2013年中考数学专题复习第二十七讲：相似图形（学生版）

2013年中考数学专题复习第二十七讲 相似图形

【基础知识回顾】 一、 成比例线段：

1、线段的比：如果选用同一长度的两条线段ＡＢ，ＣＤ的长度分别为m、n则这两条线

AB段的比就是它们 的比，即：= 。

CDa 2、比例线段：四条线段a、b、c、d如果

b称 。

= ，那么四条线段叫做同比例线段，简

ac 3、比例的基本性质：=

bd<＝> 。

4、平行线分线段成比例定理：将平行线截两条直线 。

【名师提醒：1、表示两条线段的比时，必须示用相同的 ，在用了相同的前提下，两条线段的比值与用的无关 即比值没有

2、全分割：点C把线段AB分成两条，线段AC和BC（AC>BC）如果 那么称线段AB被点C全分割AC与AB的比叫全比，即L

AC= ≈ 】 AB二、相似三角形：

1、定义：如果两个三角形的各角对应 各边对应 那么这两个三角形相似 2、性质：⑴相似三角形的对应角 对应边

⑵相似三角形对应点的比、对应角平分线的比、对应 的比都等于 ⑶相似三角形周长的比等于 面积的比等于

1、 判定：⑴基本定理：平行于三角形一边的直线和其它两边或两线相交，三角形与原三

角形相似

⑵两边对应 且夹角 的两三角形相似 ⑶两角 的两三角形相似

⑷三组对应边的比 的两三角形相似 【名师提醒：1、全等是相似比为 的特殊相似

2、根据相似三角形的性质的特质和判定，要证四条线段的比相等，一般要

先证 判定方法中最常用的是 三组对应边成比例的两三角形相似多用在点三角形中】

三、相似多边形：

1、定义：各角对应 各边对应 的两个多边形叫做相似多边形 2、性质：⑴相似多边形对应角 对应边

⑵相似多边形周长的比等于 面积的比等于

【名师提醒：相似多边形没有专门的判定方法，判定两多边形相似多用在矩形中，一般用定义进行判定】 一、 位似：

1、定义：如果两个图形不仅是 而且每组对应点所在直线都经过 那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 这时相似比又称为 。 2、性质：位似图形上任意一点到位似中心的距离之比都等于 。

【名师提醒：1、位似图形一定是 图形，但反之不成立，利用位似变换可以将一个图形放大或 。

2、在平面直角坐标系中，如果位似是以原点为位似中心，相似比位r，那么

位似图形对应点的坐标的比等于 或 】 【典型例题解析】 考点一：比例线段

例1 （2012?福州） 如图，已知△ABC，AB=AC=1，∠A=36°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，则AD的长是 ，cosA的值是 ．（结果保留根号） 对应训练 2．（2012?孝感）如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于点D，若AC=2，则AD的长是（ ） A．

5?15?1 B． C．5?1 D．5?1 22

考点二：相似三角形的性质及其应用

例2 （2012?重庆）已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则ABC与△DEF的面积之比为 ． 对应训练 2．（2012?沈阳）已知△ABC∽△A′B′C′，相似比为3：4，△ABC的周长为6，则△A′B′C′的周长为 ．

考点三：相似三角形的判定方法及其应用

例3 （2012?徐州）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC= 1BC．图中相似三角形共有（ ） 4A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

例4 16．（2012?资阳）（1）如图（1），正方形AEGH的顶点E、H在正方形ABCD的边上，直接写出HD：GC：EB的结果（不必写计算过程）；

（2）将图（1）中的正方形AEGH绕点A旋转一定角度，如图（2），求HD：GC：EB； （3）把图（2）中的正方形都换成矩形，如图（3），且已知DA：AB=HA：AE=m：n，此时HD：GC：EB的值与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果（不必写计算过程）．

对应训练

3. （2012?攀枝花）如图，△ABC≌△ADE且∠ABC=∠ADE，∠ACB=∠AED，BC、DE交于点O．则下列四个结论中，①∠1=∠2；②BC=DE；③△ABD∽△ACE；④A、O、C、E四点在同一个圆上，一定成立的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4. （2012?义乌市）在锐角△ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转，得到△A1BC1．

（1）如图1，当点C1在线段CA的延长线上时，求∠CC1A1的度数；

（2）如图2，连接AA1，CC1．若△ABA1的面积为4，求△CBC1的面积；

（3）如图3，点E为线段AB中点，点P是线段AC上的动点，在△ABC绕点B按逆时针方向旋转过程中，点P的对应点是点P1，求线段EP1长度的最大值与最小值．

考点四：位似

例5 （2012?玉林）如图，正方形ABCD的两边BC，AB分别在平面直角坐标系的x轴、y轴的正半轴上，正方形A′B′C′D′与正方形ABCD是以AC的中点O′为中心的位似图形，已知AC=32，若点A′的坐标为（1，2），则正方形A′B′C′D′与正方形ABCD的相似比是（ ） A．

1112 B． C． D． 6323

对应训练 5．（2012?咸宁）如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，O为位似中心，相似比为1：2，点A的坐标为（1，0），则E点的坐标为（ ） A．（2，0） B．（

33,) C．(2,2) D． (2,2) 22

【备考真题过关】 一、选择题 b5a?b?，则 的值是（ ） a13a?b2394A． B． C． D．

32491．（2012?凉山州）已知 2．（2012?天门）如图，△ABC为等边三角形，点E在BA的延长线上，点D在BC边上，且ED=EC．若△ABC的边长为4，AE=2，则BD的长为（ ） A．2 B．3 C．3 D．3?1

