数学建模仓库选址问题

仓库选址问题

摘要

随着全球经济的一体化，物资流通的范围已经不仅仅局限在国家内部，而是也走向来了世界各地。面对多种多样的物资运输方案，就需要我们从中选择一种最节约费用的方案来实施。基于此，本文针对美国超级医疗设备公司选址问题给出了两种数学模型。全文首先对给出的题目进行数学分析，分析数据之间的直观联系和潜在联系，把数据从现实问题中抽离出

来转化为纯粹的数学符号，然后借助于数学分析中求解重心坐标的公式

(

、

Dix--第i个地点的x坐标；Diy--第i个地点的y坐标；Vi--运到第i个地点

或从第i个地点运出的货物量两点间距离公式和数理统计中求解加权平均值的方法对数据进一步整合。在此基础上，将之转化为MATLAB计算语言进行数据操作，一方面，借助于MAYLAB绘图工具将题中给出的数据再现于图中，直观明了，便于从图中发现些隐含信息；另一方面，利用MATLAB程序设计中的循环结构进行必要的编程和计算。由于每种方案的均相等，所以只需比较一下每种方案的总成本（外向运输成本和内向运输成本）即可，总成本最低的城市即为最佳选址点，利用方案比较法最终得出结论。 关键词：重心法、加权平均值法

一、问题重述

美国超级医疗设备公司在亚利桑那州的菲尼克斯和墨西哥的蒙特雷生产零部件，然后由位于堪萨斯州堪萨斯城的一家仓库接受生产出来的零件，随后在分拨给位于美国和加拿大的客户。但由于某些原因，公司要考虑仓库选址的最优化。现已知若继续租赁原仓库，租金为每年每平方英尺2.75美元，仓库面积为20万平方英尺，若在其他城市租同等规模的仓库，租金为每平方英尺3.25美元，并且新租约或续租的期限均为5年。假如转移仓库，则需一次性支付30万美元的搬迁费及其他选址费。从工厂到堪萨斯仓库的运输费为2162535美元，从仓库到客户的运输费为4519569美元，仓库租赁费为每年100万美元。另外，各地仓库的运营成本估计基本相同。

最近一年从工厂到堪萨斯城仓库运输的运量费率、距离及坐标值如下图所示： 运输费率 工厂位置 菲尼克斯 蒙特雷 总计 网络坐标值（1） X 3.6 6.9 Y 3.90 1.00 )

年运量（担） （美元/担） 距离（英里） 61500 120600 182100 16.73 9.40 1163 1188 （1）英里=230*坐标距离

最近平价从堪萨斯城仓库到客户运输5000磅运输的运量、费率、距离及坐标值数据如下图所示： 客户位置 西雅图 洛杉矶 丹佛 达拉斯 芝加哥 亚特兰大 纽约 多伦多 蒙特利尔 总计 堪萨斯城 年需求量 （担） 17000 32000 12500 9500 29500 21000 41300 8600 10700 182100 运输费率 （美元/担） 33.69 30.43 25.75 18.32 25.24 19.66 26.52 26.17 27.98 距离 （英里） 1858 1496 598 560 504 855 1340 1115 1495 网络坐 X 0.90 1.95 5.60 7.80 10.20 11.30 14.00 12.70 14.30 8.20 标值 Y 9.10 4.20 6.10 3.60 6.90 3.95 6.55 7.80 8.25 6.00 已知最近一年的外向运输成本为4819569美元，加权平均运距为1128英里，年运量为182100担，则可估计出以仑库为起点的外向运榆平均资率为0.0235美元／(担*英里)。问题： 1、根据今年的信息，堪萨斯城是否是仓库的最佳选址点?若不是，更好选址点们坐标值是什么?新选址可以带来哪些成本节约?

2、管理层预期在未来五年，西雅图、洛杉矾和丹佛的市场将增长5％，而其他市场会减少10％。运输成本保持不变。菲尼克斯的产量将增加5％，蒙待雷的产量将下降10％。你会改变仓库选址决策吗?如果会，将如何改变?

