2013年北京高考模拟押题卷文科数学(五)

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2013年普通高等学校招生全国统一考试

数学（文）（北京卷）·押题卷五

本试卷共5页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第I 卷（选择题，共40分）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．

（1）．设{}B x A x x B A ?∈=-且，若{}3,4,5

,2,1=A ，{}9,7,5,3=B ， 则B A -等于（ ）

(A) {},9,7,5,4,3,2,1 (B) {}4,2,1 (C) {}9,7,4,2,1 (D) {}5,3

（2）已知i 是虚数单位，则复数2z 12i+3i =+所对应的点落在（ ）

（A ）第一象限 （B ）第二象限

（C ）第三象限 （D ）第四象限

（3）命题:0,sin 1p x x ?>≥-都有，则

（ ）

A ．:0,sin 1p x x ??><-使得

B ．1sin ,0:-<>??x x p 使得

C ．:0,sin 1p x x ??>>-使得

D ．1sin ,0:-≥>??x x p 使得

（4）设,x y R +∈ 且191x y

+=，则x y +的最小值为 (A)10 (B)12 (C) 14 (D) 16

（5）不等式组1,40,0x x y kx y ≥??+-≤??-≤?

表示面积不为1的直角三角形区域，则k 的值为

A. 0

B. 1

C. 2

D.3

2 （6）茎叶图0 4 9 1 1 6 6 7 94 5 2 5 甲 54

32101

9

8 38 6 36

4 38

乙

中，甲组数据的中位数是 （ ）

（A ）31 （B ）5.332

3631=+（C ）36 （D ） （7）某四棱锥的三视图如图所示，则最长的一条侧棱长度是（ ） A

B

．

C ．5 D

（8）设00(,)M x y 为抛物线2:8C y x =上一点，F 为抛物线C 的焦点，若以F 为圆心，FM 为半径的圆和抛物线C 的准线相交，则0x 的取值范围是

（A ）(2,)+∞

（B ）(4,)+∞ （C ）(0,2) （D ）(0,4)

第II 卷（非选择题，共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且21()n n S a n *

=-∈N ，则5a =_____． （10）．如图，在矩形ABCD 中，

BC =2，点E 为BC 的中点，

点F 在边CD 上，若AB ·AF

=，则AE ·BF 的值是

____ ．

3 （11）某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒

与18秒之间．将测试结果分成5组：[1314),

，[1415),， [1516),，[1617),，[1718],，得到如图所示的频率分

布直方图．如果从左到右的5个小矩形的面积之比为

1:3:7:6:3，那么成绩在[16,18]的学生人数是_____．

（12）设变量x ，y 满足11,11,

x y x y -≤+≤??-≤-≤? 则2x y +的最小值是_____． （13）已知函数213(),2,()24log ,02x x f x x x ?+≥?=??<<?，

则((2))f f 的值为 ；函数()()g x f x k =-恰有两个零点，则实数k 的取值范围是 .

（14）.已知函数'()f x 、'()g x 分别是二次函数()f x 和三次函数()g x 的导函数，它们在同一坐标系下的图象如图所示:

①若(1)1f =，则(1)f -= ；

② 设函数()()h x f x g

=-则(1),(0),(1)h h h -的 大小关系为 .（用“<”连接）

)

x

4 三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）

在△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

且s i n s b A B =． （Ⅰ）求角B ；

（Ⅱ）若b =ac 的最大值．

（16）（本小题共13分）

已知直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，且F E D ,,分别为11,,AA BB BC 的中点. (I) 求证：平面//1FC B 平面EAD ；

（II ）求证：⊥1BC 平面EAD .

