陕西师范大学量子力学题库 2

1. 十九世纪末期，物理学理论在当时看来已经发展到相当完善的阶段，形成了三门经

典学科。这三门经典学科分别是＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿,＿＿＿＿＿＿.

2. 按经典的物质概念，物质可以分为两类，一类是＿＿＿＿，另一类是＿＿＿＿＿＿．

3. 二十世纪初，经典物理学遇到了无法克服的困难。这些困难分别是＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿及＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

4. 经典物理中，对实物的运动采用＿＿＿＿＿来描述，实物的运动遵守＿＿＿＿＿＿。

5. 经典物理中，对辐射场的运动采用＿＿＿＿＿来描述，辐射场的变化遵守＿＿＿＿＿＿。

6. 在经典概念下，实物的基本特性是＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿＿．

7. 在经典概念下，辐射场的基本特性是＿＿＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿＿．

8. 在经典概念，粒子性是指＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿．

9. 在经典概念，波动性是指＿＿＿＿＿和＿＿＿＿＿＿．

10. 在经典概念，波动性和粒子性＿＿＿（填是否可以）统一于同一物质客体．

11. 光的波动性的理论基础是＿＿＿＿＿＿＿＿．

12. 光的波动性的实验证据是＿＿＿＿＿＿＿＿．

13. 光的粒子性的实验证据是＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿．

14. 光的粒子性的理论依据是＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿．

15. 微粒的粒子性是指微观粒子的＿＿＿＿＿＿，即＿＿＿＿＿＿＿以及＿＿＿＿＿＿．

16. 微粒的波动性是指＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

17. 微粒的粒子性的实验证据是＿＿＿＿＿＿．

18. 按照爱因斯坦光子假设，光子的能量E和动量P与光波

的频率ν和波长λ的关系为

E=＿＿＿＿，P=＿＿＿＿．

19. 按照德布洛依假设，能量为E、动量为P的自由粒子其

相应的物质波的波长λ=＿＿

＿＿，频率ν=＿＿＿．

20. 自由粒子的动能为E，速度远小于光速，则德布罗依波长λ=＿＿＿＿．

21. 电子被电势差V（伏）加速，则德布罗依波长λ=＿＿＿＿．

22. 按照德布洛依假设，粒子的能量E、动量P与相应的物

质波的频率ν，波长λ的关

系是＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿．

23. 历史上第一个肯定光除了波动性之外还具有粒子性的科学家是＿＿＿＿．

24. 历史上第一次用实验证明实物具有波动性的科学家是＿＿＿＿＿＿＿＿．

25. 能量为E，动量为P的自由粒子的平面波的表达式是＿＿＿＿＿＿＿＿．

26. 玻尔的氢原子理论包含三条假设，分别是＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿．

27. 索末菲对玻尔的轨道量子化条件推广为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

28. 玻尔的频率条件表示为＿＿＿＿＿＿＿＿．

29. 任何态函数用动量本征函数展开的表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

30. 任何态函数在动量表象中的表达式为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

31. 波函数是指＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

32. 按照波函数的统计解释，粒子在空间各点出现的几率只决定于＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

33. 微观粒子的量子状态最显著的特点是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

34. 波函数乘一个常因子，所描的状态＿＿＿＿＿＿．（填是否改变）

35. 量子力学第一条基本假设是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

36. 波函数的统计解释是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

37. 物质波与经典波的重要区别有两点，其一是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，其二是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

