高中数学知识点总结：双曲线

高中数学知识点总结：双曲线

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双曲线方程

1. 双曲线的第一定义：

⑴①双曲线标准方程：

一般方程：

⑵①i. 焦点在x轴上：

顶点：焦点：准线方程

渐近线方程：

或

ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：

渐近线方程：或，参数方程：

或.

②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c.

③离心率.

④准线距(两准线的距离);通径

⑤参数关系

⑥焦点半径公式：对于双曲线方程

(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点)

“长加短减”原则：

构成满足

(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)

⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：

⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为

时，它的双曲线方程可设为.

例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?

解：令双曲线的方程为：，代入得.

⑹直线与双曲线的

位置关系：

区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;

区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行

的直线，合计3条;

区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条; 区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;

区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.

小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.

(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积

同号.

⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P到两准线的距离比为m︰n.

简证：

常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.

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