《数字电子技术(第三版)》3. 布尔代数与逻辑函数化简

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第3章 布而代数与逻辑函数化简学习要点： 学习要点： 三种基本运算，基本公式、定理和规则。 逻辑函数及其表示方法。 逻辑函数的公式化简法与卡诺图化简法。 无关项及其在逻辑函数化简中的应用。

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3.1 基本公式和规则3.1.1 逻辑代数的公式和定理 (1)常量之间的关系与运算： 0 0 = 0

0 1 = 0

1 0 = 0

1 1 = 1

或运算： 0 + 0 = 0非运算： 1 = 0

0 +1=10 =1

1+ 0 =1

1+1=1

(2)基本公式

A + 0 = A 0-1 律： A 1 = A互补律： A + A = 1

A +1 = 1 A 0 = 0

A A = 0

双重否定律： A = A

等幂律： A + A = A

A A = A

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(3)基本定理

A B = B A 交换律： A + B = B + A ( A B) C = A ( B C ) 结合律： ( A + B) + C = A + ( B + C )

A 0 0 A (B + C) = A B + A C 1 分配律： A + B C = ( A + B) ( A + C ) 1

B A.B B.A 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1

A .B = A + B 反演律(摩根定律): A + B = A B

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证明分配率：A+BC=(A+B)(A+C) 证明： 证明： (A+B)(A+C)=AA+AB+AC+BC =A+AB+AC+BC =A(1+B+C)+BC =A+BC 分配率 A(B+C)=AB+AC 等幂率AA=A 等幂率AA=A 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1

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(4)常用公式

A B + A B = A 还原律： ( A + B ) ( A + B ) = A

A + A B = A 吸收率： A ( A + B) = A

A ( A + B) = A B A + A B = A + B

证 ：A + AB = (A + A)(A + B) 明

分配率 A+BC=(A+B)(A+C) 互补率A+A=1 互补率A+A=1 0-1率A·1=1 1=1

= 1 ( A + B)

= A+B

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冗余律： AB + A C + BC = AB + A C

证明： AB + A C + BC= AB + A C + ( A + A ) BC = AB + A C + ABC + A BC互补率A+A=1 互补率A+A=1 分配率 A(B+C)=AB+AC 0-1率A+1=1

= AB(1 + C ) + A C (1 + B)

= AB + A C

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3.1.2 逻辑代数运算的基本法则 (1)代入法则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出 现A的位置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。这个规 则称为代入规则。 例如，已知等式 AB = A + B ,用函数Y=AC代替等式中 的A,根据代入规则，等式仍然成立，即有：

( AC ) B = AC + B = A + B + C(2)反演法则：对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式 中的所有“·”换成“+”,“+”换成“·”,“0”换成“1”,“1” 换成“0”,原变量换成反变量 ， 反变量换成原变量 原变量换成反变量， 原变量换成反变量 反变量换成原变量，那么所得 到的表达式就是函数Y的反函数Y(或称补函数)。这个规则称 为反演规则。例如：

Y = AB + CD EY = A+ B +C + D+ E

Y = ( A + B)(C + D + E )Y = A B C D E

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(3)对偶法则：对于任何一个逻辑表达式Y,如果将表达式中 的所有“·”换成“+”,“+”换成“·”,“0”换成“1”,“1”换 成“0”,而

变量保持不变 变量保持不变，则可得到的一个新的函数表达式Y', 变量保持不变 Y'称为函Y的对偶函数。这个规则称为对偶规则。例如：

Y = AB + CD EY = A+ B +C + D+ E

Y ′ = ( A + B )( C + D + E )Y ′ = A B C D E

对偶规则的意义在于：如果两个函数相等，则它们的对偶函 数也相等。利用对偶规则,可以使要证明及要记忆的公式数目减少 一半。例如：

A B + A B = AA(B + C) = AB + AC

( A + B) ( A + B ) = AA + BC = ( A + B )( A + C )

注意：在运用反演规则和对偶规则时，必须按照逻辑运算 注意 的优先顺序进行：先算括号，接着与运算，然后或运算，最后非 运算，否则容易出错。

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5、逻辑函数及其相等概念 (1)逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符 连接起来所构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母 A、B、C、D等称为输入逻辑变量，等式左边的字母Y称为 输出逻辑变量，字母上面没有非运算符的叫做原变量，有非 运算符的叫做反变量。 (2)逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、 C、…的每一组确定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值， 则称Y是A、B、C、…的逻辑函数。记为

Y = f ( A, B, C ,L)注意：与普通代数不同的是，在逻辑代数中，不管是变 注意 量还是函数，其取值都只能是0或1,并且这里的0和1只表示两 种不同的状态，没有数量的含义。

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(3)逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数

Y1 = f ( A, B , C , L)

Y2 = g ( A, B , C , L)

