数字信号处理（姚天任江太辉第三版）课后习题答案

第二章

2.1 判断下列序列是否是周期序列。若是，请确定它的最小周期。 （1）x(n)=Acos(（2）x(n)=e(j5??n?) 86n??) 83??（3）x(n)=Asin(n?)

43解 (1)对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(?n??)，得出??是周期序列。最小周期等于N=

5?2?16。因此?是有理数，所以8?516k?16(k取5)。 512?。因此?16?是无理数，所以不8?3???3??n?)＝Acos(?n?)

24343 （2）对照复指数序列的一般公式x(n)=exp[??j?]n,得出??是周期序列。

（3）对照正弦型序列的一般公式x(n)=Acos(?n??)，又x(n)=Asin(＝Acos(N=

3?13?2?8。因此?是有理数，所以是周期序列。最小周期等于n?)，得出??4?3468k?8(k取3) 3

2.2在图2.2中，x(n)和h(n)分别是线性非移变系统的输入和单位取样响应。计算并列的x(n)和h(n)的线性卷积以得到系统的输出y(n)，并画出y(n)的图形。

h(n)=u(n)x(n)21-1(a)12 3n0 12 3…n-120 1x(n)h(n)21 -10 -124n-10 12 34n 1x(n)=u(n)(b)-1h(n)=anu(n)1…-10 12 34n…(c)-10 12 3n

解 利用线性卷积公式

y(n)=

?k????x(k)h(n?k)

按照折叠、移位、相乘、相加、的作图方法，计算y(n)的每一个取样值。 (a) y(0)=x(O)h(0)=1

y(l)=x(O)h(1)+x(1)h(O)=3

y(n)=x(O)h(n)+x(1)h(n-1)+x(2)h(n-2)=4,n≥2 (b) x(n)=2?(n)-?(n-1)

h(n)=-?(n)+2?(n-1)+ ?(n-2)

y(n)=-2?(n)+5?(n-1)= ?(n-3) ?(c) y(n)=

(k)k?u???an?ku(n?k)=

k??n?k1?an?1=???a1?au(n)

2.3 计算线性线性卷积 (1) y(n)=u(n)*u(n) (2) y(n)=?nu(n)*u(n)

?解：(1) y(n)=

u(k)u(n?k)

k?????=

u(k)u(n?k)=(n+1),n≥0

k??0即y(n)=(n+1)u(n) (2) y(n)=???ku(k)u(n?k)

k???

=??k?0?k1??n?1u(k)u(n?k)=,n≥0

1??即

1??n?1y(n)=u(n)

1??

2.4 图P2.4所示的是单位取样响应分别为h1(n)和h2(n)的两个线性非移变系统的级联，已知x(n)=u(n), h1(n)=?(n)-?(n-4), h2(n)=anu(n),|a|<1,求系统的输出y(n).

解 ?(n)=x(n)*h1(n) =

k????u(k)[?(n-k)-?(n-k-4)]

? =u(n)-u(n-4)

y(n)=?(n)*h2(n) =

k?????a?a?ku(k)[u(n-k)-u(n-k-4)]

=

k,n≥3

k?n?32.5 已知一个线性非移变系统的单位取样响应为h(n)=a

?nu(-n),0

系统的单位阶跃响应。

2.6 试证明线性卷积满足交换率、结合率和加法分配率。

证明 （1）交换律

X(n) * y(n) =

k????x(k)y(n?k)

? `

令k=n-t,所以t=n-k,又-?

? x(n) * y(n) =

t?????x(n?t)y[n?(n?t)]

=

t????x(n?t)y(t)=y(n) * x(n)

交换律得证. (2)结合律

[x(n) * y(n)] * z(n)

=[

k?????x(k)y(n?k)] * z(n)

[

? =

t?????k????x(k)y(t?k)]z(n-t)

??? =

k????????x(k) y(t-k)z(n-t)

t??? =x(k)

k????my(m)z(n-k-m)

=x(k)[y(n-k) * z(n-k)]

k??? =x(n) * [y(n) * z(n)] 结合律得证. (3)加法分配律

x(n) * [y(n) + z(n)]

=

k???????x(k)[y(n - k) +z(n - k)]

=

k????x(k)y(n-k)+

k????x(k)z(n - k)

=x(n) * y(n) + x(n) *z(n) 加法分配律得证.

