2010年高三数学高考易错典型习题专练：数列2

高考数学易错典型习题专练：数列

7、四川理22. （本小题满分14分）设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有

a4?ann?5Sn?1成立，记bn?1?a(n?N*)。

（I）求数列?bn?的通项公式；（II）记nc?b，求证：对任意正整数n都有T3n2n?b2n?1(n?N*)，设数列?cn?的前n项和为Tnn?2；（III）设数列?bn?的前n项和为Rn。已知正实数?满足：对任意正整数n,Rn??n恒成立，求?的最小值。

另一方面，当??4时，对一切的正整数n都有Rn?4n 事

实

上

，

对

任

意

的

正

整

数

k

，

有

b2n??b1n?8?5(?4)2k?25?1(?4)k?1?82??15(k1??26k?)

01(16)415?16k?40* ?8?当n为偶数时，设?8n?2m(m?N) ?kk(16?1)(16?4)则Rn?(b1?b2)?(b3?b4)?K?(b2m?1?b2m)<8m?4n当

n

为奇数时，设

n?2m?1(m?N*)

则Rn?(b1?b2)?(b3?b4)?K?(b2m?3?b2m?2)?b2m?1<8(m?1)?4?8m?4?4n

?对一切的正整数n，都有Rn?4n综上所述，正实数?的最小值为4……….14分

8、山东理（20）（本小题满分12分）等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上.（1）求r的值；（11）当b?2时，记 bn?2(lo2gan?x?1)n?(N? 证)明：对任意的n?N? ，不等式

b?1b1?1b2?1·······n?n?1成立 b1b2bn解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数的图像上

.

所

以

得

?xSn?nb?,r当

nn?1n?1时

,

a1?S1?b?r,当

n?2时,an?Sn?Sn?1?bn?r?(bn?1?r) ?b?b?(b?1)bn?1,又因为{an}为等比数列,所以r??1,公比为b,an?(b?1)bn?1

（2）当b?2时，an?(b?1)b则

n?1?2n?1, bn?2(log2an?1)?2(log22n?1?1)?2n

bn?12n?1b?13572n?1b?1b2?1?·······n????,所以1

b1b2bn2462nbn2nb?13572n?1b1?1b2?1·······n?????n?1成立. b1b2bn2462n下面用数学归纳法证明不等式

① 当n?1时,左边=

33,右边=2,因为?2,所以不等式成立. 22② 假设当n?k时不等式成立,即

b?13572k?1b1?1b2?1·······k?????k?1成立.b1b2bk2462k则当n?k?1时,左边=

b?1bk?1?1357b1?1b2?12k?12k?3 ·······k???????b1b2bkbk?12462k2k?22k?3(2k?3)24(k?1)2?4(k?1)?11?k?1????(k?1)?1??(k?1)?1 2k?24(k?1)4(k?1)4(k?1)所以当n?k?1时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.

【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.

9、广东理21．（本小题满分14分）已知曲线Cn:x2?2nx?y2?0(n?1,2,?)．从点P(?1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn?0)的切线ln，切点为P（1）求数列{xn}与{yn}的通项n(xn,yn)．公式；

（2）证明：x1?x3?x5???x2n?1?1?xnx?2sinn． 1?xnyn解：曲线Cn:(x?n)2?y2?n2是圆心为(n,0),半径为n的圆, 切线ln:y?kn(x?1) （Ⅰ）依题意有|nkn?kn|n2,又xn2?2nxn?yn2?0,yn?kn(xn?1) ?n,解得kn?2n?1kn2?12 联立可解得xn? （Ⅱ）nn?2n?1.

,yn?n?1n?1x11?xn1,2sinn?2sin 先证:x1?x3?x5???x2n?1??yn1?xn2n?12n?11, 2n?1证法一：利用数学归纳法 当n?1时, x1?11,命题成立; ?23 假设n?k时,命题成立,即x1?x3?x5???x2k?1?1, 2k?1 则当n?k?1时,x1?x3?x5???x2k?1x2k?1?

