空间解析几何与向量代数

第七章 空间解析几何与向量代数

§7.1向量及其线性运算

7.1-1 向量概念

称只有大小的量为数量或标量，而称既有大小、又有方向的量为向量或矢量；称向量的

大小为向量的模．向量一般用一个小写的黑体字母来表示，如a , b 或 a r

，向量a 的模通常表

示为|a |或a r

．模等于1的向量称为单位向量，记作e ；模等于零的向量称为零向量，记作o 或，零向量的方向可以是任意的．向量的相等, 即a =b 意味着|a |=|b |且它们的方向相同，

即平移向量a ,b 到同一个始点后，a ,b 是重合的；a =0r

?b 意味着|a |=|b |且它们的方向相反，称?b 为b 的相反向量．

在几何上若以A ,B 分别表示一个向量a 的起点和终点，则a 也可以表示为有向线段，此时的长即表示向量a 的大小，即|a |=|AB uuu r

AB uuu r AB uuu r

|=AB .

空间向量是一个量，与其在空间的位置无关，因此像平面向量可以在平面上自由移动一样，空间向量也可以在空间中自由平移．

7.1-2 向量的线性运算

1.向量加减运算定义及性质规定两个向量的加法法则：

将两个向量a 和b 的起点移放在一起，并以a 和b 为邻边作 平行四边形，则从起点到对角顶点的向量称为向量a 与b 的和向 量，记为a +b ；或以向量a 的终点作为向量b 的起点，则由a 的 起点到b 的终点的向量亦是a 与b 的和向量．

1在力学中，求作用在同一质点的两个不同方向力F 1,F 2的合 力F 时，所采用的平行四边形法则或三角形法则．

推广 任意有限个向量相加．如图所示，OD 就是四个向量 a ,b ,c ,d 的和向量，即

b

a a +

b +

c +d

c

d

OD =a +b +c +d ．

在求多个向量的和向量时，采用首尾相接方法，显然要优于平行四边形法．

向量的减法a -b ，实际上是a 与b 的负向量的和，因此从减 向量终点连向被减向量终点的向量，就是差向量a -b ；或者说差 向量是以a 和b 为邻边作平行四边形的反对角线向量．

1

显然对于任何向量a 都有 a +0=a 向量的加法满足以下运算律：①交换律 a +b =b +a ；

②结合律(a +b )+c =a +(b +c )=a +b +c ．

2．向量与数的乘法

设λ为一实数，向量a 与λ的乘积记作λa ，规定它为满足下

列条件的一个向量：

(1)|λa | =|λ|?|a | ；

(2)当λ>0时，λa 与a 方向相同；当λ<0时，λa 与a 方向

相反；当λ=0或a =0时，则λa =0．

例如，设a 为已知的非零向量，当λ分别取-2, 2

1, 2时，向量λa 如图所示．特别地，当a ≠0，

(1) (-1)?a =-a ，即a 的相反向量是原向量数乘-1的结果；

(2)记与向量a 方向相同的单位向量为e a ，

e a =|

|1a a ． 向量与数的乘法满足以下运算律，其中设λ,μ为实数，a ,b 为向量：

(1) 结合律λ(μa )= （λμ）a = μ(λa )；

(2)分配律(λ+μ)a =λa +μa ，λ(a +b )=λa +λb ．

例1 见课本.

292P 定理 1 设向量, 则向量b 平行于0a ≠r r r a r 的充分必要条件是存在唯一的实数λ, 使得

b a λ=r r . 证明(略)

注: 定理1是建立数轴的理论依据.

7.1-3 空间直角坐标系

在空间取三条相互垂直且相交于原点的数轴——x 轴, y 轴和z 轴，这样就建立了一个空间直角坐标系O -xyz ．一般在各数轴上的单位长度相同．

2把x 轴, y 轴放置在水平平面上，z 轴垂直于水平平面，并

规定x 轴, y 轴和z 轴的位置关系遵循右手螺旋法则：让右手的

四个手指指向x 轴的正向，然后让四指沿握拳方向转向y 轴的

正向，大姆指所指的方向为z 轴的正向．因此空间直角坐标系

也可以认为，是平面直角坐标系xOy 按右手法则，在原点添加

z 轴所得． 在空间直角坐标系O -xyz 中，点O 称为坐标原点，简称原 点；x 轴, y 轴, z 轴又分别称为横轴、纵轴、竖轴，三条数轴统

称为坐标轴；由任意两条坐标轴所确定的平面称为坐标面，共 有xOy 、yOz 、zOx 三个坐标面； 三个坐标面把空间分隔成八 个部分，每个部分依次分别称为第一、第二直至第八卦限，其 中第一卦限位于x ,y ,z 轴的正向位置，第二至第四卦限也位于 xOy 面的上方，按逆时针方向排列；第五卦限在第一卦限的正 下方，第六至第八卦限也在xOy

x 如图所示，设M 为空间的任意一点，M 1为它在xOy

平面上的正投影，设M 1在xOy 坐标系中的坐标为(x ,y )；

过M 作z 轴的垂线，垂足R 在z 轴上的坐标为z ，这样点 M 就唯一地确定了一组三元有序数组(x , y , z )．反之，如果 任给一组三元有序数组(x , y , z )，过xOy 平面上坐标为(x ,y ) 的点M 1作xOy 平面的垂线l ，过z 轴上坐标为z 的点R 作

z 轴的垂直平面，可得与l 唯一的交点M ．称这样的三元 有序实数组(x ,y ,z )为点M 在该空间直角坐标系中的坐标，

记作M (x ,y ,z )或M =(x ,y ,z )，x ,y ,z 分别称为点M 的横坐标、

纵坐标和竖坐标，也称为点M 坐标的x ,y 和z 分量．上述讨论也表明，在建立了空间直角坐标系后，就能在空间点M 与其坐标之间建立一一对应的关系．

原点O 的坐标均为0，即O (0,0,0）；点M 在xOy 坐标面上?M =(x ,y ,0)；点M 在x 轴上?M =(x ,0,0)．类似可得其它坐标面或坐标轴上点的坐标特征．八个卦限内点的三个坐标均不为零，各分量的符号由点所在卦限确定．

类似于平面直角坐标系下的情形，可以讨论关于坐标轴、坐标面、坐标原点对称的点的坐标关系．例如，与点(x , y , z )关于x 轴对称的点为(x , -y , -z )；与点(x , y , z )关于xOy 坐标面对称的点为(x , y , -z )；与点(x , y , z )关于原点对称的点为(-x , -y , -z )等．

