2013版高三新课标理科数学一轮复习课时提能演练 11.5 古典概型)

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课时提能演练(六十八)

(45分钟 100分)

一、选择题(每小题6分，共36分)

1.一个袋子中有5个大小相同的球，其中有3个黑球与2个红球，如果从中任取两个球，则恰好取到两个同色球的概率是( )

1321(A) (B) (C) 51052

2.从数字1,2,3,4,5这5个数中，随机抽取2个不同的数，则这两个数的和为偶数的概率是( )

1234(A)5555

3.(2012·广州模拟)连掷两次骰子分别得点数m，n，向量a＝(m，n)，b＝

(－1,1)，若在△ABC中，AB与a同向，CB与b反向，则∠ABC是钝角的概率

是( )

1547(A) (C) 212918

4.设集合A＝{1,2}，B＝{1,2,3}，分别从集合A和B中随机取一个数a和b，确定平面上的一个点P(a，b)，记“点P(a，b)落在直线x＋y＝n上”为事件Cn(2≤n≤5，n∈N)，若事件Cn的概率最大，则n

的所有可能值为( )

(A)3 (B)4 (C)2和5 (D)3和4

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5.(2011·陕西高考)甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是( )

1151(A) (D) 369366

6.(2011·浙江高考)有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本.若将其随机地并排摆放到图书架的同一层上，则同一科目的书都不相邻的概率是( )

1234(A)5555

二、填空题(每小题6分，共18分)

7.(预测题)an＝6n－4(n＝1,2,3,4,5,6)构成集合A，bn＝2n－1(n＝

1,2,3,4,5,6)构成集合B，任取x∈A∪B，则x∈A∩B的概率

是 .

8.一笼里有3只白兔和2只灰兔，现让它们一一出笼，假设每一只跑出笼的概率相同，则先出笼的两只中一只是白兔，而另一只是灰兔的概率是 .

9.(易错题)某地为了调查职业满意度，决定用分层抽样的方法从公务员、教师、自由职业者三个群体的相关人员中，抽取若干人组成调查小组，有关数据见下表，则调查小组的总人数为 ；若从调查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰好有1人来自公务员的概率为 .

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三、解答题(每小题15分，共30分) 10.(2012·佛山模拟)设平面向量am＝(m,1)，bn＝(2，n)，其中m，

n∈{1,2,3,4}.

(1)请列出有序数组(m，n)的所有可能结果；

(2)记“使得am⊥(am－bn)成立的(m，n)”为事件A，求事件A发生的

概率.

11.(2012·株洲模拟)有一枚正方体骰子，六个面分别写1、2、3、4、5、6的数字，规定“抛掷该枚骰子得到的数字是抛掷后，面向上的那一个数字”.已知b和c是先后抛掷该枚骰子得到的数字，函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R).

(1)若先抛掷骰子得到的数字是3，求再次抛掷骰子时，使函数y＝f(x)有零点的概率；

(2)求函数y＝f(x)在区间(－3，＋∞)上是增函数的概率.

【探究创新】

(16分)甲乙二人用4张扑克牌(分别是红桃2，红桃3，红桃4，方片

4)玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，甲先抽，乙后抽，抽出的牌不放回，各抽一张.

(1)设(i，j)分别表示甲、乙抽到的牌的数字，写出甲乙二人抽到的牌的所有情况；

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(2)若甲抽到红桃3，则乙抽出的牌的牌面数字比3大的概率是多少？

(3)甲乙约定：若甲抽到的牌的牌面数字比乙大，则甲胜，反之，则乙胜，你认为此游戏是否公平，说明你的理由.

答案解析

1.【解析】选C.任取两球的取法有10种，取到同色球的取法有两类

2共有3＋1＝4种，故恰好取到同色球的概率P＝. 5

2.【解析】选B.从5个数中随机抽取2个数，有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10种情况，而和为偶数的有(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)，共4种情况，

42所以所求概率为P. 105

3.【解析】选B.根据题意知∠ABC的大小就是向量a与b夹角的补角的大小，

故求〈a，b〉是锐角，即a·b＝n－m＞0的概率；

≧连掷两次骰子所得点数(m，n)共有36种情形，其中n＞m的情形有36－615(种)， 2

155 P＝3612

4.【解析】选D.事件Cn的总事件数为6.只要求出当n＝2,3,4,5时的

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基本事件个数即可.

当n＝2时，落在直线x＋y＝2上的点为(1,1)；

当n＝3时，落在直线x＋y＝3上的点为(1,2)、(2,1)；

当n＝4时，落在直线x＋y＝4上的点为(1,3)、(2,2)；

当n＝5时，落在直线x＋y＝5上的点为(2,3).

1显然当n＝3,4时，事件Cn的概率最大，为3

5.【解题指南】本题抓住从6个景点中任选4个这一主要条件，去掉次要条件(例如参观时间)可以简化解题思路，然后把问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题.

【解析】选D.甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有A64·A64(种)；

最后一小时他们同在一个景点的情形有A53·A53×6(种)，所以P＝

A53A53 61＝. 446A6A6

6.【解题指南】古典概型基本问题，可从反面来考虑.