38. 波函数的归一化条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

39. 体系的状态用

．则粒子在t时刻在点（x,y,z）周围体元dτ内出现的几率是＿＿＿＿＿．

40. 非平方可积的波函数可以归一化为＿＿＿＿＿，也可以用箱归一化方法归一化为＿＿＿．

41. 自由粒子的本征函数

若归一化为δ函数，则A=＿＿＿＿．

42. 自由粒子的本征函数

若归一化为1，则A=＿＿＿＿．

43. 自由粒子的本征函数

若归一化为δ函数，则其动量是＿＿＿＿＿＿＿．

44. 自由粒子的本征函数

若归一化为一，则动量取＿＿＿＿，其值＿＿＿＿＿．

45. 量子态迭加的对象是＿＿＿＿＿＿＿，经典态迭加对象是＿＿＿＿＿＿＿．

46. 经典态迭加的结果是＿＿＿（填可以或不可以）出现各点强度为零的状态．

47. 量子态迭加的结果是＿＿＿（填可以或不可以）出现各点强度为零的状态。

48. 在量子态迭加原理中

，

的主要区别是＿＿＿＿＿＿＿＿．

49. 电子在晶体表面衍射后的状态

用平面波的迭加表示为＿＿＿＿＿＿＿．

50. 在经典力学中，质点的状态用＿＿＿＿＿＿＿＿，在

确定状态中各力学量是＿＿＿＿＿＿＿．

51. 在量子力学中，粒子的状态用＿＿＿＿＿＿＿＿，在确定状态中,粒子的各力学量是＿＿＿＿＿＿＿．

52. 在经典力学中，质点的运动遵守＿＿＿＿＿＿＿，但量子力学中，量子态的变化遵守＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

53. 薛定格方程必须满足的两个条件是＿＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

54. 粒子在力场

中运动，则粒子的薛定格方程为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

55. 自由粒子的薛定格方程为＿＿＿＿＿．

56. 粒子在势场U（r,t）中运动，则薛定格方程为＿＿＿＿＿．

57. 能量算符

和

等价的条件是＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

58. 哈密顿算符的一般形式是＿＿＿＿＿．

59. 哈密顿算符显含时间时薛定格方程只能写成＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

60. 哈密顿算符显不含时间时薛定格方程可以写成＿＿＿＿＿＿＿＿＿．

填空题 答案

1. 经典力学,经典电磁学（含电动力学）,经典热力学和统计物理。

2. 实物、辐射场。

3. 黑体辐射，光电效应，原子的光谱线系及固体在低温下的比热。

4. 坐标和动量、 牛顿运动定律。

5. 电场强度和磁场强度，麦克斯威尔方程组。

6. 内禀性质的可分割性，运动规律的非迭加性。

7. 内禀性质的不可分割性，运动规律的迭加性。

8. 内禀性质的可分割性，运动规律的非迭加性．

9. 内禀性质的不可分割性，运动规律的迭加性。

10. 不可能．

11. 光的电磁理论．

12. 光的干涉和光的衍射．

13. 黑体辐射，光电效应，康普顿效应．

14. 普朗克的能量子假设，爱因斯坦的光量子假设．

15. 原子性或颗粒性，内禀性质的不可分割性和力学量的不连续性。

16. 与粒子相联系的物质波的迭加性．

17. 电子在晶体表面的衍射。

18. hν，

19.

20.

，

21.

22. E=h ν，P =

23. 爱因斯坦．

24. 戴维逊和革末．

25.

26. 定态假设，频率条件，轨道量子化条件．

27.

28.

29.

30.

31表示描写微观粒子的波的函数．

32. 波函数在空间各点的相对强度．

33. 状态确定后体系的各种力学量不一定完全确定．

34. 并不改变．

35. 微观粒子的状态用波函数描写．

36. 波函数在空间某一点的强度与粒子在该点出现的几率成正比。

37. 物质波不是可测量的物理量的空间分布随时间的变

化，物质波具有一个常因子的不确定性。

38.

39.

40.

函数，1．

41.

42.

43. 可以取连续值

44. 分立值,

45. 态函数, 场量即电场强度或磁场强度．

46. 可以．

47. 不可以．

48. 在

态的强度中必定有

产生的干涉项．

49.

．

50. 用坐标和动量来描写 唯一确定的

51. 波函数来描写 不一定唯一确定

52. 牛顿运动方程， 薛定格方程。

53. 方程是线性的，方程的系数不应包含状态参量。

54.

55.

56.

=

．

57. 体系处于定态．

58. 势场U不显含时间．

59.

．

60.

