2017届高三数学复习专题7三角恒等变换与解三角形

2017届高三数学复习 专题7三角恒等变换与解三角形

3

1．(2016·课标Ⅲ，5，易)若tan α＝4，则cos2α＋2sin 2α＝( ) 6448A.25 B.25

16

C．1 D.25 1．A cos2α＋2sin 2α cos2α＋4sin α cos α＝

sin2 α＋cos2 α＝

1＋4tan α

tan2 α＋131＋434

1664

＝9＝4325＝25. 16＋1

?π?3

2．(2016·课标Ⅱ，9，中)若cos?－α?＝5，则sin 2α＝( )

?4?

1

71A.25 B.5 17C．－5 D．－25

?π???π????3?22?π2．D sin 2α＝cos?－2α?＝cos?2?－α??＝2cos?－α?－1＝23?5?－1＝

???2???4???4?7

－25.

3．(2015·课标Ⅰ，2，易)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) 33A．－2 B.2 11C．－2 D.2 1

3．D 原式＝sin 20° cos 10°＋cos 20° sin 10°＝sin 30°＝2.

104．(2013·浙江，6，中)已知α∈R，sin α＋2cos α＝2，则tan 2α＝( ) 4334A.3 B.4 C．－4 D．－3 4．C 方法一(通法)：由 10?sin α＋2cos α＝2，可解得 ?

?sin2α＋cos2α＝1，

10310

??sin α＝－，sin α＝??1010，

或? ?31010

?cos α＝?cos α＝??1010.1

因此tan α＝－3或tan α＝3， 于是tan 2α＝

2tan α3

＝－4. 1－tan2α

53

方法二(优法)：(sin α＋2cos α)2＝2，展开得3cos2α＋4sin α2cos α＝2，再

3

由二倍角公式得2cos 2α＋2sin 2α＝0，

32sin 2α3

故tan 2α＝＝－2＝－4，选C.

cos 2α

2

1＋sin βπ?π???

5．(2014·课标Ⅰ，8，中)设α∈?0，?，β∈?0，?，且tan α＝，则2?2?cos β??( )

ππ

A．3α－β＝2 B．3α＋β＝2

ππ

C．2α－β＝2 D．2α＋β＝2 5．C 由tan α＝

1＋sin βsin α1＋sin β

得＝，

cos βcos αcos β

即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β， ?π?

∴sin(α－β)＝cos α＝sin?－α?.

?2?

π?π???

∵α∈?0，?，β∈?0，?，

2?2????ππ?

∴α－β∈?－，?，

2??2

ππ??

??2－α∈?0，2?，

?π?

∴由sin(α－β)＝sin?－α?，

?2?

π

得α－β＝2－α，

π

∴2α－β＝2，故选C.

思路点拨：通过切化弦将已知条件转化为角α，β的正弦与余弦的关系式，然后根据诱导公式得到角之间的关系．

ππ

6．(2016·四川，11，易)cos28－sin28＝________. π26．【解析】 cos8－sin8＝cos4＝2.

2

【答案】 2

7．(2016·浙江，10，易)已知2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0)，则A＝________，b＝________.

7．【解析】 ∵2cos2x＋sin 2x＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴sin 2x＋cos 2x＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b.

π??

∴2sin?2x＋?＋1＝Asin(ωx＋φ)＋b，∴A＝2，b＝1.

4??

3

2π

2π

【答案】 2 1

8．(2015·四川，12，易)sin 15°＋sin 75°的值是________． 8．【解析】 方法一：sin 15°＋sin 75° ＝sin 15°＋cos 15°

?2?2

＝2?sin 15°＋cos 15°?

2?2?

＝2(sin 15°cos 45°＋cos 15°sin 45°) 36

＝2sin 60°＝232＝2. 方法二：由于(sin 15°＋sin 75°)2 ＝(sin 15°＋cos 15°)2

3

＝1＋2sin 15°cos 15°＝1＋sin 30°＝2， 又sin 15°>0，sin 75°>0， 所以sin 15°＋sin 75°>0， 6

故sin 15°＋sin 75°＝2.

6

【答案】

2

?π?

9．(2013·四川，13，易)设sin 2α＝－sin α，α∈?，π?，则tan 2α的值是

?2?________．

9．【解析】 方法一：sin 2α＝－sin α? 2sin αcos α＝－sin α， ?π?

∵α∈?，π?，

?2?

13∴sin α≠0，∴cos α＝－2，则sin α＝2， ∴tan α＝－3，∴tan 2α＝

2tan α－23

＝＝3.

1－tan2α1－3

1

方法二：同方法一，得cos α＝－2，

2π?π?

又α∈?，π?，则α＝3.

?2?

4π

∴tan 2α＝tan3＝3.

4

【答案】 3

5?π?

10．(2014·江苏，15，14分，中)已知α∈?，π?，sin α＝5. ?2??π?

(1)求sin?＋α?的值；

?4??5π?

?的值． (2)求cos?－2α

?6?

5?π?

10．解：(1)因为α∈?，π?，sin α＝5，

?2?25

所以cos α＝－1－sin2 α＝－5.

ππ?π?

故sin?＋α?＝sin4cos α＋cos4sin α

?4?2?25?2510

?＋3＝－＝23?－

510. 5?2?

5?25?4

??(2)由(1)知sin 2α＝2sin α cos α＝2353－＝－5，

5???5?23

cos 2α＝1－2sinα＝1－23??＝，

?5?5

2

?5π?

? 所以cos?－2α

?6?5π5π

＝cos6cos 2α＋sin6sin 2α ?3?31?4?＝?－?35＋23?－5?

???2?4＋33

＝－10.

高考对三角恒等变换的考查主要有三个角度：(1)给角求值；(2)给值求角；(3)给值求值．试题以选择题、填空题出现，分值为5分．以解答题的形式出现时，一般为中、低档题目，分值为12分．

5

(1)(2013·重庆，9)4cos 50°－tan 40°＝( )

A.2 B.

