初等数论期末考试试卷张

初等数论试卷(B)

一，选择题（满分15分，每题3分）

1，下列不正确的是（ ）

A 设m∈N?，a,b∈Z,若a?b(modm)

，则b?a(modm)。

B 设m∈N?，a,b,c∈Z,若a?b?c(modm),则a?c?b(modm).

C 设m∈N?，a1,b1,a2,b2∈Z，,若a1?b1(modm)，a2?b2(modm)，a1a2?b1b2(momd)。

D 设m∈N?，a,b∈Z,若a2?b2(modm) ，则a?b(modm)。

2，下列哪一个为模12互质的剩余类（ ） A [2]，B [5]，C [6]，D [3]。

3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ） A

320，B 760，C 1195，D 100。 4，同余方程x2?2?0(mod5)的解为（ ）

A x?0(mod5)，B x?4(mod5)，C x?2(mod5)，D 此方程无解。 5，下列哪一个同余方程组无解（ ）

?x?9(mod25)?x?4(mod A ?9)? ，B ??

??x?7(mod10)??x?1(mod6)?C ?x?17(mod25)?x?19(mod14)?，D ??。

??x?2(mod45)??x?26(mod7)二，填空题（满分10分，每题2分）

1，当m= 时，32?11(modm)和17?11(modm)同时成立。 2，设m∈N?，则 为模m的非负最小完全剩余系。 3，?(16)? 。

4，写出模8的一个简化剩余系： 。 5，余式x?a(mod5)等价于等式： 。 三，判断题（满分10分，每题2分 ）

则

1，?(m)为欧拉函数，则1??(m)?m?1。 （ ） 2， 设m∈N?，a∈Z，（a,m）=1，若整数集合?a1,a2,......,a?(m)剩余系，则?aa1,aa2,......,aa?(m)?为模m的一个简化

?也为模m的一个简化剩余系。 （ ）

3，模m的完全剩余系只有有限个。 （ ）

?545?的循环节长度为4。 （ ） 4，循环小数0.30145，两整数相等，则必同余。 四，求解题（满分30分 ）

1，用“弃九法”验算下面式子是否正确：

28947?34578?1001865676。（7'）

2，求

711所化成的循环小数的循环节的长度。（7'） 3，求同余方程9x?6(mod15)的所有解。（8'）

?x?2(mod34，求同余方程组?)?x?3(mod5)的解。（8'）

??x?2(mod7)五，证明题（满分25分 ）

1，证明：

对

一

切

正

整

数

x15x5?24x4?32x3?16x2?3x?13?7x5?3x?3(mod8)。（7'） 2，设p,q是两个大于3的质数，证明：p2?q2(mod24).（8'） 3，求证：当n为奇数时，(a?b)(an?bn)。（10'）

初等数论考试试卷1

一、单项选择题(每题3分，共18分) 1、如果ba，ab，则( ).

A a?b B a??b C a?b D a??b 2、如果3n，5n，则15（ ）n.

A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）.

A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果a?b(modm),c是任意整数,则

A ac?bc(modm) B a?b C ac?bc(modm) D a?b

（ 都） 有

，

5、如果( ),则不定方程ax?by?c有解.

A (a,b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、整数5874192能被( )整除.

A 3 B 3与9 C 9 D 3或9

二、填空题(每题3分，共18分)

1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.

2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是( ).

3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( ). 5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( ).

6、如果a,b是两个正整数,则存在( )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b.

三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=?

2、求解不定方程9x?21y?144. 3、解同余式12x?15?0(mod45).

?429???563??,其中563是素数. （8分） 4、求

四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

nn2n3??326是整数. n1、证明对于任意整数,数

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除.

3、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和.

试卷1答案

一、单项选择题(每题3分，共18分)

1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分)

1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.

2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是((a,m)b).

a[]3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为( b ). 4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( 与p互素 ).

5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).

