第4页（共17页）

限形式知原级数也发散。

以上是我们应用比较判别法经常遇到的类型，比较判别法简单、灵活，选取适当的比较函数是应用比较判别法的关键。一般情况下使用比较判别法的极限形式会更方便。 2.2 柯西判别法

2.2.1 柯西判别法及其极限形式 定理2.4[3]（柯西判别法） 设

?un?1?n是正项级数，

（i）若从某一项起（即存在N，当n?N时）满足着nun?q?1（q为某确定的常数），则

?un?1?n收敛；

? （ii）若从某项起满足着nun?1，则?un发散。

n?1证明 （i）若当n?N时成立nun?q?1，那么有?0??xpsinxdx(q?0)，q1?xn而级数

?qn?1?n（q?1）是收敛的，再根据比较判别法得知

?un?1?也收敛；

（ii）若从某项起，若当n?N时成立nun?1，则有un?1，故limun?0，

n??由级数收敛的必要条件知级数?un发散。

n?1?定理2.5

[3]（柯西判别法极限形式）设?un为正项级数，limnun?r，则

n?1n???（i）当r?1时，级数?un必收敛；

n?1?（ii） 当r?1（或r???）时，级数?un发散。

n?1?注2.2在比较判别法和柯西判别法的极限形式中，对r?1的情形都没有说明，

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实际上，当它们的极限limn??un?1?1或limnun?1时，这种情况下无法用这两个判

n??un??11别法来判别级数的敛散性。例如级数?和?2，都有

n?1nn?1n1nlimn?1?lim?1 n??n??n?11n12(n?1)2?n?lim?lim???1 n??n??n?11??2nlimnn???11但?发散而?2收敛。 n?1nn?1n?11?1limn2?1 n??nn2.2.2 柯西判别法的应用

例2.4判别级数?(n?1?nn)的敛散性。 2n?1解由于limnun?limn(n??n??nnn1)?lim??1,

n??2n?12n?12?则根据柯西判别法的极限形式，可得级数?(n?1nn)收敛。 2n?12.3达朗贝尔判别法

2.3.1 达朗贝尔判别法及其极限形式

定理2.6

[4](达朗贝尔判别法)设?un为正项级数，存在常数q，

n?1???un?1?q?1，则级数?un收敛； （i）若?N?N,?n?N，有 unn?1?un?1（ii）若?N?N,?n?N,有 ?1，则级数?un发散。

unn?1?第6页（共17页）

定理2.7

un?1?l.

n??un[4](达朗贝尔判别法的极限形式)设

?un?1?n为正向级数,且

lim（i）当l?1时，级数?un收敛；

n?1?（ii）当l?1时，级数?un发散。

n?1?2.3.2 达朗贝尔判别法的应用

例2.5判别级数?n?1?n!的敛散性。 nn解因为limun?1(n?1)!?lim[n??un??(n?1)n?1nnnn!1n1所以]?lim()?lim[1(1?)]??1，nn??n??nnn?1e?根据达朗贝尔判别法的推论知，级数?n?1n!收敛。 nn5n例2.6判别级数?5的敛散性。

n?1n?un?15n?1解由于lim?lim[n??un??(n?1)5n5n的推论知,级数?5发散。

n?1n?n55n根据达朗贝尔判别法]?lim5()?5?1，

n5n??n?12.4 积分判别法 2.4.1 积分判别法

定理2.8[9](积分判别法)设f为[1,??]上非负减函数,那么正项级数?f(n)与反常积分???1f(x)dx同时收敛或同时发散。

2.4.2 积分判别法的应用

例2.7 判别级数?1的敛散性。 3n?1n?第7页（共17页）

解 将原级数???1换成积分形式 3n?1n????即???11??111dx由于dx???1x3x32x2?lim(?1p???1111)?(?)?0?? 22p222?11dx收敛,根据积分判别法可知，级数也收敛。 ?33xn?1n1例2.8 证明调和级数?发散。

n?1n1解 将原级数?换成积分形式

n?1n???即???1??1??11??dx?lnx????0???, ,由于dx?11xx?11dx发散，根据积分判别法可知，调和级数?发散。 xn?1n2.5 拉贝判别法 2.5.1 拉贝判别法

定理2.9

[9](拉贝判别法)设有正项级数?un，存在常数q。

n?1???un?1)?q?1,则级数?un收敛； （i）若?N?N,?n?N,有n(1?unn?1?un?1)?1,则级数?un发散。 （ii）若?N?N,?n?N,有n(1?unn?1?定理2.10（拉贝判别法极限形式 ） 设有正项级数?un，且极限存在若

[9]?n?1limn(n???un?1?1)?l. un（i）当l?1时,级数?un收敛；

n?1（ii）当l?1时,级数?un发散。

n?1?第8页（共17页）

2.5.2 拉贝判别法的应用

?1?3???(2n?1)?例2.9[10] 讨论级数???当s?1,2,3时的敛散性性。 2?4???(2n)n?1???s解当s?1时，由于n(1?un?12n?1n1)?n(1?)???1(n??)， un2n?22n?22所以根据拉贝判别法知,原级数是发散的。