2＋3

2 C.3 D．22－1

1

(2)(2015·江苏，8)已知tan α＝－2，tan(α＋β)＝，则tan β的值为________．

7(3)(2014·广东，16，12分)已知函数f(x)＝Asin???x＋π??5π?3

4??，x∈R，且f??12??＝2. ①求A的值；

②若f(θ)＋f(－θ)＝3?π??3π?2，θ∈??0，2??，求f??4－θ

??

. 【解析】 (1)原式＝4sin 40°－sin 40°4sin 40°cos 40°－sin 40°

cos 40°＝cos 40°

＝

2sin 80°－sin 40°2cos（40°－30°）－sin 40cos 40°＝°

cos 40° ＝

2（cos 40°cos 30°＋sin 40°sin 30°）－sin 40°

cos 40°

＝

3cos 40°

cos 40°

＝3，故选C.

(2)方法一：tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan（α＋β）－tan α1＋tan（α＋β）tan α 1

7－（－2）＝＋1＝3. 173（－2）方法二：由于tan(α＋β)＝

tan α＋tan β1－tan α·tan β，

所以由已知得－2＋tan β1＋2tan β＝1

7，解得tan β＝3.

(3)①f??5π?2π?12??＝Asin??5ππ?

?12＋4??＝Asin333＝2A＝2， ∴A＝3.

②∵f(θ)＋f(－θ)＝3sin??π??

π??θ＋4??＋3sin??

－θ＋4??

6

ππ?ππ???

? ＝3?sin θ·cos＋cos θ·sin?＋3?sin（－θ）·cos＋cos（－θ）·sin

44?44???π3

＝23cos θ·sin4＝6cos θ＝2，

6

∴cos θ＝4.

π?10???又θ∈0，，∴sin θ＝4.

2??

30?3π?

?＝3sin(π－θ)＝3sin θ＝∴f?－θ4. ?4?

题(1)是典型的给角求值问题，解决的关键是将式中的非特殊角通过运用角的变换及相关公式转化为特殊角，再通过分子分母约分、正负项抵消等方法求得结果．在转化特殊角时，利用了两角和与差的公式．

题(2)是典型的给值求值问题，解题关键是寻求已知角与未知角的关系，巧妙借助角的变换求解(方法一)，方法二根据公式，通过解方程求值．

3?5π?

解题(3)的思路是①由f??的值直接求出A的值；②化简f(θ)＋f(－θ)＝2可得cos

?12?

?3π?

θ的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得sin θ，再化简f?4－θ?

??可得答案．

51

(2015·山东淄博二模，11)若x，y都是锐角，且sin x＝5，tan y＝3，则x＋y＝________.

5125

【解析】 由x，y都是锐角，且sin x＝5，tan y＝3，可得cos x＝5，sin y＝tan2y10310

＝，cos y＝

10. 1＋tan2y10

cos(x＋y)＝cos xcos y－sin xsin y 253105102

＝5310－5310＝2.

π

故x＋y＝4.

π

【答案】 4,

7

三角函数求值的类型及方法

(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数，有时，虽不能转化为特殊角，但可通过分子分母的约分、正负项的相互抵消达到化简求值的目的．

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．

(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围．

1．(2015·安徽阜阳期末，7)化简

cos 40°

＝( )

cos 25°1－sin 40°

A．1 B.3 C.2 D．21.C 原式＝ cos220°－sin220°

22cos 25°sin20°－2sin 20°cos 20°＋cos20°cos220°－sin220°

＝ cos 25°（cos 20°－sin 20°）＝

2sin 65°2cos 25°

＝＝2.

cos 25°cos 25°

π?π???2．(2016·河北保定一模，6)已知cos?α＋?＝sin?α－?，则tan α的值为( )

3?3???A．－1 B．1 C.3 D．－3

1313

2．B 由已知得2cos α－2sin α＝2sin α－2cos α，整理得， ?1?13?3?

?＋?sin α＝?＋?cos α，即sin α＝cos α，故tan α＝1. ?22??22?

?π?1?2π????＝( ) 3．(2016·山东潍坊质检，5)若sin－α＝3，则cos?＋2α?6??3?

7722A．－9 B.9 C．－9 D.9

8

?π?1?π?1?2π???π??

?＝cos?2?＋α??＝3．A 由sin?－α?＝3得cos?＋α?＝3，于是cos?＋2α

?6??3??3???3??

7?π?

2cos2?＋α?－1＝－9. ?3?7π?43?π??4．(2016·贵州贵阳调研，6)已知sin?＋α?＋sin α＝5，则sin?α＋?的值

6??3??是( )

232344

A．－5 B.5 C.5 D．－5 43?π?

4．D sin?＋α?＋sin α＝ 5?3?

ππ43

?sin3cos α＋cos3sin α＋sin α＝5 3343?2sin α＋2cos α＝5? 314sin α＋cos α＝225，

7π??

故sin?α＋?

6??

7π7π

＝sin αcos6＋cos αsin6

4?3?1

＝－?sin α＋cos α?＝－5.

2?2?

5．(2016·浙江杭州模拟，10)若3sin x－3cos x＝23sin(x＋φ)，φ∈(－π，0)，则φ＝________.

5．【解析】 因为3sin x－3cos x ?31?

＝23?sin x·－cos x·?

22??

π?π?

＝23sin?x－?，所以φ＝－6.

6??

π

【答案】 －6

6．(2016·河南郑州一模，13)若tan 20°＋msin 20°＝3，则m的值为__________． 6．【解析】 由于tan 20°＋msin 20°＝3， 可得m＝

3－tan 20°

sin 20°

9

＝

3cos 20°－sin 20°

sin 20°cos 20°

?3?1

2?cos 20°－sin 20°?

2?2?

＝

1

2sin 40°＝

4sin（60°－20°）

＝4.

sin 40°

【答案】 4

7．(2016·重庆巴蜀中学模拟，13)已知＝________.

sin αcos αsin αcos α117．【解析】 由已知得＝，即＝2，于是sin α＝

1－（1－2sin2α）22sin2αcos α，故tan α＝1，于是tan β＝tan[α－(α－β)]＝1

1－2

tan α－tan（α－β）

＝1＋tan α·tan（α－β）

sin αcos α11

＝2，tan(α－β)＝2，则tan β

1－cos 2α

1＋132

1＝13.

