计算方法作业集及答案

第一章 数值计算基本常识

一.填空题

1. 用四舍五入得到的近似数0.628，有_____位有效数字，其绝对误差限是____________。

2. 用四舍五入得到的近似数0.586，有_____位有效数字，其绝对误差限是____________。

3. 用四舍五入得到的近似数0.69，其绝对误差是__________，由此计算出的相对误差限是__________。

4. 用四舍五入得到的近似数0.7960，其绝对误差是__________，由此计算出的相对误差限 是__________。

5. 设0.484是0.4900的近似值，那么0.484具有____位有效数字。

6. 设x*=0.231是真值x=0.229的近似值，则x*有_____位有效数字。

7. 设x*=0.23是真值x=0.229的近似值，则x*有_____位有效数字。

8. 设x=2.3149541?，取5位有效数字，则所得的近似值x*=_____。

9. 设x=2.3149541?，取4位有效数字，则所得的近似值x*=_____。

10. 若近似数0.1100有4位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。

11. 若近似数76.82有4位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。

12. 若近似数576.00有5位有效数字，由有效数字计算出的相对误差是____________。

13. 用3.15作为π的近似值有_____位有效数字。

14. 用3.14作为π的近似值有_____位有效数字。

15. 用3.1416作为π的近似值有_____位有效数字。

解答:

1. 3、0.5*10-3

2. 3、0.5*10-3

3. 0.5*10-2、0.725%

4. 0.5*10-4、0.00628%

5. 1 6. 2 7. 2

8. 2.3150

9. 2.315

10. 0.05%

11. 0.007%

12. 0.001% 13. 2 14. 3 15. 5

二.选择题

1. 3.141580 是π的近似值,有( )位有效数字。 A. 6 B. 5 C. 4 D. 7

2. 3.141593是π的近似值,有( )位有效数字。 A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

3. 4.3490是4.3490287?的近似值,有( )位有效数字。 A. 6 B. 5 C. 4 D. 7

4. 5.47625是5.47625793?的近似值,有( )位有效数字。 A. 6 B. 5 C. 4 D. 7

5. 若相对误差限为0.5×105，那么近似数0.00340000可能有( )位有效数字。 A．2 B. 3 C. 4 D. 6

－

6. 若相对误差限为0.5×105，那么近似数0.0591200可能有( )位有效数字。 A．2 B. 3 C. 4 D. 6

7. 已知圆周率π=3.141592654?，若其近似值取5位有效数字，则近似值为( ) A．3.1414 B. 3.1415 C. 3.1416 D. 3.1417

－

8. 已知精确值22/7，若其近似值取6位有效数字，则近似值为( ) A．3.14285 B. 3.142857 C. 3.14286 D. 3.14290

9. 以下符合绝对误差定义的是( ) A. 真值=近似值+绝对误差 B.绝对误差=相对误差/真值 C. 近似值=真值+绝对误差 D. 相对误差=真值*绝对误差 10. 以下符合相对误差定义的是（ ） A. 真值=近似值+相对误差 B. 相对误差=绝对误差/真值 C. 近似值=真值-相对误差 D. 相对误差=真值*绝对误差

11. 有效数字由（ ）决定 A. 相对误差 B. 绝对误差 C. 截断误差 D. 舍入误差

12. 用 1+x 近似表示 ex所产生的误差是( )误差。 A. 模型 B. 观测 C. 截断 D. 舍入

13. 舍入误差是( )产生的误差。 A. 只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值之差 C. 观察与测量 D.数学模型准确值与实际值

14. 误差在数值计算中是不可避免的，以下哪个误差根据测量工具或仪器本身的精度可以知 道其误差的上限值？ （ ） A．模型误差 B. 观测误差 C. 截断误差 D. 舍入误差

15. 截断误差是（ ）产生的误差。 A. 只取有限位数 B.模型准确值与用数值方法求得的准确值之差 C. 观察与测量 D.数学模型准确值与实际值 解答: 1. B 2. B 3. B 4. B 5. D 6. D 7. C

8. C 9. A

10. B

11. B

12. C

13. A

14. B

15. B

三.简答题

1. 学习数值计算方法有什么意义？

2. 数值计算方法的任务是什么？

3. 数值计算方法为什么不仅要讨论计算量,而且要讨论计算误差?