例1 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长AB =a ,AD =b ,AA 1=c ，以顶点A 为原点、过A 的三条棱为坐标轴，建立直角坐标系如图．求长方体各顶点、各个面的中心及长方体中心在该坐标系中的坐标．

解 顶点坐标：A (0,0,0), B (a ,0,0), C (a ,b ,0), D (0,b ,0),

A 1(0,0,c ),

B 1(a ,0,c ),

C 1(a ,b ,c ),

D 1(0,b ,c )； 各面中心坐标：

E 1(2a ,2b ,0), E 2(2a ,2b ,c ), E 3(2a ,0, 2c ), E 4(2a ,b ,2c ), E 5(a ,2b ,2c ), E 6(0,2b ,2c )；长方体中心

F 坐标：F (2a ,2b ,2c )．#

例2 正圆锥母线与中心轴成?角，P 为锥面上一点， 3OP =l ；以圆锥顶点为原点、中心轴为z 轴建立坐标系， OP 1为OP 在xOy 坐标面上的正射影，从x 轴正向到OP 1

的角为α．试用l , ?, α表示点P 的坐标． 解 P 坐标的x ,y 分量与P 1在xOy 坐标系中的坐标 相同；OP 1=OP cos(2π-?)=l ?sin ?，所以P 坐标的x ,y 分量 x =l ?sin ?cos α, y =l ?sin ?sin α；

P 坐标的z 分量是P 在z 轴上投影P 2的坐标，所以 z =l ?cos ?． 综合之，点P 坐标为(l ?sin ?cos α, l ?sin ?sin α, l ?cos ?)．# 同时,如果取x 轴, y 轴和z 轴的单位为单位向量,,i j k r r r 或i ,j , k ,则空间中的任意点M 可以看成是原点O 与M 的有向线段,即向量, 其对应于OM OM uuuu r xi y j zk =++uuuu r r r r ,得到向

量OM 的坐标分解式, 其中uuuu r ,,xi y j zk r r r

称为向量OM uuuu r 沿三个坐标轴方向的分向量.

反之, 设在空间中已建立了直角坐标系O -xyz ，把已知

向量a 的起点移到原点O 时，其终点在M ，即a =OM ． 称OM 为向径（或矢径），通常记作r ；称点M 的坐标 (x ,y ,z )为a 的坐标，记作a =(x ,y ,z )，即向量a 的坐标 就是与其相等的向径的终点坐标．这样在建立了直角坐标系空间中，向量、向径、坐标之间就有一一对应的关系． 若a =(x ,y ,z )，则

|a |=2

22z y x ++ 例3 长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的过顶点A 的三条棱长AB =a ,AD =b ,AA 1=c ，直角坐标系O -xyz 的x ,y ,z 轴依次平行于AB ,AD ,AA 1．求以A 和B 为始点的各对角线向量的坐标．

解 如图所示，以A 为始点的对角线向量有1AB ,,1AD ,1AC ．1AB 对应的向径为

2OB ，2OB =(a ,0,c )，所以1AB =(a ,0,c )；

AC 对应的向径为2OC ，2OC =(a ,b ,0)，所以AC =(a ,b ,0)；

同理可得1AD =(0,b ,c ), 1AC =(a ,b ,c )．

以B 为始点的对角线向量有1BA ,BD ,1BD ,1BC ．

1BA 对应的向径为2OA ， 2OA =(-a ,0,c )，所以1BA =(-a ,0,c )； 同理可得BD =(-a ,b ,0), 1BD =(-a , b , c ), 1BC =1AD = (0,b ,c )．#

把向量a 的始点移到点M 时，终点在N ．若已知点

M ,N 的坐标为(x 1,y 1,z 1), (x 2,y 2,z 2)，则a =MN 对应向径

OP 的终点P 的坐标为(x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1)，所以 a =(x 2-x 1,y 2-y 1,z 2-z 1)

即向量坐标为终点坐标减去对应始点坐标．根据公式，立即得到空间两点距离公式：若M (x 1,y 1,z 1),N (x 2,y 2,z 2)，则

|MN | =2

12212212)()()(z z y y x x ?+?+?例4 已知向量a =AB =(-3,0,1)始点A 的坐标为(-3,1,4)，求终点B 的坐标．

解 设B =(x ,y ,z )，则 =(x +3,y -1,z -4)=(-3,0,1)，所以x =-6,y =1,z =5，即B =(-6,1,5)．# 例5 求点M (x , y , z )到三条坐标轴的距离．

解 设点M (x , y , z )在x 轴上的投影为点P ，则点P 为P (x ,0,0)，且线段MP 的长就是点M 到x 轴的距离．由公式得

|MP |=

()222

22)0()0(z y z y x x +=?+?+?．

同理可得，点M 到y 轴, z 轴的距离分别为

4

|MQ |=22z x +，|MR |=22y x +，

其中点Q , R 分别是点M 在y 轴、z 轴上的投影． #

例6 在y 轴上求与点A (1,-3,7)和B (5,7,-5)等距离的点．

解 因为所求的点在y 轴上，故可设它为M (0, y ,0)．根据题意有

|MA |=|MB |，即

()()()()()()2222

220570507301??+?+?=

?+??+?y y ，

两边平方去根号，整理后得20y =40，从而有y =2．

所以，所求的点M 的坐标为(0, 2, 0)．#

7.1-4 利用坐标作向量的线性运算

利用向量的坐标可得向量的加法,减法以及向量的数乘运算如下:

在空间中已建立了坐标系O -xyz ．以O 为始点的

三个单位向量i (1,0,0), j (0,1,0), k (0,0,1)称为坐标基向量 a =(x ,y ,z )为已知向量，对应的向径为OM ．OM 在三个 坐标轴上的投影依次OP ,,OR ，则

=x i , OQ =y j , =z k ，

依次称这三个向量为向量a 关于x 轴、y 轴和z 轴的分量． a =OM =x i +y j +z k ，

设 a =(x 1,y 1,z 1)=x 1i +y 1j +z 1k , b =(x 2,y 2,z 2)=x 2i +y 2j +z 2k ，

则 a ±b =(x 1i +y 1j +z 1k )±(x 2i +y 2j +z 2k )=(x 1±x 2)i +(y 1±y 2)j +(z 1±z 2)k ，