1

【答案】 3

8．(2016·广东六校联考，16，12分)已知函数f(x)＝ ?π?

sin?x＋?，x∈R. ?12?

?π?(1)求f?－?的值；

?4?

π?π?4??

(2)若cos θ＝5，θ∈?0，?，求f?2θ－?.

2?3???

1?π??ππ??π?

8．解：(1)f?－?＝sin?－＋?＝sin?－?＝－2.

?4??412??6?π?ππ???

(2)f?2θ－?＝sin?2θ－＋?

3?312???π?2?

＝sin?2θ－?＝2(sin 2θ－cos 2θ)．

4??π?4?

因为cos θ＝5，θ∈?0，?，

2??

10

3

所以sin θ＝5，

24

所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝25， 7

cos 2θ＝cosθ－sinθ＝25，

2

2

π?22?247?172???所以f2θ－＝2(sin 2θ－cos 2θ)＝23?25－25?＝50. 3????

1．(2016·天津，3，易)在△ABC中，若AB＝13，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝( )

A．1 B．2 C．3 D．4

1．A [考向1]设AC＝x，由余弦定理得， x2＋9－131

cos 120°＝＝－2，

23x33∴x2－4＝－3x， 即x2＋3x－4＝0. ∴x＝1或－4(舍)． ∴AC＝1，选A.

π1

2．(2016·课标Ⅲ，8，易)在△ABC中，B＝4，BC边上的高等于3BC，则cos A＝( )

3101010310A.10 B.10 C．－10 D．－10 2．C [考向1]如图，作AD⊥BC于D.

π

设AD＝1，∵B＝4，∴BD＝1.

11

1

又∵AD＝3BC，∴CD＝2， ∴AC＝5，AB＝2， ∴sin α＝cos β＝

211，cos α＝，sin β＝， 552

1， 2

∴cos A＝cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝

1121103－3＝－10. 5252

3．(2014·江西，4，易)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.若π

c2＝(a－b)2＋6，C＝3，则△ABC的面积是( ) 9333

A．3 B.2 C.2 D．33 3．C [考向3]c2＝(a－b)2＋6， 即c2＝a2＋b2－2ab＋6.①

π

∵C＝3，由余弦定理得c2＝a2＋b2－ab，②

11333

由①和②得ab＝6，∴S△ABC＝2absin C＝23632＝2，故选C.

1

4．(2014·课标Ⅱ，4，易)钝角三角形ABC的面积是2，AB＝1，BC＝2，则AC＝( )

A．5 B.5 C．2 D．1

114．B [考向3]由三角形面积公式可知，S＝2AB2BC2sin B＝2.

π3π2

又∵AB＝1，BC＝2，∴sin B＝2，∴B＝4或B＝4.由余弦定理可知，AC2

π

＝AB2＋BC2－2AB·BCcos B．当B＝4时，得AC＝1，这时不符合钝角三角形的

3π

要求，故舍去；当B＝4时，得到AC＝5，故选B.

5．(2012·上海，16，易)在△ABC中，若sin2A＋sin2B

5．C [考向2]由已知sin2A＋sin2B

12

a2＋b2－c2

＝2ab<0，C为钝角，故三角形为钝角三角形．

6．(2016·课标Ⅱ，13，中)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos 45

A＝5，cos C＝13，a＝1，则b＝________．

312

6．[考向1]【解析】 由题意可知，sin A＝5，sin C＝13. 在△ABC中，sin B＝sin(A＋C) ＝sin Acos C＋cos Asin C 3541263＝5313＋5313＝65. ba

∵sin B＝sin A， 63

6521asin B

∴b＝sin A＝133＝13.

521

【答案】 13

7．(2015·广东，11，易)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝3，π1

sin B＝，C＝，则b＝________.

26

π1

7．[考向1]【解析】 ∵sin B＝2，C＝6，

π2π∴B＝6，∴A＝3.

ba

由正弦定理得sin B＝sin A，

1332

a·sin B∴b＝sin A＝＝1.

2πsin 3【答案】 1

sin 2A

8．(2015·北京，12，易)在△ABC中，a＝4，b＝5，c＝6，则sin C＝________ 8.[考向1]【解析】 由余弦定理，得 a2＋b2－c242＋52－621cos C＝2ab＝＝，

234358

13

b2＋c2－a252＋62－423

cos A＝2bc＝＝4.

23536377

∴在△ABC中，sin C＝8，sin A＝4. 7323434

sin 2A2sin Acos A∴sin C＝sin C＝＝1.

378【答案】 1

9．(2015·课标Ⅰ，16，中)在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是________． 9．[考向1]【解析】 方法一：如图所示，

过点C作CE∥AD于点E，则∠CEB＝75°，∴CE＝BC＝2，∠BCE＝30°. 3

∴BE2＝BC2＋CE2－2BC·CE·cos∠BCE＝4＋4－832＝8－43. 此时，BE＝6－2.

延长CD交BA的延长线于点F，则△BCF为等腰三角形，且∠CFB＝30°，FC＝FB，

FC2＋FB2－BC2∴cos∠CFB＝

2FC·FB2FB2－43＝2FB2＝2. 解得FB＝6＋2.

由题意可知，6－2＜AB＜6＋2. 方法二：如图所示，延长BA，CD交于点E.

14

则在△ADE中，∠DAE＝105°， ∠ADE＝45°，∠E＝30°. 1

设AD＝2x，CD＝m，

6＋22

在△AED中，由正弦定理得，AE＝2x，DE＝4x. ∵BC＝2，在△BCE中，由正弦定理得， BCCE

＝sin Esin B，

?6＋2?

?＝2sin 75°， 即sin 30°·?x＋m

?4?6＋2

∴4x＋m＝6＋2. ∵m＞0，∴0＜x＜4.而AB＝

6＋222

x＋m－x＝6＋2－422x，

∴AB的取值范围是(6－2，6＋2)． 【答案】 (6－2，6＋2)

思路点拨：本题方法一借助几何图形分析极端情况，得到AB边的取值范围；方法二则是借助两个定理建立函数关系，通过代数方法进行求解．

10．(2015·湖北，13，中)如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.

