广东省高三上学期期末数学(理)试题(含解析)

第 1 页 共 19 页 广东省高三上学期期末数学（理）试题

一、单选题

1．集合{}2|560A x x x =-+≥，{}|210B x x =->，则A B =（ ） A ．(][),23,-∞?+∞ B ．1,32?? ???

C ．1,32

?? ??? D ．[)1,23,2???+∞ ???

【答案】D

【解析】由题意得{}

{}{}21|560|23,2102A x x x x x x B x x x x ??=-+≥=≤≥=-=????或， ∴1|232A B x x x ?

??=<≤≥????

或．选D ． 2．已知i 是虚数单位，复数z 满足

132z i i i ?=-+，则3z +=（ ） A

．B

．C

D ．5 【答案】A 【解析】利用复数乘法和除法运算求得z ，进而求得3z +的模.

【详解】

依题意()()()()()

3215515i i i i i z i i i i i +----====--?-，所以

325z i +=-==故选：A

【点睛】

本小题主要考查复数乘法和除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题. 3．计算sin133cos197cos47cos73??+??的结果为（ ） A ．12 B ．12-

C D

． 【答案】B

【解析】先用诱导公式将sin133cos197cos47cos73??+??化为

第 2 页 共 19 页 cos47cos73+sin 43sin17-????，然后用余弦的差角公式逆用即可.

【详解】

sin133cos197cos47cos73??+??cos43cos17+sin 43sin17=-???? 1cos 43cos17sin 43sin17)co (s602

=??-??=-?--= 故选：B

【点睛】

本题考查诱导公式和和角的三角函数公式的应用，属于基础题.

4．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不垂直的是( )

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】D

【解析】由中位线定理和异面直线所成角，以及线面垂直的判定定理，即可得到正确结论．

【详解】

解：对于A ，AB 为体对角线，MN ，MQ ，NQ 分别为棱的中点，由中位线定理可得它们平行于所对应的面对角线，连接另一条面对角线，由线面垂直的判定可得AB 垂直于MN ，MQ ，NQ ，可得AB 垂直于平面MNQ ；

对于B ，AB 为上底面的对角线，显然AB 垂直于MN ，与AB 相对的下底面的面对角线平行，且与直线NQ 垂直，可得AB 垂直于平面MNQ ；

对于C ，AB 为前面的面对角线，显然AB 垂直于MN ，QN 在下底面且与棱平行，此棱垂直于AB 所在的面，即有AB 垂直于QN ，可得AB 垂直于平面MNQ ；

对于D ，AB 为上底面的对角线，MN 平行于前面的一条对角线，此对角线与AB 所成角为60，

则AB 不垂直于平面MNQ ．

第 3 页 共 19 页 故选：D ．

【点睛】

本题考查空间线面垂直的判定定理，考查空间线线的位置关系，以及空间想象能力和推理能力，属于基础题．

5．若61014log 3,log 5,log 7a b c ===,则( )

A ．a b c >>

B ．b c a >>

C ．a c b >>

D ．c b a >> 【答案】D

【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是2，因此三者可化为()1f x x x =+的形式，该函数为()

0,∞+上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.

详解：22log 31log 3a =+，22log 51log 5b =+，22log 71log 7

c =+， 令()11,011

x f x x x x ==->++，则()f x 在()0,∞+上是单调增函数. 又2220log 3log 5log 7<<<，所以

()()()222log 3log 5log 7f f f <<即a b c <<.故选D.

点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.

6．已知,x y 满足不等式组240,20,30,x y x y y +-≥??--≤??-≤?

则1z x y =+-的最小值为（ ）

A ．2

B ．22

C ．2

D ．1

【答案】D

【解析】不等式组对应的可行域如图所示，

因为

1

2,

2

x y

z

+-=

?所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的2倍，由可行域可知点A（2,0）到直线x+y-1=0的距离最短，故min 1.

z=故选D.

点睛：本题的关键是找到1

z x y

=+-的几何意义，要找到1

z x y

=+-的几何意义，必须变形，

1

2,

2

x y

z

+-

=?所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的2倍.突破了这一点，后面的解答就迎刃而解了.