所以

a ±

b =(x 1±x 2, y 1±y 2, z 1±z 2)． λa =(λx 1,λy 1, λz 1). 例7 设a =(0,-1,2)，b =(-1,3,4)，求a +b ，2a -b ． 解 a +b =(0+(-1),-1+3,2+4)=(-1,2,6)；

2a -b =(2×0,2×(-1),2×2)- (-1,3,4)=(0-(-1),-2-3,4-4)=(1,-5,0)．# 例8 设a =(1, 1,-2)，2a -3b =(-1,3,-4)，求b ．

解 设b =(x ,y ,z )．则 (2×1,2×1,2×(-2))- (3x ,3y ,3z )=(2-3x ,2-3y ,-4-3z )=(-1,3,-4)，

2-3x =-1, x =1；2-3y =3, y =-31；-4-3z =-4, z =0．所以 b =(1, -3

1

,0)．#

例9 设a =2i +3j +6k ，试求方向相反、长度为14的向量b ．

解 e a =

7

1

(2i +3j +6k )， b =14(-e a )=-2(2i +3j +6k )= -4i -6j -12k ．#例2-3 见课本.

296P 7.1-5 向量的模,方向角,投影

向量的模: 若a =(x ,y ,z )，则|a |=222z y x ++ ;

AB uuu r

=2

12212212)()()(z z y y x x ?+?+?例4-6 见课本.

297298P ? 方向角:1. 向量间夹角计算公式:

5

非零向量a ,b 的夹角公式：

(,)a b r r

(,)a b r r

=arccos |

|||b a b

a ?若已知向量a =a x i +a y j +a z k ,

b =b x i +b y j +b z k ，则

=arccos

(,)a b r r

222222z

y

x

z

y

x

z z y y x x b

b b a a a b a b a b a ++?++++．

2.向量的方向余弦的坐标表示

非零向量a 与三条坐标轴的夹角α, β, γ称为向量a 的方向角，

方向角的余弦cos α, cos β, cos γ称为向量a 的方向余弦． 6

如图所示，设向量a =(a x ,a y ,a z )，把a 的起点移到坐标

原点O ，设它的终点为Ａ，则向量a 与三条坐标轴的夹角即为向 量OA 与三个坐标基向量i , j , k 的夹角．所以

k

a z

cos α=||||i a i a ??=

222z y x x

a a a a ++, cos β=||||j a j a ??=222z

y x y

a a a a ++,

cos γ=||||k a k a ??=

222z

y x z

a a a a ++，即为向量的方向余弦的坐标表示式．比照向量单位化公式，可以发现，实际上向量a 的方向

余弦就是a 的单位化向量e a 的坐标，因此任何向量的方向余弦必定满足关系式

．

1cos cos cos 222=++γβα例7-8 见课本.

299P 向量在轴上的投影: 定义(略), 非零向量a 与三条坐标轴的夹角为α, β, γ , 则分别在三

条坐标轴的投影为 ()cos ,()cos ,()cos x

y z a a a a a a αβγ===r r r r r r .记作 Prj u a r

.

投影的性质: 见课本.300P 例9 见课本.

300P [作业]: 习题7-1: 4, 6, 13, 15, 19.

§7.2数量积 向量积 *混合积

7.2-1 两向量的数量积

1．向量的数量积的概念

F 设有一个物体在常力F 的作用下沿直线运动，产生了位移S 力F 可以分解成在位移方向的投影F 1和垂直于位移方向的投影F 2两部分，仅F 1对位移作功．记θ为F 与S 的夹角，则力F 对位移 作功为

W =|F ||S |?cos θ， (1)

等式(1)的右端F 在S 方向上投影与S 模的积．这是两个向量F ,S 的一种运算，称为F ,S 的数量积或点积．

(1)向量夹角

设a ,b 为非零向量，将它们的起点都平移到同一点，那么表示a ,b 的两个线段所成的

在0与π之间的角，称为量a ,b 的夹角，记为(a ,b )或(b ,a )；若(a ,b )=2

π，则称a ,b 垂直，

记作a ⊥b ；0与任何向量夹角无意义；向量与坐标轴的夹角就是向量与轴正向所成的角．

(2)向量的数量积

定义 设a ,b 是两个向量，它们的模|a |,|b |及夹角的余弦cos(a ,b )的乘积，称为向量a 与b 的数量积(或称点积)，记作a ·b ，即

a ·

b =|a ||b |?cos(a ,b )

向量的数量积是一个数量，它由两个因子构成，第一因子是向量a 在向量b 方向上投影向量的模|a |?cos(a ,b )；第二因子则是向量b 的模|b |．因此向量的数量积实际上是一个向量在另一个向量上的投影积．

由向量的数量积的定义，立即可得三个坐标基向量i ,j ,k 之间的数量积关系为 i ?i =j ?j =k ?k =1；i ?j =i ?k =j ?i =j ?k =k ?i =k ?j =0．

数量积有以下运算性质：

①a ?a =|a |2, (a ?a 允许简写成a 2)；

②a ?0=0，其中0是零向量；

③交换律：a ?b =b ?a ；

④结合律：(λa )?b =a ?(λb )=λ(a ?b )，其中λ是任意实数；

⑤分配律：(a +b )?c =a ?c +b ?c ．

例 已知(a , b )=π3

2，|a |=3,|b |=4，求向量c =3a +2b 的模．解 |c |2=c ?c =(3a +2b )?(3a +2b )=3a ?(3a +2b )+2b ?(3a +2b )

=9a ?a +6a ?b +6b ?a +4b ?b =9a 2+12a ?b +4b 2=9a 2+12|a ||b |cos(a ,b )+4b 2，

将|a |=3,|b |=4, (a , b )=π3

2代入，即得 |c |2=9×32+12×3×4cos π3

2+4×42=73，所以，|c |=|3a +2b |=73．# 2 数量积的坐标表示式

设a =a x i +a y j +a z k ，b =b x i +b y j +b z k ．

a ·

b = (a x i +a y j +a z k )·(b x i +b y j +b z k )

=a x i ·(b x i +b y j +b z k )+ a y j ·(b x i +b y j +b z k )+ a z k ·(b x i +b y j +b z k )