2.7 判断下列系统是否为线性系统、非线性系统、稳定系统、因果系统。并加以证明

(1)y(n)= 2x(n)+3 (2)y(n)= x(n)sin[

2??n+] 36(3)y(n)=

k????x(k) (4)y(n)= ?x(k)

k?n0?n (5)y(n)= x(n)g(n)

解 （1）设y1(n)=2x1(n)+3,y2(n)=2x2(n)+3,由于 y(n)=2[x1(n)+x2(n)]+3 ≠y1(n)+ y2(n) =2[x1(n)+x2(n)]+6

故系统不是线性系统。

由于y(n-k)=2x(n-k)+3,T[x(n-k)]=2x(n-k)+3,因而

y(n-k) = T[x(n-k)]

故该系统是非移变系统。

设|x(n)|≤M，则有 |y(n)|=|2x(n)+3|≤|2M+3|<∞ 故该系统是稳定系统。 因y(n)只取决于现在和过去的输入x(n)，不取决于未来的输入，故该系统是因果系统。 （2）设 y1(n)=ax1(n)sin[?2?n+] 63?2?y2(n)=bx2(n)sin[n+] 63 由于 y(n)=T[ax1(n)+ bx2(n)] =[ax1(n)+bx2(n)]sin[=ax1(n)sin[?2?n+] 63?2?2??n+]+bx2(n)sin[n+]6633 =ay1(n)+by2(n) 故该系统是线性系统。 由于 y(n-k)=x(n-k)sin[?2?(n-k)+] 63?2?T[x(n-k)]=x(n-k)sin[n+] 63因而有 T[x(n-k)]≠y(n-k) 帮该系统是移变系统。 设 |x(n)|≤M，则有 |y(n)|=|x(n)sin[?2?(n-k)+]| 63?2?=|x(n)|| sin[(n-k)+]| 63

X(ejwn)?X*(e12?jwn????x(n)en????jwn)?(?x*(N)ejwn)*?n???jwnx*(n)e???????X(ejw)X*(ejw)dw?1?2?????[m?????x(m)e?jwn][?x*(n)ejw]dwn????m????x(m)n????x*(n)?12?????ejw(n?m)dw其中????n?m??????2?,....?ejw(n?m)dw??ejw(n?m)?e?jw(n?m)?0,....n?m?n?m?n???1?jwjwX(e)X*(e)dw????2?证法二：?x(n)x*(n)?n????x(n)x*(n)??

1??x(n)[2?n???1??x(n)[2?n???1?2?1?2??????X(ejw)e?jwndw]

???jw?X*(ejw)ejwndw])????X*(en????x(n)e??jwndw????X(ejw)X*(ejw)dw

2.18 当需要对带限模拟信号滤波时，经常采用数字滤波器，如图P2.18所示，图中T表示取样周期，假设T很小，足以防止混叠失真，把从x?(t)到y?(t)的整个系统等效成一个模拟滤波器。 （1）如果数字滤波器h（n）的截止频率?等于理想低通滤波器的截止频率fc （2）对

?1rad，＝10kHz，求整个系统的截止频率fac，并求出8T1＝20kHz，重复（1）的计算 T

?（弧度/秒）折合成数字域频率为?（弧度），它比数字滤波器h（n）的T??截止频率（弧度）要大，故整个系统的截止频率由数字滤波器h(n)的截止频率（弧度）来决定。将

88解 理想低通滤波器的截止频率其换算成实际频率，即将fs＝

2?fac?1?，便得到 ＝10000Hz带入f8Tsfac＝625 Hz

理想低通滤波器的截止频率

??（弧度/秒）换算成实际频率使得到fc，即由＝2?fc，得到 TT110000fac＝==500 Hz

2T2

2.19 求下列序列的Z变换和收敛域 （1）?（n－m） （2）()u(n) （3）au(-n-1)

（4）()[u(n)?u(n?10)] （5）cos(?0n)u(n)

n12n12n解：（1）X(z)＝?δ(n?m)zn=z-nm

当m>0时，x(n)是因果序列，收敛域为0<｜z｜≤∞，无零点，极点为0(m阶); 当m<0时，x(n)是逆因果序列，收敛域为0≤｜z｜≤∞，零点为0(m阶)，无极点; 当m=0, X(z)＝1，收敛域为0≤｜z｜≤∞，既无零点，也无极点

??1?（2）X(z)＝???n?-??2??n??1?1?-nz?=1 u(n)z=???2?1?1z?1n?0n2X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx?的圆的外部区域，这里 Rx?＝limn??1x(n?1)＝ 2x(n)1<｜z｜≤∞。零点为0，极点2τ（n）还是因果序列，可以有｜z｜＝∞，故收敛域为

