2003年浙江省大学数学竞赛试题及解答

2003年浙江省大学生数学竞赛试题及解答（2003.12.6）

一．

计算题

1．求lim0x?0?xsin(xt)2dtxx5。

22．设G(x)???1tsintdt，求?1G(x)dx。

33．求

?0x2dx。 41?x2?nnk24．求lim?k?Cn。

n??n(n?1)k?1二．

求满足下列性质的曲线C：设p0(x0,y0)为曲线y?2x2上任一点，则

由曲线

x?x0,y?2x2,y?x2所围成区域的面积A与曲线

y?y0,y?2x2和C所围成区域的面积B相等。

三． 证明：锐角三角形内一点到三顶点联线成等角时，该点到三顶点距离之和为最小。 四． 五．

证明：|?20032004sint2dt|?1。 2003设?(x)在[0,1]上可导，且?(0)?0,(1)?1?。证明：对任意正数a,b，

ab??a?b。 必存在(0,1)内的两个数?与?，使

??(?)??(?)六．

求使得下列不等式对所有的自然数

n都成立的最小的数?：

1e?(1?)n?? 。

n

1

2003年浙江省高等数学竞赛试题及解答

一、计算题 1．求limx?0?0x0sin?xt?dtx52.

x2?解：limx?0xsin?xt?dtx5x22

?limx?0?01sinu2?dux x5? ?limx?00sinu2dux6sinx4?x2?lim 5x?06x

1sinx41?lim4?. 3x?0x32、设G解：G?2?x???1tsint3x3dt，求

?G?x?dx.

122?x??xsinx，G2?1??0，G?2???1tsint3dt，

212?G?x?dx?xG?x??? ?2G?2???11xG??x?dx x2sinx3dx

12

??13??2G?2????cosx?dx

13??1?2G?2???cos8?cos1?.

3

3、计算（1）

???0????11?x2x2dx，dx，dx . （2）?（3）?444001?x1?x1?x1?12??1?x??xdx??解（1）?dx 401?x01?x22x????11y???11dy?arctan|???， ??d(x?)??2??012y?2x222(x?)?2x2（2）由于I????01dx?1?x4x?1y???0??x2y2dx， dy??4401?x1?y 2

2I??(3)

??0??11?x2??dxdx??，所以 ?01?x41?x4222???0x2?? . dx41?x22n2?nk24、 求limCnk. ?n??n(n?1)k?1nn解 (1?x)?1?n?Ck?1nkn x ,k?Ck?1nkn?2n?1，

n(1?x)n?1??Ckxknk?1n?2nk?1，

?Ck?n?2knk?1n?1，

n(n?1)(1?x)k??Cnk(k?1)xk?2, k?1n(n?1)2nn?2k??Cnk(k?1), k?1n?Ckknk?12?n(n?1)2n?2k??Cnk k?1n?n(n?1)2n?2?n?2n?1?n(n?1)2n?2.

n12?n2?nk2n?2?所以lim. Ck?lim?n(n?1)2?nn??n(n?1)n??n(n?1)4k?1

四、设f(x)??x?axsint2dt，a?0，求证：对x?0，成立f(x)?1. x证明 令t?u， 由f(x)??(x?a)2x2sinu?12udu

cosu?(?)2ux2(x?a)21(x?a)2?3??2u2cosudu， 4x1111(x?a)2?3)??2u2du 得f(x)?(?2xx?a4x 3

1111?(?)?(?u)2xx?12x2?

1?2(x?1)2

1111111(?)?(?)?. 2xx?a2xx?axx?a2??11|?sintdt|?，|?sint2dt|?， xxxxx?a??11cots2dt?|，|?cost2dt|?， 同理有 |?xxxx五、设f(x)在[0,1]上连续, 在(0,1)内可导, 且f(0)?0, f(1)?1. 试证：对任意给定的正数a,b在(0,1)内存在不同的?, ?, 使得

ab??a?b ??f(?)f(?)a?1 a?ba a?b证明： 因为a,b均为正数, 所以0?又因为f(x)在[0,1]上连续, 由介值定理???(0,1), 使f(?)?f(x)在[0,?], [?,1]上分别应用拉格朗日中值定理

f(?)?f(0)?f?(?)(??0),??(0,?) f(1)?f(?)?f?(?)(1??),??(?,1) 注意到f(0)?0, f(1)?1, 于是上二式又化为

af(?)?a?b, 且f?(?)?0, ??f?(?)f?(?)b1?f(?)a?b? 1???, 且f?(?)?0 （2）

f?(?)f?(?)ab（1）＋（2）得1?a?b?a?b.

f?(?)f?(?)即

ab??a?b ??f(?)f(?) 4

x????1?????e? 有最小值，并求最小值. 六、证明：集合A????x?0,?1??x???????1?证明：（1）不等式?1??x??亦即?x???1?x??ln?e等价于???1???1，

x???1?ln?1??x??所以??A等价于?为

1f?x???x，?x?0?的上界，

?1?ln?1??x??按照确界的定义，即minA?supx?0?1?x，?x?0?，

f?x?.

（2）利用已得结果，可知

f??x??1?1?0，

?1?x1?x?ln2?1???x???1所以

f?x?在?0,???上单调递增，

f?x??limf?x?，

x???x?0于是sup（3）

x???limf?x??lim1?x??ln?1?x??lnx??ln?1?x??lnxx???

1??1???ln?1?x??lnx???x?1?x?x???

?limx???11?1?xx?lim

?1?x???ln?1?x??lnx???11xx???

1??1ln?1?x??lnx??1?x?????1?xx?

?limx???1?2x5

1ln?1?x??lnx?x?limx???1?2x

111??2?lim1?xxxx???123x

?lim?2x3?x??x?1?x???1?x???x???2?1?x?x2

1x1lim?， 2x???1?x21故minA?.

2

A2)dtf(n)?，证明 。 ?at2nbbA1AA证明 由f(n)??sin(nt?2)dt??sin(nt?2)d(nt?2)

aa2Atttn?3tb1A1A? ?[?cos(nt?2)]|b?()cos(nt?)dt， a2?a2A2Attn?3n?3ttb111得|f(n)|????()?dt

a2A2A2An?3n?3n?3abt12 ?2? 。

2An?3nb设A,n?0，0?a?b，f(n)?bsin(nt?设f(x)连续，?(x)??10f(x)f(xt)dt，且lim?A，A为有限数，

x?0x求??(x)，并讨论??(x)在x?0处的连续性。 解 由条件，可知f(0)?0； 当x?0时，?(x)??f(xt)dt?011xf(u)du， ?0x 6

??(x)?

f(x)1?2xx1?x0f(u)du，

?(0)??f(0)dt?f(0)?0，

0??(0)?limx?0?(x)??(0)x?01x?lim2?(f(u)?f(0))du

0x?0xf(x)?f(0)1?lim?f?(0)， x?02x2f(x)1xlim??(x)?lim(?2?f(u)du) x?0x?0xx0

?f?(0)?11f?(0)?f?(0)， 22于是??(x)在x?0处连续。

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