10．[考向4]【解析】 在△ABC中，∠CAB＝30°，∠ABC＝105°，∴∠ACB

15

＝45°.

又∵AB＝600 m，

ABBC

由正弦定理得＝，

sin 45°sin 30° 代入AB解得BC＝3002 m. 在Rt△BCD中，

3

CD＝BC3tan 30°＝300233 ＝1006(m)． 【答案】 1006

11．(2016·课标Ⅰ，17，12分，中)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cos C(acos B＋bcos A)＝c. (1)求C；

33

(2)若c＝7，△ABC的面积为2，求△ABC的周长． 11．[考向1，3]解：(1)由已知及正弦定理得， 2cos C(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin C， 即2cos Csin(A＋B)＝sin C. 故2sin Ccos C＝sin C. 又C为△ABC的内角， π1

可得cos C＝2，所以C＝3. 133

(2)由已知，2absin C＝2. π

又C＝3，所以ab＝6. 由已知及余弦定理得， a2＋b2－2abcos C＝7.

故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25. 所以△ABC的周长为5＋7.

12．(2016·山东，16，12分，中)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，tan Atan Bc，已知2(tan A＋tan B)＝cos B＋cos A.

16

(1)证明：a＋b＝2c； (2)求cos C的最小值．

sin Asin B?sin Asin B?

12．[考向1]解：(1)证明：由题意知2?cos A＋cos B?＝cos Acos B＋cos Acos B，

??化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A) ＝sin A＋sin B，

即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B. 因为A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C. 从而sin A＋sin B＝2sin C. 由正弦定理得a＋b＝2c. a＋b

(2)由(1)知c＝2，

?a＋b?2

?a＋b－?

a2＋b2－c2?2?3?ab?11

所以cos C＝2ab＝＝8?b＋a?－4≥2，

2ab??

2

2

当且仅当a＝b时，等号成立． 1

故cos C的最小值为2. 13．(2016·浙江，16，14分，中)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＋c＝2acos B. (1)证明：A＝2B；

a2

(2)若△ABC的面积S＝4，求角A的大小． 13．[考向1，3]解：(1)证明：由正弦定理得 sin B＋sin C＝2sin Acos B，

故2sin Acos B＝sin B＋sin(A＋B)＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 于是sin B＝sin(A－B)．

又A，B∈(0，π)，故0＜A－B＜π， 所以B＝π－(A－B)或B＝A－B， 因此A＝π(舍去)或A＝2B. 所以A＝2B.

17

a21a2

(2)由S＝4得2absin C＝4，

1

故有sin Bsin C＝2sin 2B ＝sin Bcos B.

因为sin B≠0，所以sin C＝cos B. π

又B，C∈(0，π)，所以C＝2±B. ππ

当B＋C＝2时，A＝2； ππ

当C－B＝时，A＝.

24ππ

综上，A＝2或A＝4. 14．(2014·安徽，16，12分，中)设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B. (1)求a的值； π??

(2)求sin?A＋?的值．

4??

14．[考向1]解：(1)因为A＝2B， 所以sin A＝sin 2B＝2sin B·cos B. a2＋c2－b2

由正、余弦定理得a＝2b·2ac. 因为b＝3，c＝1，所以a2＝12， 所以a＝23.

b2＋c2－a29＋1－121(2)由余弦定理得cos A＝＝＝－

2bc63.

122

由于0

ππ22π?2?1?24－2?

－????故sinA＋＝sin Acos4＋cos Asin4＝332＋332＝6.

4????方法点拨：本题的关键在于对角的关系“A＝2B”两边同取正弦，然后利用倍角公式，再结合正、余弦定理进行边角互化，从而求得结果．

15．(2015·课标Ⅱ，17，12分，中)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

18

sin B(1)求sin C；

2

(2)若AD＝1，DC＝2，求BD和AC的长．

1

15．[考向3]解：(1)S△ABD＝2AB·AD sin∠BAD， 1

S△ADC＝2AC·AD sin∠CAD.

因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD， 所以AB＝2AC. 由正弦定理可得 sin BAC1sin C＝AB＝2.

(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC， 所以BD＝2DC＝2.

在△ABD和△ADC中，由余弦定理知， AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB， AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC. 故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6. 由(1)知AB＝2AC，所以AC＝1.

16．(2015·湖南，17，12分，中)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝btan A，且B为钝角． π(1)证明：B－A＝2；

(2)求sin A＋sin C的取值范围．

sin Aasin A

16．[考向1]解：(1)证明：由a＝btan A及正弦定理，得cos A＝b＝sin B， 所以sin B＝cos A，

?π?

即sin B＝sin?＋A?.

?2?

π?π?

又B为钝角，因此2＋A∈?，π?，

?2?

ππ故B＝2＋A，即B－A＝2.

19

π?π?

(2)由(1)知，C＝π－(A＋B)＝π－?2A＋?＝2－2A>0，

2??

π??

所以A∈?0，?.

4??

?π?

于是sin A＋sin C＝sin A＋sin?－2A?

?2?＝sin A＋cos 2A＝－2sin2A＋sin A＋1 1?29?

＝－2?sin A－4?＋8.

??

π1?29922?

因为0

42288???29?

由此可知sin A＋sin C的取值范围是?，?.

?28?

方法点拨：三角形中求解范围问题，关键是借助正、余弦定理进行边角互化，然后通过三角恒等变换，借助三角函数的性质求解．

利用正、余弦定理解三角形是高考的重点和热点内容，主要考查利用两个定理求三角形的边的长度、角的大小等，既有灵活多变的小题，也有考查能力的大题，试题多为中、低档题目，所占分值为5分或12分．

1(1)(2015·重庆，13)在△ABC中，B＝120°，AB＝2，A的角平分线

AD＝3，则AC＝________.

3π

(2)(2015·安徽，16，12分)在△ABC中，∠A＝4，AB＝6，AC＝32，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．

【解析】 (1)如图，在△ABD中，由正弦定理， ADAB2得sin B＝，∴sin∠ADB＝2.

sin∠ADB

∴∠ADB＝45°，∴∠BAD＝180°－45°－120°＝15°. ∴∠BAC＝30°，∠C＝30°，

20

∴BC＝AB＝2.

