《数学分析》第一章 集合与函数

第一章 集合与函数

一、本章知识脉络框图

集合间关系：映射 实数的性质：稠密性 实 数 实数对(x,y)对组集 合 成的集合集R2 函数 数集及一些常用数集：区间、邻域 函数的相关定义：反函数，隐函数 初等函数及其性质

平面点集的相关定义：距离、邻域、聚点、界点、边界点、开（闭）集，有（无）界性 数集的性质： 有界性 确界存在定理 闭区间套定理 聚点定理 有限覆盖定理 二、本章重点及难点

数学是分析处理问题的系统方法论学科。对事物分析，量化是第一步；数是表示量的符号.随着科学的发展，数的内涵与表示得到不断地发展；同时随着数的内涵与表示的发展，分析解决问题的方法也得到了质的发展.数从自然数----整数----有理数---实数—复数的发展过程，也反映了社会的进步与解决问题能力的提升.因此，对数以及一些数组成的集合进行

研究是数学的基础.

本章在中学的基础上主要讨论了实数的性质、数集的性质，实数对组成的二维空间R2

的一些集合的性质；同时还通过两个集合之间的映射关系引进函数的定义，并且讨论与函数相关的其他一些定义.

本章的难点主要有以下两个方面：

? 函数的概念、隐函数、一些简单函数的反函数存在性的判定与函数反函数的求法. ? 实数集上的确界存在定理、闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理的证明与应

用；熟练运用这些定理证明闭区间上连续函数的性质.

三、本章的基本知识要点

（一）实数及其性质

1.实数集R具有稠密性，即任何两个不相等的实数之间必有另一个实数，且既有有理数，也有无理数.

2.实数集R具有阿基米德性，即对任何a、b?R,若b>a>0，则存在正整数n，使得na>b.

（二）实数集R的性质

1.a,b是实数，实数集合上的{x|a?x?b}?(a,b)、{x|a?x?b}?[a,b)、

{x|a?x?b}?(a,b]、{x|a?x?b}?[a,b]称为有限区间；而{x|x?a}?(??,a)、

{x|x?a}?(??,a]、{x|x?a}?(a,??)、{x|x?a}?[a,??)、{x|???x???} ?(??,??)称为无限区间，有限区间与无限区间统称为区间.

2. a是实数、??0，{x||x?a|??}?U(a;?)称为

oa的?邻域,

{x|0?|x?a|??}?U(a;?)称为a的空心?邻域；[a,a??)?U?(a)称为a的?右邻域，

(a??,a]?U?(a)称为a的左?邻域；(a,a??)?U0?(a)称为a的右空心邻域，

(a??,a)?U0?(a)称为a的左空心邻域.

3. M是正数,{x||x|?M}?U(?)，称为?邻域，{x|x?M}?U(??)称为??邻域，

{x|x??M}?U(??)称为??邻域.

4. 设S是R中的一个数集，若数?满足：(1)对一切x?S,有x??,即?是上界；（2）对任何???，存在x0?S，使得x0??，即?又是S的最小上界；则称数?为S的上确界，记作 ??supS.

5. 设S是R中的一个数集，若数?满足：(1)对一切x?S,有x??,即?是下界；（2）对任何???，存在x0?S，使得x0??，即?又是S的最大下界；则称数?为S的下确界，记作 ??infS.

6. 确界原理：设S为非空数集，若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界.

7.区间套定理：若{[an,bn]}是一个区间套，则在存在惟一的实数??[an,bn],n?1,2,3,?,即an???bn,n?1,2,3,?.

8.区间套定理的推论：若??[an,bn](n?1,2,?)是区间套{[an,bn]}所确定的，则对任给的??0,存在N>0,使得n>N时有 [an,bn]?U(?;?).

9. (维尔斯特拉斯(Weierstrass)聚点定理): 实轴上的任一有界无限点集S至少有一个聚点. 10. (海涅-波雷尔(Heine-Borel)有限覆盖定理) 设H为闭区间[a,b]的一个（无限）开覆盖，则从H中可选出有限个开区间来覆盖[a,b] .

（三）二维平面R2的性质

1.全平面上的点所组成的点集{(x,y)|???x???,???x???}?R；坐标平面上的满足条件P的点的集合E={(x,y)|(x,y)满足条件P}，称为平面点集.

2.平面上的点A(x0,y0)，平面点集{(x,y)|(x?x0)?(y?y0)??}称为点A的?邻域，记为U(A)；平面点集{(x,y)|0?(x?x0)?(y?y0)??}称为点A的空心邻域。记为：U(A).

