2015年陕西省高考数学试题及答案（理科）及解析

2015年陕西省高考数学试卷（理科）

一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分

2

1．（5分）（2015?陕西）设集合M={x|x=x}，N={x|lgx≤0}，则M∪N=（ ） A． [0，1] B．（ 0，1] C． [0，1） D．（ ﹣∞，1] 2．（5分）（2015?陕西）某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（ ）

A． 93 137 B．1 23 C． D．1 67 3．（5分）（2015?陕西）如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin（

x+φ）+k．据此函数可知，这段时间水深（单位：m）的最大值为（ ）

A． 5 B．6 n

8 C． D．1 0 2

4．（5分）（2015?陕西）二项式（x+1）（n∈N+）的展开式中x的系数为15，则n=（ ）

A． 7 5 B．6 C． D．4 5．（5分）（2015?陕西）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

3π A．

B．4 π 2π+4 C． D．3 π+4 1

6．（5分）（2015?陕西）“sinα=cosα”是“cos2α=0”的（ ） A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 7．（5分）（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（ ） A． C． |（|≤|||| ）=|2充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 B． 2|（|≤|||﹣||| ）?（）=2| D． ﹣2 8．（5分）（2015?陕西）根据如图框图，当输入x为2006时，输出的y=（ ）

A． 2 B．4 10 C． D．2 8 9．（5分）（2015?陕西）设f（x）=lnx，0＜a＜b，若p=f（），q=f（），r=（f（a）

+f（b）），则下列关系式中正确的是（ ） A． q=r＜p B．p =r＜q C． q=r＞p D．p =r＞q 10．（5分）（2015?陕西）某企业生产甲、乙两种产品均需用A、B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ） 甲 乙 原料限额 3 2 12 A（吨） 1 2 8 B（吨）

2

A． 12万元 B．1 6万元 C． 17万元 D．1 8万元 11．（5分）（2015?陕西）设复数z=（x﹣1）+yi（x，y∈R），若|z|≤1，则y≥x的概率为（ ） A． B． C． D． + + ﹣ ﹣ 12．（5分）（2015?陕西）对二次函数f（x）=ax+bx+c（a为非零整数），四位同学分别给出

下列结论，其中有且只有一个结论是错误的，则错误的结论是（ ） A． ﹣1是f（x）的B．1 是f（x）的极零点 值点 C． 3是f（x）的极D．点 （2，8）在曲值 线y=f（x）上

二、填空题，共4小题，每小题5分，共20分 13．（5分）（2015?陕西）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 ．

14．（5分）（2015?陕西）若抛物线y=2px（p＞0）的准线经过双曲线x﹣y=1的一个焦点，则p= ．

15．（5分）（2015?陕西）设曲线y=e在点（0，1）处的切线与曲线y=（x＞0）上点P的切线垂直，则P的坐标为 ． 16．（5分）（2015?陕西）如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线所示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 ．

x2

2

2

2

三、解答题，共5小题，共70分

17．（12分）（2015?陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行． （Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．

3

18．（12分）（2015?陕西）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=

，AB=BC=1，

AD=2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点，将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2．

（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；

（Ⅱ）若平面A1BE⊥平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值．

19．（12分）（2015?陕西）某校新、老校区之间开车单程所需时间为T，T只与道路通畅状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：

30 35 40 T（分钟） 25 230 40 10 频数（次） 0 （Ⅰ）求T的分布列与数学期望ET； （Ⅱ）刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．

4

20．（12分）（2015?陕西）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的半焦距为c，原点O到经

过两点（c，0），（0，b）的直线的距离为c． （Ⅰ）求椭圆E的离心率；

（Ⅱ）如图，AB是圆M：（x+2）+（y﹣1）=的一条直径，若椭圆E经过A、B两点，求椭圆E的方程．

2

2

21．（12分）（2015?陕西）设fn（x）是等比数列1，x，x，…，x的各项和，其中x＞0，n∈N，n≥2．

（Ⅰ）证明：函数F（=f（﹣2在（，1）内有且仅有一个零点（记为xn），且xn=+xnx）nx）

；

2

n

（Ⅱ）设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为gn（x），比较fn（x）和gn（x）的大小，并加以证明．

四、选修题，请在22、23、24中任选一题作答，如果多做则按第一题计分．选修4-1：几何证明选讲

5

22．（10分）（2015?陕西）如图，AB切⊙O于点B，直线AO交⊙O于D，E两点，BC⊥DE，垂足为C．

（Ⅰ）证明：∠CBD=∠DBA；

（Ⅱ）若AD=3DC，BC=，求⊙O的直径．

五、选修4-4：坐标系与参数方程

23．（2015?陕西）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以原

点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ． （Ⅰ）写出⊙C的直角坐标方程；

（Ⅱ）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求P的直角坐标．

六、选修4-5：不等式选讲 24．（2015?陕西）已知关于x的不等式|x+a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}