3．（2012?宁德）如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的各边上，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，则四边形EFGH的周长是（ ） A．10 B．13 C．2

10 D．213

4．（2012?柳州）小张用手机拍摄得到甲图，经放大后得到乙图，甲图中的线段AB在乙图中的对应线段是（ ）

A．FG B．FH C．EH D．EF

5.（2012?铜仁地区）如图，六边形ABCDEF∽六边形GHIJKL，相似比为2：1，则下列结论正确的是（ ） A．∠E=2∠K B．BC=2HI

C．六边形ABCDEF的周长=六边形GHIJKL的周长 D．S六边形ABCDEF=2S六边形GHIJKL

6. （2012?荆州）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）

A． B． C． D．

7. （2012?海南）如图，点D在△ABC的边AC上，要判定△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）

A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．

ABCBADAB?? D． BDCDABAC 8．（2012?遵义）如图，在△ABC中，EF∥BC， A．9 B．10 AE1?，S四边形BCFE=8，则S△ABC=（ ） EB2D．13 C．12 9. （2012?宜宾）如图，在四边形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD，CD= 1AB，2点E、F分别为AB、AD的中点，则△AEF与多边形BCDFE的面积之比为（ ） A．

1111 B． C． D． 7654

10．（2012?钦州）图中两个四边形是位似图形，它们的位似中心是（ ） A．点M B．点N C．点O D．点P

11．（2012?毕节地区）如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位中心，将△ABO扩大到原来的2倍，得到△A′B′O．若点A的坐标是（1，2），则点A′的坐标是（ ）

A．（2，4） B．（-1，-2） C．（-2，-4） D．（-2，-1）

二、填空题 12．（2012?宿迁）如图，已知P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB，若S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积，则S1 S2．（填“＞”“=”或“＜”）

14.（2012?自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终

保持AM⊥MN，当BM= cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为 cm2．

15. （2012?资阳）如图，O为矩形ABCD的中心，M为BC边上一点，N为DC边上一点，ON⊥OM，若AB=6，AD=4，设OM=x，ON=y，则y与x的函数关系式为 。

16.（2012?镇江）如图，E是?ABCD的边CD上一点，连接AE并延长交BC的延长线于点

F，且AD=4， CE1?，则CF的长为 ． AD3 17.（2012?泰州）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值是 ． 18．（2012?青海）如图，利用标杆BE测量建筑物的高度，标杆BE高1.5m，测得AB=2m，BC=14cm，则楼高CD为 m． 19. （2012?娄底）如图，在一场羽毛球比赛中，站在场内M处的运动员林丹把球从N点击到了对方内的B点，已知网高OA=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地面的距离NM= 米． 20.（2012?北京）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE=40cm，EF=20cm，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，则树高AB= m． 21.（2012?阜新） 如图，△ABC与△A1B1C1为位似图形，点O是它们的位似中心，位似比是1：2，已知△ABC的面积为3，那么△A1B1C1的面积是 ．

三、解答题 22．（2012?上海）己知：如图，在菱形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD，∠BAF=∠DAE，AE与BD交于点G． （1）求证：BE=DF； （2）当 DFAD?时，求证：四边形BEFG是平行四边形． FCDF 23． （2012?云南）如图，在△ABC中，∠C=90°，点D是AB边上的一点，DM⊥AB，且DM=AC，过点M作ME∥BC交AB于点E． 求证：△ABC∽△MED． 24．（2012?株洲）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，沿直线MN对折，使A、C重合，直线MN交AC于O． （1）求证：△COM∽△CBA； （2）求线段OM的长度． 25. （2012?株洲）如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5米，AC=12米．M点在线段CA上，从C向A运动，速度为1米/秒；同时N点在线段AB上，从A向B运动，速度为2米/秒．运

动时间为t秒． （1）当t为何值时，∠AMN=∠ANM？ （2）当t为何值时，△AMN的面积最大？并求出这个最大值． 26. （2012?江西）如图1，小红家阳台上放置了一个晒衣架．如图2是晒衣架的侧面示意图，立杆AB、CD相交于点O，B、D两点立于地面，经测量： AB=CD=136cm，OA=OC=51cm，OE=OF=34cm，现将晒衣架完全稳固张开，扣链EF成一条直线，且EF=32cm． （1）求证：AC∥BD； （2）求扣链EF与立杆AB的夹角∠OEF的度数（精确到0.1°）； （3）小红的连衣裙穿在衣架后的总长度达到122cm，垂挂在晒衣架上是否会拖落到地面？请通过计算说明理由． （参考数据：sin61.9°≈0.882，cos61.9°≈0.471，tan61.9°≈0.553；可使用科学记算器） 27．（2012?陕西）如图，正三角形ABC的边长为3+ 3． （1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形ABC及其内部，以点A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面积最大（不要求写作法）； （2）求（1）中作出的正方形E′F′P′N′的边长； （3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由． 28．（2012?河北）如图，点E是线段BC的中点，分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，且在BC同侧．

（1）AE和ED的数量关系为 ； AE和ED的位置关系为 ；

（2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD．分别得到图2和图3． ①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD．

②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．

（1）AE和ED的数量关系为 ； AE和ED的位置关系为 ；

（2）在图1中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，点H是BC所在直线上的一点，连接GH，HD．分别得到图2和图3． ①在图2中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比1：2，H是EC的中点．求证：GH=HD，GH⊥HD．

②在图3中，点F在的BE延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k：1，若BC=2，请直接写CH的长为多少时，恰好使GH=HD且GH⊥HD（用含k的代数式表示）．

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