022222223.对于平面点集E，若存在点A的某邻域U(A)U(A)?E,则称点A是E的内点；若点A的任何空心邻域U(A)内都含有E中的点，则称A是E的聚点；若E的每一个点都是内点，则称E为开集；若E的所有聚点都属于E，则称E是闭集；若E中的任意两点都可以用一条完全含于E的有限折线相连接，则称E具有连通性；连通的开集叫开域；开域连同其边界叫闭域.

4.(闭域套定理)设{Dn}是R2中的闭域列，它满足：（1）（2）dn=d(Dn) Dn?Dn?1,n?1,2,?，

,limdn?0,则存在惟一的点P0?Dn,n?1,2,?.

n??05.(聚点定理) 设E?R为有界无限点集，则E在R2中至少有一个聚点.

2 6.(有限覆盖定理) 设D?R为一有界闭域，{??}为一开域族，它覆盖了D（即

2D?????n），则在{??}中必存在有限个开域?1,?2,?,?n,它们同样覆盖D（即

D???i?1i）.

（四）集合间的关系：映射、函数

数学是为解决实际问题提供一些系统方法的学科，它通过量化的数来表示事物，通过数

的变化来反映事物的变化．在不同时间、不同的地点所表示物体的量的不同，实质就是建立了表示物体的量与时间、地点之间的一个映射，当一个映射满足一定的条件时，就是函数．因此，函数是数学最重要的一个概念，同时对函数性质的研究是数学分析处理问题的基础． 1.给定两个实数集D和M，若有对应法则f，使对D内每一个数x，都有唯一的一个数y∈M与之对应，则称f是定在数集D上的函数，记作：f:D?M，通常记为y?f(x)． 注：只要讲清了对应法则，而且满足对于第一个集合上的每一个元素，在第二个集合都有惟一的元素和它对应，则这个法则就建立了从第一个集合到第二个集合的函数.

?1,?例如： sgnx??0,??1?x?0x?0是一个函数，称为符号函数 x?0* 2.设有两个函数 y?f(u),u?D;u?g(x),x?E，令E?{x|g(x)?D}?E，若

E*则对每一个x?E，可通过函数g对应D内唯一的一个值u，而u又通过函数f?? ，

**对应唯一的一个值y．这就确定了一个定义在E上的函数，称为函数f与g的复合函数．记

作：y?f(g(x)).

注:两个函数能否复合的充分必要条件就是E??

3.以形式y?f(x),x?D表示函数的，称为显函数；而以方程的形式表示f(x,y)?0表示一个函数的，称为隐函数.例如y?2x?0,x?[?1,1]就是一个隐函数.

4.设函数y?f(x),x?D；满足：对于值域f(D)中的每一个值y，D中有且只有一个值x使得f(x)?y.则按此对应法则得到一个定义在f(D)上的函数，称这个函数为f的反函数，记作 x?f?132*(y),y?f(D).通常改记作 y?f?1(x),x?f(D).

注:函数y?f(x),x?D存在反函数的充分必要条件是:f是D与f(D)之间的一一映射.

?x 5.常量函数y?c、幂函数y?x、指数函数y?a、对数函数y?logax、三角函数

y?sinx,y?cosx,y?tanx,y?cotx、反三角函数y?arcsinx,y?arccosx,

y?arctanx,y?arccotx统称为基本初等函数.由基本初等函数经过有限次四则运算与复

合运算所得到的函数,统称为初等函数.并不是每个函数都是初等函数，例如：y?xx就不是初等函数.

6.设f为定义在D上的函数.(1)若存在正数M，使得对每一个x?D有 |f(x)|?M，则称f为D上的有界函数；（2）若对任意x1,x2?D,x1?x2，若是都有f(x1)?f(x2)，则称f为D上的增函数；若是都有f(x1)?f(x2)，则称f为D上的减函数；（3）若D为对称于原点的数集，且对x?D，都有f(?x)??f(x)(f(?x)?f(x))，则称f为D上的奇（偶）函数；（4）若存在??0，使得对一切x?D都有f(x??)?f(x),则称f为周期函数.

2 7.设平面点集D?R,若按照某对应法则f,D中每一点P(x,y)都有唯一确定的实数z与

之对应，则称f为定义在D上的二元函数.记作:z?f(x,y),(x,y)?D.

四、基本例题解题点击

【例1】设x,y为实数，x

? 这是实数的稠密性；

? 利用不足近似与过剩近似就可以证明.

【证明】由于x

x?xn?r?yn?y 即 x?r?y

设?是任意一无理数，由x

【知识扩展提示】实数的稠密性是实数的重要性质，在证明有关稠密性方面的时候，经常利用不足近似与过剩近似值来证明，在证明过程两边同时加一个数或减一个数也是常常利用的技巧.

【例2】设S是非空数集，定义S【提示及点评】

??{x|?x?S}。证明：infS???supS.

