康托尔集合论

康托尔集合论 集合论是19世纪70-80年代由德国数学家康托尔创立，它建立在一种无限观——“实无限”的基础上。所谓“实无限”，即把“无限”作为一个已经完成了的观念实体来看待。例如，在集合论中用N={n：n是自然数}表示全体自然数的集合就是如此。需要指出的是，在此之前的几千年数学发展史中，占主导地位的是另一种无限观，即古希腊哲学家亚里士多德所主张的“潜无限”观念。所谓“潜无限”，是把“无限”作为一个不断发展着的、又永远无法完成的过程来看待。例如，把自然数看成一个不断延伸的无穷无尽的序列1，2，3，…，n，…就是如此。 集合论是数学观念和数学方法上的一次革命性变革，由于它在解释旧的数学理论和发展新的数学理论方面都极为方便，因而逐渐为许多数学家所接受。实数理论奠定在集合论的基础上，而且各种复杂的数学概念都可以用“集合”概念定义出来，而各种数学理论又都可以“嵌入”集合论之内。因此，集合论就成了全部数学的基础，而且有力地促进了各个数学分支的发展。现代数学几乎所有的分支都会用到集合这个概念。 康托尔集， 格奥尔格·康托尔在1883年引入，是位于一条线段上的一些点的集合，具有许多显著和深刻的性质。通过考虑这个集合，康托尔和其他数学家奠定了现代点集拓扑学的基础。虽然康托尔自己用一种一般、抽象的方法定义了这个集合，但是最常见的构造是康托尔三分点集，由去掉一条线段的中间三分之一得出。康托尔自己只附带介绍了三分点集的构造，作为一个更加一般的想法——一个无处稠密的完备集的例子。 康托尔集是由不断去掉线段的中间三分之一而得出。将基本区间[0,1]用分点三等分，并除去中间的开区间（区间（12，）。把余下的两个闭区间各三等分，并除去中间的开3312，与33 1278，），（，）。然后再将余下的四个闭区间同法处理，如此等等。这样便得到9999康托尔三分集P0与开集G0 121278127819G0=（，）∪（2，2）∪（2，2）∪（3，3）∪（3，3）∪（3，33333333333202526）∪（，3）∪… 33333P0是G0的补集。 康托尔集就是由所有过程中没有被去掉的区间[0, 1]中的点组成。 康托尔三分集的性质及证明

（1）P0是一个闭集，不含有任何区间。

这是显然的，G0是任意个开集的并，所以G0仍是开集，P所以P0是G0的补集，0是闭集。

这表明不含有任何区间的闭集是存在的。

（2）P0是完全集

证明：要证P0是完全集即证它不含有孤立点。

假设P0有一孤立点x0，则存在（α，β）使（α，β）中不含P0中除x0以外的

任一点。

所以（α，x0）?G0，（x0，β）?G0。

于是x0将成为G0的某两个区间的公共端点，但由于G0的做法是不可能的。 所以不存在这样的点x0，与假设矛盾，所以得证P0是完全集。

（3）P0是不可列的

证明：假设P0是可列的，将P0中点编号成点列x1，x2，…，xk…，也就是说，

?1??2?显然，?0,?与?,1?中应有一个不含有x1，P0中任一点必在上述点列中出现。

?3??3?用I1表示这个闭区间。将I1三等分后所得的左与右两个闭区间中，应有一个不含x2，用I2表示它。然后用I3表示三等分I2时不含x3的左或右的那个闭区间，如此等等。这样，根据归纳法，得到一个闭区间列{Ik}k?N。由所述取法知， I1?I2?…?Ik?…，xk?Ik，k?N，

同时，易见Ik的长为13k。于是根据数学分析中区间套定理，?0（k??）

存在点x?Ik，k?N。可是x是Ik等的端点集的聚点，从而是闭集P0的聚点，故x?P由于上面已指出xk?Ik，k?N，故x1xk，k?N。这是一个矛盾。0。故P0不可列。

à与[0,1]同势 （4）P0的势等于

证明：引进[0,1]中小数的三进表示来考察区间（

12，）中每个点x可表示成33x=0.1x2x3…，其中x2，x3，…是0，1，2三个数字中之一。这区间的两个端点均有两种表示，规定采用（不出现数字1）：

1=0.0222…，2=0.2000…，

33区间（

1278，），（，）中的点x可表示成x=0.01x3x4…或x=0.21x3x4…，32323232其中x3，x4，…是0，1，2中任一数字。而区间端点则采用（不出现数字1）：

12332=0.0022…，7=0.0200…，83232=0.2022…， =0.2200…。

2如此等等。根据归纳法分析可知，依上述规定，G0中的点的三进表示中必有一位数字是1，且只有这样的点才属于G0。因而P0与集

A={0. x1x2x3…：每个xk?{0，2}}

à。 成一一对应。且A显然与[0,1]对等，故A的势为à，从而P0的势为

（5）mP0=0

证明：因为G0是开集由测度的定义有

mG0=

12++…++=1 332 mP0=1- mG0=1-1=0

我们得到P0是一个测度为零的不可列集。 （6）P0是稀疏集

因为P不能包含R中的任何一个邻域，所以P0=P0不在R中的任何一个邻域中0，稠密，故P0是稀疏集。

康托尔三分集因为具有以上特殊的性质，是一个很典型的特例能来说明实变函数中的很多问题，在实变函数中占有很重要的地位。?

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