D 1

C F E B A C 1A 1B

（17）（本小题共14分）由世界自然基金会发起的“地球1小时”活动，已发展成为最有影响力的环保活动之一，今年的参与人数再创新高.然而也有部分公众对该活动的实际效果与负面影响提出了疑问.对此，某新闻媒体进行了网上调查，所有参与调查的人中，持“支持”、“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示：

（Ⅰ）在所有参与调查的人中，用分层抽样的方法抽取n个人，已知从“支持”态度的人中抽取了45人，求n的值；

（Ⅱ）在持“不支持”态度的人中，用分层抽样的方法抽取5人看成一个总体，从这5人中任意选取2人，求至少有1人20岁以下的概率；

（Ⅲ）在接受调查的人中，有8人给这项活动打出的分数如下:9.4，8.6，9.2，9.6，8.7，9.3，9.0，8.2.把这8个人打出的分数看作一个总体，从中任取1个数，求该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率.

5

6 （18）（本小题共14分） 已知函数2

1()2e 2x f x x x a =-+-.

（Ⅰ）若1a =，求()f x 在1x =处的切线方程；

（Ⅱ）若)(x f 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围.

（19）（本小题共14分）

如图，等边三角形OAB

的边长为 物线)0(2:2>=p py x E 上。

（I ）求抛物线E 的方程；

（II ）设动直线l 与抛物线E 相切于点P ，与直线1-=y 相交于

点Q 。证明：以PQ 为直径的圆恒过y 轴上某定点。

7 （20）（本小题共14分）

设A 是由n 个有序实数构成的一个数组，记作：12(,,,,,)i n A a a a a = .其中i a (1,2,,)i n = 称为数组A 的“元”，i 称为i a 的下标. 如果数组S 中的每个“元”都是来自 数组A 中不同下标的“元”，则称S 为A 的子数组. 定义两个数组12(,,,)n A a a a = ，12(,,,)n B b b b = 的关系数为1122(,)n n C A B a b a b a b =+++ .

（Ⅰ）若11(,)22

A =-，(1,1,2,3)

B =-，设S 是B 的含有两个“元”的子数组，求(,)

C A S 的最大值；

（Ⅱ）若A =，(0,,,)B a b c =，且2221a b c ++=，S 为B 的含有三个“元”的子数组，求(,)C A S 的最大值.

8

（15）（共13分）

解：

（Ⅰ）因为sin cos b A B =，

由正弦定理可得sin sin cos B A A B =， 因为在△ABC 中，sin 0A ≠，

所以tan B =又0B <<π， 所以3

B π=. （Ⅱ）由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-， 因为3

B π=

，b = 所以2212a c ac =+-.

因为222a c ac +≥，

所以12ac ≤.

当且仅当a c ==ac 取得最大值12.

16证明：（Ⅰ）由已知可得1//AF B E ，1AF B E =，

∴四边形E AFB 1是平行四边形，

∴1//FB AE ， ……………1分

AE ? 平面FC B 1，1FB ?平面FC B 1， //AE ∴平面FC B 1； ……………2分

又 E D ,分别是1,BB BC 的中点，

∴C B DE 1//， ……………3分 ED ? 平面FC B 1，1B C ?平面FC B 1， //ED ∴平面FC B 1； ……………4分 ,AE DE E AE =? 平面EAD ，ED ?平面EAD ， ……………5分 D 1

C F

E B A C

1A 1B

9 ∴平面FC B 1∥平面EAD . ……………6分

(Ⅱ) 三棱柱111C B A ABC -是直三棱柱，

∴⊥C C 1面ABC ，又 ?AD 面ABC ，

∴⊥C C 1AD . ……………7分

又 直三棱柱111C B A ABC -的所有棱长都相等，D 是BC 边中点，

∴ABC ?是正三角形，∴BC AD ⊥， ……………8分

而1C C BC C = ， 1CC ?面11B BCC ，BC ?面11B BCC ，

⊥∴AD 面11B BCC ， ……………9分

故 1AD BC ⊥ . ……………10分

四边形11BCC B 是菱形，∴C B BC 11⊥， ……………11分

而C B DE 1//，故 1DE BC ⊥ , ……………12分

由D DE AD = AD ?，面EAD ，ED ?面EAD ，

得 ⊥1BC 面EAD . ……………13分

17.（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意得80010080045020010015030045n