12k?1 x2k?1?2(k?2)2k?1

12k?124k2?16k?162k?1112 ∵(,故 )/[]??1??22(k?2)4k?8k?32(k?2)2k?32k?32(k?1)?1 ∴当n?k?1时,命题成立 故x1?x3?x5???x2n?1?1成立. 2n?12n?1， 2n?1nn?1?证法二：1?xn?n1?xn1?n?11?1，2n?1?2n2n?1(2n?1)2(2n?1)2??4n24n2?1x1?x3?x5???x2n?1?1?xn132n?1132n?11 ???????????242n352n?12n?11?xn下证1113 不妨设t??2sin?(0,],令f(t)?t?2sint,

32n?12n?12n?13则f?(t)?1?2cost?0在t?(0,3]上恒成立，故f(t)?t?2sint在t?(0,]上单调

33递减,

从而f(t)?t?2sint?f(0)?0,即11. ?2sin2n?12n?1综上, x1?x3?x5???x2n?1?1?xnx?2sinn成立. 1?xnyn10、江西理22．（本小题满分14分）各项均为正数的数列{an}，a1?a,a2?b，且对满足

m?n?p?q的正整数m,n,p,q都有

ap?aqam?an?.（1）当

(1?am)?(a1)?ap(1?aq)(1)n14a?,b?时，求通项an; .k.s.5.u.c.o.m （2）证明：对任意a，存在与a有关的

251常数?，使得对于每个正整数n，都有?an??.

?解：（1）由

ap?aqa1?ana2?an?1am?an得?.将?(1?am)?(1an)?a(p1?aq)(1(1?)a1)(1?an)(1?a2)(1?an?1)a1?142a?11?an11?an?11?an,a2?代入化简得an?n?1.所以??,故数列{}为等比数251?an31?an?11?anan?1?21?an13n?13n?1列，从而满足题设条件. ?n,即an?n.可验证，an?n3?13?11?an3

(2) 由题设

am?an的值仅与m?n有关,记为bm?n,则

(1?am)(1?an)bn?1?a1?ana?an?.

(1?a1)(1?an)(1?a)(1?an)?1a?1?1?a,?a?x?1a?1 考察函数 f(x)?(x?0),则在定义域上有f(x)?g(a)??,(1?a)(1?x)?2?a?1?a,0?a?1?故对n?N， bn?1?g(a)恒成立.又 b2n?*12an0?g(a)?,注意到,解上式得 ?g(a)22(1?an)1?g(a)?1?2g(a)1?g(a)?1?2g(a)g(a)??an?,

g(a)g(a)1?g(a)?1?2g(a)取??1?g(a)?1?2g(a)1,即有 ?an??..

?g(a)11、上海（理）（23）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。已知?an?是公差为d的等差数列，?bn?是公比为q的等比数列。 （1） 若an?3n?1，是否存在m、k?N，有am?am?1?ak?说明理由； （2） 找出所有数列?an?和?bn?，使对一切n?N,

**an?1?bn,并说明理由； an（3） 若a1?5,d?4,b1?q?3,试确定所有的p，使数列?an?中存在某个连续p项的和是

数列?bn?中的一项，请证明。

解 （1）由am?am?1?ak,得6m?5?3k?1， ……2分 整理后，可得k?2m?*4*，?m、k?N，?k?2m为整数， 3 ?不存在m、k?N，使等式成立。 ……5分 （2）解法一 若

an?1a1?nd?bn,即?b1qn?1， （*） ana1?(n?1)d

n?1（i）若d?0,则1?bq?bn， 当?an?为非零常数列，?bn?为恒等于1的常数列，满足要1求。7分

（ii）若d?0，（*）式等号左边取极限得lima1?nd式等号右只边只有当q?1?1,（*）

n??a?(n?1)d1时，才可能等于1，此时等号左边是常数，d?0，矛盾。综上所述，只有当?an?为非零常数列，?bn?为恒等于1的常数列，满足要求。……10分 解法二 设an?nd?c，若

