名校真题精讲（共7讲） - 第04讲 - 工程行程专题-学生版

第4讲 工程与行程专题

一、 工程问题中的基本量与基本公式

1．工程问题的三个基本量

（1）工作时间（2）工作总量（3）工作效率 2．基本公式：工作时间×工作效率=工作总量

二、 工程问题的常见类型

1．基本效率计算 关键在于计算效率 2．中途离开或加入型

算清楚每个人工作的时间或合作时间 3．来回帮忙型

先明确每件工作的工作量和每个人的工作效率，再利用所有人都在同时干活，总工作量除以总工作效率等于总时间，然后可以根据总时间算出每个人具体的工作安排 4．具有周期性的工程问题

（1）轮流工作型：先处理合作部分，再处理剩余工作量 （2）间隔休息型：先考虑一个周期各自的工作量，再分段处理 5．水管问题和牛吃草问题

（1）水管问题：注意是否有“帮倒忙”的水管 （2）牛吃草问题：设效率，比较总量

三、 行程问题的基本公式

速度×时间=路程

1．相遇问题：速度和×相遇时间=路程和 2．追及问题：速度差×追及时间=路程差

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四、 钟表问题

1．钟表问题求解钟面上分针和时针的相遇与追及 2．钟表问题中的路程通常用“度”或“格”表示

3．不论采用哪种单位来度量，分针的速度都是时针速度的12倍 4．常见题型

（1）追及型：分针、时针同向走到某特殊位置，如“成直角”“重合”等

（2）相遇型：“时针和分针恰好调换位置”等，例如上某节课，课前看了一下表，下课时又看表，发现恰好和上课前比时针、分针对调了位置，而这节课大约2小时，那么时针和分针路程和就是2圈，视为钟面上的相遇问题

（3）快慢钟：先算出钟的速度比，然后注意条件中给的时间过程是哪个钟的

五、 火车问题

1．火车过桥 路程=车长+桥长 2．火车过人

（1）人站立不动，过人的速度为火车本身的速度，路程为火车的车长 （2）人迎向火车，过人的速度为火车与人的速度之和，路程为火车的车长 （3）人背向火车，过人的速度为火车与人的速度之差，路程为火车的车长 3．火车错车问题

（1）快车追上并超过慢车，路程差等于两车的车长之和 （2）两车相遇并错车，路程和等于两车的车长之和

六、 流水行船问题

1．基本公式

（1）顺水速度＝船速＋水速； （2）逆水速度＝船速—水速；

（3）船速＝（顺水速度＋逆水速度）÷2； （4）水速＝（顺水速度—逆水速度）÷2．

※注意：在流水行船的问题中，一般船会有三种速度——静水速度、顺水速度、逆水速度，在解题时，要特别注意船的航行方向，不要算错速度． 2．重要结论：

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（1）在一个相遇过程中，甲、乙两船的速度和就是两船的静水速度和； （2）在一个追及过程中，甲、乙两船的速度差就是两船的静水速度差；

（3）如果在行船过程中掉落一个无动力的漂浮物，且船静水速度不变，那么从丢失到发现的时间等于从发现到追回的时间，即“离开多久，追回多久”

七、 环形路线问题

1．环形路线中的相遇与追及

环形路线中的相遇与追及和直线上的相遇与追及类似．

同向而行 相向而行

乙 甲 甲 起点 路程和是跑道的周长 乙 起点 路程差是跑道的周长 追及时间＝周长÷（甲速－乙速） 相遇时间＝周长÷（甲速＋乙速）

2．环形路线中的周期性

从同一点出发，第N次相遇时，两人所走的路程和是N个周长； 从同一点出发，第N次追上时，两人所走的路程差是N个周长．

3．较复杂的环形路线问题

由于在环形路线上可以回到起点，与直线上的行程问题相比，环形路线上的行程问题会更加复杂．做题的时候要注意．

八、 行程综合问题

多次往返、变速问题、扶梯问题、间隔发车等

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一、工程问题

11例1. （2012年，西城区）一件工程，甲5小时完成了工作的，乙6小时完成了剩下的，余下的工作

25由甲、乙合作完成，还需要_____小时．

例2. （2011年，海淀区）甲、乙两位老师一起批改试卷，甲单独批改需要20小时，乙单独批改需要15

小时．现在两个人一起批改，由于批改时会相互影响，每小时共少批改30张试卷，结果用9小时批改完．那么这批试卷共_______张．

例3. （2012年，西城区）一件工作，小明单独做要20天，小强单独做需要30天，小强工作几天后，小

明才加入来一起做．这件工作最后一共用了15天完成，那么小明与小强合作了______天

例4. （2011年，海淀区）有A、B两项工程，A工程的工作量是B工程的2倍，甲单独完成A工程需要

20天，乙单独完成B工程需要24天，丙单独完成B工程需要40天．现在甲、乙、丙三个人同时开始工作，甲一直做A工程，乙一直做B工程，丙先帮甲做了一段时间，后来又帮乙做，最后两个工程同时完成，则丙帮乙做_______天．

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例5. （2012年，海淀区）一项工程，甲单独做需6小时，乙单独做需10小时，若甲先做1小时，然后乙

解题甲做1小时，再由甲解题乙做1小时??两个人如此交替工作，那么完成任务共用时______小时．

例6. （2011年，西城区）有甲、乙两个工程队，甲工程队每工作6天休息1天，乙工程队每工作5天休

息2天．一项工程，甲队单独做需经104天完成，乙队单独做需经82天，如果两队合作，需要____天可以完成整个工程．

例7. （2012年，海淀区）一个水池装有两个相同的进水管和一个排水管．如果只开一个排水管，则6小

时可以将一个池子排空；如果开一个进水管和一个排水管，3小时可以将空池灌满．现在将两个进水管和一个排水管同时打开，那么_______小时能将空池灌满．

例8. （2009年，海淀）牧场上的草每天都匀速生长．这片草可供27头牛吃6周，或23头牛吃9周．那

么，这片草可供21头牛吃_______周．

例9. 李大爷在草地上放养一群牛，草地每天均匀生长，若他再买3头牛，则会提前两天将草吃完；若他卖

出3头牛，则会推迟4天才吃完草，那么这片草放养原先那群牛，会用多少天将草吃完？

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作业9. （2011年，海淀）两个孩子逆着自动扶梯的方向行走．20秒内男孩可以走28级，女孩可以走24

级，按此速度，男孩共用2分钟到达另一端，而女孩用3分钟才能到达，则扶梯静止时共_______级．

作业10. （2012年，海淀）如图跑道，沿ACBEA走一大圈是400米，沿ACBDA走一小圈是275米，其中

从A到B的直线距离是75米．甲、乙两人同时从A点出发练长跑，甲沿ACBDA跑小圈，每100米用时24秒，乙沿ACBEA跑大圈，每100米用时21秒．问 （1）乙跑第几圈时第一次与甲相遇？

（2）出发后多长时间甲、乙再次在A点相遇？

作业11. 圆形跑道的40%是平地，60%则设置了跨栏（图中粗线部分）．甲、乙两人的平均速度分别为5米

/秒和6米/秒，跨栏速度分别4米/秒和3米/秒．第一次两人从A点出发逆时针跑，甲先跑了5秒，之后乙再出发．结果两人在第一圈相遇了两次，且两次相遇的间隔为18秒．问： （1）跑道总长为多少米？

（2）如果两人从A点出发顺时针跑，而且在跑第一圈时也相遇了两次，且两次相遇时间间隔为45秒，那么甲和乙应该谁先跑，先跑多少秒？

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