1 高等数学方法选讲——极限与连续

高等数学方法选讲一、极限与连续主讲：马儒宁 2013年秋季南京航空航天大学理学院数学系

高等数学方法选讲——极限与连续数列极限的性质和相关定理

保号性与保序性(保不等式性):n→∞

有 xn> p> 0; ( 1)设 lim xn= A> 0,则对任意的 0< p< A, N> 0,当 n> N时， ( 2)若数列{ xn}收敛，且 N> 0,当 n> N时， xn≥ 0,则 lim xn≥ 0;n→∞

( 3)设 lim xn> lim yn,则 N> 0,当 n> N时，有 xn> yn;n→∞ n→∞

且 N> 0,当 n> N时，xn≥ yn,则 lim xn≥ lim yn . ( 4)若数列{ xn}和{ yn}收敛，n→∞ n→∞

由极限的不等式得到数列的不等式(如(1)(3)),条件中极限的不等式必须为严格不等式(条件是强的);由数列的不等式得到极限的不等式(如(2)(4)),无论条件中数列的不等式严格与否，结论中极限的不等式只能是非严格不等式(结论是弱的)南京航空航天大学理学院数学系：马儒宁等

高等数学方法选讲——极限与连续数列极限的性质和相关定理迫敛性(夹逼准则、两边夹定理):设数列{ xn},{ yn},{ zn}满足 ( 2){ xn},{ zn}收敛且 lim xn= lim zn= A, ( 1) n, xn≤ yn≤ zn,n→∞ n→∞

则数列{ yn}也收敛，且 lim yn= A .n→∞

注：本定理既给出了证明数列收敛的方法，也给出一种求数列极限的方法 (关键是建立不等式 )。

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高等数学方法选讲——极限与连续数列极限的性质和相关定理子列收敛性：若数列{ xn}收敛(于 A ) 对{ xn}的任意子列{ xnk},{ xnk}均收敛(于 A ) .注： ( 1)若数列{ xn}收敛于 A { x2 n},{ x2 n 1}均收敛于 A (利用奇偶数列极限相等是证明数列收敛或求数列极限的一种方法 ); ( 2)若{ xn}的一个子列{ xnk}发散，则{ xn}一定发散；

(1) ( 3)若{ xn}的两个子列{ xn},{ xn(2)}收敛于不同的极限，则{ xn}一定发散。 k k

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高等数学方法选讲——极限与连续数列极限的性质和相关定理单调有界准则：单调有界数列一定收敛 .注： ( 1)一般分为单调递增有上界和单调递减有下界两种情况； ( 2)单调数列的任意子列也单调； ( 3)单调数列的某子列收敛，则单调数列一定收敛； ( 4)单调数列的某子列有界，则单调数列一定收敛；

( 5)证明数列单调的方法： ( a)利用递推式或基本不等式直接证明， ( b)数学归纳法， ( c)将数列通项中的 n视为 x,利用对 x求导的方法来证明； ( 6)利用单调收敛准则求递推数列极限的步

骤： ( i)证明数列单调且有界， ( ii)在递推式两边同时求极限，得到极限满足的等式，从而求出极限值 .思考：非单调递推数列如何求极限？

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高等数学方法选讲——极限与连续数列极限的性质和相关定理Cauchy收敛准则：数列{ xn}收敛的充分必要条件为 ε> 0, N> 0,当 n, m> N时，有 xn xm<ε .注： ( 1 )等价描述：{ xn}收敛 ε> 0, N> 0, n> N时，对 p∈`,有xn+ p xn<ε; 收敛于 0的数列{an}, p∈`,有 xn+ p xn≤ an→ 0 ( n→∞ ); N> 0, n1, n2> N, ( 2)否定说法：数列{ xn}发散 ε 0> 0,使得 xn1 xn2≥ε 0;(1) ( 2) (1) ( 2) ε 0> 0及{ xn}的两个子列 xn, x k, x x≥ε0;,使得 n n n k k k k

{}{}

( 3) Cauchy收敛准则证明数列收敛，不需要知道数列的极限值； ( 4) Cauchy收敛准则给出了证明收敛的方法，但没有给出求极限值的方法 .南京航空航天大学理学院数学系：马儒宁等