7．电路从A到B上共连接着6个灯泡（如图），每个灯泡断路的概率为

1

3

，整个电路的连通与否取决于灯泡是否断路，则从A到B连通的概率是（）

A．

10

27

B．

448

729

C．

100

243

D．

40

81

【答案】B

【解析】先求,A C连通的概率，再求,B D连通的概率，然后求,A B连通的概率.

【详解】

先考虑,A C没有连通的情况，即连个灯泡都断路，则其概率为

111

339

P=?=.

所以,A C连通的概率

18

=1

99

P-=.

,E F连通，则两个灯泡都没有断路，则其概率为

224

339

P=?=,

所以,E F没有连通的概率为：

45

=1

99

P-=.

则,B D之间没有连通的概率

5525

=

9981

P=?

所以,B D连通的概率

2556

1

8181

P=-=，

所以,A B连通的概率.

568448

=

819729

P=?

故选：B

【点睛】

本题考查概率的求法，注意并联电路和串联电路的性质的合理运用．解题时要认真分析，属于基础题.

8．有5名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲必须站在正中间，并且乙、丙两位同学

第 4 页共 19 页

第 5 页 共 19 页 不能相邻，则不同的站法有（ ）

A ．8种

B ．16种

C ．32种

D ．48种 【答案】B

【解析】首先将甲排在中间，乙、丙两位同学不能相邻，则两人必须站在甲的两侧， 选出一人排在左侧，有：1122C A 种方法，

另外一人排在右侧，有12A 种方法，

余下两人排在余下的两个空，有2

2A 种方法，

综上可得：不同的站法有1112222216C A A A =种. 本题选择B 选项.

9．已知函数()()sin 0,0,02f x A x A πω?ω??

?=+>><< ???

的最小正周期是π，若()1f α=，则32f πα??+= ??

?（ ） A ．12 B ．12-

C ．1

D ．-1 【答案】D

【解析】根据()f x 的最小正周期求得ω，由()1f α=列方程，利用诱导公式求得

32f πα??+ ??

?

. 【详解】 由于()f x 的最小正周期为π，所以()2π

π0T ωω==>，所以2ω=.所以

()()sin 2f x A x ?=+.由()1f α=得()()sin 21f A αα?=+=.所以

[]()33sin 2sin 23πsin 2122f A A A ππαα?α?α???????+=++=++=-+=- ? ????

?????

. 故选：D

【点睛】

本小题主要考查根据三角函数的周期求参数，考查诱导公式，属于基础题.

10．我国古代数学名著《九章算术》中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的

第 6 页 共 19 页 四棱锥.现有一如图所示的堑堵，AC BC ⊥，若12AA AB ==，当阳马11B A ACC -体积最大时，则堑堵111ABC A B C -的外接球体积为（ ）

A ．22π

B 82

C ．23

D ．2π

【答案】B 【解析】根据11B A ACC -体积的最大值求得此时,AC BC 的长，判断出球心的位置，求得111ABC A B C -的外接球的半径，进而求得球的体积.

【详解】

依题意可知BC ⊥平面11ACC A .设,AC a BC b ==，则

2224a b AB +==.111111323

B A AC

C V AC AA BC AC BC -=????=??22114232323

AC BC +≤?=?=，当且仅当2AC BC ==.依题意可知1111,,A BC A BA A BB ???是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B ，故半径221111222

OB A B AA AB ==+=所以外接球的体积为34π82π233

?=. 特别说明：由于BC ⊥平面11ACC A ，1111,,A BC A BA A BB ???是以1A B 为斜边的直角三角形，所以堑堵111ABC A B C -外接球的直径为1A B 为定值，即无论阳马11B A ACC -体积是否取得最大值，堑堵111ABC A B C -外接球保持不变，所以可以直接由直径1A B 的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.

故选：B

第 7 页 共 19 页

【点睛】

本小题主要考查几何体外接球的体积的求法，考查四棱锥体积最大值的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查中国古代数学文化，属于基础题.

11．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2233S a S +=-，则423a a +的最小值为（ ）

A ．9

B ．12

C ．16

D ．18

【答案】D

【解析】将已知条件转化为1,a q 的形式，结合基本不等式求得423a a +的最小值.