4. 误差来源有哪些？

5. 数值计算方法的特点是什么？

6. 用计算机解决科学计算问题通常要经历那些过程？

7. 绝对误差和相对误差的区别是什么？

8. 设0.484是0.4900的近似值，那么0.484具有几位有效数字？有 效数0.23与0.230有无不同？

解答: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

四.计算题

解答: 五.程序题 解答:

第二章 误差传播 一.填空题

1. p(x)=2x3+3x2+8 x -9用秦九韶算法计算可表示为____________ __。

2. p(x)=2-3x +x2+5x3用秦九韶算法计算可表示为______________ _____________ 。

3. p(x)=4x3+7x2+6 x +5用秦九韶算法计算可表示为____________ _____________。

4. p(x)=x3+9x2+ x +2用秦九韶算法计算可表示为______________ ___________。

5. p(x)=1-6x +8x2+9x3用秦九韶算法计算可表示为_____________ ____________。

6. p(x)=7-2x -6x2+8 x3用秦九韶算法计算可表示为___________ ______________。

7. 所谓数值稳定性问题，就是指_________________________是否受控制的问题。

8. 近似数的误差常用___________误差、________误差和有效数字表示。

9. 为了使y?10?346的乘除法次数尽量的少，应将该表达式写为??23x?1(x?1)(x?1)_______________。

10. 为了减少舍入误差，应将表达式

11. 为了减少舍入误差，应将表达式

12. 为了避免损失有效数字的位数，应将表达式_________________________。

13. 为了避免损失有效数字的位数，应将表达式

改写为 改写为

改写为_________________________。 改写为_________________________。

3. 4. 5. 6. 7. 8.

五.程序题

1. 试用C语言编写二分法程序求方程

在区间[0,1]内的根,要求求得的近似根误

差不大于0.5X10-4 。

2. 以下C程序是应用二分法求方程f(x)=x3-x-1=0 在区间(1, 1.5）似根，请将答案写在对应横线上。 #include \ #include \ #define f(x) ((x*x-1)*x-1)

#define e ________________ main( ) { float x,a=1,b=1.5,y= ________________; if(y*f(b)>=0) { printf(\ return; } else do { x= ________________; if (f(x)==0) break; if( ________________ ) b=x; else a=x; }while( ________________ ); printf(\ } 解答: 1. 2.

第四章 求一元非线性方程迭代法

一.填空题 1. 计算

的牛顿迭代式为_________________________。

误差不大于0.5X10-2 的近 2. 计算 3. 计算 4. 计算 5. 计算 6. 计算

7. 牛顿迭代法的迭代公式为_________________________。

8. 牛顿迭代法的迭代函数为φ(x)= ______________________。

9. 用牛顿法解方程x2-C=0的迭代公式为________________________。

10. 用牛顿法解方程x3-a=0的迭代公式为______________。

11. 若非线性方程f(x)=0可以表成x= φ(x)，用简单迭代法求根，那么φ(x)满足_____________________，近似根序列x1, x2,?, xk,?一定收敛。

12. 解方程f(x)=0的简单迭代法的迭代函数φ(x)满足在有根区间内_________________，则 在有根区间内任意取一点作为初始值，迭代解都收敛。 13. 求方程 x2-x-1.25=0的近似根，用迭代公式

，取初始值 x0=1，那么

(c>0)的牛顿迭代式为_________________________。 (a>0)的牛顿迭代式为_________________________。 (b>0)的牛顿迭代式为_________________________。 的牛顿迭代式为_________________________。 的牛顿迭代式为_________________________。

x1=______________

14. 所谓迭代过程的收敛速度，是指在接近收敛时，______________的下降速度。

15. 所谓迭代过程的收敛速度，是指在接近收敛时，迭代误差的________________。 解答:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11. |φ’(x)|<1

12. |φ’(x)|<1 13. 1.5

14. 迭代误差

15. 下降速度 二.选择题

1. 方程x3-x2-1=0在区间[1.3, 1.6]上有一根，以下四种迭代格式，（）和（）收敛。

A.

B.

