山东省聊城市2010届高三二模（数学理）word版

2010年聊城市高考模拟试题

理科数学（二）

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页，满分150分，考试用时120分钟。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡及答题纸上。 3．第Ⅰ卷共2页，答题时，考生须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试卷上作答无效。

4．第Ⅱ卷写在答题纸对应区域内，严禁在试题卷或草纸上答题。 5．考试结束后，将答题卡和答题纸一并交回。 参考公式：

1．若事件A、B互斥，则P(A?B)?P(A)?P(B)． 2．若事件A、B相互独立，则P(AB)?P(A)?P(B)． 3．锥体的体积公式V?球体的体积公式V?4313Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高；

3?R，其中R为球的半径．

第Ⅰ卷 （选择题 共6 0分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） (1)在复平面内，复数

2221?i对应的点到直线y?x?1的距离是

(A)

2 (B)2 (C)2 (D)22 (2)不等式?x?x?2?0的解集是

(A)?x|?2?x?2? (C)?x|?1?x?1?

(B)?x|x??2或x?2? (D)?x|x??1或x?1?

(3)给出下列命题

①若直线l与平面?内的一条直线平行，则l∥?；

②若平面??平面?，且????l，则过?内一点P与l垂直的直线垂直于平面?； ③?x0?(3,??),x0?(2,??)；

④已知a?R，则“a?2”是“a?2a”的必要不充分条件． 其中正确命题的个数是

2(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

(4)现有6个人分乘两辆不同的出租车，已知每辆车最多能乘坐4个人，则不同的乘车方案种数为

(A)30 (B)50 (C)60 (D)70 (5)已知x,y的取值如下表所示：

x 2 3 4 y 6 4 5

??bx?如果y与x呈线性相关，且线性回归方程为y132，则b?

(A)?12 (B)

12 (C)?xa22110yb22 (D)

110

(6)已知点F、A分别为双曲C:??1(a?0,b?0)的左焦点、右顶点，点B(0,b)满

????????足FB?AB?0，则双曲线的离心率为

1?23?1?251?25(A)2 (B) (C) (D)

(7)将函数f(x)?sin(2x??3)向右平移

2?3个单位，再将所得的函数图象上的各点纵坐标不

?2变，横坐标变为原来的2倍，得到函数y?g(x)的图象，则函数y?g(x)与x??x?，

?3，x轴围成的图形面积为

52323232(A) 2

(B) (C)1? (D)1? (8)在棱长为a的正方体ABCD?A1B1C1D1内任取一点，则点P到点A的距离小于等于a的概率为

(A)22 (B)x22? (C)?

61 (D)

16

(9)函数f(x)?lnx?e的零点所在的区间是

(A)(0,1e) (B)(,1)

e1 (C)(1,e) (D)(e,?)

?x?2?0,?(10)若实数x,y满足不等式组?y?1?0,目标函数t?x?2y的最大值为2，则实数a?x?2y?a?0,?的值是

理科数学试题（二）（共12页） 第2页

(A)?2 (B)0

2 (C)1 (D)2

22(11)已知P为抛物线y?4x上一个动点，那么点P到Q为圆x?(y?4)?1上一个动点，点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是

(A)25?1

1n(B)25?2 (C)17?1 (D)17?2

(12)已知an?()，把数列?an?的各项排列成如下的三角形状：

3

a1

a2 a3 a4

a5 a6 a7 a8 a9

??????????

记A(m,n)表示第m行的第n个数，则A(11,12)?

(A)()3167 (B)()

3168(C)()31111 (D)()31112

第Ⅱ卷（非选择题 共90分） 二、填空题（本大题共4个小题，每小题4分，共16分。）

(13)一个凸多面体的三视图如图所示，则这个凸多面体的体积是__ __。

(14)已知数列?an?中，a1?1,an?1?an?n，利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是 。 (15)已知D为三角形

????????????????????ABC的边BC的中点，点P满足PA?BP?CP?0,AP??PD，则

实数?的值为_______．

理科数学试题（二）（共12页） 第3页

(16)将(1?1x2)(n?N)的展开式中xnn?4的系数记为an，则

1a2?1a3?…?1a2010? ．

三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

(17)（本小题满分12分）

设函数f(x)?m?n，其中向量m?(2cosx,1),n?(cosx,3sin2x),x?R． (1)求函数f(x)的最小正周期与单调递减区间；

(2)在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，已知f(A)?2,b?1，△ABC32的面积为，求△ABC外接圆半径R．