为

1。 211<｜z｜≤∞。零点为0，极点为。（3）22X(n)还是因果序列，可以有｜z｜＝∞，故收敛域为x(z)=

n???a?nu(?u?1)z???n=

n??1?(azn?n?1???1)n

?1n?1az?1)== 1?a?1z1?az?1 =

n??1?(a?1z)=?(azX(n)是左边序列，它的Z变换的收敛域是半径围Rx+的圆的内部区域，这里

Rxx(?n)||=

+=limx(?(n?1))n??lim|an??a?n?(n?1)|=|a|

x(n)还是逆因果序列，可以有|z|?0，故收敛域为0?|z|?|a|零点为0，极点为a。

(4)X(z)＝

n?-?9???1?-n

???u(n)-u(n-10)?z ?2??1?-n1?(2z) ?? z=?121?(2z)??nn =?n?0?101X(n)是有限长序列，且它的Z变换只有负幂项，故收敛域为0<｜z｜≤∞.零点为0和（10

21阶），极点为。

2（5）X(z)??n????ncos(wn)u(n)z?0?ejw0n?e?jw0n??z

zn???1jw0?1n?1?jw0?1z) ＝?(ez)＋?(en?02n?02

111(?)jw0?1?jw0?1 ＝

21?ez1?ez1?z?1cosw0 ＝

1?2z?1cosw0?z?2x(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx?的圆的外部区域，这里

Rxcos[w0(n?1)]x(n?1)|＝1 ||＝lim|?＝limcos(w0n)x(n)n??n??可以有x(n)还是因果序列，极点为ejw0|z|??，故收敛域为1?|z|??，零点为0和cosw0，

和

e?jw0。

2.20求下列序列的Z变换和收敛域和零极点分布图 (1) x(n)=a|n|,0

(a?jw0)nu(n)

(3) x(n)=Arcos(?0??)u(n),0

n1u(n) n!(5) x(n)=sin(?0??)u(n)

（1）X(z)=

n?????az?n=

?n?0nn???n?n??1a?nz?n??anz?n

n?0? =

n??1?a?nnz??azax1??1?ax1?ax?1

z(1?a2) =

(1?az)(z?a)

X(n)是双边序列，可看成是由一个因果序列（收敛域a?z??）和一个因果序列（收敛域0?z?1）a相加组成，故X(z)的收敛域是这两个收敛域的重叠部分，即圆环区域a?z?1。零点为0和∞，极点a为a和

1。 a(2) X(z)?n?????e(??j??)u(n)z??e(??j?0)nz

nn???1 =

1?e??j??z?1

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为Rx?的圆的外部区域，这里

x(n?1)Rx??lim?e?

x??x(n)X(n)还是右边序列，可以有

（3）

z??，故收敛域为e??z??。零点为0,极点为e??j?0。

X(z)??n?????Arncos(?on??)u(n)z?n?n?0?j(?on??)?j(?on??)e?eArnz?nn?j?Aej?o?1n(rez)??2n?0??j?o?1n(rez)?n?0?Aej??2Aej?1Ae?j?1??j?o?121?rez21?re?j?oz?1A?ej??(re?j(?o??)?rej(?o??))z?1?e?j???2?1?rz?1(ej?o?e?j?o)?r2z?2?cos??rz?1cos(?o??)?A??12?21?2rzcos??rzo?X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为R3－的圆的

外部区域，这里

??????Arn?1cos[?0(n?1)??]x(n?1)RX??lim?limn??n??x(n)Arncos(?0??)?z

x(n)还是因果序列，可以有 z?? ，故收敛域为 r?z?? 。

rcos(?0??)j?0?j?0rere零点为0和 ，极点为 和

cos?

（4）

?n??Z1?X(z)?u(n)Z?n??n???n!n?0n!?1?Z?1

?2?3?n111?2!Z?3!Z?...?n!Z?...

?e1x

X(n)是右边序列，它的Z变换的收敛域是半径为

Rx?的圆的外部区域，这里

x(n?1)1RX??lim?lim?0

n??n??n?1x(n)X(n)还是因果序列，可以有 Z?? ，故收敛域为

(5)

0?Z?? ，无零点，极点为0。

X(z)= n?????sin(wn??)u(n)z0??n

??sin(w0n??)zn?0?1

??n?0?ej(w0n??)?e2j?j(w0n??)z?n

j?ej??e??(ej?z?1)n?(e?j?z?1)n

2jn?02jj(w0??)?j(w0??)j??j??1(e?e)?(e?e)z1?2j1?(ejw0?e?jw0)z?1?z?2

sin??sin?w0???z?1 ?1?2cosw0z?1?z?ix?n?是右边序列,它的Z变换收敛域是半径为R0的圆的外部象区域,这里

sin?w0?n?1????x?n?1????1

R0?lim?limx??x??x?n?sin?w0n???sin?w0???.极点为 x?n?还是因果序列,大故收敛域为1?z??.零点为0和

sin?cosw0?jsinw0和cosw0?jsinw0.