3、若到第五年，仓库外向运输资率上升25％，仓库的内向运输货率上升15％。你会改变仓库选址决策吗?

二、问题分析

当考虑的主要是费用问题时，要找到仓库的最佳选址，由于在每个城市的销售额均相等，故只需考虑在每个城市的总运输成本即可，运输成本最低的城市即为最佳仓库选址地点；当考虑的主要因素是现有设施之间的距离和要运输的货物量时，商品运输量是影响商品运输费用的主要因素，仓库尽可能接近运量较大的城市，从而使较大的商品运量走相对较短的路程，就是求出各城市实际商品运量的重心所在的位置。

三、模型假设及符号说明

3.1模型假设

（1）考虑理想模型，并且是单程计算的，忽略地形等客观因素的影响。 （2）当分析其他城市的总成本时，忽略堪萨斯城的年需求量。 3.2符号说明：

A：表示西雅图及其他各城市网络横坐标的矩阵。 B：表示西雅图及其他各城市网络纵坐标的矩阵。 C：表示西雅图等其他城市年需求量的矩阵。

L：表示以其中一个城市为中心，其他城市与之的距离的矩阵。 A1：表示工厂及西雅图等各城市网络横坐标的矩阵。 B1：表示工厂及西雅图等各城市网络纵坐标的矩阵。

C1：表示第1问中工厂的年运量及西雅图等各城市的年需求量的矩阵。 D1：表示第2问中工厂的年运量及西雅图等各城市的年需求量的矩阵。

P：表示除堪萨斯城和工厂外，以剩下城市中的其中一个为中心，其他城市与之的距离的矩阵。

Q：表示工厂及西雅图等其他各城市与重心的距离的矩阵。 l1：表示其他各城市与工厂的网络距离的矩阵。

aver0：表示以堪萨斯城为中心，其他各城市与之的网络距离的平均值。 aver1：表示堪萨斯城与菲尼克斯和蒙特雷的网络距离的平均值。

Aver：表示以其中一个城市为中心，其他城市与之的距离的平均值的矩阵。

fc1w、fc2w、fc3w：分别表示1、2、3问题中以其中一个城市为中心，该中心对其他城市的外向运输成本的矩阵。

fr1w、fr2w、fr3w：分别表示1、2、3问题中以其中一个城市为中心，该中心对其他城市的内向运输成本的矩阵。

f1w、f2w、f3w：分别表示1、2、3问题中以其中一个城市为中心，该中心对其他城市的总运输成本的矩阵。

x11、y11：分别表示两个工厂的横纵坐标矩阵。

f1、f2、f3：分别表示1、2、3问题中以堪萨斯城为中心，到其他城市的运输成本。 fc1、fc2、fc3，fr1、fr2、fr3：分别表示堪萨斯城到其他各城市的外向和内向运输成本。

Cx1、Cy1：表示第1问中重心的网络横纵坐标。 Cx2、Cy2：表示第2问中重心的网络横纵坐标。

四、模型的建立与求解

1.方法一：利用求加权平均值的方法算

A= [0.90 1.95 5.60 7.80 10.20 11.30 14.00 12.70 14.30]; B= [9.10 4.20 6.10 3.60 6.90 3.95 6.55 7.80 8.25];

C= [17000 32000 12500 9500 29500 21000 41300 8600 10700]; a=0; For i=1:9 for j=1:9 if j~=i