在△ABC中，由正弦定理， AC得sin B＝BC

，∴AC＝6.

sin ∠BAC

(2)设△ABC的内角∠BAC，B，C所对边的长分别是a，b，c， 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos∠BAC 3π

＝(32)2＋62－2332363cos4 ＝18＋36－(－36)＝90， 所以a＝310. 又由正弦定理得sin B＝π

由题设知0

13101－10＝10. bsin∠BAC310

＝＝， a31010

在△ABD中，因为AD＝BD， 所以∠ABD＝∠BAD， 所以∠ADB＝π－2B， 故由正弦定理得AD＝.

AB·sin B6sin B3

＝2sin Bcos B＝cos B＝10

sin（π－2B）

正弦定理内角和定理

(1)在△ABD中，已知AB，AD，∠B―――――→求得∠ADB―――――→求得

AD为角平分线正弦定理

∠BAD―――――――→求得∠BAC―――――→求得AC.

(2)在△ABC中，已知∠A，AB，AC

余弦定理正弦或余弦定理

―――――――→求出BC―――――――――――→sin B

在△ABD中，正弦定理――――――――――――→AD长度．

21

(2014·天津，12)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，

1

c.已知b－c＝4a，2sin B＝3sin C，则cos A的值为________．

31

【解析】 由2sin B＝3sin C得2b＝3c，即b＝2c，代入b－c＝4a，整理得a＝2c， 9222

c＋c－4c222

b＋c－a41

故cos A＝2bc＝＝－

34. 2·2c·c1

【答案】 －4,

解三角形的常见题型及求解方法

abc

(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及sin A＝sin B＝sin C，可先求出角C及b，再求出c.

(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C.

(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.

ab＝可求出另一边bsin Asin Baca

的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由sin A＝sin C可求出c，而通过sin A

b

＝sin B求角B时，可能有一解或两解或无解的情况． (4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理

利用正、余弦定理判断三角形的形状主要是考查三角形是哪类特殊的三角形，在高考中考查频率不高，试题一般为客观题，难度中等，分值为5分．

2(1)(2013·陕西，7)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，

若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定

(2)(2016·山东潍坊一模，7)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，

22

若a＝2bcos C，则此三角形一定是( ) A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰三角形或直角三角形

【解析】 (1)由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A， ∴sin(B＋C)＝sin2A，

即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.

π

∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝2，故选B. a2＋b2－c2

(2)方法一：由余弦定理可得a＝2b·，

2ab因此a2＝a2＋b2－c2，得b2＝c2，于是b＝c， 从而△ABC为等腰三角形．

方法二：由正弦定理可得sin A＝2sin Bcos C， 因此sin(B＋C)＝2sin Bcos C，

即sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bcos C， 于是sin(B－C)＝0，因此B－C＝0，即B＝C， 故△ABC为等腰三角形． 【答案】 (1)B (2)C,

解题(1)的关键是利用正弦定理将边化为角，再化简，得到结果．

解题(2)时，可利用余弦定理进行角化边(方法一)，也可利用正弦定理进行边化角(方法二)．

利用正、余弦定理判断三角形形状的基本方法

(1)“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状．

(2)“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论．

23

利用正、余弦定理求解三角形的面积问题，是高考的常考题型，通常有两种考查角度：(1)求三角形的面积，多以三角形基本的边、角计算为主，难度不大．(2)将三角形面积与其他知识交汇考查，涉及面积的最值或范围问题，此时难度较大． 有关面积问题的考查，在高考中客观题和解答题均有可能出现，所占分值为5或12分．

3(1)(2014·课标Ⅰ，16)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C

的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________．

(2)(2014·浙江，18，14分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝3，cos2A－cos2B＝3sin Acos A－3sin Bcos B. ①求角C的大小；

4

②若sin A＝5，求△ABC的面积．

【解析】 (1)∵a＝2，(2＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C， ∴(a＋b)(sin A－sin B)＝(c－b)sin C.

由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，∴a2－b2＝c2－bc. b2＋c2－a21由余弦定理得cos A＝2bc＝2，

∴A＝60°且b2＋c2－4＝bc，∴b2＋c2－4＝bc≥2bc－4，当且仅当b＝c时等号成立．

1

∴bc≤4，∴S△ABC＝2bcsin A≤3，∴△ABC面积的最大值为3. 1＋cos 2A1＋cos 2B33

－＝sin 2A－2222sin 2B，

3131

即2sin 2A－2cos 2A＝2sin 2B－2cos 2B，

π?π???

sin?2A－?＝sin?2B－?.

6?6???(2)①由题意得

由a≠b，得A≠B，又A＋B∈(0，π)，

24

ππ2ππ

得2A－6＋2B－6＝π，即A＋B＝3，所以C＝3. 4ac8

②由c＝3，sin A＝5，sin A＝sin C ，得a＝5. 3

由a

4＋33

故sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝10， 83＋181

所以△ABC的面积为S＝2acsin B＝25.

解题(1)的关键有两个：一是将已知式利用正弦定理转化为边的等式，从而可获得边的关系，再利用余弦定理可获得A的大小；二是结合三角形的面积公式借助均值不等式求得bc的最值，从而得到面积的最值．

解题(2)的关键是注意角大小的比较，从而得到cos A的值，然后再利用面积公式求解．

1.(2015·天津，13)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，

1

c.已知△ABC的面积为315，b－c＝2，cos A＝－4，则a的值为________． 115

1．【解析】 在△ABC中，由cos A＝－4可得，sin A＝4，

??

所以有?b－c＝2，

?1???－4?，a＝b＋c－2bc3???

2

2

2

115

bc324＝315，

?a＝8，

解得?b＝6，

?c＝4.

【答案】 8

2．(2013·课标Ⅱ，17，12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B. (1)求B；

25

(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值． 2．解：(1)由已知及正弦定理得 sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．① 又A＝π－(B＋C)，

故sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．② 由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B. π

又B∈(0，π)，所以B＝4. 12

(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.