即 a ·b =a x b x +a y b y +a z b z

例 设a =2i +3j -k ，b =i -j +k ，求a ·b , a 2, (2 a )·(2b )．

解 a ·b =(2,3,-1)·(1,-1,1)=2×1+3×(-1)+(-1)×1=-2；

a 2=22+32+(-1)2=14；

(3a )·(2b )=(6,9,-3)·(2,-2,2)=6×2+9×(-2)+(-3)×2=-12．#

例1-3 见课本.303305P ?7.2-2 向量的向量积

1.向量的向量积概念

7

陀螺就在原地旋转，并不移动，能量表现在有一种垂直向上或向下的力，使陀螺保持直立不倒．

(1)向量积的定义

定义 两向量a 与b 按例方式确定一个向量c ，

(1)c ⊥b 且c ⊥a ，即c 垂直于向量a ,b 所决定的平面，

且按a ,b ,c 顺序构成右手系；

(２)c 的模|c |=|a ||b |sin(a ,b )．则称向量c 为a ,b 的向 量积，记作a ×b ．即c =a ×b ．

因为向量积的运算符号是‘×’，故也直观地称叉积．

向量积的模的几何意义，表示以向量a 与b 为边所

构成的平行四边形的面积．8向量积有以下运算性质： (1)a ×a =0；

(2)a ×0=0，其中0是零向量；

(3)b ×a =-a ×b ；

(4)数乘结合律：

（λa ）×b =a ×(λb )= λ（a ×b ）， 其中λ是任意实数；

(5)左、右分配律：(a +b )×c =a ×c +b ×c ； a ×(b +c )=a ×c +a ×b ．

性质(3)说明，向量的向量积不满足交换律．如任意两个基向量的向量积，

i ×j =k , j ×k =i , k ×i =j ，而j ×i =-k , k ×j =-i , i ×k =-j ．

分配律有左右之分：使用左分配率的向量只能在‘×’的左边；

使用右分配率的向量则只能在‘×’的右边．结合律只能是对实数的结合，向量本身也不成立结合律，例如(a ×b )×c 与a ×(b ×c )一般是两个不同的向量．

2．向量积的坐标表示式

设a =a x i +a y j +a z k ，b =b x i +b y j +b z k ，根据向量积的运算律，有

a ×

b =( a x i +a y j +a z k )×(b x i +b y j +b z k )=a x i ×(b x i +b y j +b z k )＋a y j ×(b x i +b y j +b z k )＋

a z k ×(

b x i +b y j +b z k )=(a y b z -a z b y )i -(a x b z -a z b x )j +(a x b y -a y b x )k ．

此即向量积的坐标表示式．为了便于记忆，把上述结果写成三阶行列式形式，然后按三阶行列式展开法则，关于第一行展开，即 i j k a ×b = =i -j + k ． 例 设a =-i +2j -k ，b =2i -j +k ，求a ×b ．

解

a ×

b = = i - j + k =i - j -3k ．# 例

设已知点A (1,-2,3), B (0,1,-2)及向量a =(4,-1,0)，求a ×AB 及AB ×a ．

解 =(0-1)i +[1-(-2)]j +(-2-3)k =-i +3j -5k ，

a ×AB =i -j +k =5i +20j +11k ； AB ×a =-j -11k ．#

例 已知三点A (1,0,0),B (-1,1,4),C (2,5,-3)，求以这三点为顶点的空间三角形的面积S ． 解 AB =(-1-1, 1-0, 4-0)=(-2,1,4)；AC =(2-1, 5-0, -3-0)=(1,5,-3)，

a a x a y z

b x b y b z a y a z a x a z a x a y b x b y b y b z b x b z i j k -1 2 -12 -1 1 2 -1 -1 1 -1 -1 2 1 -1 2 2 -1-1 0 3 -5 4 0 4 -1-1 3-1 -5

所以i j k

AB ×AC = =i -j + k =-23i -2j -11k ；

9 |AB ×AC |=654)11()2(23222=?+?+．

S =79.122

65421≈=S ．# 7.2-3 向量的关系及判断

1.向量垂直及其判定

若非零向量a ,b 的夹角(a ,b )=90°，则称向量a ,b 垂直，且记作a ⊥b ． 当a ⊥b ，据(9-8)立即可得a ?b =|a ||b |?cos (a ,b )=0；反之，若a ?b =0且a ,b 为非零向量，则必定有cos (a ,b )=0，(a ,b )=90°，即a ⊥b ．由此可得 定理1 两个非零向量a ,b 垂直 ? a ?b =0．

定理1以坐标形式如下：

定理1′ 设a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ，a ,b 垂直 ? a x b x +a y b y +a z b z =0．(9-13)

2．两个向量平行及其判定

若把向量a ,b 的始点移到同一点后，它们的终点与始点都位于同一条直线上，则称两个向量平行，记作a ∥b ．

规定零向量0平行于任何向量．

平行向量也称共线向量，如图所示，a ∥b , a ∥c ，也可以说 a ,b ,c 是共线的．

共线向量的方向或相同或相反，但模可以不等．

定理2 a ∥b ? 存在实数λ使 a =λb ． (9-14) 定理2的坐标形式如下：

定理2′ 设a =a x i +a y j +a z k , b =b x i +b y j +b z k ．为两个非零向量，则

a ∥

b ? z z y y x x b a b a b a ==． (9-15)

其中若分母某坐标分量为0，则分子对应坐标分量也为0． 又若a ∥b ，则(a ,b )=0或π，由此sin (a ,b )=0．

定理3 两个非零向量a ∥b ? a ×b =0．

例

试判定下列向量中哪些是平行的，哪些是垂直的？)2,2,2()2,1,1(),1,1,1()1,1,0(),0,1,1(54321??=??=?=?=?=a a a a a 解 ∥5352a a a 所以?=3

a 4151314151310a a a a a a a a a a a a ⊥⊥⊥=?=?=?，，，所以 # 例 求同时垂直于向量和)1,2,2(=a )3,5,4(=

b 的单位向量于和

c .解 a ×b 同时垂直a 和b ，a ×b=i-2j+2k

所求单位向量有两个，即

)22(31)22(2)2(112

22k j i k j i b a b a c +?±=+?+?+±=××±=.# -2 1 4

1 5 -3 1 4 5 -3-

2 4 1 -3-2 1 1 5 b ?a c ???

7.2-4 *向量的混合积(略)

[作业]: 习题7-2: 1, 2, 7, 9.