库Ⅱ. 第一类：简要回答问题

1. 19世纪末期，物理学的发展取得了哪些成就？遇到了哪些困难？

2. 试概括阐述经典物理关于物质的概念和物质运动的描述。

3. 经典概念下，实物具有怎样的共同性质？试述经典概念下的粒子性。

4．经典概念下，辐射场具有怎样的共同性质？试述经典概念下的波动性。

5. 经典物理关于物质性质的描述具有怎样的特点？

6. 怎样正确理解光的波粒二象性？

7. 怎样正确理解微观粒子的波粒二象性？

8. 在微观领域内，物质是具有二象性的，试述你对光的粒子性的理解。

9. 在微观领域内，物质是具有二象性的，试述你对实物粒子波动性的理解。

10. 试比较微观粒子与经典粒子的区别。

1.十九世纪未期，物理学理论既取得了辉煌的成就，又遇到了无法克服的困难。具体从以下几个方面可以看出。

一方面，当时一般的物理现象都可以从相应的理论中得到说明：①物体的机械运动在速

度远小于光速时，准确地遵守牛顿力学的规律，以牛顿运动三定律为基础的力学和声学构成了经典力学；②电磁现象的基本规律和光的波动理论（光的电磁理论）统一归结为麦克斯韦尔方程组，由电磁学和电动力学共同构成经典电磁学；③热现象的基本规律以及由大量分子构成的系统的宏观性质归结为经典热力学和统计物理学。以上，就是十九世纪未期物理学发展所取得的辉煌成就。另一方面，由生产力的巨大发展，对科学实验不断提出新的要求，促使科学实验从一个发展阶段进入到另一个新的发展阶段。就在经典物理取得辉煌成就的同时，人们发现了一些新的物现象：

①黑体辐射问题。这个问题研究的是辐射与周围物体处于平衡状态时的能量按波长（或

频率）的分布规律。实验得出的结论是：热平衡时辐射能量密度按波长分布的曲线，其形状和位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。这一结果用经典理论无法解释。

②光电效应。光照射到金属上时，有电子从金属中逸出。实验得出的光电效应的有关规律同样用经典理论无法解释。

③原子的光谱线系。实验发现，原子所发出的光其光谱为线状光谱，且

光谱分为若干线系。原子光谱这种性质和特征，用经典物理无法解释。

④原子的稳定性。当时卢瑟福的原子核式结构模型已提出并被学术界公认。按卢瑟福的

原子核式结构模型，电子在核外绕核运转。但按照经典电动力学，加速运动的带电粒子必然产生辐射。这样电子在绕核运动时必然不停地向外辐射能量，从而绕核运动的半径r不断减少，最后坠入原子核子中。因此按经典物理学，原子是一个不定的粒子，最终都要蜕化为原子核。但事实上原子是相当稳定的中性微粒。所以说经典物理学不能解释原子的稳定性。

⑤固体在低温下的比热。实验发现，由经典的统计物理所给出的固体的定容比热公式

在室

温附近及较高温度很符合，但在低温时实验数值较小，而且实验的比热数值随温度降低得很快。当温度趋于绝对零度时比热也趋于零。这种现象是经典统计物理所无法解释的。

除了上述事实外，还有康普顿效应等其它一些现象也是经典物理无法解释的。这些都是经典物理所遇到的困难。这些困难暴露了经典物理局限性，为量子力学的建立提供了实验依据。

2. 在经典物理中,关于物质的存在形式其基本观点是：自然界的物质分为两类.一类是实物,另一类是场,即辐谢场.在经典物理中这两类物质具有截然不同的性质,它们遵守不同的运动规律,实物的运动遵守牛顿定律,辐射场的变化满足麦克斯威尔方方程.对这两种不同的物质,经典物理采用了两种截然不同的描述方式。对实物的运动状态采用坐标、动量等力学量来描述,对辐谢场的变化状态采用场强度（如电场强度,磁感应强度）或辐射的能量密度,能流密度等来描述.

3.在经典概念之下，实物所具有的共同性质总的说来是粒子性，具体来说实物具有以下

共性：

① 是由实际的原子、分子等构成的.具有一定凝聚形态的物质客体,如固体、液体、气体，等离子体等.都属于实物的范畴.