6

（Ⅰ）求实数a，b的值； （Ⅱ）求+的最大值．

2015年陕西省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题，共12小题，每小题5分，共60分 1．（5分） 考并集及其运算． 点： 专集合． 题： 分求解一元二次方程化简M，求解对数不等式化简N，然后利用并集运算得答析： 案． 解解：由M={x|x2=x}={0，1}， 答： N={x|lgx≤0}=（0，1]， 得M∪N={0，1}∪（0，1]=[0，1]． 故选：A． 点本题考查了并集及其运算，考查了对数不等式的解法，是基础题． 评： 2．（5分） 考点： 收集数据的方法． 7

专题： 计算题；概率与统计． 分析： 利用百分比，可得该校女教师的人数． 解答： 解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为40×150%=60， ∴该校女教师的人数为77+60=137， 故选：C． 点评： 本题考查该校女教师的人数，考查收集数据的方法，考查学生的计算能力，比较基础． 3．（5分） 考由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 点： 专三角函数的图像与性质． 题： 分由题意和最小值易得k的值，进而可得最大值． 析： 解解：由题意可得当sin（x+φ）取最小值﹣1时， 答： 函数取最小值ymin=﹣3+k=2，解得k=5， ∴y=3sin（∴当当sin（x+φ）+5， x+φ）取最大值1时， 点评： 4．（5分） 考二项式定理的应用． 点： 专二项式定理． 题： 分由题意可得==15，解关于n的方程可得． 析： n2解解：∵二项式（x+1）（n∈N+）的展开式中x的系数为15， 答： ∴=15，即=15，解得n=6， 函数取最大值ymax=3+5=8， 故选：C． 本题考查三角函数的图象和性质，涉及三角函数的最值，属基础题． 点评： 5．（5分） 考由三视图求面积、体积． 点： 专计算题；空间位置关系与距离． 题： 分根据几何体的三视图，得出该几何体是圆柱体的一部分，利用图中数据求出它的表面故选：B． 本题考查二项式定理，属基础题． 8

析： 积． 解解：根据几何体的三视图，得； 答： 该几何体是圆柱体的一半， ∴该几何体的表面积为 S2几何体=π?1+π×1×2+2×2 =3π+4． 故选：D． 点本题考查了利用空间几何体的三视图求表面积的应用问题，是基础题目． 评： 6．（5分） 考必要条件、充分条件与充要条件的判断． 点： 专简易逻辑． 题： 分由cos2α=cos2α﹣sin2α，即可判断出． 析： 解解：由cos2α=cos2α﹣sin2α， 答： ∴“sinα=cosα”是“cos2α=0”的充分不必要条件． 故选：A． 点本题考查了倍角公式、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力，属于基础题．评： 7．（5分） 考平面向量数量积的运算． 点： 专平面向量及应用． 题： 分由向量数量积的运算和性质逐个选项验证可得． 析： 解答： 解：选项A正确，∵||=|||||cos＜，＞|， 又|cos＜，＞|≤1，∴||≤||||恒成立； 选项B错误，由三角形的三边关系和向量的几何意义可得||≥|||﹣|||； 选项C正确，由向量数量积的运算可得（）2=||2； 选项D正确，由向量数量积的运算可得（）?（）=2﹣2． 故选：B 点本题考查平面向量的数量积，属基础题． 评： 8．（5分） 考程序框图． 点： 9

专题： 分析： 解答： 图表型；算法和程序框图． 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的x的值，当x=﹣2时不满足条件x≥0，计算并输出y的值为10． 解：模拟执行程序框图，可得 x=2006， x=2004 满足条件x≥0，x=2002 满足条件x≥0，x=2000 … 满足条件x≥0，x=0 满足条件x≥0，x=﹣2 不满足条件x≥0，y=10 输出y的值为10． 故选：C． 本题主要考查了循环结构的程序框图，属于基础题． 点评： 9．（5分） 考点： 不等关系与不等式． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 由题意可得p=（lna+lnb），q=ln（）≥ln（）=p，r=（lna+lnb），可得大小关系． 解答： 解：由题意可得若p=f（q=f（）=ln（）=ln（）=lnab=（lna+lnb）， ）≥ln（）=p， r=（f（a）+f（b））=（lna+lnb）， ∴p=r＜q， 故选：B 点评： 本题考查不等式与不等关系，涉及基本不等式和对数的运算，属基础题． 10．（5分） 考点： 简单线性规划的应用． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元，然后根据题目条件建立约束条件，得到目标函数，画出约束条件所表示的区域，然后利用平移法求出z的最大值． 解答： 解：设每天生产甲乙两种产品分别为x，y顿，利润为z元， 则， 目标函数为 z=3x+4y．

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