§7.3 曲面及其方程

7.3-1 曲面方程的概念

球面，是空间中到定点M 0(球心)的距离为常数R (半径)的动点M 的轨迹Σ.若已经建立了空间直角坐标系O-xyz ，M 0的坐标为(x 0,y 0,z 0)，动点M 的坐标为(x ,y ,z )，则据空间两点距离公式，有

M (x ,y ,x )∈∑ ? (x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2 , (*)

或 Σ={(x ,y ,x )|(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=R 2}．

(*)式称为是球面∑在给定坐标系中的方程，简称球面方程．特别地，当定点M 0是原点时，球面方程是 x 2+y 2+z 2=R 2．

一般空间曲面也是满足某约束条件的点的轨迹Σ．在建立了坐标系后，以M (x ,y ,z )表示动点,以

F (x ,y ,z )=0 (1)

表示构成Σ的约束条件，则称x ,y ,z 的三元方程(1)为曲面∑ O ? x M 0 ? R

M 的方程.在坐标系中描出满足(1)的点，得到的就是曲面Σ的图 象．例如,描出满足(*)的点，得到的是图中所示的球面． 空间解析几何对曲面的研究主要有以下两个方面： (1)据已给定的条件，求动点的轨迹，即建立曲面的方程； (2)已知曲面的方程，研究曲面的形状和几何性质．

1.球面的一般方程

例 方程x 2+y 2+z 2-4x +2z =0表示怎样的曲面？解 通过配方，把原方程写成(x -2)2+y 2+(z +1)2=5，由(9-35)可知该方程表示球心为

(2,0,-1）、半径为5 的球面． #

推广例到一般情况，方程

A (x 2+y 2+z 2)+Dx +Ey +Fz +G=0 (2)

总可以通过配方成为(x -x 0)2+(y -y 0)2+(z -z 0)2=H 的形式，

如果H >0，则满足(2)的点表示球面，因此称(2)为球面的一般方程．

10例2-3见课本.

311312P ?Γ 7.3-2．旋转曲面

(1)旋转曲面的一般定义.

Σ L

若动点在曲线Γ上移动，同时曲线Γ又绕定直线L 旋转

(简称曲线Γ绕一条定直线L 旋转一周)，称这样的动点所形

成的轨迹Σ为旋转曲面．称曲线Γ为旋转曲面的母线，称定

直线L 为旋转曲面的轴．

例 (1)求xOy 平面上的直线Γ：x =R 绕y 轴旋转所得的旋转面Σ的方程； (2)求xOy 平面上的圆Γ：x 2+y 2=R 2绕y 轴旋转所得的旋转面Σ的方程． 解 (1)点M (x ,y ,z )∈Σ ? M 是由Γ上点

11

M 0(R ,y 1,0)通过Γ绕y 旋转得到．设P 为M , M 0 在旋转轴y 轴上的投影，则p （0，y ，0）

M (x ,y ,z )∈Σ ? R=|PM 0|=|PM |=22z x +．

x

? M 0R

?

? P ? O

M 所以Σ 的方程为x 2

+z 2

=R 2

．

(2)点M (x ,y ,z )∈Σ ? M 是由Γ上点M 0(x 0,y 0,0)通过Γ旋转 得到 ? 在M ,M 0的坐标之间存在如下关系：

设P 为M 0,M 在旋转轴y 轴上的投影，则p （0，y ，0）

所以 |x 0|=|PM 0|=|PM |=22z x +(．因为M 0∈Γ，=R 2

20y x +2

， x z

O

?

M P

M 0

于是 M (x ,y ,z )∈Σ ? (22z x +)2+y 2=R 2，即x 2+y 2+z 2=R 2． 所以Σ的方程为x 2+y 2+z 2=R 2．#

(2)一类特殊旋转曲面的方程

把例作推广，考虑如下特殊情况：以xOy 坐标面上的曲 线f (x ,y )=0为母线Γ，绕y 轴旋转，得到旋转面Σ，求Σ的方程． 如图所示(旋转面Σ在第一卦限部分)，

点M (x ,y ,z )∈Σ ? M 是由Γ上点M 0(x 0,y 0,0)通过Γ旋转得到

? 在M ,M 0的坐标之间存在如下关系： 设P 为M 0,M 在在旋转轴y 轴上的投影，则

|x 0|=|PM 0|=|PM |=2

2

z x +,

因为M 0∈Γ，f (x 0,y 0)=0，于是M (x ,y ,z )∈Σ ? f (±22z x +,y )=0． 所以Σ的方程为f (±22z x +,y )=0．

由推导过程可见，旋转面Σ的三元方程可以直接从母线二元方程得到．其规律是：母线

方程中旋转轴坐标y 不变，非旋转轴坐标x 变为除旋转轴坐标外另外两个坐标x ,z 平方和的正负方根，所得者即为Σ的方程．

考虑用如下一类特殊的旋转面Σ：母线Γ在某坐标平面，旋转轴是该坐标面两根轴之一，通过类似的推导，Σ的方程都可从母线方程按上述相同的规律得到．具体结果如下表所列：

z 轴

f (±22y x +,z )=0

f (±22y x +,z )=0

Γ

?

z

Γ： x

M 0

y =?

? M

P ?

例(@) 求出下列旋转曲面Σ的方程：

(1)xOy 平面上的椭圆2222a

y b x +=1绕x 轴和绕y 轴旋转； (2)xOz 平面上的抛物线x 2=az 绕对称轴旋转；

(3)yOz 平面上的双曲线-2

2

22a z b y +=1绕实轴和虚轴旋转；

(4)xOy 平面上直线y =ax +b 绕x 轴和y 旋转．

解 (1)绕x 轴、y 轴旋转所得旋转面的方程依次为22222a

z y b x ++=1, 2

2222a

y b z x ++=1．称此曲面为旋转椭圆面．

(2)绕对称轴(z 轴)旋转所得旋转面的方程依次为x 2+y 2

=az ．称此曲面为旋转抛物面． (3)绕实轴(z 轴)旋转所得旋转面的方程为 -22

222a z b y x ++=1，

称此曲面为双叶旋转双曲面；绕虚轴(y 轴)旋转所得旋转面的方程为-22

222a

z x b y ++=1，称此曲面为单叶旋转双曲． z

12

(4)绕x 轴旋转所得旋转面的方程为±22z y +=ax +b ，即y 2

+z 2

=(ax +b )2

x

?

? a ?

?

b

a

O

x ?

