二次函数知识点总结及中考题型总结

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二次函数知识点总结及中考题型,易错题总结

（一）二次函数知识点总结

一、二次函数概念：

1．二次函数的概念：一般地，形如y?ax2?bx?c（a，b，c是常数，a?0）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a?0，而b，c可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数y?ax2?bx?c的结构特征：

⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵

a，b，c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．

二、二次函数的基本形式

1. 二次函数基本形式：y?ax2的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

a的符开口方顶点坐对称性质 向 标 轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0

号 a?0 向上 ?0，0? y轴 时，y随x的增大而减小；x?0时，

y有最小值0． x?0时，y随x的增大而减小；x?0

a?0 向下 ?0，0? y轴 时，y随x的增大而增大；x?0时，2.

y有最大值0． y?ax2?c的性质： 上加下减。

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a的符开口方顶点坐对称性质 向 标 轴 x?0时，y随x的增大而增大；x?0

号 a?0 向上 ?0，c? y轴 时，y随x的增大而减小；x?0时，

y有最小值c． x?0时，y随x的增大而减小；x?0 3.

y?a?x?h?2a?0 向下 ?0，c? y轴 时，y随x的增大而增大；x?0时，y有最大值c． 的性质：

左加右减。

a的符开口方顶点坐对称性质 向 标 轴 x?h时，y随x的增大而增大；x?h号 a?0 向上 ?h，0? X=h 时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值0． x?h时，y随x的增大而减小；x?ha?0 向下 ?h，0? X=h 时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值0． 4.

y?a?x?h??ka的符2的性质：

开口方顶点坐对称性质 学习好资料 欢迎下载

号 向 标 轴 x?h时，y随x的增大而增大；x?ha?0 向上 ?h，k? X=h 时，y随x的增大而减小；x?h时，y有最小值k． x?h时，y随x的增大而减小；x?ha?0 向下 ?h，k? X=h 时，y随x的增大而增大；x?h时，y有最大值k．

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：

方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式

?h，k?；

y?a?x?h??k2，确定其顶点坐标

⑵

2y?ax保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到?h，k?处，具体平移方法

如下：

y=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位向右(h>0)【或左(h<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k

2. 平移规律

在原有函数的基础上“h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：

22y?ax?bx?cy?ax?bx?c变成 ym⑴沿轴平移:向上（下）平移个单位，

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y?ax2?bx?c?m（或y?ax2?bx?c?m）

22y?ax?bx?cy?ax?bx?c变成m⑵沿轴平移：向左（右）平移个单位，

y?a(x?m)2?b(x?m)?c（或y?a(x?m)2?b(x?m)?c）

四、二次函数

y?a?x?h??k22y?ax?bx?c的比较 与

2从解析式上看，

y?a?x?h??k2y?ax?bx?c是两种不同的表达形式，后者通过与2b?4ac?b2?y?a?x???2a4a??配方可以得到前者，即

2y?ax?bx?c图象的画法 五、二次函数

b4ac?b2h??，k?2a4a，其中

．

五点绘图法：利用配方法将二次函数y?ax?bx?c化为顶点式y?a(x?h)?k，确

定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y轴的交点?0，c?、以及?0，c?关于对称轴对称的点?2h，c?、与x轴的交点?x1，0?，?x2，0?（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

2y?ax?bx?c的性质 六、二次函数

22 1.

?b4ac?b2?b??，?x??2a4a??． 2a，顶点坐标为当a?0时，抛物线开口向上，对称轴为

当

x??bbbx??x??y随x的增大而减小；y随x的增大而增大；2a时，2a时，2a当当

4ac?b2时，y有最小值4a．

2.

x???b4ac?b2?b??，?x??2a4a??a?02a当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为．当

bbbx??x??2a时，y随x的增大而增大；当2a时，y随x的增大而减小；当2a时，

4ac?b2y有最大值4a．

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七、二次函数解析式的表示方法

2y?ax?bx?c（a，b，c为常数，a?0）1. 一般式：；

2y?a(x?h)?k（a，h，k为常数，a?0）2. 顶点式：；

3. 两根式：y?a(x?x1)(x?x2)（a?0，x1，x2是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次

2函数都可以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即b?4ac?0时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a

2y?ax?bx?c中，a作为二次项系数，显然a?0． 二次函数

⑴ 当a?0时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵ 当a?0时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，a的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b

在二次项系数a确定的前提下，b决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在a?0的前提下，

当b?0时，当b?0时，当b?0时，

?b?02a，即抛物线的对称轴在y轴左侧； b?02a，即抛物线的对称轴就是y轴； b?02a，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

??⑵ 在a?0的前提下，结论刚好与上述相反，即

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