数值分析课后部分习题答案

习题1（P.14）

1. 下列各近似值均有4个有效数

字,x?0.001428,y?13.521,z?2.300,试指出它们的绝对误差和相对误差限.

解 x?0.001428=0.1428?10有4个有效数，即n?4，m??2 由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为

****?212?10m?n?12?10?6，

由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为

*12a1?10?(n?1)?12?10?3；

?2y?13.521=0.13521?102有4个有效数，即n?4，m

由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为

12?10m?n?12?10?2，

由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为

*12a1?10?(n?1)?12?101?3；

?1

z?2.300=0.2300?10有4个有效数，即n?4，m由有效数字与绝对误差的关系得绝对误差限为

12?10m?n?12?10?3，

由有效数字与相对误差的关系得相对误差限为

12a1?10?(n?1)?14?10?3.

12?10?32．下列各近似值的绝对误差限都是有效数字.

x?2.00021,y?0.032,z?0.00052***,试指出它们各有几位

?1

m?n 解 x*?2.00021?0.200021?101，即m由有效数字与绝对误差的关系得

1

12?10?12?10?3，

即 m?n?*?3，所以，n?41；

??1

y?0.032?0.32?10，即m由有效数字与绝对误差的关系得 即 m?n?*12?10m?n?12?10?3，

?3，所以，n?2?3；

??3z?0.00052?0.52?10，即m

?10m?n由有效数字与绝对误差的关系得 即 m?n?计算S*12?12?10?3，

?3，所以，n?0.

**4.设有近似数x*?x?yz**?2.41,y?1.84,z?2.35且都有3位有效数字，试

，问S有几位有效数字.

1*1*1解 方法一 因x*?2.41=0.241?10,y?1.84?0.184?10,z?2.35?0.235?10?1，则

?2都有

3位有效数字，即n?3，m|e(x*)|?1212?10m?n?1212?10，|e(y*)|?，

12?10m?n?12?10?2，

|e(z*)|??10m?n??10?2|e(y*z*)|?|z*e(y*)?y*e(z*)|?z*|e(y*)|?y*|e(z*)|

?2.35?12?10?2?1.84?12?10?2?2.095?1012?1?2，

?2|e(x*?y*z*)|?|e(x*)?e(y*z*)|?12?10?2?2.095?10?0.2595?10?1??10，

?1，m?n??1，从

又 x*?y*z*=2.41?1.84?2.35?0.6734?101，此时m而得n?2.

方法二 因x*?2.41=0.241?10,y?1.84?0.184?10,z?2.35?0.235?10?1，则

1*1*1都有

3位有效数字，即n?3，m 2

1|e(x*)|?12?10m?n?12?10?2，|er(x*)|=|e(x*)x*|?2?102.41?2，

1|e(y*)|?12?10m?n?12?10?2，|er(y*)|=|e(y*)y*|?2?101.84?2，

1|e(z*)|?12?10m?n?12?10?2，|er(z*)|=|e(z*)z*|?2?102.35?2

|er(y*z*)|?|er(y*)?er(z*)|，

|er(x*?y*z*)|?|x*x*?y*z*er(x*)?y*z*x*?y*z*er(y*z*)|?2.412.41?1.84?2.351?2|er(x*)|?1.84?2.352.41?1.84?2.35?2|er(y*)+er(z*)|?222??2.41?1.84?2.352.41?1.84?2.352.41?1.84?2.35?101.84?1?102.35?1?10?2

?0.3854?10?2?12?10?2，

由有效数字与绝对误差的关系得n?2.

5.序列?yn?有递推公式

yn?10yn?1?1,(n?1,2,?) 若y0?，问计算y102?1.41（三位有效数字）

?的误差有多大，这个计算，得?0=0.0042?，由递

10公式稳定吗？

解 用?0表示y0的误差，由y0推公式 yn

3

2?1.41?10yn?1?1,(n?1,2,?)，知计算y10的误差为?=0.42??108，因

为初始误差在计算的过程中被逐渐的放大，这个计算公式不稳定.

习题2 ( P.84)

n3.证明 ?lk(x)?1，对所有的x

k?0其中lk(x)为Lagrange插值基函数. 证明 令f(x)?1，则f(xi)?1，

nn从而 Ln(x)??lk(x)f(xk)??lk(x)，

k?0k?0又 Rn(x)?f(n?1)(?)(n?1)!?n?1(x)?0，

n可得 Ln(x)?f(x)?1，从而 ?k?0lk(x)?1.

21，2和3处函数f(x)?x?1的插值多项式. 4. 求出在x=0，x解 方法一 因为给出的节点个数为4，而f(x)?f(4)2?1从而余项

R3(x)?(?)4!?4(x)?0，

2于是 L3(x)?f(x)?R3(x)?f(x)=x+1

（n次插值多项式对次数小于或等于n的多项式精确成立）.

5，(3)f10?，方法二 因为f(0)?1，f(1)?2，f(2)?

(x?1)(x?2)(x?3)(0?1)(0?2)(0?3)x(x?2)(x?3)(1?0)(1?2)(1?3)x(x?1)(x?3)(2?0)(2?1)(2?3)x(x?1)(x?2)(3?0)(3?1)(3?2)=16而 l0(x)?l1(x)?=-12(x?1)(x?2)(x?3)，

x(x?2)(x?3)， 12l2(x)?=-x(x?1)(x?3)，

l3(x)?=16x(x?1)(x?2)，

=x+1.

2从而 L3(x)?l0(x)f(0)?l1(x)f(1)?l2(x)f(2)?l(x)f(3)325. 设f(x)?C[a,b]且f(a)?f(b)?0，求证

4

max|f(x)|?a?x?b182(b?a)max|f??(x)|.

a?x?b证明 因f(a)?f(b)?0，则L1(x)?0， 从而

f(x)?R1(x)?f??(?)2!(x?a)(x?b)，

ax|f(x)|?由极值知识得 ma?x?b18(b?a)max|f??(x) |a?x?b26. 证明 ?(f(x)g(x))证明 由差分的定义

?f(x)??g(x)??f(x)?g(x+h).

?(f(x)g(x))?f(x+h)g(x?h)?f(x)g(x)?[f(x+h)g(x?h)?f(x)g(x+h)]?[f(x)g(x?h)?f(x)g(x)]?f(x)??g(x)??f(x)?g(x+h)

或着 ?(f(x)g(x))?f(x+h)g(x?h)?f(x)g(x)

?[f(x+h)g(x?h)?f(x?h)g(x)]?[f(x?h)g(x)?f(x)g(x)]

?f(x?h)??g(x)??f(x)?g(x)

7. 证明 n阶差商有下列性质

(a) 如果F(x)?cf(x)，则F[x0,x1,?,xn]?(b) 如果F(x)?

证明 归纳法：由差商的定义 (a) 如果F(x)?cf(x)，则

F[x0,x1,?,xn]?cf[x0,x1,?,xn].

f(x)?g(x)，则

F[x0,x1,?,xn]?f[x0,x1,?,xn]?g[x0,x1,?,xn].

F[x1,x2,?,xn]-F[x0,x1,?,xn?1]xn?x0

?cf[x1,x2,?,xn]-cf[x0,x1,?,xn?1]xn?x0

?cf[x0,x1,?,xn].

?c?f[x1,x2,?,xn]-f[x0,x1,?,xn?1]xn?x0(b) 如果F(x)?f(x)?g(x)，则

F[x1,x2,?,xn]-F[x0,x1,?,xn?1]xn?x0F[x0,x1,?,xn]?

5

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