2.21 用三种方法求下列Z变化的逆变换

11,|Z|< 121?z?1211?z?112（2）X(Z)=, |Z|>

3121?z?1?z?248（1）X(Z)=

1?az?1?1（3）X(Z)=?1,|Z|>|a|

z?a

解（1）采用幂级数法。由收敛域课确定x1（n）是左边序列。又因为limX1(z)＝1为有限值，所以x1（n）

x??是逆因果序列。用长除法将X1（z）展开成正幂级数，即

111?z?12?2z?4z2?8z3?16z4?21z5?... X1(z)??(?1)n?12nzn?...??(?1)n?1?n?12z???(?2)nz?nnnn?1?最后得到

x1（n）＝-2（-2）

或

x1（n）＝?(?)u(?n?1)

?n，n＝-1，-2，-3……

12n（2）采用部分分式展开法。将X2(z)展开陈部分分式

111?z?11?z?122X2(Z)??31111?z?1?z?2(1?z?1)?(1?z?1) 4824A1A2??111?z?11?z?124其中

1?1Z2A1??411?Z?114Z??1?21?1Z2A2???3 11?Z?112Z??1?4由收敛域可确定X2(n)式右边序列。又因limX2(z)＝1，所以X2(n)还是因果序列。用长除法分别将

x??4?3展开成负幂级数，即 ?1?11?11?z1?z241?11?21?31n?n4＝4[1?z?z?z?...?()z?...] 124821?z?12=

1n?na(?)z ?2n?0?1?11?21?31?3=-3[1?z?z?z?...?()nz?n?...] 1481641?z?141=??3(?)z?n

4n?0由上两式得到

?n11x2(n)?[4(?)n?3(?)n]u(n)

24

（3）采用留数定理法。围线积分的被积函数为

x3(n)zn?1(1?az?1)zn?1(1?a?1z)zn?1?? ?1?1z?az?a当n>0时，由给定的收敛域可知，被积函数在围线之内仅有一个极点z?1，因此 a1x3(n)?Res[x3(z)zn?1,]?(1?a?1z)zn?11z?aa ?(a2?1)a?n?1,n?0当n=0时，被积函数在围线之内有两个极点z?1和z＝0，因此 a1x3?Res[X3(z)zn?1,]?Res[X3(z)zn?1,0]a1?a?1z?1?1?(1?az)z 1??1z?z?aaz?0?(1?a?2)a?a??a?1,n?0当n<0时，因为x3(z)z0，n<0

最后解得

n?1在围线之外无极点，且x3(z)zn?1在z＝?处有1－n≥2阶极点，所以有x3(n)＝

?(a2?1)a?n?1,n?0??1x（n）???a,n?03 ?0,n?0?2?n?1故x（u(n?1)?a?1?(n)3n）＝(a?1)a

2.22 求下列Z变换的逆变换 (1)X（z）=

1，1<|z|<2

(1?z?1)(1?2z?1)(2)X(z)=

z?5,0.5<|z|<2 ?1(1?0.5z)(1?0.5z)e?Tz?1?T(3)X(z)=,|z|>e ?T?12(1?ez)(4)X(z)=

z(2z?a?b),|a|<|z|<|b|

(z?a)(z?b)解 （4）

采用部分分式法

A1A2?

1?z?11?2z?111??1,A??2 A1?|2?1t?1?1|t?21?2z1?z X4(z)?根据收敛域1?|z|?2,1?2和分别对应一个因果序列和逆因果序列。将它们分别展开成z的负

1?z?11?2z?1幂级数和正幂级数，即

??1?n??z ??11?zn?6????2?(n?1)n??2z??2n?1z?n ?11?2zn?1n??1最后得到

X4(4)??u(n)?2用留数定理法,被积函数

n?1u(?n?1)

X5?z?zn?1z?5?zn?1??z?5?z

???1?0.5z?1??1?0.5z???0.5??1?0.5z?根据收敛域0.5?z?2可知,对应的是一个双边序列.其中

0.5?z对应于一个因果序列 , 即n<0时,x?n??0;n?0时,被积函数有1个极点0.5在围线内,

故得

n?1 x5?n??Res??X?z?z??????????