② 实物可以具有一定的质量、电荷等内禀属性（即固有性质）.但这些内禀属性的一个重要特点是具有可分割性.即一切实物都可以任意分割开来，对其中的任何一小部分进行独立研究，而且不论其质量大小,一

律按牛顿运动定律运动,即使是分割为原子或分子,也只能按质点对待,遵守牛顿运动定律.一切实物都作轨道运动，与空间确定的轨道相联系。

③ 由于牛顿运动方程对物体的坐标和动量不是线性齐次的,因此,实物的运动不满足迭加性.（在数学中,只有线性齐次方程的解具有叠加性）.

粒子性：物理学中称实物所具有的内禀性质的可分割性及运动规律的非迭加性为粒子性.这里粒子性是经典概念下的粒子牲，这种粒子性只有实物这类物质才能够具有。

4. 在经典概念之下，辐射场所具有的共同性质总的说来是波动性。具体来说辐射场具有

以下共性：

①辐射场是具有不可分割属性（如能量密度,能流密度,辐射场强度等都是不可分割的）的物质客体.它并不是由原子，分子等实物粒子组成，也并不具有一定的凝聚形态，而是弥漫于整个空问。如电磁场（电磁波）就是典型的辐射场.而光又是具有一定频率范围的电磁波,也是具有代表性的辐射场.这种不可分割属性不仅是指场本身不可能分割成各个部分进行研究、而且是指描述场的各种物理量,如场的强度,能量密度,能流密度等也是无法分割的.

②任何一个辐射场,只能整体地进行研究,并且无论强度高低,一律按麦克斯威尔方程组进行变化.

③由于麦克斯威尔方程组对于电场强度和磁场强度是线性齐次的,因而辐谢场具有叠加性.

波动性：物理学中称辐射场所具有的不可分割属性和运动规律的叠加性为波动性.在经典物理中波动性是辐射场特有的性质。

5. 在经典物理中,辐射场是具有波动性的物质,实物则是具有粒子性的物质.这种波动性和粒子性不可能统一于同一种物质客体上.反过来也可以这样说,在经典慨念下，任何一种物质,不可能同时具有波动性和粒子性。

6, 光的波粒二象性：光既具有波动性，又具有粒子性，因此光具波动和粒子双重性质，这种性质称为光的波粒二象性。因此，所谓光的波粒二象性，就是指光同时具有波动性和粒子性。

光的波动性：光的电磁理论阐明，光是某一特定频率范围的电磁波，具

有波的一切性质，遵守波的迭加性。因此光的电磁学说是光的波动性的理论依据。光的干涉，衍射等现象从实验上证明了光的波动性。

光的粒子性：普朗克的能量子假设和爱因斯坦的光量子假设从理论上揭示了光的粒子性（微粒性），黑体辐射、光电效应、康普顿效应等从实验上证明了光的粒子性。光在与物质相互作用过程中能量和动量的交换表现不连续性或颗粒性，出因此光除了波动性以外，又具有了粒子性。光的波粒二象性： 光同时具有波动性和粒子性，光的这两种性质统一于光子这一物质客体，通过爱因斯坦关系式联系起来。左边的能量E和动量P表示出光的粒子性的一面。右边的频率和波长表现出光的波动性的一面。

，

必须说明的是：光具有波粒二象性是量子力学同经典物理学的重要区别，因为在经典物理中，光只有波动性，不会有粒子性。

7. 微观粒子波粒二象性是指微观粒子同时具有波动性和粒子性。这种波动性和粒子性，既不同于经典

波的性质，又不同于经典粒子的性质。

微观粒子的粒子性是指微观粒子的原子性或颗粒性。具体可以作如下理解：微观粒子总是以具有确定的质量，电荷等内禀属性的物质客体在实验中出现，但这种内禀属性在一定条件下以一种不可再分割的（注意经典粒子的内禀属性是可分割的）颗粒形式表现出来。如质子、电子，它们各自都有确切的质量、电荷。但它们的质量、电荷却不能再分割，其量值是固定不变的。若再分割，则不是原来的质子、电子了。且微观粒子的运动并不遵守牛顿定律，并不与“有确切的运动轨道”的经典概念有什么必然联系。