6、如果a,b是两个正整数,则存在( 唯一 )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b.

三、计算题(每题8分，共32分) 1、 求[136,221,391]=?（8分）

136?221,39117解 [136,221,391]=[[136,221],391]=[]=[1768,391] 1768?39117 = =104?391=40664.

2、求解不定方程9x?21y?144.（8分）

3144， 解：因为（9，21）=3，所以有解；化简得3x?7y?48；考虑3x?7y?1，有x??2,y?1，

所以原方程的特解为x??96,y?48，因此，所求的解是x??96?7t,y?48?3t,t?Z。 3、解同余式12x?15?0(mod45). （8分）

解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于

4x?5?0(mod15),即4x?5?15y.

我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的

x0?10.

因此同余式的3个解为

x?10(mod45),

x?10?4545(mod45)?25(mod45)x?10?2?(mod45)?40(mod45)33,.

?429???563?,其中563是素数. （8分） 4、求??429???563??看成Jacobi符号,我们有 解 把

429?1563?1.22?429????(?1)563???563???429??4292?18?563??134??2??67?????????????(?1)?429??429??429??429??67???????(?1)?429??27???????(?1)?67?67?1429?1.22?67????429?---------------（3

分）

?429??429????????67??67?----------------------（2分）

27?167?1.22?67??67???????27??27??13?????(?1)?27?27?113?1.22?27??1???????1?13??13?,-----------------（2分）

即429是563的平方剩余. ---------------（1分）

四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

nn2n3??326是整数. (10分) 1、证明对于任意整数n,数

nn2n3n1(2?3n?n2)n(n?1)(n?2)??66326 证明 因为==, ------（3分）

而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分）

并且(2,3)=1, -----（1分） 所以从

2n(n?1)(n?2)和

3n(n?1)(n?2)有

6n(n?1)(n?2),-----（3分）

nn2n3??326是整数. -----（1分） 即

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）

332(n?1)?n?3n?3n?1, -------------（3分） 证明 因为

2所以只需证明3n?3n?1?(mod5).

而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,

2所以这只需将n=0,±1,±2代入3n?3n?1分别得值1，7，1，19，7. 2对于模5, 3n?3n?1的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,

2所以3n?3n?1?(mod5) ---------（7分）

所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 --------（1分）

3、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和. （11分）

证明 设n是正数,并且n??1(mod4), ----------（3分）

如果

n?x2?y2, ---------（1分）

则因为对于模4,x,y只与0,1,2,-1等同余, 所以x,y只能与0,1同余, 所以

22x2?y2?0,1,2(mod4), ---------（4分）

而这与n??1(mod4)的假设不符, ---------（2分） 即定理的结论成立. ------（1分） 一、单项选择题

1、(0,b)?（C ）.A b B ?b C b D 0

2、如果ba，ab，则(D ).A a?b B a??b C a?b D a??b 3、如果(a,b)?1，则(ab,a?b)=（C ）.A a B b C 1 D a?b 4、小于30的素数的个数（A ）.A 10 B 9 C 8 D 7

5、大于10且小于30的素数有（ C ）.A 4个 B 5个 C 6个 D 7个 6、如果3n，5n，则15（A ）n.A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 7、在整数中正素数的个数（C ）.A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 二、计算题

1、 求24871与3468的最大公因数?

解： 24871=3468?7+595 3468=595?5+493 595=493?1+102 493=102?4+85

102=85?1+17 85=17?5,所以,(24871,3468)=17. 2、 求[24871,3468]=?

解：因为（24871,3468）=17 所以 [24871,3468]= 5073684。

3、求[136,221,391]=?

解： [136,221,391]=[[136,221],391]=[=

24871?3468=5073684 所以24871与3468的最小公倍数是

17136?221,391]=[1768,391] 171768?391=104?391=40664.