(z?5)zn1 ???6()n,n?0

(1?0.5z)z?0.52|z|<2对应于一个逆因果序列，即n?0时，x(n)=0;n<0时，被积函数在围线外有1个极点2，且

分母多项式的阶比分子多项式的阶高2－（n＋1）＝1-n?2，故得

n?1x5?n???Res??X5?z?z,2??

z?5?zn??z?0.5n?2??2n?1?????,??????n?0

最后得到

??1?n??6???,????n?0x5?n???? ?2???2n??1??????,????n?0??1?或 xn?n???6??u?n??2n?1u??n?1?

?2?采用留数定理法，被积函数

nX??z?zn?1?c?Tzn?z?1?c?Tzlz??z?c??c?lzn?Tz

根据收敛域|z|?c?T可以知道，对应的序列是一个因果序列。即n<0时， 在x?n??0时，在n?0时，被

积函数在积分围线内有1个2阶极点z?c?T ，因此

xl?n??RcsXl?z?zn?1,c?T??c?Tnzn?1最后得到

l?e?T?d?Tnczdz?nc?Tn,n?0?z?e?T

?nc?Tn,n?0 xl??0,n?0?或xl?n??nc?Tnu?n?

（7）

由收敛域可知，对应的是一个双边序列。将X(n)进行部分分式分解，即

z(2z?a?b)2?(a?b)z?1? X1(z)? ?1?1(z?a)(z?b)(1?az)(1?bz) =

A1A2 ?1?az?11?bz?12?(a?b)z?1其中 A1?(1?az)X7(z)|?|t?a?1 t?a1?bz?1?12?(a?b)z?1?1 A2?(1?bz)X7(z)|t?b?|?1t?b1?az?1 对于

所以

11?a，收敛条件|Z| 表明它对应于一个右边序列；又因=1有限值，lim?1?11?azt?01?az11x(n)应于一个逆因果序列。用长除法将展开成z的正幂级数，即 1?1?11?az1?azaz??11?1?1?1?az?az??11?az

由此得到

???anz?n

n?0?

x1(n)?anu(n)

=0为有限值,所

11lim?1 对于1?bz?1，收敛条件|Z|

1??b?1z?b?2z2??11?bz由此得到

?bz??nn???bz???bnz?n

?nnn?1n?1?? 最后得到

x(n)?au(n)?bu(?u?1)

nn7x2(n)n?b=u(?u?1)

2.23 求X（Z）＝e?e，0<|z|

?z2zn1e?1?z??...??...??zn2!n!n?0n!0011?n?n??z?1??z(?n)!|n|!n???n???z?z?2z?n1e?1?z??...??...??z?n2!n!n?0n!由以上两式得出?1?1?n?1?n1?nX(z)=1+?z??z?1??zn=-?n!n?0n!n???|n|!-11zz1zz1z

最后得x(n)=?(n)+

2.24 试确定X(z)=z是否代表某个序列得Z变换，请说明理由

解 不能，因为，如果X（z）能代表某个序列得Z变换，则X（z）必须在收敛域内试解析函数。但是，现在x（z）＝u（x，y）＋jv（x，y）＝z＝x－jy，显然有

**1,???n??|n|!?u?v?1???1，即X（z）不满足柯西－黎?x?y曼！方程，因此X（z）不是解析函数，故X（z）不能代表某个序列得Z变换。

2.25 如果X（z）是x(n)得Z变换，证明：

（1）z

?mX(z)是x(n-m)的Z变换

（2）X(a?1z)是anx(n)的Z变换 （3）?zdX(x)是nx(n)的Z变换 dz?n解 (1)?x(n?m)zn=-???n=-??x(n)z??(n?m)?z?mn=-???x(n)z??n?z?mX(z)(2)?anx(n)z?n?n=-??n=-??x(n)(a?

?1z)?n?X(a?1z)(3)?nx(n)zn=-??nd?d??z?x(n)z?n??zX(z)dzn=-?dz

2.26证明

(1)

n?????x(n)z*??n?[?x(n)(z*)?n]*?X*(z*)

n?????(2)(3)

n????x(?n)z?n?n????x(n)(z??1?n)?X(z?1)

n????Re[x(n)]z???n?11?1*?n?n??[x(n)?x(n)]z?[?x(n)z??x*(n)z?n]?[X(z)?X*(z*)](4

2n???2n???2n???)

n????Im[x(n)]z?n?11?1*?n?n??[x(n)?x(n)]z?[?x(n)z??x*(n)z?n]?[X(z)?X*(z*)]2jn???2jn???2jn????