an?1?bn，对n???都成立，且?bn?为等比数列，则an都

成

立

，

即

2anan?2?qan?1an?2an?1/?qan?1an，对

n???，

?(dn?c)(dn?2d?c)?q(dn?d?c)2，对n???都成立，?d2?qd2

n?112、湖北理19、（本小题满分13分）已知数列?an?的前n项和Sn??an?()?2（n为正

12整数）。

（Ⅰ）令bn?2nan，求证数列?bn?是等差数列，并求数列?an?的通项公式；

n?15nan，Tn?c1?c2?........?cn试比较Tn与的大小，并予以证明。 n2n?11n?11解析：（I）在Sn??an?()?2中，令n=1，可得S1??an?1?2?a1，即a1?

221n?21?an?Sn?Sn?1??an?an?1?()n?1， 当n?2时，Sn?1??an?1?()?2，22（Ⅱ）令cn?

1?2an?an?1?()n?1,即2nan?2n?1an?1?12?bn?2nan,?bn?bn?1?1,即当n?2时，bn?bn?1?1.

又b1?2a1?1,?数列bn?是首项和公差均为1的等差数列. 于是bn?1?(n?1)?1?n?2an,?an?(II)

由

（

I

）

得

n?n. 2ncn?n?11an?(n?1)()nn2，

所

以

1111Tn?2??3?()2?4?()3?K?(n?1)()n

222211111Tn?2?()2?3?()3?4?()4?K?(n?1)()n?1 22222112131n1n?1由①-②得Tn?1?()?()?K?()?(n?1)()

2222211[1?()n?1]13n?3n?32?1?4?(n?1)()n?1??n?1?Tn?3?n

122221?25n5nn?35n(n?3)(2n?2n?1)T与于是确定的大小关系等价于Tn??3?n??n2n?12n?122n?12n(2n?1)n2345比较2与2n?1的大小由2?2?1?1;2?2?2?1;2?2?3?1;2?2?4?1;2?2?5;K 2?2n?1.证明如下： 可猜想当n?3时，证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。 （2）假设n?k?1时2k?1n?2g2k?2(2k?1)?4k?2?2(k?1)?1?(2k?1)?2(k?1)?1

n所以当n?k?1时猜想也成立综合（1）（2）可知 ，对一切n?3的正整数，都有2?2n?1. 证

法

2

：

当

n?3时

012n?1n01n?1n2n?(1?1)n?Cn?Cn?Cn?K?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?Cn?2n?2?2n?1

综上所述，当n?1,2时Tn?5n5n，当n?3时Tn? 2n?12n?113、湖南理21．（本小题满分13分） 对于数列?un恒有

?, 若存在常数M?0, 对任意的n?N?,

|un?1?un|?|un?un?1|???|u2?u1|≤M,则称数列?un?为B-数列.(Ⅰ) 首项为1, 公比

为q(|q|?1)的等比数列是否为B-数列？请说明理由；(Ⅱ) 设Sn是数列?xn给出下列两组论断：

?的前n项和.

A组：① 数列?xn?是B-数列， ② 数列?xn?不是B-数列；

B组：③ 数列?Sn?是B-数列，④ 数列?Sn?不是B-数列.请以其中一组中的一个论断为

条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题.判断所给命题的真假，并证明你的结论；(Ⅲ) 若数列?an?, ?bn?都是B-数列，证明：数列?anbn?也是B-数列.

解（Ⅰ）设满足题设的等比数列为?an?，则an?qn?1于是|an?an?1|?|qn?1?qn?2|?|q|n?2|q?1|，n≥2．

因此 |an?1?an|?|an?an?1|???|a2?a1|?|q?1|(1?|q|?|q|2???|q|n?1)． 因为|q|?1，所以 1?|q|?|q|???|q|2n?11?|q|n??1．即 1?|q|1?|q||an?1?an|?|an?an?1|???|a2?a1|?|q?1|．故首项为1，公比为q(|q|?1)的等比数列是