【详解】

由2233S a S +=-得232333a S S a =--=-，所以2111233,01a q a q a q q q

=-=>?>-.所以423a a +()()

323112333331q q q a q a q q q q ++=+==--()()21214

31

q q q -+-+=?-()43161q q ??=-++??-??()43216181q q ≥?-?=-.当且仅当41311

q q q -=?=>-时取得最小值. 故选：D

【点睛】

本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法属于中档题.

12．若关于x 的方程0x x x x e m e x e

++=-有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m R ∈， 2.718e =为自然对数的底数，则

第 8 页 共 19 页 3122312111x x x x x x

e e e ??????--- ? ?????????

的值为（ ） A ．e

B ．1m -

C ．1m +

D ．1 【答案】D

【解析】设x x t e =即101t m t ++=-所以2(1)10t m t m +-+-=,令g()x

x x e =,求出导数，讨论其单调性，画出图像，结合图像可得关于t 的方程2(1)10t m t m +-+-=一定

有两个不等的实数根12,t t ，且120t t <<，且则

31231212,x x x x x x t t e e e

===即可求解. 【详解】 由方程0x

x x x e m e x e ++=-，有101x x

x m x e e ++=- 设x x t e =即101

t m t ++=- 所以2(1)10t m t m +-+-=

令g()x x x e

= ，则1()x x g x e '-= 所以g()x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减,

且g(0)0=，1(1)g e

=，当0x >时，()0>g x 其大致图像如下.

要使关于x 的方程0x x x x e m e x e

++=-有三个不相等的实数解1x ，2x ，3x ， 且1230x x x <<<.

结合图像可得关于t 的方程2(1)10t m t m +-+-=一定有两个不等的实数根12,t t 且120t t <<, 12121,1t t m t t m +=-?=-

则3

1231212,x x x x x x t t e e e ===. 所以

第 9 页 共 19 页 ()()3122

2231212111=11x x x x x x t t e e e ??????----- ? ????????? ()()()2212121211][+1][t t t t t t -+=--=

2[1(1)+1]1m m =---=

故选：D

【点睛】

本题考查了函数与方程思想、数形结合思想，考查转化思想，是一道综合题．属于难题.

二、填空题

13．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，则：13S =__________.

【答案】52

【解析】利用根与系数关系，等差数列前n 项和公式，求得13S 的值.

【详解】

由于4a ，10a 是方程2810x x -+=的两根，所以4108a a +=，所以

11341013813131352222

a a a a S ++=?=?=?=. 故答案为：52

【点睛】

本小题主要考查根与系数关系，考查等差数列前n 项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.

14．已知向量a 与b 的夹角是

56π，且a a b =+，则向量a 与a b +的夹角是_____. 【答案】23π 【解析】首先根据a a b =+，求得3b a =，由此利用夹角公式计算出向量a 与a b +的夹角的余弦值，由此求得向量a 与a b +的夹角. 【详解】

由a a b =+两边平方并化简得2222

2,20a a a b b a b b =+?+?+=，即25π2cos 06a b b ??+=，即3b a =.所以

第 10 页 共 19 页 ()cos ,a a b a a b a a b ?++=?+2225πcos 61a b a a b

a a ??+?==+31122

=-=-，由于[],0,πa a b +∈，所以2π,3a a b +=

. 故答案为：

2π3

【点睛】 本小题主要考查向量模、数量积的运算，考查向量夹角公式，考查运算求解能力，属于中档题.

15．已知()()()()()921120121112111x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则1211a a a ++

+的值为 .

【答案】2 【解析】试题分析：令1=x ，得()012a =-?，令2=x ，得()

1132102012a a a a a ++++=?+， 联立得：211321=+++a a a a ，故答案为2.

【考点】二项式定理的应用.