当s?2时,由于n(1?所以原级数是发散的。

un?12n?12?n(4n?3)?)?n?1?()???1(n??), 2un2n?2?(2n?2)?un?12n?13?n(12n2?18n?7)3?当s?3时，因n(1?)?n?1?()???(n??), 3un2n?2(2n?2)2??所以原级数收敛。 2.6 高斯判别法 定理2.11

[4]（高斯判别法） 设?un是正项级数，并且满足

n?1?unuv?1??????o??. un?1nnlnn?nlnn?则有

（i）若??1或者??1，u?1或者??u?1,v?1，则级数?un收敛；

n?1?（ii）若??1或者??1，u?1或者??u?1,v?1，则级数?un发散。

n?1?定理2.12

[4]（高斯推论） 设?un是正项级数，并且满足

n?1??1?unu????O?2?. un?1n?n?则有

（i）若??1或??1，u?1，则级数?un收敛；

n?1?（ii）若??1或??1，u?1，则级数?un`发散。

n?1?第9页（共17页）

2.7 正向级数不同判别法的应用

尽管我们已经学习和掌握了很多种关于正向级数的判别法，但是我们在应用的时候难免会为了选择哪种判别法而浪费时间，这就需要我们对各种判别法进行系统归纳，找出其各自的特点进行对比，或者我们在平时接触的一些级数进行分类，掌握什么样的级数选择哪种方法才更有效的解决问题。以下是一些常见正向级数类型的简单总结归纳：

（1）当级数表达式为含参数的一般形式、通项为等差或等比形式、通项为含二项以上根式且通项极限无法求出的时候，通常可以选用正项级数的充要条件进行判断，即正向级数的部分和数列具有上界，则此级数收敛。

（2）当级数表达式为

1un的任意函数时；，级数一般项如含有sin?或cos?un等三角函数的因子可以进行适当的放缩，并与几何级数，P级数，调和级数进行比较，比如limun?1u、limnun不易算出或limn?1?1等此类无法判断级数收敛n???n???un???unn?n1?1?性时，通常应该选用比较判别法，例?????a?1?级数收敛。 n1?a?a?n?1（3）当级数同时含有阶乘，n次幂时，如a!或an，或分子、分母含多个因子连乘除时，通常选用达朗贝尔判别法。当级数通项含(?1)n、un的函数时，通常可以选用柯西判别法的极限形式进行判断。

（4）当级数含有阶乘和n次幂时，如含有a!与an时，又或者使用达朗贝尔判别法、柯西判别法时极限等于1时，这种情况通常应该选用拉贝判别法。例如

?un?1?enn!1??limn1???，因为，所以级数发散。 ?n?n???u2nn?1n???

3 任意项级数的敛散性判别法

以上我们研究了正向级数敛散性判别法的一些判定方法，接下来我们进行对一般项级数的敛散性进行探究，在研究一般项级数敛散性的判别法前先引入两个

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当x?(0,2?)时,sinx?0故有 2

1sin(n?)12. ??coskx?x2k?12sin2n所以级数?cosnx的部分和数列在当x?(0,2?)时有界，由狄利克雷判别法得级数?ancosnx收敛。

4总结

正向级数和交错级数的敛散性判别方法我们已经掌握，我们了解到在判别级数的敛散性的时候，我们首先要观察级数的类型，是正向级数还是一般项级数，然后根据级数的特点和各种判别法的特点来选择所需要的最佳的判别方法，很好的归纳和总结将对我们有各个方面的学习都非常有利，而且能达到事半功倍的作用，只要很好的把握各种级数的敛散性判别法及其特点，才能更好地为以后所学的知识打下良好的基础，而且级数并不是独立存在的，我们只有掌握了级数的基础知识，才能把其他方面的知识转化到级数上面来，从而达到数学和其他学科的相应结合，级数敛散性的判别是我们了解和掌握级数的级数，因此我们必须对其进行更深入的研究，这样才能发挥其正真的作用。

在大学里学到了很多知识，更最要的是交到了很多朋友，这将是我一生的财富。大学是我们一生中最值得纪念的时光，因为在这里我们会经历很多，有一起生活的室友们，有一起愉快学习的同学们，更有辛勤教育我们的老师们。对于即将踏入社会的我，或多或少有些不舍，可是经过大学四年，我们已经长大了不少，也经历了很多，这些经历对于我们以后学习和生活中都有莫大的帮助。在毕业论文的准备中，我特别感谢吴春老师给予我的指导和帮助，他平易近人，和蔼可亲，在论文修改上很仔细，给了我很多指导性的建议，也是在他的帮助下，我才更顺利的完成了论文的一些列工作。在这里我向教育我的老师送上最真挚的感谢，更感谢陪伴我的室友，谢谢你们陪我走过我最美好的时光。论文中可能还有些不足

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之处，希望老师给予指正和批评。

参考文献：

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