2014届高考数学一轮复习 第七章不等式7.2一元二次不等式及其解法教学案 理 新人教A版

7.2 一元二次不等式及其解法

考纲要求

1．会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．

2．通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系． 3．会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．

4．(1)理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：①|a＋b|≤|a|＋|b|.②|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.

(2)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.

1．一元二次不等式的解法

一元一次不等式ax＞b(a≠0)的解集为 (1)当a＞0时，解集为__________． (2)当a＜0时，解集为__________．

2．一元二次不等式与相应的一元二次函数及一元二次方程的关系如下表： 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 2Δ＝b－4ac 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 有两相等实根 一元二次方程 有两相异实根 2bax＋bx＋c＝0 没有实数根 x1，x2(x1＜x2) x1＝x2＝－ 2a(a＞0)的根 2ax＋bx＋c＞0 __________ __________ __________ (a＞0)的解集 ax2＋bx＋c＜0 __________ __________ __________ (a＞0)的解集 23．用程序框图来描述一元二次不等式ax＋bx＋c＞0(a＞0)的求解的算法过程为： 1

4．(1)含____________的不等式叫做绝对值不等式．

(2)解含有绝对值的不等式关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种：

?，?fx，fx①分段讨论：根据|f(x)|＝?去掉绝对值符号．

?－fx，fx?

②利用等价不等式：

|ax＋b|≤c(c＞0)?________； |ax＋b|≥c(c＞0)?__________.

③两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝．．．对值符号．

(3)形如|x－a|＋|x－b|≥c(a≠b)与|x－a|＋|x－b|≤c(a≠b)的绝对值不等式的解法主要有三种：

①运用绝对值的几何意义； ②零点分区间讨论法；

③构造分段函数，结合函数图象求解．

1．不等式x＞x的解集是( )． A．(－∞，0) B．(0,1)

C．(1，＋∞) D．(－∞，0)∪(1，＋∞)

x－1

2．(2012重庆高考，文2)不等式＜0的解集为( )．

x＋2

A．(1，＋∞) B．(－∞，－2)

C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

22

3．若a＜0，则关于x的不等式x－4ax－5a＞0的解是( )． A．x＞5a或x＜－a B．x＞－a或x＜5a C．5a＜x＜－a D．－a＜x＜5a

2

2

4．(2012天津高考)集合A＝{x∈R||x－2|≤5} 中的最小整数为__________．

12

5．若关于x的不等式－x＋2x＞mx的解集是{x|0＜x＜2}，则实数m的值是__________．

2

一、一元二次不等式的解法 【例1】解下列不等式：

2

(1)2x＋4x＋3＞0；

2

(2)－3x－2x＋8≥0；

22

(3)12x－ax＞a(a∈R)． 方法提炼

1．解一元二次不等式的一般步骤：

22

(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax＋bx＋c＞0(a＞0)，ax＋bx＋c＜0(a＞0)；

(2)计算相应的判别式；

(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根； (4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集． 2．对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：

(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式； (2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；

(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；

(4)判断二次不等式两根的大小．

提醒：当a＝0时，ax＞b不是一元一次不等式；当a＝0，b≥0时，它的解集为?；当a＝0，b＜0时，它的解集为R.

请做演练巩固提升2

二、分式不等式的解法

x2－9

【例2】(2012江西高考)不等式＞0的解集是__________．

x－2

方法提炼

对于形如

可等价转化为?

fxfx＞0(＜0)可等价转化为f(x)g(x)＞0(＜0)来解决；对于≥0(≤0)

gxgx?fxgx，?

??gx

当然对于高次不等式可用“穿根法”解决．

请做演练巩固提升1

三、一元二次不等式的实际应用

【例3】某产品按质量可分成6种不同的档次，若工时不变，每天可生产最低档次的产品40件，如果每提高一个档次，每件利润可增加1元，但每天要少生产2件产品．

(1)若最低档次的产品每件利润为16元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？ (2)若最低档次的产品每件利润为22元，则生产哪种档次的产品所得到的利润最大？ 方法提炼

解不等式应用题的步骤

3

请做演练巩固提升5

四、含有绝对值不等式的解法

【例4－1】(2012辽宁高考)已知f(x)＝|ax＋1|(a∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x≤1}．

(1)求a的值； (2)若?fx－2f???≤k恒成立，求k的取值范围．

??2??