(18)（本小题满分12分）

如图所示，直三棱柱ABC?A1B1C1的各条棱长均为a，

D是侧棱CC1的中点．

(l)求证：平面AB1D?平面ABB1A1； (2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值；

(3)求平面AB1D与平面ABC所成二面角（锐角）的大小． (19)（本小题满分12分） 经调查某校高三年级学生家庭月平均收入不多于10000元的共有1000人，统计这些学生家庭月平均收入情况，得到家庭月平均收入频率分布直方图如图所示．

某企业准备给该校高三学生发放助学金，发放规定为：家庭收入

在4000元以下（≤4000元）的每位同学得助学金2000元，家庭收入在(4000,6000](元)间的每位同学得助学金1500元，家庭收入在(6000,8000](元)间的每位同学得助学金1000元，家庭收入在(8000,10000](元)间的同学不发助学金．

(l)记该年级某位同学所得助学金为?元，写出?的分布列，并计算该企业发放该年级的

理科数学试题（二）（共12页） 第4页

助学金约需要的资金；

(2)记该年级两位同学所得助学金之差的绝对值为?元，求P(??500)． (20)（本小题满分12分） 如图，椭圆C:xa22?yb22?1(a?b?0)经过点(0,1)，离心率e?32。

(l)求椭圆C的方程；

(2)设直线x?my?1与椭圆C交于

A,B两点，点A关于x轴的对称点为A'(A'与B不重合)，则直线A'B与x轴

是否交于一个定点？若是，请写出定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由。

(21)（本小题满分12分）

已知一非零向量列?an?满足：a1?(1,1)，

an?(xn,yn)?12(xn?1?yn?1,xn?1?yn?1)(n?2)

(1)证明：?|an|?是等比数列；

(2)设?n?an?1,an(n?2)，bn?2n?n?1,Sn?b1?b2?…?bn，求Sn；

(3)设cn?|an|log2|an|，问数列?cn?中是否存在最小项？若存在，求出最小项；若不存在，请说明理由．

(22)（本小题满分14分）

已知函数f(x)?ln(e?a)(a为常数）是实数集R上的奇函数，函数

g(x)??f(x)?sinx在区间??1,1?上是减函数．

x(1)求实数a的值；

(2)若g(x)?t??t?1在x???1,1?上恒成立，求实数t的取值范围； (3)讨论关于x的方程

lnxf(x)?x?2ex?m的根的个数。

222010年聊城市高考模拟试题 数学（文、理科）（二）答案及评分标准

理科数学试题（二）（共12页） 第5页

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．

(1)A (2)B (3)D (4)B (5)A (6)D (7)B (8)C (9)A (10)D (11)C (12)D 二、填空题：本大题共4个小题，每小题4分，共16分。

13．； 14．n?9或填n?10； 15．（理）?2，（文）

211； 16．（理）

20091005，

12（文）?2． 三、解答题。

17.解：(1)由题意得

f(x)?2cosx?23sin2x?cos2x?3sin2x?1?2sin(2x??6)?1．

?2k?,k?Z得

所以，函数f(x)的最小正周期为T??，由

???62?3?2?2k??2x??6?3?2函数f(x)的单调递减区间是?(2)?f(A)?2,?2sin(2A?32?k?,?k??k?Z???????????6分 ???6)?1?2，解得A??332，

又??ABC的面积为,b?1。得

12bcsinA??c?2。

222再由余弦定理a?b?c?2bccosA，解得a?3 ?c2?a?b，即△ABC为直角三角形．?R?22c2?1??????????l2分

18．（理）(l)证明：取AB1的中点E，AB的中点F．连结DE、EF、CF． 故EF//12BB1．又CD//12BB1.?四边形CDEF为平行四边形，?DE∥CF．又三

棱柱ABC?A1B1C1是直三棱柱．△ABC为正三角形．CF?平面ABC，

?CF?BB1,CF?AB，而AB?BB1?B，?CF?平面ABB1A1，又DE∥CF，

?DE?平面ABB1A1．

又DE?平面AB1D．所以平面AB1D?平面ABB1A1．??????????4分 (2)建立如图所示的空间直角坐标系，则

A(3a2,a2,0),C(0,a,0),D(0,a,a2),B1(0,0,a),B(0,0,0)

设异面直线AB1与BC所成的角为?，则

理科数学试题（二）（共12页） 第6页

????????|AB?BC|cos??????1?????|AB1|?|BC|24

故异面直线AB1与BC所成角的余弦值为

????(3)由(2)得AB1?(?24

3a2,?a2????,a),AD?(?3a2,a2,a2)

设n?(1,x,y)为平面AB1D的一个法向量．

??n?由??n???????AB1?(1,x,y)?(??????AD?(1,x,y)?(??3x?,,?,a)?0,??322得，?