C. D.

2. 方程x3-x2-1=0在区间[1.3, 1.6]上有一根，以下四种迭代格式，（）和（）不收敛。

3. 方程x3-x2-1=0在区间[1.3, 1.6]上有一根，利用迭代格式根到4

位有效数字，如下结果哪个正确（ ） A. 1.460 B. 1.462 C.1.464 D. 1.466

4. 用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式不收敛的是( )

(A) ex－x－1＝0，[1,1.5]，令x k+1=

求解，求x0=1.5附近的

A. C.

B.

D.

(B) x3－x2－1=0，[1.4,1.5], 令x k+1=1+

(C) x3－x2－1=0，[1.4,1.5], 令x k+1= (D) 4－2x=x，[1,2], 令x k+1=

5. 用简单迭代法求方程的近似根，下列迭代格式收敛的是( ) (A) ex－x－1＝0，[1,1.5]，令xk+1 =In(xk+1)

(B) x3－x2－1=0，[1.4,1.5], 令x k+1=1+

(C) x3－x2－1=0，[1.3,1.6], 令xk+1= (D) 4－2x=x，[1,2], 令xk+1= 6. 以下对牛顿迭代法描述不正确的是：（ ）

A. 将非线性方程 f(x) =0逐步转化为某种线性方程求解 B. 通过非线性方程线性化得到迭代序列 C. 有明显的几何意义

D. 非线性方程 f(x) =0, 相应的牛顿迭代函数是

7. 正确的牛顿迭代形式如下（ ）

A.

B.

C.

D.

8. x=e-x，取x0=0.5，用牛顿迭代法写出迭代一次的基本形式（ ）

A.

B.

C.

D.

9. 用牛顿迭代法计算

，取 =10-3，正确结果为（ ）

A. 5.55 B. 5.56 C. 5.57 D. 5.58

10. 已知x=e-2x-1，在区间[-1,1]中有根，初值x0取（ ）时，可以保证牛顿迭代法收敛，而且收敛速度较快。 A. 1 B. 0.5 C. 0.3 D. -1

11. 已知x=e-x-1，在区间[-1,1]中有根，初值x0取（ ）时，可以保证牛顿迭代法收敛，而且收敛速度较快。 A. 1 B. 0.5 C. 0.3 D. -0.5 12. 以下对牛顿迭代法描述正确的有（ ）、（ ）和（ ）。 A. 将非线性方程 f(x) =0逐步转化为某种线性方程求解 B. 通过非线性方程线性化得到迭代序列 C. 有明显的几何意义

13. 设函数f(x)=(x-a)，解的牛顿迭代格式应该是以下（ ）项

15. 对于方程x5-2x-1=0在[1,2]附近的根，有如下四种迭代格式，其中( )可用

A.

B.

C.

D.

232xk?1?a6xkx?a6xkkA. xk?1?xk? B. xk?1?xk? C. xk? D. xk?xk?1?3236x6xk2xk?axk?ak?13

2

D. 非线性方程 f(x) =0, 相应的牛顿迭代函数是

3 A. C.

B. D.

14. 对于方程x3-x2-1=0取x0=1.5附近的根，有如下四种迭代格式，其中收敛的是（ ）

解答: 1. AB

2. CD 3. D 4. A 5. D 6. D

7. B 8. B 9. C

10. D

11. D

12. ABC

13. A

14. B

15. B

三.简答题

1. 迭代法的基本思想及几何意义是什么?

2. 迭代法求解一元非线性方程的根的近似值的具体计算步骤是什么?

3. 迭代法的收敛条件是什么? 4. 已知方程

在区间[1.3, 1.6]上有一根，请写出一种收敛的迭代公式，并说

明该公式收敛的依据。

5. 牛顿迭代法的基本思想是什么?它的迭代格式是什么?

6. 牛顿迭代法的几何意义是什么?

7. 用牛顿迭代法如何确定一元非线性方程根的初始近似值?

8. 假定xK=g(xk-1 )在(a,b)收敛,其初始近似根为x0,x*为方程x=g(x)的根|x*- xk|是多少?