L(j)=sqrt((A(j)-A(i))^2+(B(j)-B(i))^2); else L(j)=0; end end

aver(i)=sum(L)/8; end aver;

for k=1:9 fc1w(k)=aver(k)*(4819569/(1128*182100))*(182100-C(k)*230;

x11=[3.60 6.90]; y11=[3.90 1.00];

l1=sqrt((x11-A(k)).^2+(y11-B(k)).^2); aver1=sum(l1)/2;

fr1w(k)=aver1*(2162535*2/(1163+1188))/182100*(182100-C(k)); f1w(k)=fc1w(k)+fr1w(k)+3.25*200000+1000000; end

f1w fr1w fc1w x=8.20; y=6.00; for n=1:9

P(n)=sqrt((A(n)-x)^2+(B(n)-y)^2); end

aver0=sum(P)/9;

fc1=aver0*(4819569/1128)*230 x11=[3.60 6.90]; y11=[3.90 1.00];

l1=sqrt((x11-x).^2+(y11-y).^2); aver1=sum(l1)/2;

fr1=aver1*(2162535*2/(1163+1188)) f1=fr1+fc1+2.75*200000+1000000 运行结果如下： 城市 堪萨斯城 西雅图 洛杉矶 丹佛 达拉斯 芝加哥 亚特兰大 纽约 多伦多 蒙特利尔 运输成本 外向运输成本（美元） 内向运输成本（美元） 1年总运输成本（美元） 5.2402e+006 8.8225e+006 7.0524e+006 5.5438e+006 5.4658e+006 4.2128e+006 5.0864e+006 4.9385e+006 5.5221e+006 6.5125e+006 9.4034e+003 1.3293e+004 0.5741e+004 0.7056e+004 0.6070e+004 1.0799e+004 1.0577e+004 1.4042e+004 1.6510e+004 1.8969e+004 6.7996e+006 1.0486e+007 8.708e+006 7.201e+006 7.122e+006 5.874e+006 6.747e+006 6.603e+006 7.189e+006 8.181+006 由上表数据可看出：堪萨斯城不是仓库的最佳选地址点；

最佳选址地点是芝加哥，其坐标值为（10.20，6.90）。

新地址点可带来的节约有：外向运输成本非常低，内向运输成本也比较低。 方法二：利用重心坐标公式计算

A1=[3.60 6.90 0.90 1.95 5.60 7.80 10.20 11.30 14.00 12.70 14.30 8.20];

B1=[3.90 1.00 9.10 4.20 6.10 3.60 6.90 3.95 6.55 7.80 8.25 6.00];

C1=[61500 120600 17000 32000 12500 9500 29500 21000 41300 8600 10700 0]; Cx11=sum(A1.*C1); Cy11=sum(B1.*C1); V1=sum(C1); Cx1=Cx11/V1 Cy1=Cy11/V1 for i=1:12

G(i)=sqrt((A1(i)-Cx1)^2+(B1(i)-Cx1)^2); end G

运行结果如下：重心坐标为（7.2871，4.0428） 城市 菲尼斯特 蒙特雷 西雅图 洛杉矶 丹佛 达拉斯 与重心的距离 5.0067 6.2990 6.6394 6.1656 2.0629 3.7226 城市 芝加哥 亚特兰大 纽约 多伦多 蒙特利尔 堪萨斯城 与重心的距离 2.9385 5.2192 6.7532 5.4371 7.0787 1.5780 注：英里=距离*230

具体位置关系如下图所示：

由上表可看出堪萨斯城即为最佳选址地点。 2.方法一：利用求加权平均值的方法算

A=[0.90 1.95 5.60 7.80 10.20 11.30 14.00 12.70 14.30];

B=[9.10 4.20 6.10 3.60 6.90 3.95 6.55 7.80 8.25];

C=[17000 32000 12500 9500 29500 21000 41300 8600 10700]; a=0; for i=1:9 for j=1:9 if j~=i