3aaa23?,,)?0,y?,?2223?3aa即n?(1,33,233)??????????????6分

显然平面ABC的一个法向量为m(0,0,1)．

3223332|(1,,3)?(0,0,1)|?233)2则cosm,n?222，故m,n??4．

1?()?(即所求二面角的大小为

?4 ??????12分

（文）(1)设AC?BD?O．连结OE. 由题意可得

EM??12EF?12AC?AO，又?EM//AO.

四边形EOAM为平行四边形．EO//AM.

?EO?平面EBD，AM?平面EBD． ?AM//平面EBD．?????6分

(2)连结DM,BM,MO，

?AF?AC,EC?AC，平面AFEC?平面ABCD，

?AF?平面ABCD，EC?平面ABCD．?AF?AD,EC?DC

又ABCD为菱形，?AD?DC,?DF?DE ???????????8分

理科数学试题（二）（共12页） 第7页

又点M是EF的中点，?DM?EF,?BD?2AF,?DO???DMO?45，同理?BMO?45，?DM?BM

??12BD?AF?MO

又EF?BM?M,?DM?平面BEF.

?DM?平面EFD,?平面EFD?平面BEF???????????12分

19．（理）解：(1)?的分布列是 ? 2000 1500 1000 P 0 0.2 0.3 0.3 0.2

????????????????4分

E??2000?0.3?1500?0.3?1000?0.2?0?0.2(元)

所以，需要资金约为，1250×l000=1250000(元)． ????????????6分 (2) P(??1000)?2?0.2?0.2?2?0.3?0.2?0.2 P(??1500?)?2?0.3?0.2P0?.?12,(??200?0)?20 .3所以P(??500)?0.2?0.12?0.12?0.44??????????l2分

（文）解(1)?2000(x?3?0.0001?0.00015)?1,?x?0.00005??????6分 (2)?该在校获得助学金学生中，能够至少获得1500元助学金的概率为

P?2000(0.00005?0.0001?0.00015)?0.6,?1000?0.6?600

?该校高三年级学生至少获得1500元助学金的同学有600人．???????l2分

?b?1,?3?c20．（理）解：(1)依题意可得??，解得a?2,b?1． ,2?a?a2?b2?c2,?所以，椭圆C的方程是

x24?y2?1????????4分

?x2?y?1?(2)由?4

?x?my?1?2得(my?1)?4y?4，即(m?4)y?2my?3?0 ???????????6分 设A(x1,y1)，B(x2,y2) 则A'(x1,?y1)．且y1?y2??2mm22222?4,y1y2??3m2．???????7分

?4理科数学试题（二）（共12页） 第8页

经过点A'(x1,?y1)，B(x2,y2)的直线方程为

y?y1y2?y1?x?x1x2?x1．

令y?0，则x?x2?x1y2?y1y1?x1?(x2?x1)y1?x1(y1?y2)y1?y2?x2y1?x1y2y1?y2??????9分

又?x1?my1?1,x2?my2?1．

?当y?0时，

??6mm2x?(my2?1)y1?(my1?1)y2y1?y2?2my1y2?(y1?y2)y1?y2?4?m2?2m2mm2?4?4

?4这说明，直线A'B与x轴交于定点(4,0)????????????????12分

???????????????????（文）解：（1）设P(x,y)，代入|PN|?|MN|?PM?NM2．得(x?1)?y?1?x．

22化简得y?4x????????????????????3分

（2）将A(m,2)代入y?4x，得m?1,?A(1,2)．设直线AD斜率为k1，直线AE斜率为k2，

?k1?k2?2,?DE两点不可能关于x轴对称．?DE的斜率必存在，设为k。

2设直线DE的方程y?kx?b,D(x1,y1),E(x2,y2)． 由??y?kx?b,?y2?4x,，得kx?2(kb?2)x?b?0

222 ?x1?x2??2(kb?2)k2,xx?12bk22 ???6分

?k1?k2?2,?y1?2x1?1?y2?2x2?1?2(x1,x2?1)

且y1?kx1?b,y2?kx2?b

?(k2?2)x1x2?(kb?2k?2)(x1?x2)?(b?2)?2?0．

2将x1?x2??2(kb?2)k2,x1x2?bk22

理科数学试题（二）（共12页） 第9页

代入化简，得b?(k?2),?b??(k?2)．??????????10分

将b?k?2代入y?kx?b得y?kx?k?2?k(x?1)?2，直线过定点(?1,?2)； 将b?2?k代入y?kx?b得y?kx?2?k?k(x?1)?2．直线过定点(1,2)即为A点，舍去．