O

-b

a

y

z

O

b

? y -b

a

? 是顶点在(-a

b

,0,0)的圆锥面；绕y 轴旋转所得旋转面的方程为

y =±a 22z x ++b ，即(y -b )2

=a 2

(x 2

+z 2

)，

它是顶点在(0,b ,0)的圆锥面．特别地，若b =0，即母线为经过原点的直线y =ax ，则绕x 或

y 轴旋转而成的圆锥面的顶点都在原点，方程成为

以x 轴为旋转轴：a 2x 2=y 2+z 2；以y 轴为旋转轴： y 2= a 2(x 2+z 2

)．#

Γ

L

7.3-3 柱面

(1)柱面的一般定义.

若动点在直线L 上移动，同时直线L 又沿定曲线Γ平行移动(简称动直线L 沿定曲线Γ平行移动)，称这样的动点所形成的轨迹Σ为柱面．定曲线Γ称为柱面的准线，动直线L 称为柱面的母线．

(2)一类特殊柱面的方程.

考虑特殊的柱面Σ：准线Γ在xOy 平面上，母线L 平行于z 轴． 设Γ在xOy 平面上的方程为F (x ,y )=0，则Γ在空间坐标系O-xyz 中考虑时,方程应为 (3) .

0,0),(==z y x F 因为母线L 13 M Γ: 为准线,F (x ,y )=0．

柱面；

轴的柱面．

例 (1)(x 解 线平行于y (2)，所以方程表示准线为xOy 平面的椭圆轴的O

?y x a z b

O

(3)方程缺变量x ，所以方程表示准线为yOz 平面的抛物线 、

母线平行于x 轴的,

0,12=+?=z y z 抛

物柱面，其图象为

14

(4)方程缺变量y ，所以方程表示准线为xOz 平面的双曲线 ,

0,122

22==+?y a z b x 母线平行1

O

1

?

?

于y 轴的双曲柱面，其图象为

y

z

O

? ? a b #

7.3-4 二次曲面

例如：(1)把例@(1)的三个平方项系数改为不同，成为方程

122

2222=++c

z b y a x ,(a ,b ,c >0), (4)它的图象称为椭球面，任何平行于坐标面的平面去切割椭球面，只能交得椭圆或点． (2)把例@(2)的两个平方项系数改为不同，成为方程

222

2b y a x +=z (a ,b >0) (类似地还有2222b z a x +=y ，22

22b

z a y +=x ), (5) 它的图象称为椭圆抛物面.以垂直于一次项的坐标轴的平面去切割曲面，能得到交线的都是椭圆．

x ?

? (3)把例@(3)的三个平方项系数改为不同，成为方程x

)

O a ? ?? 222222c z b y a x ?+=±1或22

2222c z b y a x +?=±1 或222222c z b y a x ++?=±1 (a ,b ,c >0) , (6)等式右端取‘－’时的图象称为双叶双曲面，当以垂直于非相同符号的坐标轴的平面去切割曲面，能得到交线的都是椭圆；等式右端取‘+’时的图象称为单叶双曲面，当以垂直于非

c b z

a z

y z

O ?

15

相同符号的坐标轴的平面去切割曲面，得到交线都是椭圆． (4)把例@(4)中b =0情况下的两个个平方项系数改为不同，成为方程

2222b y a x +=z 2 或2222c z a x +=y 2 或2222c z b y +=x 2(a ,b >0). (9-39) 它的图象称为椭圆锥面，以垂直于等号右端项的坐标轴的平面 去切割曲面，得到交线都是椭圆或点．

上述曲面公共特征，是他们的方程都是x ,y ,z 的二次方程．

一般地，若其方程为x ,y ,z 的二次方程，则称它为二次曲面．可以证明，所有的二次曲面如果有意义，那么它的图象只有五类：椭球面、抛物面、双曲面(单叶或双叶)、锥面以及我们还没有学过的双曲抛物面(

标准的方程形式为2

2

22b y a x ?

=±z )，只是曲面的位置不那样规范． [作业]: 习题7-3: 1, 2, 5, 6, 7.

§7.4 空间曲线及其方程

7.4-1 空间曲线方程的概念及一般方程

常见的空间曲线Γ，常常是由两张空间曲面Σ1： F 1(x ,y ,z )=0, Σ2：F 2(x ,y ,z )=0相交而成的，因此点 M (x ,y ,z )∈Γ ? M (x ,y ,z )∈Σ1且M (x ,y ,z )∈Σ2 ? M 的坐标(x ,y ,z )同时满足Σ1, Σ2的方程．所以的方程可以表示为

.

0),,(,0),,(21==z y x F z y x F 空间曲线的这种方程形式称为一般方程．

例 方程组 表示怎样的曲线？

3

,252

2

2

==++z y 解 方程组表示球心在原点、半径为5的球面：x 2+y 2+z 2=52

与平面z = 3的交线，它是在平面z = 3上圆心为(0,0,3)、半径为4的一个圆．#

例 求球面x 2+y 2+z 2=(2R )2与圆柱面(x -R )2+y 2=R 2解 截交线的方程：

．

2222

222)(,)2(R y R x R z y x =+?=++圆柱面过球心且其直径与球面的半径相等，得图象如图所示(图上仅画出了上半球面上的截交线)．这条 交线在数学上常称为维维尼曲线．#

7.4-2．空间曲线的参数方程

例 在一张透明的矩形纸上有一条与底边成θ角的直 线L ，现在把它卷成半径为R 的圆筒，若忽略纸的厚度， 则矩形成为直圆柱面，L 成为绕卷圆柱面上的曲线．称此曲线为等距螺线，称θ为螺旋角，它的特征

a

? b

? O x

Σ1

Σ2

Γ

O

O

? 2R ?

是相邻两圈之间等距为b =2πR ?tan θ．称b

16

试求等距螺线的方程．

解 如图建立坐标系，其中的x 轴 经过L 与矩形底边交点．任取螺旋线上 一点M (x ,y ,z )，M 在xOy 面上的投影为 M 1，从x 轴正向到OM 1转过的角度为t ， 则

z =M 1M =

b t

?π2=(R ?tan θ)t ，

x =R cos t , y =R sin t ．

M (x ,y ,z )的坐标满足方程，那么M 必定在螺旋线上．

由此得到等距螺线的方程是

x =R cos t ,

y =R sin t , (t ≥0) (*) z =(R ?tan θ)t ，

所得到的方程与曲线的一般式不同，它含有一个参数t ，因此称为等距螺线的参数式方程．#

曲线从本质上来说是一维图形，即曲线上任何一点，如果确定了一个坐标，另外两个坐

标也就跟着被确定了，

也就是说它只有一个自由度．这个本质决定了如果它的方程用参数表示，那么参数就只能有一个．因此曲线参数方程的一般形式应该是

x =x (t ),

y =y (t ), (α≤t ≤β)．

(**) z =z (t )，

例 求参数方程

,

2sin 1,sin cos ,

sin cos t z t t y t t x ?=?=+=所表示的曲线Γ． 解 前两个方程两边平方相加得 x 2+y 2=2；

又 y 2=1-2cos t sin t =1-sin2t =z ， 所以曲线方程又能写成

．

z y y x ==+22

2,2x

参数方程表示的曲线Γ是圆柱面x 2+y 2=2与抛物柱面y 2

=z 的交线．其图象如图所示.#

7.4-3. 空间曲线在坐标面上的投影

(1)空间曲线在坐标面上的投影曲线.