解答: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

8. 四.计算题

1. 给出用牛顿法解方程X2-C=0 的迭代公式，并计算) 。要求迭代3次，保留3位小数。

2. 用牛顿法导出计算

的公式，并计算

，要求迭代误差不超过10-5 。

的近似值(取x0=11

3. 试用迭代法求x-e-x=0在x=0.5附近的近似根。要求| xn+1 - x n | <0.001。计算过程保留5位小数。

4. 用牛顿迭代法求方程xex-1=0在x=0.5附近的根(取五位小数计算), 精度要求 为ε=10-3 。

5. 用牛顿迭代法求方程f(x)=x3-2x2-4x-7=0在[3,4]中的根的近似值, 精度要求为ε=10-2 。

6. 用简单迭代法求方程

7. 试用迭代法求方程f(x)=3x5-4x3-5=0在x0=1附近的实根,要求精确到四位小数） 。

8. 选用适当的方法求方程ex-3x2=0在x=0.5附近的一个，要求所求根的误差不超过ε=10-2。

解答: 1. 10.724 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

五.程序题

1. 试用C语言编一牛顿迭代法程序，计算

的近似值（精度要求ε=10-2）。

在3附近的实根（结果精确到5位小数） 。

2. 试用C语言编写一牛顿迭代法程序，求x-e-x=0在x=0.5附近的近似根。要求 |xn+1-xn|<0.00001。

解答: 1. 2.

第五章 解线性方程组的直接法

一.填空题

1. 顺序高斯消去法有两个主要步骤，分别为________和________。

2. 顺序高斯消去法有两个主要步骤，分别为消去和________。

3. 顺序高斯消去法有两个主要步骤，分别为________和回代。

4. 高斯消去法求解n阶线性方程组（n较大时）共需乘除法次数近似为________。

5. 方程组系数矩阵的顺序主子式________，则高斯消去法能实现方程组的求解。

6. 方程组系数矩阵的________不为零，则高斯消去法能实现方程组的求解。

7. 设方程组Ax＝b，如果A为________________，则用高斯消去法求解时，

(k)akk全不为零。

8. 设方程组Ax＝b，如果A为严格对角占优矩阵，则用高斯消去法求解时，________全不为零。

9. 设方程组Ax＝b，如果A为严格对角占优矩阵，则用高斯消去法求解时，

10. 只有消元过程而无回代过程的消去法称为________________。

11. 只有________过程而无回代过程的消去法称为高斯-约当消去法。

12. 只有消元过程而无________过程的消去法称为高斯-约当消去法。 13. 只有________过程而无________过程的消去法称为高斯-约当消去法。

14. 用选主元的方法解线性方程组Ax＝b,是为了_______________。

15. 解线性方程组的主元素消元法中，选择主元的目的是为了________________。

解答:

1. 消去、回代

2. 回代

3. 消去

(k)akk________。

4.

5. 不为零

6. 顺序主子式

7. 严格对角占优矩阵 8.

9. 全不为零

10. 高斯-约当消去法 11. 消元

12. 回代

13. 消元、回代

14. 避免零主元或小主元

15. 避免零主元或小主元

二.选择题

1. 顺序高斯消去法的计算量近似为（ ）

A.

B. n3 C.

D.

2. 高斯-约当消去法的计算工作量近似为（ ）

A.

B. n3 C.

D.

3. 以下迭代方法中，哪个不可以用来求解线性方程组的解？ （ ） A.雅克比 B.高斯-赛德尔 C.牛顿迭代法 D.松弛法

4. 以下迭代方法中，哪个可以用来求解线性方程组的解？ （ ） A.雅克比 B.高斯-亚当法 C.牛顿迭代法 D.秦九韶算法

5. 当线性方程组AX＝b的系数矩阵A是( )时，用列主元消去法解AX＝b，A的主对角线的元素一定是主元。 A. 上三角形矩阵 B. 主对角线元素不为0的矩阵 C. 对称且严格对角占优矩阵 D. 正定对称矩阵

6. 关于严格行对角占优矩阵，以下说法正确的是（ ） A. 有利于化简为上三角形矩阵 B. 适合采用列主元消去法 C. 适合采用高斯-赛德尔迭代法 D. 简称正定对称矩阵 7. 关于严格对角占优矩阵，以下说法错误的是（ ）

A. 使用高斯消去法求解时全不为零 B. 适合采用列主元消去法 C. 包含严格行对角占优矩阵 D. 简称正定对称矩阵

8. 解线性方程组的主元素消元法中，选择主元的目的是为了（ ） A. 便于求解行列式 B. 简化计算 C. 判断矩阵是否非奇异 D. 避免零主元或小主元

9. 关于列主元高斯-约当消去法，以下说法正确的是（ ） A. 通常用来求解正定矩阵 B.不能同时求解系数矩阵相同的多个方程组 C. 能够判断矩阵是否非奇异 D.能够避免零主元或小主元

