常微分方程期中考试题

常微分方程期中测试试卷(1)

一、填空

dyndy)??y2?x2?0dx1 微分方程dx的阶数是____________

2 若M(x,y)和N(x,y)在矩形区域R内是(x,y)的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则

(方程M(x,y)dx?N(x,y)dy?0有只与y有关的积分因子的充要条件是 _________________________

3 _________________________________________ 称为齐次方程.

dy?f(x,y)f(x,y)4 如果___________________________________________ ,则dx存在唯

x?x0?hy??(x0),其中

一的解y??(x),定义于区间上,连续且满足初始条件0h? _______________________ .

5 对于任意的(x,y1),(x,y2)?R (R为某一矩形区域),若存在常数N(N?0)使 ______________________ ,则称f(x,y)在R上关于y满足利普希兹条件.

dy?x2?y26 方程dx定义在矩形区域R:?2?x?2,?2?y?2上 ,则经过点 (0,0)的解

的存在区间是 ___________________

7 若i是齐次线性方程的n个解,w(t)为其伏朗斯基行列式,则w(t)满足一阶线性方程 ___________________________________

8 若i为齐次线性方程的一个基本解组,x(t)为非齐次线性方程的一

个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _________________________

n9 若?(x)为毕卡逼近序列n的极限，则有 __________________

10 _________________________________________ 称为黎卡提方程，若它有一个特解

x(t)(i?1,2,.....n)x(t)(i?1,2,.....n)??(x)??(x)??(x)?y(x) ，则经过变换 ___________________ ，可化为伯努利方程．

二 求下列方程的解

dyy?3１ dxx?y

dy?x?y2２ 求方程dx经过(0,0)的第三次近似解

dy?y2３ 讨论方程dx ，y(1)?1的解的存在区间

dy2)?y2?1?04 求方程dx的奇解

(

11x(cosx?)dx?(?2)dy?0yyy5

6 y?y?2ysinx?cosx?sinx

7 (2xy?3y)dx?(7?3xy)dy?0

三 证明题

1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解

232'22dy?P(x)y?Q(x)dx2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程, 当 P(x) , Q(x)在??,??上连续时,其解存在唯一

参考答案

一 填空题 1 1

?M?N?1?)()??(y)?y?xM2 dyy?g()x的方程 3 形如dx(4 在R上连续且关于y满足利普希兹条件 5

h?min(a,b)m

f(x,y1)?f(x,y2)?Ny1?y2

?11?x?4 6 4'w7 ?a1(t)w?0

n8

x??cixi?xi?1

MLnn?1h(n?1)!9

dy?p(x)y2?q(x)y?r(x)10 形如dx的方程 y?z?y

二 求下列方程的解

311dxx?y3xy2dy??dy????yx??cyx?ey(?y2eydy?c)dyyy21 解： ，则 所以 另外 y?0 也是方程的解

2 解：

?0(x)?0

x0?1(x)??x??02(x)dx???12x2

?2(x)??x??12(x)dx?0x2230??(x)???x??x?1x21(x)?dx?x22?215x20 15118?x?x11?x204400160

dy?dx23 解：y

?两边积分

1?x?cy

y??1x?c 所以 方程的通解为

?1y?x?2 故 过y(1)?1的解为

通过点 (1,1)的解向左可以延拓到??，但向右只能延拓到 ２， 所以解的存在区间为 (??,2) 4 解: 利用p判别曲线得

?p2?y2?1?0?22p?0py?1 即 y??1 ? 消去得

所以方程的通解为 y?sin(x?c) , 所以 y??1是方程的奇解

?M?M?N?N?2?2?y?y?y?x5 解: =, = , ?y=?x, 所以方程是恰当方程. 1??u?cosx????xy??v1xx???2u?sinx???(y)?y??yyy 得 ?u??xy?2??'(y)?(y)?lny ?y 所以

x?lny?cy故原方程的解为

'22y??y?2ysinx?cosx?sinx 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 6 解:

sinx?dz1??z2z?y?sinx ,令y?z?sinx, 则方程可化为dxx?c ,

11y?sinx?y?sinx?x?c , 故 x?c 即

2y7 解: 两边同除以得

2xdx?3ydx?7dy?3xdy?0y2

7dx2?d3xy?d?0y

x2?3xy?所以

三 证明题

7?cy , 另外 y?0 也是方程的解

1 证明: 设黎卡提方程的一个特解为 y?y

dydydzdy?p(x)y2?q(x)y?r(x)??令 y?z?y , dxdxdx 又 dx

dzdy?p(x)(z?y)2?q(x)(z?y)?r(x)?dxdx

2dzdy?p(x)z2?2p(x)y?q(x)z?p(x)y?q(x)y?r(x)由假设 dx 得 dx 此方程是一个n?2的伯努利方程,可用初等积分法求解

??2 证明: 令R: x???,?? , y?R

P(x) , Q(x)在??,??上连续, 则

因为 P(x) 为??,??上的连续函数 , 故

f(x,y)?P(x)y?Q(x) 显然在R上连续 ,

P(x)在??,??上也连续且存在最大植 , 记为 L

即

P(x)?L , x???,??

?y1,y2?R f(x,y1)?f(x,y2)?P(x)y1?P(x)y2=P(x)y1?y2?Ly1?y2 因此 一阶线性方程当P(x), Q(x)在??,??上连续时,其解存在唯一

常微分方程期中测试卷(2)

1．辨别题

指出下列方程的阶数，是否是线性方程：(12%)

dydyd4yd3yd2y22?y?x?x?xsiny?23?2?04dxdxdxdx（1） （2） （3）dx

dr3d2r()?1?222xdy?ydx?0 ??????dsx?xx?x?tds（4） （5） （6）

2、填空题(8%)

dy?xtanydx（1）．方程的所有常数解是___________.

（2）．若y=y1(x)，y=y2(x)是一阶线性非齐次方程的两个不同解，则用这两个解可把

其通解表示为________________.

（3）.若方程M(x, y)dx + N(x, y)dy= 0是全微分方程，同它的通积分是________________.

（4）.设M(x0, y0)是可微曲线y= y(x)上的任意一点，过该点的切线在x轴和y轴上的截距分别是_________________. 3、单选题(14%)

（1）．方程ylnydx?(x?lny)dy?0是（ ）. (A)可分离变量方程 （B）线性方程 (C)全微分方程 （D）贝努利方程

，过点（0，0）有（ ）.

(A) 一个解 （B）两个解 (C) 无数个解 （D）三个解

22（3）．方程x(y－1)dx+y(x－1)dy=0的所有常数解是（ ）. (A)y=±1, x=±1, (B) y=±1 (C) x=±1 (D) y=1, x=1

2?xy?y?ylnx?0，且在x=1时，y=1, 则在x = e时（4）．若函数y(x)满足方程

dy?（2）．方程dxy(0?y??)y=( ).

11(A)e (B) 2 (C)2 (D) e

（5）．n阶线性齐次方程的所有解构成一个（ ）线性空间． （A）n维 （B）n?1维 （C）n?1维 （D）n?2维

dy?x?y?2dx （6）. 方程（ ）奇解．

（A）有三个 （B）无 （C）有一个 （D） 有两个

dy?3y3（7）．方程dx过点(0,0)（ ）．

（A）有无数个解 （B）只有三个解 （C）只有解y?0 （D）只有两个解 4.计算题(40%)

2

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