1?|q|B-数列．

（Ⅱ）命题1若数列?xn?是B-数列, 则数列?Sn?是B-数列此命题为假命题 事实上，设xn?1，n?N*，易知数列|Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?n．

?xn?是B-数列．但Sn=n，

由n的任意性知，数列?Sn?不是B-数列．

命题2：若数列?Sn?是B-数列，则数列?xn?是B-数列．此命题为真命题． 事实上，因为数列?Sn?是B-数列，所以存在正数M，对任意的n?N*，有 |Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|≤M，即 |xn?1|?|xn|???|x2|≤M．

于

是 |xn?1?xn|?|xn?xn?1|???|x2?x1|，

所以数列?xn?是B-数列．（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） （Ⅲ） 若数列?an?， ?bn?是B-数列, 则存在正数M1，M2, 对任意的n?N*, 有

≤|xn?1|?2|xn|?2|xn?1|???2|x2|?|x1|≤2M?|x1|

|an?1?an|?|an?an?1|???|a2?a1|≤M1；|bn?1?bn|?|bn?bn?1|???|b2?b1|≤M2．

注意到 |an|?|an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1|

≤|an?an?1|?|an?1?an?2|???|a2?a1|?|a1|≤M1?|a1|.同理，|bn|≤M2?|b1|.

记K1?M1?|a1|，K2?M2?|b1|，则有 |an?1bn?1?anbn|?|an?1bn?1?anbn?1?anbn?1?anbn|

≤|bn?1||an?1?an|?|an||bn?1?bn|≤K2|an?1?an|?K1|bn?1?bn|.

因此

|an?1bn?1?anbn|?|anbn?an?1bn?1|???|a2b2?a1b1|≤K2(|an?1?an|?|an?an?1|???|a2?a1|)

?K1(|bn?1?bn|?|bn?bn?1|???|b2?b1|)≤K2M1?K1M2.故数列?anbn?是B-数列.

14、、陕西理22）已知数列?xn}满足， x1＝11xn＋1＝,n?N*.（1）猜想数列{xn}的单2’1?xn12n?1。

65111213（）解析：?x1＝xn＋1＝,n?N*?x2＝?，x3＝?，2’1?xn1?x131?x25调性，并证明你的结论；（2）证明：|xn?1-xn|≤()x4＝1518113?，x5＝?，x6＝?，1?x381?x4131?x521

x2?x4?x6?x8?....,猜想数列{a2n}是递减数列。下面用数学归纳法证明：1.当n=1时，已证明命题成立。 2. 假设当n=k时命题成立，即x2k?x2k?2 易知xn?0,那么x2k?2?x2k?4?x2k?3?x2k?111??1?x2k?11?x2k?3(1?x2k?1)(1?x2k?3)

11?1?x2k+21?x2kx2k?x2k+2???0?x2k?2?x2k?4(1?x2k?1)(1?x2k?3)(1?x2k?1)(1?x2k?3（)1?x2k+2）（1?x2k）也就是说当n=k+1时命题成立。结合1.2.可知，命题成立。1（2）当n=1时，|xn＋1-xn|=|x2?x1|=，结论成立。611当n?2时，易知0

|xn?xn?1|1122?|xn?1-xn|=|-|=?|xn?xn?1|?|xn?1-xn|?|xn?xn?1|1?xn1?xn?1(1?xn)(1?xn?1)5522212?|xn?1-xn|?()2|xn?1-xn?2|?()3|xn?2-xn?3|?...?()n-1|x1-x2|=()n?155565

15、江苏17设

?an?是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和，满足

amam?1为数

am?22222a2?a3?a4?a5,S7?7

（1）求数列

?an?的通项公式及前n项和Sn；（2）试求所有的正整数m，使得

列

?an?中的项.

[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和的有关知识，考查运算和求解的能力。满分14分。

（1）设公差为d，则a22222，由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)，因为?a5?a4?a3d?0，所以a4?a3?0，即2a1?5d?0，又由S7?7得7a1?7?6d?7，解得2

a1??5，d?2,

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kv1p.html