2014年山东高考数学文科试卷及解析

2014年山东高考数学文科试卷及解析

本卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分。共4页，满分150分。考试用时120分钟.考试结束后，将本卷和答题卡一并交回。 注意事项：

1. 答题前，考试务必用0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、座号、考生号、县区和科类在答题卡和试卷规定的位置上。

2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上。 3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色墨水签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。不按以上要求作答的答案无效。

4. 填空题请直接填写答案,解答题应写出文字说明\\证明过程或演算步骤. 参考公式:如果事件A，B互斥，那么P（A+B）=P(A)+P(B)；

第Ⅰ卷 （共50分）

一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。

2（a?bi）? （1）已知a,b?R,i是虚数单位，若a?i?2?bi，则

（A）3?4i （B）3?4i （C）4?3i （D）4?3i

2（a?bi）?(2?i)2?4?4i?i2?3?4i 【解析】由a?i?2?bi得，a?2，b??1，

故答案选A

2（2）设集合A?{xx?2x?0},B?{x1?x?4},则A?B?

（A）(0,2] （B） (1,2) （C） [1,2) （D）(1,4)

【解析】A?(0，2)，B??1,4?，数轴上表示出来得到A?B?[1,2) 故答案为C （3）函数f(x)?1的定义域为

log2x?1（B）(0,2]

（C）(2,??)

2) （A）(0，??) （D）[2，【解析】log2x?1?0故x?2。选C

（4）用反证法证明命题“设a,b?R,则方程x?ax?b?0至少有一个实根”时要做的假设是

（A）方程x?ax?b?0没有实根 （B）方程x?ax?b?0至多有一个实根 （C）方程x?ax?b?0至多有两个实根 （D）方程x?ax?b?0恰好有两个实根 【解析】答案选A，解析略。

1

22222（5）已知实数x,y满足ax?ay(0?a?1)，则下列关系式恒成龙的是 （A）x3?y3

（B）sinx?siny （D）

（C）ln(x2?1)?ln(y2?1)

11? x2?1y2?12【解析】由ax?ay(0?a?1)得，x?y，但是不可以确定x与y的大小关系，故C、D排除，而y?sinx本身是一个周期函数，故B也不对，x3?y3正确。答案A

（6）已知函数y?loga(x?c)(a,c为常数。其中a?0,a?1)的图像如右图，则下列结论成立的是

（A）a?1,c?1

（B）a?1,0?c?1 （D）0?a?1,0?c?1

2

（C）0?a?1,c?1

【解析】

由图象单调递减的性质可得0?a?1，向左平移小于1个单位，故0?c?1 答案选D

rrπ（7）已知向量a?(1,3),b?(3,m),.若向量a,b的夹角为，则实数m=

6（A）23 【解析】：

（B）3

（C）0

（D）?3

rra?b?3?3mrrrrrr3a?b?abcosa,b?29?m2?2???3?3m?3?9?m2?m?3

答案：B

（8）为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：kPa）的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为

2

频率 / 组距0.360.240.160.080121314151617舒张压/kPa

（A）6 （B）8 （C） 12（D）18 答案：C

解析：第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4 20?0.4?50

50?0.36?18

18?6?12

答案：C

（9）对于函数f(x)，若存在常数a?0，使得x取定义域内的每一个值，都有

f(x)?f(2a?x)，则称f(x)为准偶函数。下列函数中是准偶函数的是

（A）f(x)?x （B）f(x)?x2 （C）f(x)?tanx（D）f(x)?cos(x?1)

【解析】：由分析可知准偶函数即偶函数左右平移得到的。 答案：D

（10）已知x,y满足的约束条件??x-y-1?0,当目标函数z?ax?by(a?0,b?0)在该约束

?2x-y-3?0,22条件下取得最小值25时，a?b的最小值为

（A）5

（B）4

（C）5

（D）2

?x?y?1?0【解析】：?求得交点为?2,1?，则2a?b?25，即圆心?0,0?到直线

?2x?y?3?0 3

?25?2?2?4。 2a?b?25?0的距离的平方???5???答案： B

2二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。

11.执行下面的程序框图，若输入的

x的值为

1，

则输出的n的值为 。 答案：3

2解析：根据判断条件x?4x?3?0，得1?x?3，

输入x?1

第一次判断后循环，x?x?1?2,n?n?1?1 第二次判断后循环，x?x?1?3,n?n?1?2 第三次判断后循环，x?x?1?4,n?n?1?3 第四次判断不满足条件，退出循环，输出n?3 12．函数y?3sin2x?cos2x的最小正周期为 。 2【解析】：y?3311??1?sin2x?cos2x?sin2x?cos2x??sin?2x??? 22226?2? 4

?T?2???. 2答案：T??