【解析】选B.基本事件总数为A55＝120，同一科目中有相邻情况的有

A44A22＋A44A22－A33A22A22＝72种，故同一科目的书都不相邻的概率是

120－722＝1205

7.【解析】由题意知A＝{2,8,14,20,26,32}，

B＝{1,2,4,8,16,32}.

则A∪B＝{1,2,4,8,14,16,20,26,32}，

A∩B＝{2,8,32}.

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即A∪B中含有9个元素，A∩B中含有3个元素，

31所以所求概率是93

1答案：3

8.【解析】从笼子中跑出两只兔子的情况有A52＝20种情况.

设事件A：先出笼的两只中一只是白兔，另一只是灰兔.

C31C21 C21C31123则P(A)＝＝＝2205A5

3答案：5

9.【解析】由从自由职业者64人中抽取4人可得，每一个个体被抽

411入样的概率为＝，则公务员应当抽取32×2(人)，教师应当641616

1抽取48×＝3(人)，由此可得调查小组共有2＋3＋4＝9(人)，从调16

查小组中的公务员和教师中随机选2人撰写调查报告，则其中恰有1

C1

2C1

33人来自公务员的概率为P＝2＝. 5C5

3答案：9 5

10.【解题指南】对(1)，可用列举法写出数组的所有可能；对(2)，可用向量的数量积得到m，n的关系式，进而得到事件A包含的基本事件，利用古典概型的概率公式即可求.

【解析】(1)有序数组(m，n)的所有可能的结果为：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，

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(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个；

(2)由am⊥(am－bn)得m2－2m＋1－n＝0，即n＝(m－1)2，由于m、n∈

{1,2,3,4}，故事件A所包含的基本事件为(2,1)，(3, 4)，共两个.

21由基本事件的总数为16，故所求的概率P＝＝168

【方法技巧】古典概型的解题技巧

利用古典概型的概率公式求随机事件的概率时，关键是求试验的基本事件总数n及事件A所包含的基本事件个数m.

较为简单的问题可以直接使用古典概型的概率公式计算，较为复杂的概率问题的处理方法：一是转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件概率的加法公式；二是采用间接解法，先求事件A的对立事件A的概率，由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率.

【变式备选】假设有5个条件很类似的女孩，把她们分别记为A，C，J，K，S，她们应聘秘书工作，但只有3个秘书职位，因此5人中仅有三人被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率.

(1)女孩K得到一个职位；

(2)女孩K和S各自得到一个职位.

【解析】方法一：从5人中选取三人的基本事件有ACJ，ACK，ACS，AJK，AJS，AKS，CJK，CJS，CKS，JKS共10个.

(1)女孩K得到一个职位对应的基本事件有ACK，AJK，AKS，CJK，CKS，

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6JKS共6个，故所求概率为0.6. 10

(2)女孩K和S各得到一个职位对应的基本事件有AKS，CKS，JKS共

33个，故所求概率为0.3. 10

方法二：将问题转化为5个女孩去摸编号为1,2,3,4,5的小球，其中摸到1,2,3的表示被录用，摸到4,5的表示未被录用.

3(1)女孩K从5个球中摸一个有5种情况，摸到1,2,3即5

3被录用的概率为0.6. 5

(2)女孩K和S从5个球中各摸一个球对应的基本事件有

12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54共20个，K和S各自得到一个职位对应的基本事件有

612,13,21,23,31,32共6个，故所求概率为0.3. 20

11.【解析】(1)记“函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零点”为事件A， 由题意知：b＝3，c＝1,2,3,4,5,6，

基本事件总数为：(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(3,6)共6个

≧函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零点，

方程x2＋bx＋c＝0有实数根

9即Δ＝b－4c≥0， c≤， c＝1,2， 42

即事件 “函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零点”包含2个基本事件，

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故函数f(x)＝x2＋bx＋c(x∈R)有零点的概率

21P(A)＝63

(2)由题意可知：数对(b，c)表示的基本事件：

(1,1)、(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5)、(1,6)、(2,1)、…、(6,5)、(6,6)，所以基本事件总数为36.

记“函数y＝f(x)在区间(－3，＋≦)上是增函数”为事件B.

由抛物线y＝f(x)的开口向上，使函数y＝f(x)在区间(－3，＋≦)

b上是增函数，只需－3， 2

b≥6， b＝6，

所以事件B包含的基本事件有6个，

61 函数y＝f(x)在区间(－3，＋≦)上是增函数的概率P(B)＝. 366

【探究创新】

【解析】(1)甲乙二人抽到的牌的所有情况(方片4用4′表示，红桃2，红桃3，红桃4分别用2,3,4表示)为：

(2,3)、(2,4)、 (2,4′)、(3,2)、(3,4)、(3,4′)、(4,2)、(4,3)、 (4,4′)、(4′， 2)、(4′，3)、(4′，4)共12种不同情况.

(2)甲抽到3，乙抽到的牌只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的数字大

2于3的概率为3

(3)由甲抽到的牌比乙大的有(3,2)、(4,2)、(4,3)、(4′，2)、(4′，

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57573)5种，甲获胜的概率P1＝，乙获胜的概率P2＝，≧12121212

此游戏不公平.

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kvr4.html