YALE 浙江高考(文科)解析几何(抛物线) 解答题--最值问题2015-6-16

浙江高考（文科）解析几何（抛物线）解答题---最值问题

51. 已知抛物线x2=2py（p＞0）的焦点为F，点A为抛物线上的一点，其纵坐标为1，|AF|=. 4

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设B，C为抛物线上不同于A的两点，且AB⊥AC，过B，C两点分别作抛物线的切线，记两切线的交点为D，求|OD|的最小值．

2. 已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1，0）的距离减去它到y轴距离的差都是1．

（1）求曲线C的方程；

（2）已知点P是曲线C上一个动点，点Q是直线x+2y+5=0上一个动点，求|PQ|的最小值．

3. 已知△ABP的三个顶点在抛物线C：x2=2py上，F为抛物线C的焦点，点M为AB的中 222 点， 3.（1）若M ，求抛物线C方程；（2）若p>0，且p为常数，, 33

试求线段AB长的最大值.

4. （2014年1月浙江学业水平考试）如图，设直线l

: y=kx+∈R)与抛物线C：y=x2相

交于P，Q两点，其中Q点在第一象限.

（1）若点M是线段PQ的中点，求点M到x轴距离的最小值；

（2）当k>0时，过点Q作y轴的垂线交抛物线C于点R，若PQ PR＝0，求直线l的方程.

x

5. 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,-1)，B点在直线y = -3上，M点满足MB//OA，

，M点的轨迹为曲线C。

（Ⅰ）求C的方程；

（Ⅱ）P为C上的动点，l为C在P点处得切线，求O点到l距离的最小值。

6. 已知平面内一动点P到点F(1，0)的距离与点P到y轴的距离的差等于1．

(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程；

(Ⅱ)过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1，l2，设l1与轨迹C相交于点A，B，l2与轨迹C相交于点D，E，求 的最小值．

7. （2013浙江 文）已知抛物线C的顶点为O(0,0)，焦点为F(0,1)．(1)求抛物线C的方程；

(2)过点F作直线交抛物线C于A，B两点．若直线AO，BO分别交直线l：y＝x－2于M，N两点，求|MN|的最小值．

8. 如图，已知抛物线C：x2=2py（p＞0）与圆O：x2+y2=8相交于A、B两点，且 OA

OB =0（O为坐标原点），直线l与圆O相切，切点在劣弧AB（含A、B两点）上，且与抛物线C相交于M、N两点，d是M、N两点到抛物线C的焦点的距离之和． （Ⅰ）求p的值；

（Ⅱ）求d的最大值，并求d取得最大值时直线l的方程．

9. 已知抛物线C：y2=2px（p＞0），M点的坐标为（12，8），N点在抛物线C上，且满足

10. ON=34OM，O为坐标原点．

11. （Ⅰ）求抛物线C的方程；

12. （Ⅱ）过点M作倾斜角互补的两条直线l1，l2，l1与抛物线C交于不同两点A，B，l2

与抛物线C交于不同两点D，E，弦AB，DE的中点分别为G，H．求当直线l1的倾斜角在[π6，π4]时，直线GH被抛物线截得的弦长的最大值．

13. 已知抛物线y2=4x，点F是抛物线的焦点，点M在抛物线上，O为坐标原点．

（1）当FM OM 4时，求点M的坐标；

（2

的最大值．

14. （2013广东 理）已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F 0,c c 0 到直线l:x y 2

点.

(Ⅰ) 求抛物线C的方程；

(Ⅱ) 当点P x0,y0 为直线l上的定点时,求直线AB的方程；

(Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF BF的最小值.

15. （2013湖南 理）过抛物线E:x2 2py(p 0)的焦点F作斜率分别为k1,k2的两条不同的

直线l1,l2，且k1 k2 2，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D。以AB，CD为直径的圆M，圆N（M，N为圆心）的公共弦所在的直线记为l。

（I）若k1 0,k2 0，证明；FMFN 2P2；

（II）若点M到直线l

的距离的最小值为，求抛物线E的方程。 .设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切

16. 已知焦点为F，准线为l的抛物线Γ：x2=2py（p＞0）经过点 23,3，其中A，B是抛

物线上两个动点，O为坐标原点．

（1）求抛物线Γ的方程．

（2）若∠AFB=90°，线段AB的中点M，点M在直线l上的投影为N，求

17. 已知抛物线y2=2px（p＞0），焦点为F，一直线l与抛物线交于A、B两点，且|AF|+|BF|=8，

且AB的垂直平分线恒过定点S（6，0）.

①求抛物线方程；

②求△ABS面积的最大值．

MNAB 的最大值．

18. （2009浙江 文）已知抛物线C：x2 2py(p 0)上一点A(m,4)到其焦点的距离为 （I）求p与m的值；

（II）设抛物线C上一点P的横坐标为t(t 0)，过P的直线交C于另一点Q，交x轴于点17． 4M，过点Q作PQ的垂线交C于另一点N．若MN是C的切线，求t的最小值．

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