L(j)=sqrt((A(j)-A(i))^2+(B(j)-B(i))^2); else L(j)=0; end end

aver(i)=sum(L)/8; end

for k=1:3

fc2w1(k)=aver(k)*(4819569/(1128*173115))*(173115-C(k)*(1+0.05))*230; x11=[3.60 6.90]; y11=[3.90 1.00];

l1=sqrt((x11-A(k)).^2+(y11-B(k)).^2); aver1=sum(l1)/2;

fr2w1(k)=aver1*(2162535*2/(1163+1188))/173115*(173115-C(k)*(1+0.05)); f2w1(k)=fc2w1(k)+fr2w1(k)+3.25*200000*5+5000000; end for m=1:6

fc2w2(m)=(aver(m+3))*(4819569/(1128*173115))*(173115-(C(m+3))*(1-0.1))*230; x11=[3.60 6.90]; y11=[3.90 1.00];

l1=sqrt((x11-A(m+3)).^2+(y11-A(m+3)).^2); aver1=sum(l1)/2;

fr2w2(m)=aver1*(2162535*2/(1163+1188))/173115*(173115-(C(m+3))*(1-0.1)); f2w2(m)=fc2w2(m)+fr2w2(m)+3.25*200000*5+5000000; end

f2w=[f2w1 f2w2] fc2w=[fc2w1 fc2w2] fr2w=[fr2w1 fr2w2] x=8.20; y=6.00; for n=1:9

P(n)=sqrt((A(n)-x)^2+(B(n)-y).^2); end

aver0=sum(P)/9;

fc2=aver0*(4819569/1128)*230 x11=[3.60 6.90]; y11=[3.90 1.00];

l1=sqrt((x11-x).^2+(y11).^2); aver1=sum(l1)/2;

fr2=aver1*(2162535*2/(1163+1188)) f2=fr2+fc2+2.75*200000*5+5000000 运行结果如下： 城市 堪萨斯城 西雅图 洛杉矶 丹佛 达拉斯 芝加哥 亚特兰大 纽约 多伦多 蒙特利尔 运输成本 外向运输成本（美元） 内向运输成本（美元） 5年总运输成本（美元） 4.6465e+006 8.7276e+006 6.8953e+006 5.5011e+006 5.4818e+006 4.2562e+006 5.1217e+006 5.0157e+006 5.5366e+006 6.5341e+006 0.7056e+004 1.3150e+004 0.5613e+004 0.7002e+004 1.1009e+004 1.4717e+004 1.7929e+004 2.1171e+004 2.2598e+004 2.6183e+004 1.2404e+007 1.6991e+007 1.5151e+007 1.3758e+007 1.3743e+007 1.2521e+007 1.3390e+007 1.3287e+007 1.3809e+007 1.4810e+007 由上表数据可看出最佳选址地点仍是堪萨斯城，不需改变选址决策。 方法二：利用重心坐标公式计算

A1=[3.60 6.90 0.90 1.95 5.60 7.80 10.20 11.30 14.00 12.70 14.30 8.20]; B1=[3.90 1.00 9.10 4.20 6.10 3.60 6.90 3.95 6.55 7.80 8.25 6.00];

D1=[61500*(1+0.05) 120600*(1-0.1) 17000*(1+0.05) 32000*(1+0.05) 12500*(1+0.05) 9500*(1-0.1) 29500*(1-0.1) 21000*(1-0.1) 41300*(1-0.1) 8600*(1-0.1) 10700*(1-0.1) 0]; Cx21=sum(A1.*D1); Cy21=sum(B1.*D1); V2=sum(D1); Cx2=Cx21/V2 Cy2=Cy21/V2 for j=1:12

Q(j)=sqrt((A1(j)-Cx2)^2+(B1(j)-Cx2)^2); end Q

运行结果如下：重心坐标为（7.0587，4.0895） 城市 菲尼斯特 蒙特雷 西雅图 洛杉矶 丹佛 达拉斯 注：英里=距离*230

与重心的距离 4.6840 6.0608 6.4882 5.8542 1.7456 3.5373 城市 芝加哥 亚特兰大 纽约 多伦多 蒙特利尔 堪萨斯城 与重心的距离 3.1453 5.2586 6.9599 5.6898 7.3385 1.5567