17三、证明题

1、如果a,b是两个整数,b?0,则存在唯一的整数对q,r,使得a?bq?r,其中0?r?b. 证明 ：首先证明唯一性.设q?,r?是满足条件的另外整数对,即

a?bq??r?,0?r??b.

所以bq??r??bq?r,即b?q??q??r?r?,bq??q?r?r?.又由于

0?r?b,0?r??b,所以r?r??b.如果q?q?,则等式bq??q?r?r?不可能成立.

因此q?q?,r?r?.

其次证明存在性.我们考虑整数的有序列

??,?3b,?2b,?b,0,b,2b,3b,??

则整数a应介于上面有序列的某两数之间,即存在一整数q使

qb?a??q?1?b.

我们设r?a?qb,则有a?bq?r,0?r?b.

nn2n3?2、证明对于任意整数n,数?是整数. 3261nn2n3n2?证明： 因为?=(2?3n?n)=n(n?1)(n?2),

63266而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数,

并且(2,3)=1, 所以从2n(n?1)(n?2)和3n(n?1)(n?2)有6n(n?1)(n?2),

nn2n3?即?是整数.

326

3、任意一个n位数anan?1?a2a1与其按逆字码排列得到的数a1a2?an?1an的差必是9的倍数.

证明： 因为

anan?1?a2a1?an?10n?1?an?1?10n?2???a2?10?a1, a1a2?an?1an=a1?10n?1?a2?10n?2???an?1?10?an,

所以,anan?1?a2a1-a1a2?an?1an=

an?(10n?1?1)?an?1?10(10n?3?1)???a2?10(1?10n?3)?a1(1?10).n?1

而上面等式右边的每一项均是9的倍数, 于是所证明的结论成立.

4、证明相邻两个偶数的乘积是8的倍数.

证明: 设相邻两个偶数分别为2n,(2n?2) 所以2n(2n?2)=4n(n?1) 而且两个连续整数的乘积是2的倍数 即4n(n?1)是8的倍数.

一、单项选择题

1、如果( A ),则不定方程ax?by?c有解. A (a,b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 2、不定方程525x?231y?210（A ）.

A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 二、求解不定方程 1、9x?21y?144.

解：因为（9，21）=3，3144，所以有解；

化简得3x?7y?48；

考虑3x?7y?1，有x??2,y?1， 所以原方程的特解为x??96,y?48， 因此，所求的解是x??96?7t,y?48?3t,t?Z。

2、6x?17y?18.

解：因为 (6,17)18,所以有解; 考虑6x?17y?1,x?3,y?1; 所以x?54,y?18是特解, 即原方程的解是

x?54?17t,y?18?6t

3、107x?37y?25.

解：因为（107，37）=125，所以有解；

考虑107x?37y?1，

有x?9,y??26，

所以，原方程特解为x?9?25=225，y??26?25=-650， 所以通解为x?225?37t,y??650?107t

4.求不定方程25x?13y?7z?4的整数解.

解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解

25x+13y=t, t+7z=4.

利用求二元一次不定方程的方法,因为

25(-t)+13(2t)= t, 32+7?(-4)=4,

所以,上面两个方程的解分别为

?t?32?7k2?x??t?13k1 , ?. ?z??4?ky?2t?25k2?1?消去t就得到所求的解

?x??32?13k1?7k2??y?64?25k1?14k2, ?z??4?k2?这里k1,k2是任意整数.

5.求不定方程4x?9y?5z?8的整数解.

解 我们将它分为两个二元一次不定方程来求解

4x-9y=t, t+5z=8.

利用求二元一次不定方程的方法,因为

4(-2t)-9(-t)= t, 48+5?(-8)=8,

所以,上面两个方程的解分别为

?t?48?5k2?x??2t?9k1 , ?. ?z??8?k2??y??t?4k1消去t就得到所求的解

?x??96?9k1?10k2??y??48?4k1?5k2, ?z??8?k2?这里k1,k2是任意整数.

