湖南大学高等数学A2试题及答案

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湖南大学期中考试试卷

二 15 三 40 四 16 五 14 六 七 八 九 十 总分 100

课程名称：高等数学A（2）；课程编码： 10015 试卷编号： ；考试时间：120分钟

题 号 应得分 实得分 签 名 一 15 一. 填空题（每小题3分，共15分）

1.方程x2?2y2?2z2?4yz?4?0所表示的二次曲面是 .

?b)= . 2. 若向量(a?3b)?(7a?5b),(a?4b)?(7a?2b),则(a, ?z?x2?y23. 曲线?2在点(1,1,2)的切线的参数方程为 . 2?x?y?2y4. 设u?2xy?z2，则u在点?2,?1,1?处方向导数的最大值为 . 5. 函数f(x)?13展开成(x?1)幂级数，则展开式中(x?1)的系数是 . x?2二. 选择题（每小题3分，共15分） 1. 设有以下命题：①若

??(un?1??2n?1?u2n)收敛，则?un收敛.

n?1?②若

?un?1n收敛，则

?un?1n?1000?un?1收敛. ③若lim?1，则?un发散.

n??un?1n④若

?(un?1?n?vn)收敛，则?un,?vn都收敛.则以上命题中正确的是（ ）

n?1n?1??(A) ①② (B) ②③ (C) ③④ (D) ①④ 2. 直线

?x?2y?1?0x?2?2?y?z与?之间的关系是( ) 2y?z?2?0?(A) 重合 (B) 相交 (C) 异面 (D) 平行

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3. 直线L:xyz??绕z轴旋转而产生的旋转曲面方程为（ ） 326(A) 14z2?36(x2?y2) (B) 13z2?36(x2?y2) (C) 14x2?36(z2?y2) (D) 14x2?36(z2?y2)

?an2n514. 设幂级数?anx与?bnx的收敛半经分别为则幂级数?2x的收敛半经为（ ）与，

33n?1n?1n?1bn?n?n(A) 5 (B)

115 (C) (D) 3535. 设z?z(x,y)由方程f(,)?0确定, 其中f可微, 且fx??0,则x(A) x (B) ?x (C) z (D) ?z 三、解答下列各题（每小题8分，共40分）

yzxx?z?z?y=( ) ?x?y1?2222(x?y)cos, x?y?0;?22x?y1. (8分) 设f(x,y)?? 讨论f(x,y)在(0,0)处

?22?0, x?y?0.（1）偏导数是否存在;（2）偏导数是否连续; (3)是否可微.

.

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2. (8分) 判断两直线L1：

x?1yz?1xy?1z?2???；L2：?是否在同一平面内?112134若在同一平面内, 则求两直线的交点; 若不是在同一平面内, 则求两直线之间的距离.

3. (8分) 设an?

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? n? 0xsinxdx (n?1,2,...)，试判别级数?an敛散性. n3n?1?

?2u?2u?2u4. (8分) 设u?u(x,y)具有二阶连续偏导数，试适当选取a,b的值, 使方程?62??2?0?x?x?y?y?2u经过变换??x?ay,??x?by后化为方程?0.

????

5. (8分) 求函数u?xy?2yz在约束条件x2?y2?z2?10下的最大值和最小值. .

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四、证明下列各题（每小题8分，共16分）

1. 从椭球面外的一点作椭球面的一切可能的切线, 证明全部切点在同一平面上.

2. 已知a,b为两个非零且不共线的向量.令c??a?b,?是实数, 试证: 使得c最小的向量c垂直于a.

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