10. 关于列主元高斯-约当消去法，以下说法错误的有（ ） A. 通常用来求解逆矩阵 B. 只有消元过程而无回带过程 C. 适用于对称正定矩阵 D. 不能够判断矩阵是否非奇异

11. 以下哪种方法在求解线性方程组中运算量最大？ （ ） A．LU分解法 B. 高斯-约当消去法 C. 列主元素高斯消去法 D. 克莱姆法则 12. 以下方法在求解线性方程组中运算量最小的是（ ） A．LU分解法 B. 全主元素高斯消去法 C. 列主元素高斯消去法 D. 克莱姆法则

13. LU分解法的计算工作量近似为（ ）

A.

B. n3 C.

D.

14. 关于直接三角分解法，以下说法正确的是（ ） A. 将矩阵A分解为一个下三角阵L和一个上三角阵U的乘积 B. 不一定要求L和U是单位三角矩阵 C. 分解唯一 D. 与克洛特分解等价

15. 关于直接三角分解法，以下说法错误的有（ ） A．将矩阵A分解为一个单位下三角阵L和一个上三角阵U的乘积 B. 不一定要求L和U是单位三角矩阵 C. 是高斯消去法解线性方程组的变形解法 D. 适用于大型稀疏矩阵

解答: 1. A 2. D 3. C 4. A 5. C 6. B 7. D 8. D 9. D

10. C

11. D

12. A

13. D

14. B 15. D

三.简答题

1. 线性方程组可用克莱姆(Gramer)法则求解，为什么还要讨论线性方程组的直接法和迭代 法？

2. 若n阶线性方程组有唯一解，用克莱姆(Gramer)法则求解所需乘除次数分别是多少？

3. 线性方程组直接解法适用什么情况?

4. 假定一个n阶线性方程组有唯一解，用顺序高斯消去法求解，消元过程和回代过程所需乘

除次数分别是多少？

5. 用高斯消去法解线性方程组时，线性方程组需要满足什么条件？为什么选主元？

6. 高斯消去法中常采用列主元素作为预处理步骤，叙述其理由及具体过程。

7. 用什么方法可求解m个系数矩阵相同的线性方程组？

8. 直接三角分解法(矩阵三角分解法)解线性方程组的思想是什么？

解答: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

四.计算题

1. 用顺序消去法解线性方程组

2. 用列主元消去法解线性方程组

3. 用高斯列主元消去法求解线性方程组

4. 用高斯列主元消去法求解线性方程组

5. 给定线性方程组

试利用分解法将系数矩阵A分解为A=LU(其中L为下三角矩阵，U为上三角矩阵)然后求解。

6. 用矩阵直接三角分解法（即杜里特尔分解法）解方程组

7. 用矩阵直接三角分解法解方程组

8. 用矩阵直接三角分解法解方程组

解答: 1. 2. 3. 4. 5. 6.

7. [1，2，1]T 8.

五.程序题

1. 以下C程序是应用列主消元法求方程组

的解，请将答案写在对应横线上。 #include \

#include \

#define n 3 main( ) { int i,j,k; int mi; float mv,tmp; float a[n][n]={{0.01,2,-0.5},{-1,-0.5,2},{5,-4,0.5}}; float b[n]={-5,5,9},x[n]; for(k= _________________________ ;kmv) { mi= ____________________________; mv=fabs(a[i][k]); } if(mi>k) { tmp=b[k]; b[k]=b[mi]; b[mi]=tmp; for(j=k;j=0;i--) { x[i]=b[i]; for(j=__________________;j

2. 以下C程序是应用矩阵直接三角分解法解方程组

}

的解，请将答案写在对应横线上。 #include \ #include \ #define n 3 main( ) { int i,j,k,r; float s; static float a[n][n]={{1,2,-1},{1,-1,5},{4,1,2}}; static float b[n]={3,0,2},x[n],y[n]; static float l[n][n],u[n][n]; for(i=0;i=0;i--) { s=0; for(j=n-1;j>=i+1;j--) s=s+u[i][j]*x[j]; x[i]= ___________________________ ; } printf(\ for(i=0;i

解答: 1. 2.