++++++=， ……………2分 所以100n =. ……………3分 （Ⅱ）设所选取的人中，有m 人20岁以下，则2002003005

m =+，解得2m =.………5分 也就是20岁以下抽取了2人，另一部分抽取了3人，分别记作A 1，A 2；B 1，B 2，B 3， 则从中任取2人的所有基本事件为 (A 1,B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2 ,B 1)，(A 2 ,B 2)，(A 2 ,B 3)，(A 1, A 2)，(B 1 ,B 2)，(B 2 ,B 3)，(B 1 ,B 3)共10个. ………7分

其中至少有1人20岁以下的基本事件有7个：(A 1, B 1)，(A 1, B 2)，(A 1, B 3)，(A 2 ,B 1)，(A 2 ,B 2)，(A 2 ,B 3)，(A 1, A 2)， …………8分

所以从中任意抽取2人，至少有1人20岁以下的概率为

710. ……………9分 （Ⅲ）总体的平均数为1(9.48.69.29.68.79.39.08.2)98

x =+++++++=，………10分

10 那么与总体平均数之差的绝对值超过0.6的数只有8.2， ……………12分 所以该数与总体平均数之差的绝对值超过0.6的概率为

81. ……………13分

18：

（Ⅰ）由1a =，21()2e 2x f x x x =-+-，3(1)e 2

f =-， ………1分 所以()2e x f x x '=-+-. …………3分 又(1)1e f '=-，

所以所求切线方程为3(e)(1e)(1)2y x --=--即2(1e)210x y --+=. …………5分 （Ⅱ）由已知21()2e 2

x f x x x a =-+-，得()2e x f x x a '=-+-. 因为函数)(x f 在R 上是增函数，

所以()0f x '≥恒成立，即不等式 2e 0x x a -+-≥恒成立.………………9分 整理得2e

x x a -+≤

. 令2(),e x x g x -+=3().e x x g x -'=

………………11分 ,(),()x g x g x '的变化情况如下表：

由此得3(3)e a g a -≤-=，即的取值范围是(

3,e -?-∞-?. ………………13分

11 19

解答：

（I ）设1122(,),(,)A x y B x y ；则2211222,2x py x py ==

222222

11221122

1212121222()(2)0(2,,0)OA OB x y x y py y py y y y p y y y y p y y =?+=+?+=+?-++=?=> 得：点,A B 关于y 轴对称（lfxlby ）

(OA OB AB A B ===?-

代入抛物线E 的方程得：2

22x p y

==?抛物线E 的方程为24x y =

（II ）设200(,)4

x P x ；则21142y x y x '=?= 过点P 的切线方程为200011()42y x x x x -=-即2001124

y x x x =- 令200

41(,1)2x y Q x -=-?- 设(0,)M t 满足：0MP MQ = 及20

000

4(,),(,1)2x MP x y t MQ t x -=-=-- 得：2204(2)(1)0t t t x +-+-=对00x ≠均成立

220,101t t t t ?+-=-=?=

以PQ 为直径的圆恒过y 轴上定点(0,1)M

（20）（共13分）

解：（Ⅰ）依据题意，当)3,1(-=S 时，(,)C A S 取得最大值为2．

（Ⅱ）①当0是S 中的“元”时，由于A 的三个“元”都相等，及B 中c b a ,,三个“元”

的对称性，可以只计算(,))C A S a b =+的最大值，其中1222=++c b a ． 由22222222()22()2()2a b a b ab a b a b c +=++≤+≤++=，

12 得

a b ≤+≤

当且仅当0c =

，且a b ==

b a +

于是(,))C A S a b =+= ②当0不是S

中的“元”时，计算(,))C A S a b c =

++的最大值， 由于1222=++c b a ，

所以bc ac ab c b a c b a 222)(2222+++++=++．

3)(3222=++≤c b a ，

当且仅当c b a ==时，等号成立． 即当33===c b a 时，c b a ++

(,))1C A S a b c =++=． 综上所述，(,)C A S 的最大值为1．

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