高等数学方法选讲——极限与连续数列极限的性质和相关定理Stolz公式：设{ yn}是单调增加的正无穷大量，且 lim,则 ( A可以是有限数或+∞, ∞ )xn= A. n→∞ y n lim xn xn 1=A n→∞ y y n n 1

注： Stolz公式可以看成推广的“离散型罗必达法则” .平均收敛定理： (算术平均收敛定理)若 lim xn= A.,则 limn→∞

x1+ x2+"+ xn= A; n→∞ nn→∞

(几何平均收敛定理)若 xn> 0且 lim xn= A.,则 lim n x1 x2 " xn= A.n→∞

注：平均收敛定理的逆命题不成立 .南京航空航天大学理学院数学系：马儒宁等

高等数学方法选讲——极限与连续

1α 1+ 2α 1+"+ nα 1思考：设α> 0,求 lim .α n→∞ n

P6练习6

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高等数学方法选讲——极限与连续例题一(P4例2)已知 lim xn= A, lim yn= B,证明 limn→∞ n→∞

n→∞

x1 yn+ x2 yn 1+"+ xn y1= AB . n

证明：记 an= xn A, bn= yn B,则 lim an= lim bn= 0, M> 0,使得 bn≤ M .n→∞ n→∞

x1 yn+ x2 yn 1+"+ xn y1 b+ b+"+ bn a+ a2+"+ an a1bn+ a2bn 1+"+ anb1= AB+ A 1 2+ B 1+ n n n n

.

根据算术平均值收敛定理可得： limlim

b1+ b2+"+ bn a+ a2+"+ an= lim 1= 0,并且→∞ n→∞ n n n

n→∞

a1bn+ a2bn 1+"+ anb1 b+ b2+"+ bn≤ M lim 1= 0,故得证 . n→∞ n n

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高等数学方法选讲——极限与连续例题二：(P5例3)非单调递推数列？

设 x1= 2, x2= 2+

1 1,", xn+ 1= 2+,求证： lim xn存在

,并求其值 . n→∞ x1 xnn→∞

解：若 lim xn存在，设 lim xn= A,由于 xn≥ 2,可知 A≥ 2 .在递推式 xn+ 1= 2+n→∞

1 xn

两边同时求极限，可得 A= 2+

1 A= 1+ 2,由于： A

A xn 1 1 1 1 1 += = 2 xn A= 2+ x A xn 1 A xn 1 A n 1 ≤ xn 1 A 4≤ xn 2 A 42≤"≤ x1 A 4n 1= 2 (1+ 2) 4n 1= 2 1, 4n 1

以及 lim

n→∞

2 1= 0,可得 lim xn= A= 1+ 2 . n 1 n→∞ 4

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高等数学方法选讲——极限与连续例题二：(P5例3)(解法二)由于xn 1 xn 2 xn 1 xn 2 x2 x1 1 1 +=≤≤≤ xn xn 1= 2+", 2 n 2 xn 1 xn 2 xn 1 xn 2 4 4

则xn+ p xn≤ xn+ p xn+ p 1+"+ xn+ 1 xn≤ x2 x1 4n+ p 2n→∞

+"+

x2 x1 4n 1

4 x2 x1≤→ 0 (n→∞ ) 3 4n 1

由 Cauchy收敛准则， lim xn存在 .设 lim xn= A,由于 xn≥ 2,可知 A≥ 2 .在递n→∞

推式 xn+ 1= 2+

1 1两边同时求极限，可得 A= 2+ A= 1+ 2 . xn A

若数列{ xn}满足 xn+ 1 xn≤ r xn xn 1 (常数 r满足 0< r< 1 ),则称其为压缩数列 .由 Cauchy收敛准则可知，压缩数列一定收敛南京航空航天大学理学院数学系：马儒宁等

高等数学方法选讲——极限与连续

非单调递推数列如何求极限？方法一：首先假定极限存在，得到极限值，再用极限定义加以证明方法二：首先利用Cauchy准则证明极限存在，再两边取极限得到极限值 (借助压缩数列)

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高等数学方法选讲——极限与连续

思考：设 x1> 0, xn+ 1

1 ( n= 1, 2,"),证明= 1+ xn

n→∞

lim xn存在，并求其值 .P6练习3

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高等数学方法选讲——极限与连续

函数极限统一形式： lim f ( x )= A ε> 0, 时刻，从此时刻以后，恒有 f ( x ) A<ε . (见下表)