13．一个六棱锥的体积为23，其底面是边长为2的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 。

【解析】：设六棱锥的高为h，斜高为h?， 则由体积V?1?1????2?2?sin60?6??h?23得：h?1，h??3?2???3?h2?2

21? 侧面积为?2?h??6?12.

2答案：12

14．圆心在直线x?2y?0上的圆C与y轴的正半轴相切，圆C截x轴所得的弦的长23，则圆C的标准方程为 。

?a? 【解析】 设圆心?a,??a?0?，半径为a. 由勾股定理

?2???2?a?3????a2得：a?2

?2?222 ?圆心为?2,1?，半径为2， ?圆C的标准方程为?x?2???y?1??4 答案：?x?2???y?1??4

22x2y215．已知双曲线2?2?1?a?0,b?0?的焦距为2c，右顶点为A，抛物线

abx2?2py?p?0?的焦点为F，若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且FA?c，

则双曲线的渐近线方程为 。 【解析】 由题意知

P?c2?a2?b， 2 抛物线准线与双曲线的一个交点坐标为?c,???P??， 2?c2c2b222 即?c,?b?代入双曲线方程为2?2?1，得2?2， 所以a?b

aab?渐近线方程为y??x,

三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

5

（16）（本小题满分12分）

海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量（单位：件）如右表所示，工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测。 地区 数量 A 50 B 150 C 100 （Ⅰ）求这6件样品中来自A,B,C各地区样品的数量；

（Ⅱ）若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率。

（16）【解析】：

（Ⅰ）因为工作人员是按分层抽样抽取商品，所以各地区抽取商品比例为： A:B:C?50:150:100?1:3:2

所以各地区抽取商品数为：A:6?132?1，B:6??3，C:6??2； 666（Ⅱ）设各地区商品分别为：A,B1,B2,B3,C1,C2

基本时间空间?为：?A,B1?,?A,B2?,?A,B3?,?A,C1?,?A,C2?,?B1,B2?,?B1,B3?

?B1,C1?,?B1,C2?,?B2,B3?,?B2,C1?,?B2,C2?,?B3,C1?,?B3,C2?,?C1,C2?，共15个.

样本时间空间为：?B1,B2?,?B1,B3?,?B2,B3?,?C1,C2? 所以这两件商品来自同一地区的概率为：P?A??（17）（本小题满分12分）

?ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c。已知a?3,cosA?（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）求?ABC的面积。

（17）【解析】：

（Ⅰ）由题意知：sinA?1?cosA?24. 156?,B?A?. 323， 3 sinB?sin?A? 由正弦定理得：

????6， ?cosA??2?3aba?sinB??b??32 sinAsinBsinA6

（Ⅱ）由余弦定理得：

b2?c2?a26 cosA???c2?43c?9?0?c1?3,c2?33,

2bc3 又因为B?A??2为钝角，所以b?c，即c?3，

所以S方法二：

ABC132?acsinB?. 22

（18）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P?ABCD中，AP?平面PCD,AD//BC,AB?BC?别为线段AD,PC的中点。 （Ⅰ）求证：AP//平面BEF （Ⅱ）求证：BE?平面PAC

