§11 无穷级数习题与答案

第十一章 无穷级数

A

1、根据级数发散与收敛性定义与性质判断级数收敛性 1）???n?1?n?

n?1 2） 111?3?3?5?15?7?...?1(2n?1)(2n?1?...

3）sin(?)?sin(2?n?66)?...?sin(6)...

2、用比较法或极限形式的比较法判定级数收敛性。 1）sin(??2)?sin(?223)???sin(2n)?

2）??1n ?a?1?

n?11?a 3）??n?1(n?1)(1n?4) 4） 1?1?21?31?n1?22?1?32?...1?n2...

1

3、用比值审敛法判定级数收敛性 1）??ntan?1

n?12n?

?2）?n23n n?1

?3）?2nn n?1n3

4、用根值法判定级数收敛性 ?1）?(nn3n?1)

n?1 2）

??1n n?1?ln(n?1)?

5、下列级数是否收敛，若收敛是绝对收敛还是条件收敛1）1?112?3?14?... 2）

??(?1)nnn?1

n?13 2

?3）

?(?1)n13?2n n?1

6、求下列幂级数的收敛性半径和收敛域域。1) 1?x?x2nxn22?...?(?1)n2...

?2)?2n?12n?2n?12nx 3)

??(?1)n12nn!xn n?1

7、利用逐项求导或积分求级数的和函数.

?x4n?11)?4n?1 n?1 ?2)

?nxn?1

n?1

8、将函数展开成x的 幂级数并求收敛区间.

3

）shx?ex?e?x12

2）ax

3）sin2x

B

1、判断积数收敛性

?1) ?2n.n!n n?1n

?22) ?(?1)n2nn?1n!

??x2n2、利用逐项求导或积分求级数n?02n?1的和函数.

3、求幂级数??(x?5)n(?1)n的收敛域.

n?1n 4

4、将cosx展开成x??3的幂级数.

5、将函数f(x)?1x2?3x?2展开成x?4的幂级数.

C

??1、求

ne?nx的收敛域.

n?1?2、求 ?1?n2nxn的和函数. n?0n!23、f(x)是周期为2的周期函数，且在区间?0,2?上定义为：

f(x)???x,0?x?1?0,1?x?2求傅里叶展开式. ?4 利用3题结果证明用结果证明，?1?22?n?1n6

第十一章 无穷级数答案习 题 答 案

A

1、1）发散 2) 收敛 3) 发散

2、1) 收敛 2) 收敛 3）收敛 4)发散 3、1) 收敛 2）收敛 3）收敛

5

4、1) 收敛 2）收敛

5、1） 条件收敛 2） 绝对收敛 3） 绝对收敛 6、1) 收敛半径R?1，收敛区间:??1,1?

2) 收敛半径R?2 ，收敛区间为：??2,2? 3) 收敛半径R?? , 收敛区间为：???,??

?7、1)?x4n?1111?x?x (n?14n?1 ?2arctanx?4ln1?xx?1) ?2)

?nxn?1?1(1?x)2 (x?1)

n?18、1）shx?ex?e?x?x2n?12?? x????,n?1(2n?1)!??? ?2）ax?exlna??lnnaxn x????,??? n?0n!3）sin2x?n=1?1cos2x?1??1(?1)4nx2n x????,??222?

n?02(2n)!B

2n.n!1、1) 解：limunn??u?limnnn??2(n?1)!?limn??2(n?1n?1?1?n.n?1n?1n?1n)?2limn??(1?n)?n?2e?1(n?1)n?1?由比值法，级数?2n.n!n收敛 n?1n2n2 2) 解： limunn??u?limn!22n?1n?1n??2(n?1)2?limn??n???1 (n?1)!??2由比值法，级数(?1)n2nn?1n!发散 ?2、解：?x2n?2n?1x?2nxn?02n?1?1x?x?1n?02n?1x?0?xdx ?1n?0x?101?x2dx

?1ln1?x2x1?x (x?1)

6

3、解:??limana?limn?11n???1，收敛半径r??1

n?1n??n??x?6时级数???1?n1n?1n为交错级数收敛

x?4时级数为??1n?1n发散，所以:收敛域为:?4,6?

4、cosx?(cosx????)?cos?cos(x??)?sin??33333sin(x?3) ?(x??)2n(x??)2n??1?(?1)n3?1?33)! 0(2n)!2?(?1)n2n?n?0(2n?1或者直接展开为：

??cos(??n?3?2)n?0n!(x??3)n 5、将函数f(x)?1x2?3x?2展开成x?4的幂级数

解：设t?x?4则x?t?4

f(x)?11(t?4?2)?t?4?3?1t?2?1t?1

?1????1?22?(t)2?n?02?tn1n?0(t?2)1?t?1?t 2所以f(x)?11?t2?nx2?3x?2=??2?()??t n?02n?0C

unx1、解:limnne??xn??u?limn??(n?1)e?(n?1)x?e n?1当x?0时e?x?1?；x?0时e?x?1?；x?0时?ne?nx?n?1?n发散n?1所以:收敛域:x??0,?? 2、解：令x2?t

7

??1?n2??nxn?n?0n!2?tn?n?0n!?n2tn n?0n!?et?????n?1?1(n?1)!tn?et??1tn?n?1n?111)!?1n?2(n?2)tn(n?

?et?tet?t2et?ex2(1?xx22?4) 3、解a100??20f(x)dx??xdx?1x202?1

0221

an??0f(x)cons?xdx??0xcons?xdx

?1?111 n?0xdsinn?xdx?n?xsinn?x10?1n??0sinn?xdx

1?1(n?)2cosn?x?1?(?1)n?1?0(n?)2 b21n??0f(x)sinn?xdx??0xsinn?xdx

??1n??1xd1xcosn?x1?110cosn?xdx??n?0n??0cosn?xdx

1??1(?1)n?1)2sinn?x?1(?1)n?1n?(n?0n?

所以：

?f(x)?11?14?2??(2n?1)??2cos(2n?1)?x?(?1)n?1sinn?xn?1?n?1n?

当x?1时：收敛于

12 4、由f(x)???x,0?x?1?0,1?x?2

?f(x)?14?2?1?cos(2n?1)?x?1(?1)n?1sinn?x（x?1）n?1?(2n?1)??2?n?1n?1?f(0)?14?2?2?0 n?1?(2n?1)????12??2?，记s?n?1(2n?1)8?1?1?1n2??)2??2??2?s n?1n?1(2n?1n?1(2n)84 8

14?2?2所以：s??2?? ?386nn?1?

9

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