;k++) ; ; 第六章 解线性方程组的迭代法

一.填空题

1. 高斯-赛德尔迭代法与雅克比迭代法的计算差别在于________________________________________________________。

2. 解线性方程组的直接法适合于求解____________________方程组。

3. 解线性方程组的迭代法适合于求解__________________方程组。

4. 解线性方程组的_________法适合于求解低阶稠密矩阵方程组。

5. 解线性方程组的________法适合于求解大型稀疏系数矩阵方程组。

6. 若线性代数方程组Ax=b的系数矩阵A为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都__________________。

7. 求解方程组

的高斯-赛德尔迭代公式为__________________。

8. 求解方程组

的高斯-赛德尔迭代公式为__________________。

9. 求解方程组

的高斯-赛德尔迭代公式为__________________。

10. 求解方程组

的高斯-赛德尔迭代公式为__________________。

11. 求解方程组 的高斯-赛德尔迭代公式为__________________。

12. 解线性方程组Ax=b的高斯顺序消元法满足的条件是__________________。

13. 主对角线以上元素全为零的方阵称为_____________________。

14. 松弛法是对高斯-赛德尔迭代的一种加速方法。在松弛法中，松弛因子ω取_______的特 殊情形就是高斯-赛德尔迭代法。

15. __________________的方阵称为下三角形矩阵。

解答:

1. 雅克比迭代每次只用到前一次的迭代值，高斯-赛德尔迭代每次充分利用当前最新的迭代 值。

2. 低阶稠密矩阵

3. 大型稀疏系数矩阵 4. 直接

5. 迭代 6. 收敛

7.

8.

9.

10.

11.

12. 方程组系数矩阵的顺序主子式不为零

13. 下三角形矩阵 14. 1

15. 主对角线以上元素全为零 二.选择题

1. 对于大型线性方程组，以下方法那种比较有效（ ） A． LU分解法 B. 秦九韶算法 C．克莱姆法则 D. 迭代法 2. 以下的迭代格式，不用来求解线性方程组的是（ ） A．雅克比迭代法 B. 松弛法 C．高斯-赛德尔迭代法 D. 牛顿迭代法 3. 对于线性方程组

（a11a22≠0），用雅克比迭代法得到的迭代公式是（ ）

A. B.

C.

D.

4. 已知线性方程组AX=b，A=-L+D-U，其中D为对角阵，L和U分别为严格下三角阵和严格上三角阵，雅克比迭代公式的迭代矩阵标准形式为（ ） A． I-DA B. D-1A C．(D-L)-1U D. I- D-1A 5. 设矩阵A＝

，那么以A为系数矩阵的线性方程组AX＝b的雅可比迭代矩阵为( )

A． B.

C. D.

6. 以下不能保证雅克比迭代法收敛的是（ ）

A．C．

（a11a22≠0），用高斯-赛德尔迭代法得到的迭代公式是（ ）

B. D.

7. 对于线性方程组

A. B.

C. D.

8. 已知线性方程组AX=b，A=-L+D-U，其中D为对角阵，L和U分别为严格下三角阵和严格

上三角阵，高斯-赛德尔迭代公式的迭代矩阵标准形式为（ ） A． I-DA B. D-1A C．(D-L)-1U D. I- D-1A

9. 设矩阵A＝，那么以A为系数矩阵的线性方程组AX＝b的高斯-赛德尔迭代矩阵为

( ) A. B. C.

10. 以下能保证高斯-赛德尔迭代法收敛的有（ ）

11. 以下对松弛迭代法的描述，正确的有（ ） A．难以估计其计算量 B. 是对雅克比迭代法的一种加速 C．松弛因子的取值对迭代公式的收敛速度影响不大 D. 雅克比迭代法是取松弛因子ω=0的特殊形式

12. 对于线性方程组??（ ）

A．C．

B. D.

或且

D.