一、选择题

1、整数5874192能被( B )整除. A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 2、整数637693能被(C )整除. A 3 B 5 C 7 D 9

3、模5的最小非负完全剩余系是( D ).

A -2,-1,0,1,2 B -5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5 D 0,1,2,3,4 4、如果a?b(modm),c是任意整数,则（A ）

A ac?bc(modm) B a?b C ac?bc(modm) D a?b

二、解同余式（组） （1）45x?21(mod132).

解 因为(45,132)=3|21,所以同余式有3个解.

将同余式化简为等价的同余方程15x?7(mod44).我们再解不定方程15x?44y?7,

得到一解(21,7).于是定理4.1中的x0?21.因此同余式的3个解为

x?21(mod132),

x?21?1323(mod132)?65(mod132), x?21?2?1323(mod132)?109(mod132).

（2）12x?15?0(mod45)

解 因为(12,45)=3|15,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于4x?5?0(mod15),即4x?5?15y. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是(10,3), 即定理4.1中的x0?10. 因此同余式的3个解为

x?10(mod45), x?10?453(mod45)?25(mod45), x?10?2?453(mod45)?40(mod45).

（3）111x?75(mod321). 解 因为(111,321)=3|75,所以同余式有3个解.

将同余式化简为等价的同余方程37x?25(mod107).

我们再解不定方程37x?107y?25,得到一解(-8,3).

于是定理4.1中的x0??8. 因此同余式的3个解为x??8(mod321), x??8?3213(mod321)?99(mod321), x??8?2?3213(mod321)?206(mod321).

?x?1(mod7)?（4）?x?2(mod8).

?x?3(mod9)?解 因为(7,8,9)=1,所以可以利用定理5.1.我们先解同余式

72x?1(mod7),63x?1(mod8),56x?1(mod9),

得到x1?4(mod7),x2??1(mod8),x3??4(mod9).于是所求的解为

x?72?4?1?63?(?1)?2?56?(?4)?3(mod494)

??510(mod494)?478(mod494).

?x?1(mod2)?x?2(mod5)?（5）?.

?x?3(mod7)??x?5(mod9) (参考上题)

三、证明题

1、 如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数. 证明 设a是一正整数,并将a写成10进位数的形式:

a=an10n?an?110n?1??a0,0?ai10.

因为10?0(mod5), 所以我们得到

a?a0(mod5) 所以整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.

2、证明当n是奇数时，有3(2n?1). 证明 因为2??1(mod3),所以

2n?1?(?1)n?1(mod3).

于是,当n是奇数时,我们可以令n?2k?1. 从而有2?1?(?1)nn2k?1?1?0(mod3),

即3(2?1).

初等数论考试试卷1

一、单项选择题(每题3分，共18分)

1、如果ba，ab，则( ).

A a?b B a??b C a?b D a??b 2、如果3n，5n，则15（ ）n.

A 整除 B 不整除 C 等于 D不一定 3、在整数中正素数的个数（ ）.

A 有1个 B 有限多 C 无限多 D 不一定 4、如果a?b(modm),c是任意整数,则

A ac?bc(modm) B a?b C ac?bc(modm) D a?b 5、如果( ),则不定方程ax?by?c有解.

A (a,b)c B c(a,b) C ac D (a,b)a 6、整数5874192能被( )整除.

A 3 B 3与9 C 9 D 3或9

二、填空题(每题3分，共18分)

1、素数写成两个平方数和的方法是（ ）.

2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是( ).

3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为( ). 4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( ). 5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( ).

6、如果a,b是两个正整数,则存在( )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b.

三、计算题(每题8分，共32分) 1、求[136,221,391]=?

2、求解不定方程9x?21y?144. 3、解同余式12x?15?0(mod45).

?429???563?,其中563是素数. （8分） 4、求?