【训练题5】设E为一实数集合，函数f(x)在E上一致连续，E为E的闭包，证明：在E上存在惟一的连续函数?(x)，使得任意的x?E，有?(x)?f(x).

【提示及点评】利用连续性先定义?(x)，其次证明?(x)连续，最后证明这样的?(x).

【训练题6】 设f(x)在[0,1]上连续，且f(0)?f(1)，设n为一自然数，证明存在

x?[0,1]，使得 f(x)?f(x?1n).

【提示及点评】作辅助函数F(x)?f(x)?f(x?1n)，

11f(0)?f(1)?F(0)?F()?F(1?)，然后利用根的存在性定理来证明.

nn

【训练题7】 证明：闭区间[a,b]到[a,b]上的连续函数f(x)必存在不动点（即存在

x?[a,b]，使得f(x)?x）天津工业大学2005年研究生入学考试《数学分析》试题.

【提示及点评】作辅助函数F(x)?x?f(x)，利用根的存在性定理证明.

【训练题8】设f(x)在[a,b]上连续,且至少有一个零点,求证:f(x)在[a,b]上必有最小零点. 中国科学技术大学1997年硕士研究生入学考试数学分析.

【提示及点评】利用下确界与连续证明.

【训练题9】证明：若f（x），g（x）连续，则?(x)?min(f(x),g(x))连续。上海交通大学2003年硕士研究生入学考试数学分析试题.

【提示及点评】直接利用前面例子的min(f(x),g(x))的表达式证明.

【训练题10】用有限覆盖定理证明：闭区间上连续的函数必有界。天津工业大学2006年研究生入学考试《数学分析》试题.

【训练题11】证明Dirichlet函数

??1 f(x)???0?x?有理数 qx为无理数p在所有无理点上连续，在有理点上间断.（大连理工大学2000年研究入学考试数学分析试题）.

【训练题12】设函数f(x)在(0,??)上连续，对于任意的x?(0,??)定义

?(x)?sup{f(t),t?x}，?(x)?inf{f(t),t?x}.证明：limx???f(x)存在的充分必要条件

是：inf{?(x)|x?(0,??)|与sup{?(x)|x?(0,??)}（广西大学2003年研究生入学考试数学分析试题）.

【提示及点评】直接利用上下确界的定义证明.

【训练题13】设f(x)在[a,b]上是一个非常的连续函数。求证：存在一个子区间[?,?]，使得f(x)在[?,?]取得到最值，但在(?,?)取不到最值.

【提示及点评】利用上下确界来证明.

设f(x)的最大值为f(x1)?M,最小值为f(x2)?m，由于f(x)是非常数函数，所以存在x0?[x1,x2]，使得m?f(x0)?M.

令 ??inf{y|y?[x1,x0],f(y)?M,m} ??sup{y|y?[x0,x2],f(y)?M,m}

【训练题14】证明：若一簇开区间{I?}覆盖闭区间[0,1]，则必存在一正数??0，使得[0,1]中的任意两点x',x''，满足|x'?x''|??时，必属于某一个I??{I?}。浙江大学2004年硕士研究生入学考试数学分析试题.

【提示及点评】 利用有限覆盖定理证明.

【训练题15】利用闭区间套定理证明数列柯西收敛准则.中国矿业大学2003硕士研究生2003入学考试数学分析试题.

【训练题16】设f在区间I上有界，记 M?supf(x),m?inff(x)，证明：

x?Ix?I sup|f(x')?f(x'')|?M?m

x',x''?I【提示及点评】 直接利用上、下确界来证明.

【训练题17】证明：对于x和y的一切正值满足方程 f(xy)?f(x)?f(y)

的惟一不恒等于0的连续函数f(x)(0?x???)是对数函数：

f(x)?logx 式中a为正的常数

a 【提示及点评】先证明存在一个a>0,使得f(a)?1

作一辅助函数 F(x)?f(ax)，利用前一个部分的例9，证明得到

F(x)?F(1)x?f(a)x?x.

【训练题18】证明：对于x和y的一切正值满足方程 f(xy)?f(x)f(y)

的惟一不恒等于0的连续函数f(x)(0?x???)是幂函数：

f(x)?x 式中a为正的常数

a 【提示及点评】 作一辅助函数 F(x)?f(e)，利用前一个部分的例10，证明得到

F(x)?b，最后变形就可以得到所要证明的结论.

xx

【训练题19】设{xn}为单调数列.证明：若{xn}存在聚点，则必是唯一的，且为{xn}的确界.

【提示及点评】利用聚点与确界的定义.

【训练题20】证明：在(a,b)上的连续函数f为一致连续的充要条件是f(a?0)与

f(b?0)都存在.

【提示及点评】证明必要性时，利用柯西收敛准则.

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