2.27解X(z)?1,|z|?1 1?z?11Y(z)?,|z|?a ?11?azA1A21???W1(z)?W2(z) ?1?1?1?1(1?z)(1?az)1?z1?azW(z)?X(z)Y(z)?其中A1?11|? ?1z?11?az1?a A2?11?a |??z?a1?z?11?a?11?a由于x(n)和y(n)都是因果序列，故w(n)亦是因果序列，因果序列，因而W(z)的收敛域为|z|>1。这样，W1(z)的收敛域应为|z|>1，而W2(z)的收敛域为|z|>a。这意味着W1(z)和W2(z)都对应于因果序列，因此可用长除法分别将W1(z)和W2(z)展开成z的负幂级数，即

11??n?1?2W1(z)?(1?z?z?…?…)??z

1?a1?an????a?a?n?n?12?2n?nW2(z)?(1?az?az?…?az?…)?az ?1?a1?an?0由上二式得到

?1(n)?1?anu(n)，?2(n)?au(n) 1?a1?a最后得到

1?an?1?(n)??1(n)??2(n)?u(n)

1?a2.29(1)因为系统是因果的，所以收敛域为|a|?|z|??；为使系统稳定，必须要求收敛域包含单位圆，即要

?1求|a|?1。极点为z?a，零点为z?a，收敛域|a|?|z|??。极－零点图和收敛域示于图1.7。

1?a?1e?j? (2)H(e)?

1?ae?j?j?

1?j?2?1?a?1e?j?1?a?1e?j?*1?a?e1?a?e1j?1?a??a(e1j??e?j?)|H(e)|?()()?()()??j??j??j?j?1?ae1?ae1?ae1?ae1?a2?a(ej??e?j?)j?2?1?a?2acos?a(a?1?2acos?)??a?2221?a?acos?1?a?acos?j??1?2?1?22因此

得到|H(e)|?a，即系统的幅度特性为一常数，所以该系统是一个全通系统。 2.30(1)根据极－零点图得到x(n)的Z变换

X(z)?z?11(z?)(z?2)(z?3)3

因傅里叶变换收敛，所以单位圆在收敛域内，因而收敛域为

1?|z|?2。故x(n)是双边序列。 3 (2)因为x(n)是双边序列，所以它的Z变换的收敛域是一个圆环。根据极点分布情况，收敛域有两种可

能：

1?|z|?2或2?|z|?3。 3 采用留数定理法求对应的序列。被积函数为

X(z)zn?1?z?11(z?)(z?2)(z?3)311 对于收敛域?|z|?2，被积函数有1个极点z?在积分围线内，故得

33zn?1

1(z?1z)n?1 x(n)?RseX[z(z)?,]1?|z?3(z?2)z(?3)3?11n0.n9?() ,30 被积函数有2个极点z1?2和z2?3在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高

3?n?2(因n<0)，故

x(n)??Res[X(z)z

n?1,z1]?Res[X(z)zn?1?(z?1)zn?1(z?1)zn?1,z2]?|z?2?|z?311(z?)(z?3)(z?)(z?2)最后得到

33?0.9?2n?0.5?3n,n?01n?0.9()n?,0? x(n)?? 3?0.9?2n?0.5?3n,n?0? 或x(n)?0.9()u(n)?(0.9?2?0.5?3)u(?n?1) 对于收敛域2?|z|?3，被积函数有2个极点z1?13nnn1和z2?2在积分围线内，故 3x(n)?Res[X(z)z

n?1,z1]?Res[X(z)zn?1(z?1)zn?1(z?1)zn?1,z2]?|1?|z?2z?1(z?2)(z?3)3(z?)(z?3)被积函数有31?0.9?()n?0.9?2n,n?031个极点z?3在积分围线外，又因分母多项式的阶比分子多项式的阶高3?n?2(因n<0)，故

eX[z(z) x(n)??Rs?1?(z?1z)n?1?,3]|z?3??1(z?)z(?2)3n?0.n5?3 ,01n?0.9()?0.9?2n,n?0? 最后得x(n)?? 3??0.5?3n,n?0?) x(n)?0.9[(?13nnnu2n]?()?0.u5?3n? (1)11，所以收敛域为|z|?。因222.31因系统稳定，所以单位圆必须在收敛域内。由于系统的极点为z?limH(z)??，故该系统不是因果系统。

z??2.32(1)?(n)???(n?1)?x(n)，y(n)??(n)??(n?1)

W(z)??z?1W(z)?X(z),W(z)?X(z) ?11??z1?z?1Y(z)?W(z)?zW(z)?X(z) ?11??z?1所以系统函数为

Y(z)1?z?1H(z)??