【例4－2】设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3；

(2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围． 方法提炼

1．解含两个绝对值符号的不等式，可先将其转化为|x－a|＋|x－b|≥c的形式，对于这种绝对值符号里是一次式的不等式，一般有三种解法，分别是“零点划分法”“利用绝对值的几何意义法”和“利用函数图象法”．此外，有时还可采用平方法去绝对值，它只有在不等式两边均为正的情况下才能使用．

2．绝对值不等式|x－a|≥c(c＞0)表示数轴上到点a的距离不小于c的点的集合；反之，绝对值|x－a|＜c(c＞0)表示数轴上到点a的距离小于c的点的集合．

3．“零点划分法”是解绝对值不等式的最基本方法，一般步骤是： (1)令每个绝对值符号里的代数式等于零，求出相应的根；(2)把这些根按由小到大进行排序，n个根把数轴分为n＋1个区间；(3)在各个区间上，去掉绝对值符号组成若干个不等式，解这些不等式，求出它们的解集；(4)这些不等式解集的并集就是原不等式的解集．

请做演练巩固提升3

与一元二次不等式有关的恒成立问题

2

【典例】(12分)设函数f(x)＝mx－mx－1.

(1)若对于一切实数x，f(x)＜0恒成立，求m的取值范围； (2)若对于x∈[1,3]，f(x)＜－m＋5恒成立，求m的取值范围．

分析：(1)对于x∈R，f(x)＜0恒成立，可转化为函数f(x)的图象总是在x轴下方，可讨论m的取值，利用判别式求解．

(2)含参数的一元二次不等式在某区间内的恒成立问题，常有两种处理方法：方法一是利用二次函数区间上的最值来处理；方法二是先分离出参数，再去求函数的最值来处理．一般方法二比较简单．

规范解答：(1)要使mx2－mx－1＜0恒成立， 若m＝0，显然－1＜0；

??m<0，

若m≠0，则??－4＜m＜0. 2

?Δ＝m＋4m<0?

综上有－4＜m≤0.(4分)

(2)要使f(x)＜－m＋5在[1,3]上恒成立，即

?

?x??

4

3?4

有以下两种方法：

m?x－?2＋m－6＜0在x∈[1,3]上恒成立．(6分)

2

??

1??1?23

方法一：令g(x)＝m?x－?＋m－6，x∈[1,3]．

?2?4

当m＞0时，g(x)在[1,3]上是增函数，(8分) 所以g(x)max＝g(3)?7m－6＜0，

66

所以m＜，则0＜m＜；(10分)

77

当m＝0时，－6＜0恒成立；

当m＜0时，g(x)在[1,3]上是减函数， 所以g(x)max＝g(1)?m－6＜0. 所以m＜6，所以m＜0.

????6?

?.(12分) 综上所述：m的取值范围是?m?m<7?????

?1?232

方法二：因为x－x＋1＝?x－?＋＞0，

?2?4

62

又因为m(x－x＋1)－6＜0，所以m＜2.(8分)

x－x＋1

6666

因为函数y＝2＝在[1,3]上的最小值为，所以只需m＜即可．(10

x－x＋1?1?2377

?x－2?＋4??

分)

???6

所以，m的取值范围是?m?m<

??7?

??

?.(12分) ??

答题指导：1．与一元二次不等式有关的恒成立问题，可通过二次函数求最值，也可通

过分离参数，再求最值．

2．解决恒成立问题一定要搞清谁是自变量，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是变量，求谁的范围，谁就是参数．

3．对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．

4．本题考生易错点：忽略对m＝0的讨论．这是由思维定势所造成的．

x－2

≤0的解集为( )． x＋1

A．{x|－1≤x≤2} B．{x|－1＜x≤2} C．{x|－1≤x＜2} D．{x|－1＜x＜2}

2

2．已知不等式x－x≤0的解集为M，且集合N＝{x|－1＜x＜1}，则M∩N为( )．

1．不等式

A．[0,1) B．(0,1) C．[0,1] D．(－1,0]

3．对于x∈R，不等式|x＋10|－|x－2|≥8的解集为________．

2

4．当x∈(1,2)时，不等式x＋mx＋4＜0恒成立，则m的取值范围是__________． 5．某种商品，现在定价p元，每月卖出n件，设定价上涨x成，每月卖出数量减少y成，每月售货总金额变成现在的z倍．

(1)用x和y表示z；

(2)设x与y满足y＝kx(0＜k＜1)，利用k表示当每月售货总金额最大时x的值；

5

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/ktmt.html