【方法点晴】本题考查二项式定理应用之通过赋值法求展开式的系数和问题，属于常规题，难度中等；常见的通法是通过赋值使得多项式中的()1-x 变为0和1，在本题中要使01=-x 即给等式中的x 赋值1，求出展开式的常数项0a ；要使11=-x 即给等式中x 赋值2求出展开式的各项系数和即113210a a a a a ++++，两式相减得到要求的值．

16．已知函数()2x x

x x e e f x e e

---=++，若有()(2)4f a f a +->，则实数a 的取值范围是__________．

【答案】()1,+∞

【解析】∵222221(1)22()2223111

x x x x x x x x x e e e e f x e e e e e ----+-=+=+=+=-++++， ∴函数()f x 在R 上为增函数，

由题意得()()2(2)4x x x x

x x x x e e e e f x f x e e e e

-------+=+++=++， ∴()4()f x f x =--，

第 11 页 共 19 页 ∵()()24f a f a +->，

∴()()42(2)f a f a f a >--=-。

∴2a a >-，解得1a >。

∴实数a 的取值范围是()1,+∞。

答案：()1,+∞

点睛：本题考查了用函数单调性解不等式的问题，同时也考查了学生观察问题分析问题的能力，由题意得到()4()f x f x =--是解题的关键，在此基础上将不等式化为()f a >

(2)f a -的形式，下一步需要由函数的单调性求解，在分析可得函数

()2x x

x x e e f x e e

---=++为增函数，所以根据单调性的定义将函数不等式转化为一般不等式求解。

三、解答题

17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，121n n a a +=+.

（1）证明{}1n a +为等比数列；

（2）判断n ，n a ，n S 是否成等差数列？并说明理由.

【答案】（1）证明见解析 （2）成等差数列，理由见解析

【解析】（1）由递推关系求得1a ，通过计算1121

n n a a ++=+，证得数列{}1n a +为等比数列. （2）由（1）求得数列{}n a 的通项公式，由分组求和法求得n S ，证得2n n n S a +=，所以n ，n a ，n S 成等差数列.

【详解】

（1）证明：∵23a =，2121a a =+，∴11a =，

由题意得10n a +≠，1122211

n n n n a a a a +++==++， ∴{}1n a +是首项为2，公比为2的等比数列.

（2）由（1）12n n a +=，∴21n n a =-.

第 12 页 共 19 页 ∴1

1222212

n n n S n n ++-=-=---， ∴()12222210n n n n n S a n n ++-=+----=，

∴2n n n S a +=，即n ，n a ，n S 成等差数列.

【点睛】

本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查分组求和法，考查等差数列的证明，属于基础题.

18．已知ABC ?的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .

（1）若cos :cos :cos 2:2:7A B C =，求sin B ；

（2）若sin :cos :tan 2:2:7A B A =，试判断ABC ?的形状.

【答案】（1

）sin B = （2）直角三角形 【解析】（1）利用余弦定理将已知条件转化为边的形式，求得2

a c =，再利用余弦定理求得cos B 的值，结合同角三角函数的基本关系式求得sin B 的值.

（2）结合已知条件得到sin cos A B =，2tan 7sin A A =， 结合A 为锐角，求得π2

A B +=，由此证得三角形ABC 是直角三角形. 【详解】

（1）∵cos :cos :cos 2:2:7A B C =，

∴a b =，222222

:2:722b c a a b c bc ab

+-+-=， ∴222

2

2:2:722c a c ac a -=， ∴224720a ac c --=，

∴()()420a c a c +-=， ∴2

a c =或4c a =-（舍去）， ∴2221cos 24

a c

b B a

c +-==，

∴sin B ==. （2）∵sin :cos :tan 2:2:7A B A =，

第 13 页 共 19 页 ∴sin cos A B =，2tan 7sin A A =， ∴2A B π+

=或2A B π-=，2cos 07A =>，A 为锐角. ∴2A B π-=

（舍去）， ∴2

A B π

+=， ∴ABC ?为直角三角形.

【点睛】

本小题主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.

19．如图，在三棱台ABC DEF -中，二面角B AD C --是直二面角，AB AC ⊥，3AB =，112

AD DF FC AC ====．

（1）求证：AB ⊥平面ACFD ；

（2）求二面角F BE D --的平面角的余弦值．

【答案】（1）见解析；（23【解析】分析：（1）由勾股定理可得CD AD ⊥，由面面垂直的性质可得CD ⊥平面ABED ，从而可得AB CD ⊥，结合AB AC ⊥，由线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面ACFD ；（2）在平面ACFD 内，过点A 作AH AC ⊥，由（1）可知AB AH ⊥，以A 为原点，AB ，AC ，AH 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，330,22