24由已知及余弦定理得 π

4＝a2＋c2－2accos4. 又a2＋c2≥2ac，故ac≤

4

，当且仅当a＝c时，等号成立． 2－2

因此△ABC面积的最大值为2＋1.,

利用正、余弦定理求解三角形面积问题的题型与方法

(1)利用正弦、余弦定理解三角形，求出三角形的各个边角后，直接求三角形的面积．

(2)把面积作为已知条件之一，与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他各量． (3)求三角形面积的最值或范围，这时一般要先得到面积的表达式，再通过均值不等式、三角函数的最值等方法求得面积的最值或范围．

利用正、余弦定理解决实际问题也是高考考查的一个重要方面．以实际问题情景为载体考查学生应用知识解决问题的能力．考查频率一般，试题难度中等，所占分值一般为5分或12分，以客观题或解答题的形式出现．

26

4(2013·江苏，18，16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C

处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.

现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运行的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝123

，cos C＝135. (1)求索道AB的长；

(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ (3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？

12【解析】 (1)在△ABC中，因为cos A＝13， 354

cos C＝5，所以sin A＝13，sin C＝5. 从而sin B＝sin[π－(A＋C)]＝sin(A＋C)

53124633＋3＝. 13513565

ABACAC1 2604

由sin C＝sin B，得AB＝sin B3sin C＝6335＝1 040(m)．

65＝sin Acos C＋cos Asin C＝所以索道AB的长为1 040 m.

(2)设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得

12

d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－23130t3(100＋50t)313＝200(37t2－70t＋50)． 因为0≤t≤

1 040

，即0≤t≤8， 130

35

故当t＝37(min)时，甲、乙两游客距离最短．

BCACAC1 2605

(3)由sin A＝sin B，得BC＝sin B3sin A＝63313＝500(m)．

65

乙从B出发时，甲已走了503(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C. 设乙步行的速度为v m/min，

27

5007101 250625

由题意得－3≤v－50≤3，解得43≤v≤14，

所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在?1 250625??43，14?(单位：m/min)范围内． ??

(1)在△ABC中，先求sin B的值，再用正弦定理求解；

(2)利用余弦定理，构造距离关于时间t的函数，结合二次函数的性质求最值； (3)根据速度、路程、时间三者之间的关系，求出速度的范围．

(2014·课标Ⅰ文，16)如图，为测量山高

MN，选择A和另一座山的山顶C为测量观测点．从A点测得M点的仰角∠MAN＝60°，C点的仰角∠CAB＝45°以及∠MAC＝75°；从C点测得∠MCA＝60°，已知山高BC＝100 m，则山高MN＝________m. 【解析】 在△ABC中，AC＝1002，在△MAC中，

MAAC

＝，解得

sin 60°sin 45°

MN3

MA＝1003，在△MNA中，＝sin 60°＝2，故MN＝150，即山高MN为

1003150 m. 【答案】 150,

解三角形应用题的常见情况及方法

(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．

(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解条件足够的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．

28

解三角形应用题的一般步骤

1．(2016·江西南昌一模，6)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，3

若c＝1，B＝45°，cos A＝5，则b等于( ) 510552A.3 B.7 C.7 D.14

3

1．C [考向1]因为cos A＝5，所以sin A＝1－cos2A＝所以sin C＝sin[π－(A＋B)] ＝sin(A＋B)

＝sin Acos B＋cos Asin B 4372＝5cos 45°＋5sin 45°＝10. bc

由正弦定理sin B＝sin C，

15

得b＝3sin 45°＝7.

7210

2．(2015·山西朔州一模，6)若△ABC的三个内角满足sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，则△ABC( ) A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形

D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形

2．C [考向2]由于sin A∶sin B∶sin C＝5∶11∶13，结合正弦定理可知，a∶b∶

?3?24

1－?5?＝5， ??

29

a2＋b2－c225＋121－169

c＝5∶11∶13，不妨令a＝5，b＝11，c＝13，由于cos C＝2ab＝

235311<0，

∴C为钝角，故△ABC是钝角三角形．

3．(2016·山东济南二模，5)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15 min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是( ) A．22 km B．32 km C．33 km D．23 km

15

3．B [考向4]画出示意图如图，由条件知AB＝24360＝6.在△ABS中，∠BAS＝30°，AB＝6，∠ABS＝180°－75°＝105°，所以∠ASB＝45°.由正弦定理知ABsin 30°

＝32.

sin 45°

4．(2015·安徽合肥三模，9)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若ab

＋sin Bsin A＝2c，则A的大小是( ) ππππA.2 B.3 C.4 D.6 sin Asin B

4．C [考向1]由正弦定理可得，sin B＋sin A＝2sin C，由sin C≤1，

sin Asin B

即有sin B＋sin A≤2， sin Asin B又＋≥2(由基本不等式可得)， sin Bsin A当且仅当sin A＝sin B，取得等号． π

故sin C＝1，C＝2，sin A＝sin B， π

即A＝B＝4. 5．(2016·河南郑州质检，10)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，

BSAB

＝，所以BS＝

sin 30°sin 45°

30

π

已知sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin 2A，且c＝7，C＝3，则△ABC的面积是( ) 3373213373A.4 B.6 C.3 D.4或6

5．D [考向3]sin(B＋A)＝sin Bcos A＋cos Bsin A，sin(B－A)＝sin Bcos A－cos Bsin A，sin 2A＝2sin Acos A，sin(B＋A)＋sin(B－A)＝3sin 2A，即2sin Bcos A＝6sin Acos ππ21

A．当cos A＝0时，A＝2，B＝6，又c＝7，得b＝3.由三角形面积公式知S173＝2bcsin A＝6；当cos A≠0时，由2sin Bcos A＝6sin Acos A可得sin B＝3sin A，

a2＋b2－c2a2＋9a2－7

根据正弦定理可知b＝3a，再由余弦定理可知cos C＝＝＝2ab6a2π1133

cos3＝2，可得a＝1，b＝3，所以此时三角形的面积为S＝2absin C＝4.综上可

7333

得三角形的面积为6或4.

π

6.(2016·广东汕头二模，12)如图，在△ABC中，B＝3，点D在BC

1

上，cos∠ADC＝7，则cos∠BAD＝________. 6．[考向1]【解析】 在△ABC中，

143

∵cos∠ADC＝，∴sin∠ADC＝1－cos2∠ADC＝，则

77cos∠BAD＝cos(∠ADC－B)

＝cos∠ADC·cos B＋sin∠ADC·sin B 1143313

＝732＋732＝14.