在例中，xOy 平面上的圆x 2+y 2

=2，是以Γ为准线、母线于平行z 轴的柱面与坐标面xOy 的截交线，这条截交线称为Γ在xOy 面上的投影曲线；同理，

yOz 平面上的曲线y 2

=x 则是以Γ为准线,母线于平行x 轴的柱面与坐标面yOz 的截交线，这条截交线称为Γ在yOz 面上的投影曲线．得到了曲线在坐标面上的投影曲线，不但可以加强曲线的直 观形象，而且也有助于了解曲线变化范围．

O 2

2

?

?

L x

Σx

对一般的空间曲线Γ，以Γ准线，作母线平行于z 轴的柱面Σz ，称Σz 与xOy 平面的交线L z 为

Γ在xOy 平面上的同样曲线(简称投影)，称柱面Σz 为Γ关于xOy 面上的投影柱面(图)．

类似地，若柱面的母线平行于x 轴或y 轴，得到的是Γ在yOz 平面或xOz 平面上的投影L x ,L y 及相应的投影曲面Σx , Σy ．

(2)从曲线的一般方程求投影曲线的方程

为了求出空间曲线Γ在xOy 平面上的投影L z 的方程，只要能把Γ表示成方程

0),,(,

0),(==z y x g y x f (1)

就行了．因为方程f (x ,y )=0表示母线平行于z 轴的柱面Σz ，

这样就把Γ表示成了Σz 与另一个曲面g (x ,y ,z )=0的交线，Σz 正好是Γ关于坐标面xOy 的投影柱面，因此

,0),(==z y x f ． 即为Γ在xOy 平面上的投影L z 的方程．

因此以对以一般方程

),,(,0),,(==z y x G z y x F (2)

给出的空间曲线Γ，为了求得它在xOy 平面上的投影L z 的方程，只要作等价变换，在(2)的两个方程之一中消去z ，使之成为形式(1)．

同理，若在(2)的两个方程之一中消去x 或y ，使之成为形式

0),,(,0),(==z y x g z y f 或 0),,(,

0),(==z y x g z x f ，

那么 0

,0),(==x z y f ， 0,

0),(==y z x f 就依次是Γ在yOz 平面上的投影L x 和Γ在xOz 平面上的投影L y 的方程的方程．

例 求曲面4z =2x 2+y 2与平面x -z =0的交线Γ，在xOy 平面上的投影曲线L z 和yOz 平面上的投影曲线L x 的方程．

解 Γ的方程为

2224,

0y x z z x +==?． 为了求得L z 的方程，应该在方程组的两个方程之一中消去z ．为此，把第一个方程的z =x

代入第二个方程，得

17

4x =2x 2

+y 2

，即2(x -1)2

+y 2

=2 或 (x -1)2

+2

2

y =1，

所以Γ的方程可写为 1

2

)1(,

022

=+?=?y x z x ．由此可得L z 的方 程为0

12

)1(2

2

==+?z y x ．这是xOy 平面上的一个椭圆 ． 为了求得L x 的方程，应该在方程组的两个方程之一中消去x ．为此，把第一个方程的

x =z 代入第二个方程，得

4z =2z 2

+y 2

，即2(z -1)2

+y 2

=2 或 (z -1)2

+2

2

y =1，22 ?

L x

? 1?

O ?

所以Γ2

以2

x 2+y 2=#21

? ? 例4-5见课本.

323324P ?[作业]: 习题7-4: 1(1), 2, 4, 5(1), 6.

§7.5 平面及其方程

7.5-1 平面的点法式方程

称垂直于平面α的非零向量N 为α的法向量．一个平面的法向量可以有无限多个，他们互相平行．

在空间给定一点M 0和向量N ，要求平面α过M 0(因此平面不能移动)、且以N 为法向量(因此平面不能转动)，那么平面α 就唯一被确定了．

如图所示，设点M 0坐标为(x 0,y 0,z 0)，N =(A ,B ,C )， 把N 平移到以M 0为始点,则有 点M (x ,y ,z )∈平面α ?0M M uuuuu u r ⊥N ?0M M uuuuu u r ?N =0， 0M M uuuuu u r =(x -x 0,y -y 0,z -z 0)，据向量数量积坐标公式,得点M (x ,y ,z )在平面α上的充分必要条件是 A (x -x 0)+B (y -y 0)+C (z -z 0)=0

(*) 称方程(*)为平面的点法式方程．

例1-2 见课本.325326P ?7.5-2 平面的一般方程

18

在*)式中,记D =-(Ax 0+By 0+Cz 0 ),则(*)成为

Ax +By +Cz +D =0. (**) 即过点M 0(x 0,y 0,z 0),以N =(A ,B ,C )为法向量的平面方程必定可以写成(**)的形式；反之,给定形如(**)的x ,y ,z 的线性方程，选取满足(**)的一个点M 0(x 0,y 0,z 0)代入(**)后，即可把它改写成

A (x -x 0)+

B (y -y 0)+

C (z -z 0)=0．

这表明满足(**)的点构成以N =(A ,B ,C )为法向量,过点M 0(x 0,y 0,z 0)的平面．由此可得结论：

①关于x ,y ,z 的方程F (x ,y ,z )=0表示空间平面的充要条件为F (x ,y ,z )是一个x ,y ,z 的线性式；

②一个关于x ,y ,z 的线性方程(**)所表示的平面的法向量就是(A ,B ,C )．称(**)为平面方程的一般式方程．某些特殊平面的一般方程:

在平面方程的一般式(**)中，某些系数等于0后，将表示一些特殊平面： 平面过原点 ? D =0，即方程具有形式Ax +By +Cz =0；

平面平行于x 轴 ? A =0, D ≠0，即方程具有形式By +Cz +D =0； 平面过x 轴 ? A =0, D =0，即方程具有形式By +Cz =0；

平面平行于xOy 平面 ? A =B =0, D ≠0，即方程具有形式Cz +D =0．

类似地，可讨论B =0或C =0或B =C =0或C =A =0的情况,并组合D =0,

D ≠0等多种情况下的空间平面的特征.