?22直线DE过定点为(?1,?2)???????12分

12(xn?1?yn?1)?(xn?1?yn?1) 222221．（理）解：(l)?|an|?222n?12

?x?yn?1?|an?1|(n?2),又|a1|?2

?数列?|an|?是以2为首项，公比为1222的等比数列??????????4分

1222(2)?an?1?an?(xn?1?yn?1)? ?cos?n?an?1?an|an?1|?a|n(xn?1?yn?1?xn?1?yn?1)?(xn?1?yn?1)?12|an?1|

2?|22?,?n?an?1an,2?2?n?2??,bn?4?1)?n?2?nn??1?

21Sn?b1?b2?…?bn?(?2?1)?(?1)?…?(?4(n?n)?n????8分

2?n2(3)假设存在最小项，不防设为cn,?|an|?2?n2(22)n?1?22，

1?n

?cn?|an|log2|an|?2?n2?22．由cn?cn?1得

2?n22?n?22?1?n222

即2(2?n)?1?n.?(2?1)n?22?1．

22?12?1(2(2?1)(2?1)(2?1)2?1)2,?n?N,?n?5,?n?512*

?n???3?2,?n?N,?n?5

*由cn?cn?1(n?2)，得n?4?

故存在最小项，最小项为c0??（文）(1)证明：|an|??|an||an?1|?12.(n?2)

2232??2??????12分

22xn?yn?12xn?1?yn?1?12|an?1|(n?2)，

理科数学试题（二）（共12页） 第10页

又|a1|?5,??|an|?是首项为125．公比为12的等比数列．??????4分

?(2)?an?1?an?(xn?1?yn?1)?(?yn?1?12xn?1)?0,?an?1与an的夹角??90???6分

（3）?由(2)知，a1∥a3∥a5∥?．即bn?a2n?1． 由an?(xn,yn)?(??xn???an??1214yn?1??12yn?1?12xn?1)(n?N,n?2)，得xn??*12yn?1,yn??12xn?1．

1111111(xn?2)??xn?2?yn?xn?1?(?yn?2)??yn?2 2242224142an?2,?bn??14)?(?xbn?1?(?1414)n?1b1?(?]?8514)n?1(1,2) 14)]????????12分

n?Sn?2[1?(?14)?…?(?)n?1[1?(?22．解：(1)?f(x)?ln(e?a)是奇函数，

?f(?x)??f(x)，即ln(e?(e?xx?x?a)??ln(e?a)恒成立，

?xx?a)(e?a)?1,?1?ae?ae?ax2?1．即a(e?ex?x?a)?0恒成立，

故a?0??1分．

(2)由(l)知g(x)??f(x)?sinx，?g'(x)???cosx,x???1,1?

?要使g(x)??f(x)?sinx是区间??1,1?上的减函数，则有g'(x)?0恒成立，

????1．

2又?g(x)max?g(?1)????sin1,?要使g(x)?t??t?1在x???1,1?上恒成立，

只需???sin1?t??t?1在???1时恒成立即可．

?(t?1)??t?sin1?1?0(其中???1)恒成立即可．

22?t?1?0,?t?1?0,令h(?)?(t?1)??t?sin1?1?0(???1)，则?即?2

h(?1)?0,t?t?sin1?0,??2而t?t?sin1?0恒成立，?t??1???10分 (3)由(1)知方程

lnxxlnxf(x)?x?2ex?m22，即

lnxx?x?2ex?m2，令

f1(x)?,f2(x)?x?2ex?m 1?lnxx22

?f'1(x)?

理科数学试题（二）（共12页） 第11页

当x??0,e?时，f'1(x)?0,?f1(x)在?0,e?上为增函数； 当x?[e,??)时，f'1(x)?0,?f1(x)在[e,??)上为减函数； 当x?e时，f1(x)max?1e．

222而f2(x)?x?2ex?m?(x?e)?m?e

当x??0,e?时f2(x)是减函数，当x?[e,??)时，f2(x)是增函数，

?2当x?e时，f2(x)min?m?e．

故当m?e?当m?e?当m?e?2221e，即m?e?221e时，方程无实根；

1e1e，即m?e?，即m?e?21e1e时，方程有一个根；

时，方程有两个根．??????14分

理科数学试题（二）（共12页） 第12页

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