13

【答案】 14

7．(2016·河南南阳一模，15)在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，batan Ctan C

c.若a＋b＝6cos C，则tan A＋tan B的值是________． ba

7．[考向1]【解析】 ∵a＋b＝6cos C， a2＋b2a2＋b2－c23∴ab＝6·2ab，∴a2＋b2＝2c2. tan Ctan Csin C?cos Acos B?sin Csin C∴tan A＋tan B＝cos C?sin A＋sin B?＝cos C·sin Asin B

??

c22c22c2

＝＝＝＝4.

a2＋b2－c2a2＋b2－c2322ab·2ab2c－c

31

【答案】 4

8．(2016·河北秦皇岛一模，17，12分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，→2AC→＝a2－(b＋c)2. b，c，满足2AB(1)求角A的大小；

C?4π?

?的最大值，并求取得最大值时角B，C的大小． (2)求23cos22－sin?－B

?3?8．[考向1]解：(1)由已知得 2bccos A＝a2－(b＋c)2，

由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bccos A，得4bccos A＝－2bc， 1

∴cos A＝－2， ∵0

2π∴A＝3.

2π

(2)∵A＝3，

ππ??

∴B＝3－C?0

3??

C?4π?

? ∴23cos2－sin?－B2?3?

1＋cos C?π?

?－B? ＝233＋sin

2?3?

π??

＝3＋2sin?C＋?.

3??

πππ2π

∵0

ππ

∴当C＋3＝2时，

π?4π?2C??23cos2－sin－B取最大值3＋2，此时B＝C＝6.

?3?

9．(2016·河南郑州质检，17，12分)在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C2

的对边，D为边AC的中点，a＝32，cos∠ABC＝4. (1)若c＝3，求sin∠ACB的值； (2)若BD＝3，求△ABC的面积．

2

9．[考向3]解：(1)a＝32，cos∠ABC＝4，c＝3， 由b2＝c2＋a2－2c·a·cos∠ABC

32

2

＝3＋(32)－23333234＝18，得b＝32.

2

2

14

又∠ABC∈(0，π)，所以sin∠ABC＝1－cos2∠ABC＝4.

cb

由正弦定理＝，

sin∠ACBsin∠ABCc·sin∠ABC7

得sin∠ACB＝＝

b4. (2)以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，

2

则cos∠BCE＝－cos∠ABC＝－4，BE＝2BD＝6.在△BCE中，BE2＝CB2＋CE2－2CB·CE·cos∠BCE，

?2?即36＝18＋CE2－23323CE3?－?，

?4?解得，CE＝3，即AB＝3， 197

所以S△ABC＝2acsin∠ABC＝4. 10．(2016·山东淄博三模，16，12分)在△ABC中，sin A＝sin B＝－cos C. (1)求角A，B，C的大小；

(2)若BC边上的中线AM＝7，求△ABC的面积． 10．[考向3]解：(1)由sin A＝sin B知A＝B， 从而有C＝π－2A，

而sin A＝－cos C＝cos 2A＝1－2sin2A， 即2sin2A＋sin A－1＝0， 1∴sin A＝－1(舍去)或sin A＝2， π2π

故A＝B＝6，C＝3. (2)设BC＝2x，则AC＝2x， 在△ACM中，

AM2＝AC2＋MC2－2AC·MC·cos C， 2π∴7＝4x2＋x2－2·2x·x·cos3，

33

解得x＝1，

于是△ABC面积S＝1CB·sin C＝1

2π2·CA·2·2x·2x·sin3＝3.

一、三角恒等变换

1．三角恒等变换中常用的公式 (1)两角和与差的三角函数公式

sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β；(Sα＋β) sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.(Sα－β) cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β；(Cα＋β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.(Cα－β) tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β；(Tα＋β)

tan(α－β)＝

tan α－tan β

1＋tan αtan β

.(Tα－β)

(2)二倍角公式

sin 2α＝2sin αcos α；(S2α)

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(C2α) tan 2α＝

2tan α

1－tan2α

.(T2α)

(3)半角公式 sinα

1－cos α＋cos α

2＝±2；cosα

2＝±12

； tanα

1－cos αsin α1－cos α

2＝±1＋cos α＝1＋cos α

＝sin α.

2．常用的公式变形 (1)辅助角公式

asin α＋bcos α＝a2＋b2sin(α＋φ)， 其中cos φ＝

aa2＋b2，sin φ＝b

a2＋b

2.

34

辅助角公式在三角函数中具有最广泛的应用，它是研究三角函数性质、求三角函数值的重要工具，应熟练掌握． (2)两角和与差的正切公式的变形

tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． (3)升幂公式

αα

1＋cos α＝2cos22；1－cos α＝2sin22. (4)降幂公式

1－cos 2α1＋cos 2α2

sin2α＝；cosα＝.

22(5)其他常用变形

2sin αcos α2tan α

sin 2α＝2＝；

sinα＋cos2α1＋tan2αcos2α－sin2α1－tan2α

cos 2α＝2＝；

cosα＋sin2α1＋tan2αα?2?α

1±sin α＝?sin±cos?；

2??2αsin α1－cos α

tan2＝＝.

1＋cos αsin α

3．三角函数式的化简与求值的原则与技巧 (1)化简的基本原则 ①能求值的尽量求值； ②使三角函数的种类尽量少； ③使项数尽量少；

④尽量使分母不含三角函数； ⑤尽量使被开方数不含有三角函数． (2)化简中“次数”与“角”的关系

“次降角升”“次升角降”是基本的规律，根号中含有三角函数式时，一般需要升次．

35

(3)化简中的常用技巧

①“1”的代换，1＝sin2α＋cos2α，1＝2cos2α－cos 2α，1＝cos 2α＋2sin2α，π

1＝tan4等；

②用“弦化切”“切化弦”的方法来减少三角函数的种类；

③利用辅助角公式将形如asin α＋bcos α的式子化为只含有一个三角函数的形式a2＋b2sin(α＋φ)；

④角的变换技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，α＝(α＋β)－β＝(απ?π?π?π?

