第三章 第八节 正弦定理和余弦定理的应用

第 三 章 三 角 函 数、 解 三 角 形

第 八 节 正 弦 定 理 和 余 弦 定 理 的 应 用

抓 基 础明 考 向教 你 一 招 我 来 演 练

提 能 力

[备考方向要明了] 考 什 么 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一

些与测量和几何计算有关的实际问题.

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怎 么 考

1.对解决实际问题中的角度、方向、距离及测量问题的考查是高考考查的重点. 2.在选择题、填空题、解答题中都可能考查，多属中、低 档题.

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实际问题中的有关概念及常用术语

(1)基线在测量上，根据测量需要适当确定的 线段 叫做基线. (2)仰角和俯角 在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角 叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①).

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(3)方位角 从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点 的方位角为α(如图②).

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(4)方向角：相对于某一正方向的水平角(如图③)

①北偏东α:指北方向顺时针旋转α到达目标方向. ②东北方向：指北偏东45°或东偏北45°.

③其他方向角类似.

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(5)坡角与坡比 坡面与水平面所成的锐二面角叫做坡角，坡面的垂直 h 高度h与水平宽度b之比即i= b=tan α(其中α为坡角) 叫做坡比(如图).

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(6)视角 观测点与观测目标两端点的连线所成的夹角叫做视 角(如图).

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1.从A处望B处的仰角为α,从B处望A处的俯角为β,则α,β之间的关系是 A.α>β C.α+β=90° B.α=β D.α+β=180° ( )

解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知. 答案： B

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2.若点A在点C的北偏东30°,点B在点C的南偏东60°,

且AC=BC,则点A在点B的A.北偏东15° C.北偏东10°

(B.北偏西15° D.北偏西10°

)

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解析：如图所示， ∠ACB=90°,

又AC=BC,∴∠CBA=45°, 而β=30°, ∴α=90°-45°-30°=15°. ∴点A在点B的北偏西15°. 答案： B

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3.(教材习题改编)如图，设A、B两点在河的两岸， 一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一 点C,测出AC的距离为50 m,∠ACB=45° , ∠CAB=105° 后，就可以计算出A、B两点的距离为 A.50 2 m C.25 2 m B.50 3 m 25 2 D. 2 m ( )

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解析：由正弦定理得 2 AC· ∠ACB 50× 2 sin AB= = 1 =50 2(m). sin B 2

答案： A

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4.(2011· 上海高考)在相距2千米的A、B两点处测量 目标点C,若∠CAB=75°,∠CBA=60°,

则A、C两点之间的距离为________千米.

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解析：如图所示，由题意知∠C=45° , AC 2 由正弦定理得sin 60° sin 45° = , 2 3 ∴AC= ·2 = 6. 2 2

答案： 6

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5.(2012· 泰州模拟)一船向正北航行，看见正东方向有

相距8海里的两个灯塔恰好在一条直线上.继续航行半

小时后，看见一灯塔在船的南偏东60°,另一

灯塔在船的南偏东75°,则这艘船每小时航行________海里.

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解析：如图，由题意知在△ABC中，∠ACO=60° , ∠ACB=75° -60° =15° ,∴B=15° , ∴AC=AB=8. 在Rt△AOC中，OC=AC· 30° sin =4. 4 ∴这艘船每小时航行1=8海里. 2

答案：8

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解三角形应用题常有以下几种情形 (1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一 个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解.

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(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个 或两个以上的三角形，这里需作出这些三角形，先解 够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需

设出未知量，从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解. (3)实际问题经抽象概括后，涉及到的三角形只有一个， 所以由已知条件解此三角形需连续使用正弦定理或余 弦定理.

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