X(z)1??z?1频率响应为

1?ee2(e2?e2)2??jcot? H(z)????????jj?j1??e?j?2e2(e2?e2)2sin21?z?1X(z)可写出系统的差分方程 (2)由Y(z)??11??z?j??j?j??j?2cos?y(n)??y(n?1)?x(n)?x(n?1)

1?z?11X(z)，得到 (3)当x(n)为单位阶跃序列时，将X(z)?代入Y(z)?1??z?11?z?11?z?11Y(z)? ?1?11??z1?z采用部分分式法：

A1A21?z?1Y(z)????Y1(z)?Y2(z)

(1??z?1)(1?z?1)1??z?11?z?11?z?11??|??其中 A1? ?1z??1?z1??1?z?12|? A2? z?11??z?11??由Y1(z)??1??1，|z|??得到 ?11??1??z?1??n?u(n )1??21，|z|?1得到 ?11??1?z y1(n)?由Y2(z)? y2(n)?2?nu(n )1??因此系统的单位阶跃响应为

?1??n21??n21??n1??n?1y(n)?y1(n)?y2(n)??u(n)?u(n)?u(n)?u(n)?u(n)?u(n)1??1??1??1??1??1??2.33(1)求差分方程两边的z变换

Y(z)?zY(z)?zY(z)?zX(z) 由上式得到系统函数

?1?2?1z?1 H(z)? ?1?21?z?z 求系统函数的零点和极点

z?1zz H(z)? ???1?221?z?zz?z?1(z??1)(z??2) 其中，零点为0；极点为?1?11(1?5)和?2?(1?5)。由此可画出极－零点图，如图1.9所22示。已知系统为因果系统，因此收敛域为|?1|?|z|??。

(2)采用留数定理法。由H(z)?z(收敛域为|?1|?|z|??)计算单位取样响应

(z??1)(z??2)n?1 h(n)?Res[H(z)zn?1?1n??2nznzn,?1]?Res[H(z)z,?2]?|z???|z???u(n)

z??21z??12?1??2(3)要使系统稳定，单位圆必须在收敛域内，即收敛域应为?2?|z|??1，这是一个双边序列。 采用部分分式法将系统函数分解为 H(z)?A1A2z???H1(z)?H2(z)

(z??1)(z??2)z??1z??2 其中 A1??1z|z??1? z??2?1??2 A2??2z|z??2? z??1?2??1 由H1(z)?1计算单位取样响应h1(n)。因收敛域为|z|??1，故h1(n)为左边序列，又

?1??2z??1?1因limH1(z)?0为有限值，故h2(n)还是逆因果序列。采用留数定理法，被积函数

z?0H1(z)zn?11zn?1，当n<0时，极点?1?(1?5)在积分围线外，且被积函数的分母与?2?1??2z??1?1分子多项式阶数之差为1?n?1?2(因n<0)，因此有 h1(n)??Res[H1(z)zn?1,?1]???1n?11z|z??1??1n,n?0

?1??2?2??1 由H2(z)?1计算单位取样响应h2(n)。因此收敛域为|z|??2，故h2(n)为右边序列，

?2??1z??2?2又因limH2(z)?z?0?2?2??1为有限值，故h2(n)还是因果序列。采用留数定理法，被积函数

H2(z)zn?11zn?1，当n?0时积分围线内有唯一的极点，?2?(1?5)，因此有 ?2?2??1z??2?2 h2(n)?Res[H2(z)zn?1,?2]??2?2??1zn?1|z??2?1?2n,n?0

?2??1 最后得到满足题给差分方程的一个稳定但非因果的系统，它的单位取样响应为 h(n)?h1(n)?h2(n)?1(?n1u(?n?1)??nu2(n))

?2??12.34(1)求差分方程两边的Z变换

5z?1Y(z)?Y(z)?zY(z)?X(z)

2由上式得到系统函数

H(z)?Y(z)1z ??X(z)z?1?5?z(z?2)(z?1)221。系统单位取样响应的3种可能选择方案如下(参2系统函数的零点：z?0；极点：?1?2，?2?考图1.10所示的极－零点图)。