【解析】：（Ⅰ）连接AC交BE于点O，连接OF，不妨设AB=BC=1,

则AD=2

1AD,E,F分2?AB?BC,AD//BC,?四边形ABCE为菱形

?O,F分别为AC,PC中点，?OF//AP

又

OF?平面BEF，AP?平面BEF?AP//平面BEF

7

（Ⅱ）?AP?平面PCD，CD?平面PCD,?AP?CD

?BC//ED,BC?ED,?BCDE为平行四边形，?BE//CD,?BE?PA

又?ABCE为菱形，?BE?AC

又?PA?AC?A,PA、AC?平面PAC,?BE?平面PAC

（19）（本小题满分12分）

在等差数列?an?中，已知d?2，a2是a1与a4等比中项. （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）设bn?an?n?1?,记Tn??b1?b2?b3?2???1?bn，求Tn.

n【解析】： （Ⅰ）由题意知：

?an?为等差数列，设an?a1??n?1?d，?a2为a1与a4的等比中项

22?a2?a1?a4且a1?0，即?a1?d??a1?a1?3d?，?d?2 解得：a1?2

?an?2?(n?1)?2?2n

（Ⅱ）由 （Ⅰ）知：an?2n，bn?an(n?1)?n(n?1)

2①当n为偶数时：

Tn???1?2???2?3???3?4?????n?n?1??2??1?3??4??3?5?????n???n?1???n?1???2?2?4?2?6?2????n?2 ?2??2?4?6????n??2?n?nn2?2n2??2?22 ②当n为奇数时：

8

?2??1?3??4??3?5??????n?1????n?2??n??n?n?1? ?2?2?4?2?6?2?????n?1??2?n?n?1?

?2??2?4?6?????n?1???n?n?1??2?n?1?n?12n2?n?n?1????2n?1?2?22方法二：

Tn???1?2???2?3???3?4?????n?n?1?

?n2?2n?1?，n为奇数??2T??2综上：n

?n?2n,n为偶数??2（20）（本小题满分13分） 设函数f?x??alnx?x?1，其中a为常数. x?1（Ⅰ）若a?0，求曲线y?f?x?在点1,f?1?处的切线方程； （Ⅱ）讨论函数f?x?的单调性. 【解析】(1)当a?0时f(x)???x?12,f?(x)? x?1(x?1)2f?(1)?21? 2(1?1)2又?y?f(1)?0?直线过点(1,0)

11x?x?2y?1?0 22，即

(2) f?(x)?a2?(x?0) 2x(x?1) 9

①当a?0时，f?(x)?2恒大于0.f(x)在定义域上单调递增. 2(x?1)a2a(x?1)2?2x②当a?0时，f?(x)??=?0.f(x)在定义域上单调递增. 22x(x?1)x(x?1)ax2?(2a?2)x?af?(x)?令g(x)?ax2?(2a?2)x?a2③当a?0时，x(x?1)

1??(2a?2)2?4a2?8a?4?0,即a??.2

开口向下，f(x)在定义域上单调递减。当?1?(2a?2)?8a?4?a?1?2a?1 ?a?0时，??0.x1,2??22aa2a?21??1??0.且x1x2?1?0 2aa对称轴方程为x???f(x)在(0,?a?1?2a?1?a?1?2a?1?a?1?2a?1)单调递减，(,)单调递增，aaa?a?1+2a?1(，+?)单调递减。a综上所述，a?0时，f(x)在(0,+?)上单调递增1时，f(x)在(0,+?)上单调递减；21?a?1?2a?1?a?1+2a?1 ??a?0时，f(x)在(0,),(，+?)上单调递减，2aaa??(?a?1?2a?1?a?1?2a?1,)单调递增.aa（21）（本小题满分14分）

x2y23 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C:2?2?1?a?b?0?的离心率为，直线

ab2y?x被椭圆C截得的线段长为（Ⅰ）求椭圆C的方程；

410. 5（Ⅱ）过原点的直线与椭圆C交于A,B两点（A,B不是椭圆C的顶点），点D在椭圆C上，且AD?AB，直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.

（i）设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2.证明存在常数?使得k1??k2，并求出?的

10

值；

（ii）求OMN面积的最大值.

3c3c23a2?b23【解析】(1)e???即2=,??a2?4b2 22a2a4a4设直线与椭圆交于p,q两点。不妨设p点为直线和椭圆在第一象限的交点。

又弦长为4102525，?p(,)55544?52?52?1ab联立解得a2?4,b2?1 x22?椭圆方程为?y?1.4方法二：

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