?a11?a21a12??x1??b1???，用超松弛法得到的迭代公式是?x?????b??（a11a22≠0）a22???2??2?

b1a12(k)?(k?1)(k)?(k?1)b1a12(k)x?(1??)x??(?x)x1??x2112??aa??a11a111111A.? B. ?

ba(k?1)(k?1)221?x(k?1)?(1??)x(k)??(b2?a21x(k?1))?x2??x1221?a22a22?a22a22??b1a12(k)?(k?1)(k)?(k?1)b1a12(k)x??x?(1??)(?x)x1??x212?1?aa??a11a111111C. ? D. ?

ba(k?1)(k)221?x(k?1)??x(k)?(1??)(b2?a21x(k))?x2??x1221?a22a22?a22a22??

13. 以下关于松弛法的收敛条件，正确的是（ ）

A.线性方程组Ax=b的松弛法收敛可知0<ω<1 B.由0<ω<1可知解线性方程组Ax=b的松弛法收敛 C.线性方程组Ax=b的松弛法收敛可知A对称正定 D.A对称正定可知解线性方程组Ax=b的松弛法收敛

14. 以下对求解线性方程组的迭代法描述，不正确的是（ ）

8. B 9. D

10. B

11. B

12. C

13. A

14. B

15. C

三.简答题

1. 插值法的几何意义是什么?

2. 什么是插值原则?

3. n次拉格朗日插值多项式是什么？

4. 函数f(x)用n次插值多项式Pn(x)近似代替时，f(x)- Pn(x)(即Pn(x)的余项)是什么？

5. 设f(x)=x4 ,用拉格朗日余项定理写出以-1，0，1，3为节点的三次插值多项 式。

6. 什么是分段插值?为什么要分段插值?

7. 牛顿插值与拉格朗日插值的区别是什么?

8. 牛顿均差插值多项式及其余项分别是什么？ 解答: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

四.计算题 1.

2.

3. 已知函数y=f(x)的观察数据为

4.

试构造拉格朗日插值多项式Pn (x)，并计算f(－1)的近似值。

5.

6. 已知函数值f(0)=6，f(1)=10，f(3)=46，f(4)=82，f(6)=212，求函数的四阶均差f(0,1, 3,4,6)和二阶均差f(4，1，3)。 7.

8.

解答: 1. 2. 3.

4. 0.59627 5. 6. 7. 8.

五.程序题

1. 以下C程序是应用拉格朗日插值多项式求某函数在1.13处的近似值,请将答案写在对应横

线上 #include \ main( ) { float static x[4]={1.1275,1.1503,1.1735,1.972}; float static y[4]={0.1191,0.13954,0.15932,0.17903}; int i,j; float c,f,t; c=1.13; f=0;

for(i= ______________________________ ;i<=3;i++) { t=1;

for(j=0;j<= ______________________________ ;j++) { if( ______________________________ ) t= ______________________________ ; } f= ______________________________ ; } printf(\ }

2. 以下C程序是应用牛顿插值法求某函数在0.5处的近似值,请将答案写在对应横线上 main( ) { float static x[5]={0.4,0.55,0.8,0.9,1.0}; float static y[5]={0.41075,0.57815,0.88811,1.02652,1.17520}; int i,k; float c,p; for (k=1;k<=4;k++) { printf(\ for(i= _________________________________;i>=k;i--) { y[i]= _________________________________ ; printf(\ } } c=0.5;

p= _________________________________; for(i=_________________________________;i>=0;i--) p= _________________________________ ; printf(\ }

解答: 1. 2.

第八章 曲线拟合

一.填空题

1. 插值法求出的近似曲线要满足_____________________。

2. 曲线拟合和插值法的区别在于_______________________________________________________________________________。

3. 在曲线拟合中，最小二乘法提供了一种数学方法，利用这种方法可以对实验数据实现在___________意义下的最好拟合。

4. 在曲线拟合中，___________提供了一种数学方法，利用这种方法可以对实验数据实现在 最小平方误差意义下的最好拟合。

5. 当线性方程组方程的个数多于未知数的个数时，方程组没有通常意义下的解，这类方程 组成为___________________。

6. 已知实验数据如下：

根据已知实验数据，用最小二乘法求拟合直线y=a+bx的正则方程组为_____________________。 7. 已知实验数据如下：

根据已知实验数据，用最小二乘法求拟合直线y=a+bx的正则方程组为_____________________。

8. 已知实验数据如下：

根据已知实验数据，用最小二乘法求拟合直线y=a+bx的正则方程组为_____________________。

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