－β)＋β，α＝?＋α?－3＝?α－?＋3等．

3??3??二、正、余弦定理及解三角形 1．正、余弦定理 定理 正弦定理 abcsin A＝sin B＝sin C＝2R (其中R是△ABC外接圆的半径) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C； b2＋c2－a2cos A＝2bc； 变形a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； a2＋c2－b2cos B＝2ac； 形式 asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A； a2＋b2－c2cos C＝2ab a＋b＋c＝2R sin A＋sin B＋sin C2.利用正、余弦定理解三角形

(1)已知两角一边，用正弦定理，只有一解．

(2)已知两边及一边的对角，用正弦定理，有解的情况可分为几种情况． 在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况如下：

A为锐角 A为钝角或直角 abcsin A＝2R，sin B＝2R，sin C＝2R； 余弦定理 a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝a2＋c2－2accos B； c2＝a2＋b2－2abcos C 内容

36

图形 关系式 解的个数 a＝bsin A 一解 bsin Ab 一解 上表中A为锐角时，a

设△ABC的三边为a，b，c，对应的三个角分别为A，B，C，其面积为S. 1

(1)S＝2ah(h为BC边上的高)； 111

(2)S＝2absin C＝2bcsin A＝2acsin B；

(3)S＝2R2sin Asin Bsin C(R为△ABC外接圆半径)； abc(4)S＝4R；

1??

(5)S＝p（p－a）（p－b）（p－c）?p＝2（a＋b＋c）?；

??(6)S＝pr(p同(5)，r为△ABC内切圆的半径)． 4．三角形中的一些重要结论 (1)A＋B＋C＝π.

(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．

(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． (4)三角形内的诱导公式：

sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C； A＋BC

tan(A＋B)＝－tan C；sin2＝cos2； A＋BCcos2＝sin2.

(5)在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝tan A2tan B2tan C.

37

(6)△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60°.

(7)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列，且a，b，c成等比数列．

(8)在△ABC中，A>B?sin A>sin B?cos A

π??π??

(9)在△ABC中，最大内角的取值范围是?，π?，最小内角的取值范围是?0，?.

3??3??(10)在锐角△ABC中，sin A>cos B，sin B>cos C，sin C>cos A等． 5．解三角形实际问题中常用的术语 术语名称 仰角与俯角 术语意义 在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫作仰角，目标视线在水平视线下方的叫作俯角 从某点的正北方向线起按顺时针方向方位角 到目标方向线之间的水平夹角叫作方位角，方位角的范围是(0°，360°) 正北或正南方向线与目标方向线所成方向角 的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)33度 坡角 坡面与水平面的夹角 图形表示 北偏东m° 南偏西n° 设坡角为α，坡度为i，则hi＝l＝tan α 坡度 坡面的垂直高度h和水平宽度l的比

一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分)

sin 2α

1．(2016·河北石家庄模拟，4)若tan α＝3，则2的值等于( )

cosα

38

A．2 B．3 C．4 D．6 1．D

sin 2α2sin αcos α

＝＝2tan α＝233＝6. cos2αcos2α

2．(2013·湖南，3)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asin B＝3b，则角A等于( ) ππππ

A.12 B.6 C.4 D.3 2．D 由正弦定理可知，2sin A2sin B＝3sin B，因为B为三角形的内角，所以ππ?3?

sin B≠0，故sin A＝2.又因为△ABC为锐角三角形，所以A∈?0，?，故A＝3，2??故选D.

2cos225°－1

3．(原创题)的值等于( ) 2sin 200°1－sin 20°A．－1 B．1 C．－2 D．2 cos 50°

3．C 原式＝

－sin 20°2cos220°＝

sin 40°sin 40°

＝1＝－2.

－sin 20°2cos 20°

－2sin 40°

4．(2013·辽宁，6)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若asin Bcos 1

C＋csin Bcos A＝2b，且a>b，则∠B＝( ) ππ2π5πA.6 B.3 C.3 D.6 11

4．A 由正弦定理得sin B(sin Acos C＋sin Ccos A)＝2sin B，即sin Bsin(A＋C)＝2π5π1

sin B．因为sin B≠0，sin(A＋C)＝sin B，所以sin B＝2，所以B＝6或6.又因为π

a>b，所以∠B＝6，故选A.

π113

5．(2015·湖南益阳质检，7)已知cos α＝7，cos(α－β)＝14，且0<β<α<2，则β等于( )

πππ5πA.4 B.6 C.3 D.12

39

ππ

5．C ∵0<β<α<2，－2<－β<0， π

∴0<α－β<2，

4333

∴sin α＝7，sin(α－β)＝14. ∴cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) 11343331＝7314＋7314＝2， π∴β＝.

3

6．(2016·安徽安庆二模，2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“A＝B”成立的必要不充分条件为( ) A．cos A＝cos B B．sin A＝sin B C．bcos A＝acos B D．acos A＝bcos B

6．D 由于A＝B?cos A＝cos B?sin A＝sin B，故排除选项A和B；由bcos A＝acos B及正弦定理可得sin Acos B＝cos Asin B，即sin(A－B)＝0，从而A＝B，故排除选项C；对于选项D，当A＝B时，必有acos A＝bcos B，但当acos A＝ π

bcos B时，可得A＝B或A＋B＝2，因此D项符合．

37?ππ?7．(2012·山东，7)若θ∈?，?，sin 2θ＝8，则sin θ＝( )

2??43473

A.5 B.5 C.4 D.4

37

7．D 由已知得(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋8，于是sin θ＋cos θ＝373＋737

1＋8＝4，又(sin θ－cos θ)2＝1－sin 2θ＝1－8，所以sin θ－ cos θ＝

3－73

.因此可得sin θ＝44.

方法点拨：sin θ±cos θ以及sin θcos θ之间有密切的联系，在sin θ＋ cos θ，sin θ－cos θ，sin θcos θ中知其一可求其二，这是因为(sin θ± cos θ)2＝1±2sin θcos θ，利用这一关系可以巧妙解决相关的计算问题． 8．(2015·河南洛阳二模，6)在△ABC中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，

40

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