它们的变量都是A、B、C、…,如果对应于变量A、B、 C、…的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2 是相等的，记为Y1=Y2。 若两个逻辑函数相等，则它们的真值表一定相同；反之， 若两个函数的真值表完全相同，则这两个函数一定相等。因此， 要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值表， 看看它们的真值表是否相同即可。 证明等式：

AB = A + BB 0 1 0 1 AB 0 0 0 1 AB 1 1 1 0 A 1 1 0 0 B 1 0 1 0 A+B 1 1 1 0

A 0 0 1 1

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3.1.3 逻辑函数的表达式 一个逻辑函数的表达式可以有与或表达式、或与表达式、 与非-与非表达式、或非-或非表达式、与或非表达式5种表示 形式。

( 1)与或表达式： Y = A B + AC ( 2)或与表达式： Y = ( A + B )( A + C ) ( 3)与非 - 与非表达式： Y = A B AC ( 4)或非 - 或非表达式： Y = A + B + A + C ( 5)与或非表达式： Y = A B + A C一种形式的函数表达式相应于一种逻辑电路。尽管一个逻 辑函数表达式的各种表示形式不同，但逻辑功能是相同的。

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1、逻辑函数的最小项及其性质 (1)最小项：如果一个函数的某个乘积项包含了函数的 全部变量，其中每个变量都以原变量或反变

量的形式出现，且 仅出现一次，则这个乘积项称为该函数的一个标准积项，通常 称为最小项。 3个变量A、B、C可组成(2^3)8个最小项：

ABC、ABC、ABC、ABC ABC、ABC、AB 、ABC 、 C(2)最小项的表示方法：通常用符号mi来表示最小项。下 标i的确定：把最小项中的原变量记为1,反变量记为0,当变量 顺序确定后，可以按顺序排列成一个二进制数，则与这个二进 制数相对应的十进制数，就是这个最小项的下标i。 3个变量A、B、C的8个最小项可以分别表示为：

m0 = A B C 、m1 = A B C、m2 = A BC 、m3 = A BC m4 = AB C 、m5 = AB C、m6 = ABC 、m7 = ABC

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(3)最小项的性质：

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

3 变量全部最小项的真值表 ABC ABC m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

m7 0 0 0 0 0 0 0 1

①任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1。 ②任意两个不同的最小项的乘积必为0。 ③全部最小项的和必为1。

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2、逻辑函数的最小项表达式 任何一个逻辑函数都可以表示成唯一的一组最小项之和，称 为标准与或表达式，也称为最小项表达式. 对于不是最小项表达式的与或表达式，可利用公式A+A=1 和A(B+C)=AB+BC来配项展开成最小项表达式。

Y = A + BC = A ( B + B )(C + C ) + ( A + A ) BC = A BC + A BC + A B C + A B C + ABC + A BC = A B C + A B C + A BC + A BC + ABC = m0 + m1 + m2 + m3 + m7 = ∑ m(0,1,2,3,7)

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如果列出了函数的真值表，则只要将函数值为1的那些最小 项相加，便是函数的最小项表达式。

A 0 0 0 0 1 1 1 1

B 0 0 1 1 0 0 1 1

C 0 1 0 1 0 1 0 1

Y 0 1 1 1 0 1 0 0

最小项 m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7

m1=ABC m1=ABC m3=ABC m5=ABC ABC

Y = m1 + m 2 + m 3 + m 5 =

∑ m (1, 2 ,3 ,5 )

= A B C + A BC + AB C + AB C将真值表中函数值为0的那些最小项相加，便可得到 反函数的最小项表达式。

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本节小结

逻辑代数是分析和设计数字电路的重 要工具。利用逻辑代数， 要工具。利用逻辑代数，可以把实际逻 辑问题抽象为逻辑函数来描述， 辑问题抽象为逻辑函数来描述，并且可 以用逻辑运算的方法， 以用逻辑运算的方法，解决逻辑电路的 分析和设计问题。 分析和设计问题。 非是3种基本逻辑关系， 与、或、非是3种基本逻辑关系， 也 种基本逻辑运算。与非、或非、 是3种基本逻辑运算。与非、或非、与或 异或则是由与、 非、异或则是由与、或、非3种基本逻辑 运算复合而成的4种常用逻辑运算。 运算复合而成的4种常用逻辑运算。 逻辑代数的公式和定理是推演、 逻辑代数的公式和定理是推演 、 变 换及化简逻辑函数的依据。 换及化简逻辑函数的依据。

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3.2 逻辑函数的化简3.2.1

逻辑函数的最简表达式 3.2.2 逻辑函数的公式化简法 3.2.3 逻辑函数的图形化简法 3.2.4 含随意项的逻辑函数的化简 退出

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逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它 的电路越简单，电路工作越稳定可靠。

3.2.1 逻辑函数的最简表达式1、最简与或表达式 乘积项最少、并且每个乘积项中的变量也最少的与或 表达式。

Y = A BE + A B + AC + AC E + BC + BC D = A B + AC + BC = A B + AC最简与或表达式

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