CD =-（是平面BED 的一个法向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面FBE 的一个法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

详解：（1）连接CD ，在等腰梯形ACFD 中，过D 作DG AC ⊥交AC 于点G ，因为112AD DF FC AC ====，所以12AG =，32

DG =，32CG =，所以3CD =所以222AD CD AC +=，即CD AD ⊥，又二面角B AD C --是直二面角，CD ?平

第 14 页 共 19 页 面ACFD ，所以CD ⊥平面ABED ，

又AB ?平面ABED ，所以AB CD ⊥，又因为AB AC ⊥，AC CD C ?=，AC 、CD ?平面ACFD ，所以AB ⊥平面ACFD ．

（2）如图，在平面ACFD 内，过点A 作AH AC ⊥，由（1）可知AB AH ⊥，以A 为原点，AB ，AC ，AH 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系A xyz -．

则3,0,0B （），130,2D （，3302F （，，，0,2,0C （）， 所以=3,2,0)BC -（，130,2CF ?

=- ??

，设(),,n x y z =是平面FBE 的一个法向量，则n BC n CF

?⊥?⊥?，所以32030x y y z -+=???-+=??， 取2x =，则3y =，3z =

即=(2,3,3)n ，

由（1）可知CD ⊥平面BED ， 所以330,2CD =-（是平面BED 的一个法向量， 所以cos ,n CD

n CD n CD ?=? 34

43==-， 又二面角F BE D --的平面角为锐角，

所以二面角F BE D --的平面角的余弦值为3 点睛：本题主要考查证明线面垂直、利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直

第 15 页 共 19 页 数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.

20．已知函数()()2

x f x e ex ax a R =-+∈. （1）若()f x 在()0,1上单调，求a 的取值范围.

（2）若()ln y f x ex x =+的图像恒在x 轴上方，求a 的取值范围.

【答案】（1）(][),1,e -∞-+∞ （2）()0,∞+

【解析】(1)求出()2x f x e ex a '=-+，()f x 在()0,1上单调，则()0f x '≥或

()0f x '≤在()0,1上恒成立，只需要讨论出函数()f x '在()0,1上的单调性，求出其最值即可.

(2) ()ln y f x ex x =+的图像恒在x 轴上方,即ln x e a ex e x x

>--在()0,x ∈+∞上恒成立，设()ln x

e h x ex e x x

=--，再对函数()h x 求导讨论出在()0,∞+的单调性，求出其最大值即可.

【详解】

（1）由题意得x ∈R ，()()2x f x e ex a a R '=-+∈.

()f x 在()0,1上单调，即()()2x f x e ex a a R '=-+∈在()0,1上大于等于0或者小于等于0恒成立.

令()()2x g x e ex a a R =-+∈，则()2x

g x e e '=-.()0g x '=时，ln 2x e =. 当01ln 2x e <<<时，()0g x '<，∴()g x 在()0,1上单调递减，

∴由题意得()10g ≥，或()00g ≤.

∴a 的取值范围是(][),1,e -∞-+∞.

（2）2ln x y e ex ax ex x =-++的图像恒在x 轴上方，也即当()0,x ∈+∞时，0y >恒成立. 也即ln x

e a ex e x x

>--在()0,x ∈+∞上恒成立. 令()ln x e h x ex e x x =--，()()()

()22211x x ex e x ex ex e x x h x x -----='=，

第 16 页 共 19 页 由()10h '=可得：

当1x >时，()0h x '<，()h x 单调递减；当01x <<时，()0h x '>，()h x 单调递增；

∴()10h =为极大值.

所以()(1)0h x h ≤=.

∴a 的取值范围是()0,∞+.

【点睛】

本题考查已知函数单调性求参数的范围和不等式恒成立求参数的范围问题，用分离参数的方法是常用方法,属于中档题.

21．某种零件的质量指标值为整数，指标值为8时称为合格品，指标值为7或者9时称为准合格品，指标值为6或10时称为废品，某单位拥有一台制造该零件的机器，为了了解机器性能，随机抽取了该机器制造的100个零件，不同的质量指标值对应的零件个数如下表所示；

使用该机器制造的一个零件成本为5元，合格品可以以每个x 元的价格出售给批发商，准合格品与废品无法岀售.