微观粒子的波动性是指微观粒子的运动规律表现为波动性中最本质的东西———波的迭加性。与微观粒子相联系的物质波，并不代表某种实际物理量的波动，而只是描述粒子在空间出现的几率分布的几率波。所以微观粒子的波动性即是“几率波”的迭加性。这种波动性并不与实际可测量的真实波动有任何必然联系。

微观粒子的波动性与粒子性的联系同光的波动性与粒子性的关系一致。具有确定的能量E和动量P的粒子其相应的物质波的频率和波长是

，

上两式左边是微观粒子的能量和动量，它们代表微观粒子的粒子性；右边是粒子的相应物质波的波长和频率。两种性质通过德布罗意关系式联系起来。

微观粒子波动性的认识过程是首先由德布罗意在1924年提出物质波假设，即实物客体

也应该具有波动

性。后于1927年由戴维逊和革末用电子衍射实验所证明。以后陆续有原子衍射，中子衍射等，证明了实物粒子的波动性。从此，微观粒子的波粒二象性就被完全确定下来了。

8. 光的波动性有大量的实验事实如干涉，衍射和光的电磁理论的支持，是早被人们所认识到的。但是直至十九世纪末，人们发现的黑体辐射，光电效应等现象却揭示出把光看作波动的局限性。这就提示我们，光除了波动性的一面外，还应该具有粒子性的一面。人们对光的粒子性是通过对黑体辐射，光电效应等现象的研究中逐步地认识和掌握的。

光的粒子性，其主要的实验证据有三：黑体辐射,光电效应,康普顿效应.在这实验中所表现出的实验规律，用经典理论无法解释。

为了解释黑体辐射的实验规律，普朗克提出了能量子假说：黑体以hν为能量单位不连续地发射和吸收频率为ν的辐射，而不是象经典理论所要求的那样可以连续地发射和吸收辐射能量。能量单位hν称为能量子，h是普朗克常数。基于这一假定，普朗克推得了与实验结果符合很好的黑体辐射公式。黑体辐射问题的成功解释说明电磁辐射（光）的能量是量子化的，是不连续的。这就是光的粒子性的一种表现。因此，黑体辐射是光的粒子性的实验证据之一，而普朗克的量子假设就成为光的

粒子性的理论基础之一。

为了解释光电效应现象，爱因斯坦提出了如下的光量子假设：电磁辐射不仅在被发射和吸收时以能量为hν的微粒形出现，而且以这种形式以速度Ｃ在空间运动。这种能量为hν的微粒称为光量子，简称光子。按照爱因斯坦假设，光是由光子组成，发射和吸收的是光子，在空间传播的也是光子。因此光是粒子，是具有粒子性的。这样，爱因斯坦就成为第一个完全肯定光除了具有波动性之外还具有粒子性的科学家。光子学说成为光的粒子性的主要理论依据，光电效应成为光的粒子性的重要实验证据。

康普顿以爱因斯坦的光子理论为依据，成功解释了康普顿效应，既证明了光子的存在，也证明了光是具有粒子性的客体。

光子是光的波动性和粒子性的统一体。光子的能量和动量是：

9. 微观粒子的波动性 ：是指微观粒子的运动规律表现为波动性中最本质的东西———波的迭加性。而与微观粒子相联系的物质波，并不代表某种实际物理量的波动，而只是描述粒子在空间出现的几率分布的几率波。所以微观粒子的波动性即是“几率波”的迭加性。这种波动性并不与实际可测量的真实波动有任何必然联系。