具体位置如下图所示：

由上表数据可看出堪萨斯城仍是最佳选址地点，不需改变选址决策。 3.方法一：利用求加权平均值的方法算

A=[0.90 1.95 5.60 7.80 10.20 11.30 14.00 12.70 14.30]; B=[9.10 4.20 6.10 3.60 6.90 3.95 6.55 7.80 8.25];

C=[17000 32000 12500 9500 29500 21000 41300 8600 10700]; a=0; for i=1:9 for j=1:9 if j~=i

L(j)=sqrt((A(j)-A(i))^2+(B(j)-B(i))^2); else L(j)=0; end end

aver(i)=sum(L)/8; end

for k=1:9

fc3w(k)=aver(k)*0.0235*(1+0.25)*(182100-C(k))*230; x11=[3.60 6.90]; y11=[3.90 1.00];

l1=sqrt((x11-A(k)).^2+(y11-B(k)).^2); aver1=sum(l1)/2;

fr3w(k)=aver1*((2162535*2/(1163+1188))/182100)*(1+0.05)*(182100-C(k)); f3w(k)=fc3w(k)+fr3w(k)+3.25*200000*5+5000000;

end f3w x=8.20; y=6.00; for n=1:9

P(n)=sqrt((A(n)-x)^2+(B(n)-y)^2); end

aver0=sum(P)/9;

fc3=aver0*0.0235*(1+0.25)*230*182100; x11=[3.60 6.90]; y11=[3.90 1.00];

l1=sqrt((x11-x).^2+(y11-y).^2); aver1=sum(l1)/2;

fr3=aver1*(2162535*2/(1163+1188))*(1+0.15); f3=fr3+fc3+2.75*200000*5+5000000 运行结果如下： 运输成本 城市 堪萨斯城 西雅图 洛杉矶 丹佛 达拉斯 芝加哥 亚特兰大 纽约 多伦多 蒙特利尔 外向运输成本（美元） 0.77438e+006 1.1045e+007 0.8829e+007 0.6941e+007 0.6843e+007 0.5274e+007 0.6368e+007 0.6183e+007 0.6913e+007 0.8153e+007 内向运输成本（美元） 1.0814e+004 1.3958e+004 0.6028e+004 0.7409e+004 0.6373e+004 1.1339e+004 1.1106e+004 1.4745e+004 1.7335e+004 1.9918e+004 5年总运输成本（美元） 1.5505e+007 1.9309e+007 1.7085e+007 1.5198e+007 1.5099e+007 1.3536e+007 1.4629e+007 1.4447e+007 1.5181e+007 1.6423e+007

由以上数据可看出芝加哥是最佳选址地点，

所以需改变决策。

方法二：利用重心坐标公式计算

由于外向运输资率及内向运输资率的改变只是改变了运输成本，而与年需求量和各城市坐标都没影响，所以由第一小题的运算可知堪萨斯城为最佳选址地点，故不需改变决策。

五、模型的评价与推广

上述采用了求重心坐标的方法和求加权平均值的方法，具有一定的合理性，但这两种方法均是在理想状况下建立的模型，忽略了运输时天气、地理环境等因素的影响，在实际操作中各方面因素均需考虑。在我们所采用的方法中，重心法是一种模拟方法，它将物流系统中

的需求点和资源点看成是分布在某一平面范围内的物流系统，各点的需求量和资源量分别看成是物体的重量，物体系统的重心作为物流网点的最佳设置点，利用求物体系统重心的方法来确定物流网点的位置。相关问题均可如此处理；求加权平均值的方法是一种更具普遍意义的方法，便于理解，实用性强。

参考文献

【9787810824347】 程永生 《物流系统分析》 清华大学出版社,北京交通大学出版社 2004年

【9787508426600】 刘卫国 《MAYTLAB程序设计教程》 中国水利水电出版社 2005年

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/kuyg.html