（1）估计该机器制造零件的质量指标值的平均数；

（2）若该单位接到一张订单，需要该零件2100个，为使此次交易获利达到1400元，估计x 的最小值；

（3）该单位引进了一台加工设备，每个零件花费2元可以被加工一次，加工结果会等可能出现以下三种情况：①质量指标值增加1，②质量指标值不变，③质量指标值减少1.已知每个零件最多可被加工一次，且该单位计划将所有准合格品逐一加工，在（2）

第 17 页 共 19 页 的条件下，估计x 的最小值（精确到0.01） .

【答案】（1）7.9个 （2）9 （3）8.67

【解析】(1)用样本的平均值估计总体的平均数，即求出100个样本的平均数即可.

(2) 一个零件成本为5元，x 的价格出售，可得式子：

602100210051400100x ???-÷?≥ ???可解出答案.

(3) 设为满足该订单需制作y 个零件，则有601812121001001003y +??+?= ??

?,求出需要制作的零件总数，然后再计算满足利润条件x 的值.

【详解】

解：（1）设机器制造零件的质量指标值的平均数为m ； 由题意得：()1667188609121047.9100

m =?+?+?+?+??

=， ∴机器制造零件的质量指标值的平均数为7.9个.

（2）一个零件成本为5元，x 的价格出售，可得式子： 602100210051400100x ???-÷?≥ ??

?， 解得：9x ≥，

∴x 的最小值为9；

（3）依题意得，准合格品加工后有13

能合格，用于销售， 设为满足该订单需制作y 个零件，则有

60181212100100

1003y +??+?= ???， 解得3000y =，

故要使获利达到1400元，需要

3210052140010x y y ?-?-

??≥， 解得263

x ≥， ∴x 的最小值为8.67.

【点睛】

考查利用样本估计总体，考查利用样本平均数估计总体平均数，属于中档题.

第 18 页 共 19 页 22．在直角坐标系中,曲线221C :x y 1+=经过伸缩变换'2'x x y y

=??=?后得到曲线2C .以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线3C 的极坐标方程为ρ2sin θ=-.

(1)求曲线23C ,C 的参数方程;

(2)若P,Q 分别是曲线23C ,C 上的动点,求PQ 的最大值.

【答案】（1）2cos sin x y αα=??=?

，cos 1sin x y ββ=??=-+?（2

【解析】(1)曲线221:1C x y +=经过伸缩变换'2'x x y y

=??=?,可得曲线2C 的方程为2

214

x y +=, ∴其参数方程为2cos (sin x y ααα

=??=?为参数);

曲线3C 的极坐标方程为2sin ρθ=-,即22sin ρρθ=-,

∴曲线3C 的直角坐标方程为222x y y +=-,即()2211x y ++=, ∴其参数方程为cos (1sin x y βββ

=??=-+?为参数). (2)设()2cos ,sin P αα,则P 到曲线3C 的圆心()0,1-的距离

d ===, ∵[]sin 1,1α∈-,∴当1sin 3α

=时,max 3

d =.

∴max max 1PQ d r =+=+=. 23．已知3a b c ++=，且a 、b 、c 都是正数. （1）求证：2223a b c ++≥； （2）求证：11132

a b b c c a ++>+++. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析

第 19 页 共 19 页 【解析】(1)将3a b c ++=两边平方，在由222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥，可证.

(2)由111111=6

a b b c a c a b b c a c a b b c a c +++++??++++? ?++++++??可证. 【详解】

（1）证明：由已知得()239a b c a b c ++=?++=， 2222229a b c ab ac bc ?+++++=，

又222a b ab +≥，222b c bc +≥，222a c ac +≥， ∴()()22222a b c ab bc ac ++≥++，∴()22222229a b c a b c +++++≥， ∴2223a b c ++≥.

（2）证明：由已知得3a b c ++=， ∴()11116a b b c a c a b b c a c ??+++++++ ?+++?? 11116a b a b b c b c a c a c b c a c a b a c c b b c ++++++??=++++++++ ?++++++??

(1131119662≥+++=?=. 【点睛】

本题考查利用重要不等式证明不等式，属于中档题.

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