例3 见课本.

327P 例4 求过M 1(a ,0,0),M 2(0,b ,0),M 3(0,0,c )的平面π的方程． 解 因为M 1,M 2,M 3∈π，所以平面的法向量N 与向量12M M uuuuuu r 及13M M uuuuuu r 都垂直． 于是平面的一个法向量为12

M M uuuuuu r ×13M M uuuuuu r ，12M M uuuuuu r =(-a ,b ,0),13M M uuuuuu r

=(-a ,0,c )，从而

19

N =12M M uuuuuu r ×13M M uuuuuu r =k

j i 0

0 a -b a -c a -0 a - c 0 b +? =bc i +ac j +ab k ．

所求平面方程为

bc (x -a )+ac (y -0)+ab (z -c )=0，

即c

z

b y a x ++=1．

M 1,M 2,M 3为平面π与三条坐标轴的交点，a ,b ,c 则是平面π在整个坐标轴上的截距，因此所得的方程称为平面的截距式方程．

7.5-3 两平面的位置关系

设两平面π1, π2的方程为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0, A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0，则它们的法向量分别

为N 1=(A 1,B 1,C 1), N 2=(A 2,B 2,C 2)．平面之间的关系，可以从法向量N 1,N 2之间的关系导出：

①平面π1//π2 ? N 1//N 2 ? N 1×N 2=0 ?2

12121C C B B A A ==， (若某个分母为0，则对应分子也为0,重合作为平行的特例)． ②平面π1⊥π2 ? N 1⊥N 2 ? N 1?N 2=0 ? A 1A 2+B 1B 2+C 1C 2=0． ③若π1, π2既不平行也不垂直，记(π1,π2)为π1, π2所成两面角的平面角(简称平面夹角)，因为(π1,π2)≤90°，所以

cos (π1,π2)=|cos(N 1, N 2)|=||||||2121N N N N ?=21

2121222222212121C B A C B A C C B B A A ++++++．

例5-6 见课本.

328P 点到平面的距离公式:

已知平面π：Ax +By +Cz +D =0和平面外一点P (x 0,y 0,z 0)，过P 0作π的垂线，垂足为Q ．称d =|QP |为点P 到平面π的距离．

π的单位法向量n =2221

C B A ++(A ,B ,C ),设垂足Q 坐标为(x 1,y 1,z 1)，则

QP =(x 0-x 1,y 0-y 1,z 0-z 1)．因为QP //n ，所以(QP ,n )=0或180°．据向量的数量积定义

QP ?n =|QP ||n |(±1)= ±|QP ||n|=±d ，即

d =2221

C B A ++|A (x 0-x 1)+B (y 0-y 1)+C (z 0-z 1)|,

注意 Q ∈π，Ax 1+By 1+Cz 1+D =0，所以

d =222000|

|C B A D Cz By Ax +++++．

例7 求点(1,-1,2)到平面2x +y -2z +1=0的距离d ．

解 d =3

2)2(121

22)1(112222=?+++×??×+×．# 例8 求直线l ：3

,1=?+=+?z y x z y x 上与平面π：x +y +z =1的距离为3的点P ． 解 l 的方向向量s =k -j -i -1

11111111111 -+?=2(j +k )或(0,1,1).易求得点M (2,1,0)∈l ，所以可改写l 的方程为参数式：x =2, y =1+t , z =t ．

设l 上距π为3的点所对应的参数为t 0，则

3=3|

1)()1()2(|00++++t t ，|t 0+2|=233，t 0=-2±2

33．20

所以l 上与平面π的距离为3的点有两个：P 1(2, -1+

233, -2+233), P 2(2, -1-233,-2-2

33)．#例9 求两平行平面π1：3x +2y -6z -35=0和π2：3x +2y -6z -56=0间的距离．

解 取P (1,1,-5)∈π1上，点P 到平面π2的距离为

d =7

2162356

)5()6(1213222=?++??×?+×+×）（=3． 因此平面π1和π2间的距离等于3 ．#

[作业]: 习题7-5: 1, 2, 3, 6, 7, 9.

§7.6 空间直线及其方程

7.6-1 空间直线的一般方程

由两个不平行的平面π1,π2相交得到交线l ，是生成直线的最直接方式．当π1,π2给定时，唯一的交线l 也就被确定了．

设π1,π2的方程为A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0, A 2x +B 2y +C 2z +D 2=0，点M (x ,y ,z )∈l ?x ,y ,z 同时满足两个方程，因此直线l 的方程是 A 1x +B 1y +C 1z +D 1=0,

A 2x +

B 212y +

C 2z +

D 2=0．称为直线l 的一般式方程．

7.6-2 1.直线方程的点向式

称平行于直线l 的非零向量s 为l 的方向向量．一条直线的方向向量可以有无限多个，他们互相平行．

在空间中给定一点M 0和向量s ，要求直线l 过M 0(因此直线不能移动)、且以s 为方向向量(因此平面不能转动)，那么直线l 就唯一被确定了．如果已经建立了空间直角坐标系，就可以具体描述构成直线l

的点应满足的条件，得到直线在该坐标系中的方程．

如图所示，设点M 0坐标为(x 0,y 0,z 0)，s =(A ,B ,P ),则有 点M (x ,y ,z )∈直线l ?0M M uuuuu u r //s ?0M M uuuuu u r =λs. 0M M uuuuu u r =(x -x 0,y -y 0,z -z 0)，所以点M (x ,y ,z )在直线l 上的充分必要条 件是

,000p z z n y y m x x ?=?=? (*)

称方程(*)为直线的点向式方程(或对称式方程)．

直线的点向式方程与方向向量选用平行向量中的那一个无关．

[注意] 在(*)中,若分母为0，则分子也为0．例如,设以s =（m ，n ，0)为方向向量，则直

n y y m x x 00?=?, z =z 0．

例 (1). 求过点P (1,0,0)、以s =(-2,2,1)为方向向量的直线l 的方程；

线l 的方程成为 (2). 求过点P 1(1,0,1)、以s =(0,2,-1)为方向向量的直线l 1的方程．

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