微观粒子的波动性与粒子性的联系：同光的波动性与粒子性的关系一样，具有确定的能量E和动量P的粒子其相应的物质波的频率和波长是

上两式左边是微观粒子的能量和动量，它们代表微观粒子的粒子性；右边是粒子的相应物质波的波长和频率，是描述微观粒子波动性的。两种性质通过德布罗意关系式联系起来。

微观粒子波动性的认识过程是首先由德布罗意在1924年提出物质波假设，即实物客体也应该具有波动

性。后于1927年由戴维逊和革末用电子衍射实验所证明。此后，陆续有中子衍射，原子衍射等，证明了实

物粒子的波动性。从此，微观粒子的波动性就被完全确定下来了。10. 首先从概念上予以区分：

经典粒子：是指具有经典概念下的粒子性，可以抽象成质点的实物客体。即经典粒子可以具有确定的质量、电荷等内禀性质，但这些性质都具有可分割性；其运动规律遵守牛顿运动定律，在空间必然存在确定的轨道。或者可以简单地说：经典粒子等价于实物，但其线度以可以抽象为质点为条件。经典粒子都作轨道运动。

微观粒子：是指具有波粒二象性的物质客体。如分子、原子、质子、中子、电子等，线度在原子尺度以下的实物客体。它们也可以象经典粒子一样具有确定的质量，电荷等内禀属性。但它们的这些内禀属性在一定条件下具有不可分割性。这就是微观粒子的“粒子性”，显然它不同于经典粒子性。另外，微观粒子除了粒子性外，还具有波动性，它与一定的物质波相联系，遵这物质波的迭加性。因此，微观粒子与经典粒子的主要区别是微观粒子具有波粒二象性，而经典粒子只具有经典概念下的粒子性。当然微观粒子的粒子性既不同于经典的粒子性，微观粒子的波动性也不同于经典的波动性。

再从状态描述方式上区别：经典粒子的状态用坐标，动量等力学量来描述，在确定的状态下，体系的各种力学量都有确定值。但微观粒子由于具有波粒二象性，它的状态要用波函数来描写。而且在给定的状态下，粒子的各种力学性质一般并不是惟一确定。

库Ⅱ. 第二类：证明题

41. 证明在定态下

几率流密度矢量与时间无关。

42. 证明在定态下，一维线谐振子在x≥0的区域的几率等于

．

43. 在一维势场中运动的粒子，势能对原点对称：U（－

x）=U（x）．证明粒子的定态波函数具有确定的宇称。

44. 证明：厄米算符的本征值为实数。

45. 证明：动量算符是厄米算符。

46. 证明：当氢原子处于基态时，电子与核的距离为

处几率最大。

47. 证明：如果两算符有构成完全系的本征函数系，则两算符对易。

48. 证明：如果两算符对易，则两算符有构成完全系的本征函数完全系。

49. 证明对易关系

50. 利用对易关系

，证明角动量算符

均对易。

证明题 答案

41. 证： ∵ 几率流密度矢量

，

∴

［

］

注意到算符

与时间无关，则有

［

］

显然

不含时间，故有

。

证毕。

42 证： 线谐振子的定态波函数为

，

则在全空间出现的总几率为

．

考虑到

是实函数，

∴

故

．

43. 证： 一维势场

，则哈密顿为

，

则定态薛定格方程为：

， ①

上式两边作反演，以－x代替x则有，

， ②

由于哈密顿反演不变

，

所以方程②变为

③

即

④

④与①比较知，

都是体系的薛定格方程的定态波函数，对应于同一定态能量。按波函数的性质它们相差一个常数。即

， ⑤

将⑤代入④代右边得

⑥

将⑥两边作反演得

⑦

将⑤代入⑦代右边得

∴

⑧

当

时，有

∴ 波函数具有奇宇称。

当

时，有

∴ 波函数具有偶宇称。

证毕。44. 证： 设

为厄米算符，

是对应于本征值λ的本征函数，则有

①

按厄米算符的定义，有

②

其中

是任意函数，取

＝

，则有

③

利用①则有

③

变形为

所以，有

，

即本征值为实数。

证毕。

45. 证： 对动量算符的一个分量

，有

证毕

46. 证： 电子在半径r到r+dr的球壳内找到电子的几率是

所以电子在距核的距离为r处的几率密度是

，

对基态

，

则几率密度为

；

上式求导得

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