四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

nn2n3??326是整数. 1、证明对于任意整数n,数

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. 3、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和. 试卷1答案

一、单项选择题(每题3分，共18分)

1、D. 2、A 3、C 4、A 5、A 6、B 二、填空题(每题3分，共18分)

1、素数写成两个平方数和的方法是（唯一的）.

2、同余式ax?b?0(modm)有解的充分必要条件是((a,m)b).

a[]3、如果a,b是两个正整数,则不大于a而为b的倍数的正整数的个数为( b ). 4、如果p是素数,a是任意一个整数,则a被p整除或者( 与p互素 ).

5、a,b的公倍数是它们最小公倍数的( 倍数 ).

6、如果a,b是两个正整数,则存在( 唯一 )整数q,r,使a?bq?r,0?r?b.

三、计算题(每题8分，共32分) 2、 求[136,221,391]=?（8分）

136?2211768?391,3911717解 [136,221,391]=[[136,221],391]=[]=[1768,391] =

=104?391=40664.

2、求解不定方程9x?21y?144.（8分）

3144， 解：因为（9，21）=3，所以有解；化简得3x?7y?48；考虑3x?7y?1，有x??2,y?1，

所以原方程的特解为x??96,y?48，因此，所求的解是x??96?7t,y?48?3t,t?Z。 3、解同余式12x?15?0(mod45).

解 因为(12,45)=3|5,所以同余式有解,而且解的个数为3. 又同余式等价于

4x?5?0(mod15),即4x?5?15y. 我们利用解不定方程的方法得到它的一个解是

(10,3)即定理4.1中的

x0?10. 因此同余式的3个解为

x?10?45(mod45)?25(mod45)3,

x?10(mod45),

x?10?2?45(mod45)?40(mod45)3.

?429???563?,其中563是素数. （8分） 4、求?

?429???解 把?563?看成Jacobi符号,我们有

?429????(?1)?563?429?1563?1.22?563????429?4292?18?563??134??2??67?????????????(?1)429429429429?????????67???????(?1)?429??27???????(?1)?67?67?1429?1.22?67???429??---------------（3

分）

?429??429????????67??67?----------------------（2分）

27?167?1.22?67??67???????27??27??13?????(?1)?27?27?113?1.22?27??1???????1?13??13?,-----------------（2分）

即429是563的平方剩余. ---------------（1分）

四、证明题(第1小题10分，第2小题11分，第3小题11分，共32分)

nn2n3??326是整数. (10分) n1、证明对于任意整数,数

nn2n3n1(2?3n?n2)n(n?1)(n?2)??26=6 证明 因为3=6, ------（3分）

而且两个连续整数的乘积是2的倍数,3个连续整数的乘积是3的倍数, -----（2分）

并且(2,3)=1, -----（1分） 所以从

2n(n?1)(n?2)和

3n(n?1)(n?2)有

6n(n?1)(n?2),-----（3分）

nn2n3??26是整数. -----（1分） 即3

2、证明相邻两个整数的立方之差不能被5整除. （11分）

332(n?1)?n?3n?3n?1, -------------（3分） 证明 因为

2所以只需证明3n?3n?1?(mod5).

而我们知道模5的完全剩余系由-2,-1,0,1,2构成,

2所以这只需将n=0,±1,±2代入3n?3n?1分别得值1，7，1，19，7. 2对于模5, 3n?3n?1的值1，7，1，19，7只与1，2，4等同余,

2所以3n?3n?1?(mod5) ---------（7分）

所以相邻两个整数的立方之差不能被5整除。 --------（1分）

3、证明形如4n?1的整数不能写成两个平方数的和. （11分）

22n??1(mod4)n?x?yn 证明 设是正数,并且, 如果,则因为对于模

2222x,yx?y?0,1,2(mod4), x,y4,只与0,1,2,-1等同余,所以只能与0,1同余,所以

而这与n??1(mod4)的假设不符, 即定理的结论成立.