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高等数学方法选讲——极限与连续函数极限的性质和相关定理

局部有界性：若某过程中函数 f ( x )收敛，则 f ( x )在该过程的局部邻域内有界，所谓的局部邻域包括——, ( 1) U o ( x0,δ ) ( x→ x0时) ( 2 ) ( x 0 δ, x0 ) ( x→ x 0时),

+ ( 3) ( x0, x0+δ ) ( x→ x0时), (4) U (∞, X ) ( x→∞时),

( 5) U ( ∞, X ) ( x→ ∞时),

( 6) U (+∞, X ) ( x→+∞时) .

单调有界准则：单侧邻域内单调有界的函数其单侧极限一定存在

(双侧邻域内单调有界的函数只能得出其两个单侧极限一定存在，并不能得出双侧极限存在 ).

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高等数学方法选讲——极限与连续函数极限的性质和相关定理等价无穷小代换：对于积或商中的无穷小因子，可以替换为其等价无穷小 .常用的等价无穷小： x→ 0时sin x~ tan x~ arcsin x~ arctan x~ x, 1 cos x~

1 2 1 1 x,x sin x~ x 3, tan x x~ x 3 2 6 3

e x 1~ ln(1+ x )~ x, (1+ x )a 1~ ax,α ( x )+ o (α ( x ) )~α ( x ) (α ( x )为无穷小量)

注： (1)上述中的 x可以换为任意的非零无穷小量. (2)公式α ( x )+ o (α ( x ) )~α ( x )说明和或差因式中的高阶无穷小量可忽略. (3)对于无穷大，建议通过取倒数、变量替换等方法化为无穷小之后再进行等价替换.南京航空航天大学理学院数学系：马儒宁等

高等数学方法选讲——极限与连续函数极限的性质和相关定理罗必达法则：对于分式型的极限 lim∞ 0 f ( x),若满足( i)为型或型未定式，∞ 0 g( x )

( ii)分子分母均在极限过程中的某邻域内可导， ( iii)分子分母分别求导后lim f '( x ) f ( x) f '( x )存在，则 lim .= lim g '( x ) g( x ) g '( x )0 0∞型未定式(对于幂指型∞

(1)其他形式的未定式，必须先通过代数变形化为型或

的未定式 1∞,∞0,00,一般通过取对数的方法化为分式的形式),然后使用罗必达法则； (2)使用罗必达法则(特别是连续使用时),要验证条件(i) (ii) (iii); (3)罗必达法则与其他求极限方法(代数恒等变形、等价无穷小替换、Taylor展开式等)结合使用效果更好，此外注意求极限过程中可以先析出积或商中极限非零的因子(简化求导); (4)对于∞ *型，罗必达法则可以推广到型(只需要保证分母为无穷大).∞∞

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高等数学方法选讲——极限与连续函数极限的性质和相关定理

Peano型余项 Taylor公式：求极限时可以将复杂函数展开为带余项 o( x n )的多项式，大大简化极限的计算，需要注意的问题有： ( 1)在何处展开——对于 x→ x0时的极限，当然是在 x0处展开，若为 x→∞时的极限，可以通过变量替换 t=1化为 t→ 0; x

,则 ( 2)展开的阶数——若分子或分母中有一方的阶数确定(例如 k阶)另一方只需要展开到同样阶数(即出现 o( x k ) ) .

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高等数学方法选讲——极限与连续例题一： (P9例1)设函数 f ( x )定义在 (a,+∞ ),f ( x )在任意的有限区间内有界且满足f ( x)= A. x→+

∞ x→+∞ x证明：由 lim[ f ( x+ 1) f ( x )]= A, ε> 0, X 1> a,当 x≥ X 1时，

lim[ f ( x+ 1) f ( x )]= A .证明 limx→+∞

f ( x+ 1) f ( x ) A<

ε2

.

又 f ( x )在[ X 1, X 1+ 1]上有界， X 2> a,当 x> X 2时，对 x 0∈ ( X 1, X 1+ 1]有f ( x0 ) x0 Aε< . x 2

当 x> X时，记n= (其中[ ]为取整函数),取 X= max{ X 1, X 2}, x X1 则 n≤ x X1< n+ 1,南京航空航天大学理学院数学系：马儒宁等

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