（1） 收敛域取为2?|z|??，系统是因果的，但不是稳定的。得到系统的单位取样响应为

?1n??2n112h(n)?u(n)?[2n?()n]u(n)?(2n?2?n)u(n)

1?1??2232?2（2） 收敛域为

1?|z|?2，系统是稳定的，但不是因果的。得到系统的单位取样响应为 2h(n)?121[?1nu(?n?1)??2nu(n)]??[2nu(?n?1)?()nu(n)]

?1??232（3） 收敛域取为|z|?1，系统既不是稳定的，又不是因果的。因收敛域为|z|??1，故h(n)为2左边序列，又因limH(z)?0为有限值，故h2(n)还是逆因果序列。采用留数定理法，被积

z??函数H(z)zn?11zn，当n<0时极点?1?和?2?2都在积分围线外，且被?2(z??1)(z??2)积函数的分母与分子多项式阶数之差为2-n>2(因n<0)，因此有

h(n)?12(??1n??2n)u(?n?1)??(?2n?2n)u(?n?1)

?1??23 (4)验证每一种方案都满足差分方程：前面已经由差分方程求得系统函数H(z)?1，故只要5?1z??z2验证每一种方案的系统函数即可。 （1）

2n2?211?n?nH(z)??(2?2)u(n)z??[(2z?1)n?(2?1z?1)n]?(?)?1?1?13n???31?2z1?2zn???3（2） 21z1?(?)??1?1531?2zz?2z?1??z2?2n2?1?n?n?1nH(z)???[(2u(?n?1)?2u(n))]z??[?(2z)??(2?1z?1)n]33n???n???n?0??2??1n122?1z11??[?(2z)?]??(?)?53n?11?2?1z?131?2z?11?2z?1z?1??z2（3）

?12n2?1?n?n?1nH(z)???(2?2)u(?n?1)z?[?(2z)??(2?1z?1)n]33n???n???n????

?2?22?1z2z1?1nn?[?(2z)??(2z)]?(?)?53n?131?2z?11?2zn?1z?1??z2

2.35zY(z)?10Y(z)?zY(z)?X(z) 3Y(z)1z H(z)???X(z)z?1?10?z(z?3)(z?1)3311极点为3，。系统稳定，单位圆在收敛域内，即?|z|?3，对应于双边序列。

33AAzH(z)??1?2?H1(z)?H2(z)

11(z?3)(z?)z?3z?33z1z9|1?? 其中A1?|z?3?，A2?1z?3z?388z?3?1由收敛域|z|?3知h1(n)为左边序列，由limH1(z)?0为有限值知h2(n)是逆因果序列。采用留

z?0数定理法，被积函数H1(z)zn?19zn?1?，当n<0时极点3在积分围线外，且被积函数的分母与分子8z?3多项式阶数之差为1?n?1?2(因n<0)，因此有

?9n?1?3z|z?3?3n,n?0 881?1由收敛域|z|?知h2(n)为右边序列，因limH2(z)?为有限值，故h2(n)是因果序列。采用

z??38h1(n)??Res[H1(z)zn?1,3]?留数定理法，被积函数H2(z)zn?1?1zn?11?，当n?0时积分围线内有唯一的极点，因此 8z?1331?1n?1?31nh2(n)?Res[H2(z)zn?1,]?z|1?(),n?0

z?38833最后得到

h(n)?h1(n)?h2(n)??[3u(?n?1)?1?3u(n)] 2.36(1)根据差分方程可画出系统的框图，如图1.11所示。

(2)求差分方程两边的Z变换

38n?n?szY(?z)rzY?(z) Y(z)?2rco 由上式得到系统函数

?12?2 X(z)Y(z)1z2 H(z)? ???12?2X(z)1?2rcos?z?rz(z??1)(z??2) 其中，极点：

j?(co?s?jsi?n，)?2?re?j??r(cos??jsin?) ?1?re?r)Z变换为X(z)? x(n)?au(n的

n1，因此可以得到 ?11?azz2z3 Y(z)? ?(z??1)(z??2)(1?az?1)(z??1)(z??2)(z?a) 因为是因果系统，故收敛域为|z|?max[?1,?2,a]，且有y(n)?0，n?0。对于n?0，采用留数定理法求Y(z)逆Z变换，被积函数

n?1 Y(z)zzn?2在积分转线内有3个极点：z1??1，z2??2，z3?a。因此有 ?(z??1)(z??2)(z?a)

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