初等数论考试试卷二

一、单项选择题

1、(0,b)?（ ）.A b B ?b C b D 0

2、如果(a,b)?1，则(ab,a?b)=（ ）.A a B b C 1 D a?b

3、小于30的素数的个数（ ）.A 10 B 9 C 8 D 7

4、如果a?b(modm),c是任意整数,则A ac?bc(modm) B a?b C ac?bc(modm) D a?b

5、不定方程525x?231y?210（ ）.A 有解 B 无解 C 有正数解 D 有负数解 6、整数5874192能被( )整除.A 3 B 3与9 C 9 D 3或9 7、如果ba，ab，则( ).A a?b B a??b C a?b D a??b

8、公因数是最大公因数的（ ）.A 因数 B 倍数 C 相等 D不确定 9、大于20且小于40的素数有（ ）.A 4个 B 5个 C 2个 D 3个

10、模7的最小非负完全剩余系是( ).A -3，-2,-1,0,1,2，3 B -6，-5,-4,-3,-2,-1 C 1,2,3,4,5，6 D 0,1,2,3,4，5，6

11、因为( ),所以不定方程12x?15y?7没有解.A [12，15]不整除7 B （12，15）不整除7

C 7不整除（12，15） D 7不整除[12，15]12、同余式x2?438(mod593)（ ）. A 有解 B 无解 C 无法确定 D 有无限个解 二、填空题

a，0?a?b,(a,b)?1，能写成循环小数的条件是（ ）. b2、同余式12x?15?0(mod45)有解，而且解的个数为( ).

1、有理数

3、不大于545而为13的倍数的正整数的个数为( ).

4、设n是一正整数，Euler函数?(n)表示所有( )n，而且与n（ ）的正整数的个数. 5、设a,b整数，则(a,b)（ ）=ab.

6、一个整数能被3整除的充分必要条件是它的（ ）数码的和能被3整除. 7、x?[x]?（ ）.

)有解,而且解的个数( ). 8、同余式111x?75(mod3219、在176与545之间有( )是17的倍数.

10、如果ab?0,则[a,b](a,b)=( ). 11、a,b的最小公倍数是它们公倍数的( ). 12、如果(a,b)?1,那么(ab,a?b)=( ).

三、计算题

1、求24871与3468的最小公倍数?

2、求解不定方程107x?37y?25.（8分） 3、求??429??,其中563是素数. （8分） 563??).（8分） 4、解同余式111x?75(mod3215、求[525,231]=?

6、求解不定方程6x?11y?18.

7、判断同余式x2?365(mod1847)是否有解？ 8、求11的平方剩余与平方非剩余.

四、证明题

1、任意一个n位数anan?1?a2a1与其按逆字码排列得到的数a1a2?an?1an的差必是9的倍数.（11分）

2、证明当n是奇数时，有3(2n?1).（10分）

3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分） 4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.

5、如果a,b是两个整数,b?0,则存在唯一的整数对q,r,使得a?bq?r,其中0?r?b.

三、计算题

1、求24871与3468的最小公倍数?

2、求解不定方程107x?37y?25.（8分） 3、求??429??,其中563是素数. （8分） 563??).（8分） 4、解同余式111x?75(mod3215、求[525,231]=?

6、求解不定方程6x?11y?18.

7、判断同余式x2?365(mod1847)是否有解？ 8、求11的平方剩余与平方非剩余.

四、证明题

1、任意一个n位数anan?1?a2a1与其按逆字码排列得到的数a1a2?an?1an的差必是9的倍数.（11分）

2、证明当n是奇数时，有3(2n?1).（10分）

3、一个能表成两个平方数和的数与一个平方数的乘积,仍然是两个平方数的和;两个能表成两个平方数和的数的乘积,也是一个两个平方数和的数.（11分） 4、如果整数a的个位数是5,则该数是5的倍数.

5、如果a,b是两个整数,b?0,则存在唯一的整数对q,r,使得a?bq?r,其中0?r?b.

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